专题14 函数模型及其应用-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）

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【知识梳理】2
【真题自测】3
【考点突破】9
【考点1】利用函数图象刻画实际问题的变化过程9
【考点2】已知函数模型解决实际问题15
【考点3】构造函数模型解决实际问题22
【分层检测】27
【基础篇】27
【能力篇】36
【培优篇】40
考试要求：
1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异，理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.
2.通过收集、阅读一些现实生活、生产实际等数学模型，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用.
知识梳理
1.指数、对数、幂函数模型性质比较
2.几种常见的函数模型
1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小.
2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.
3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.
真题自测
一、单选题
1．（2020·全国·高考真题）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）
A．10名B．18名C．24名D．32名
2．（2020·山东·高考真题）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A．1.2天B．1.8天
C．2.5天D．3.5天
二、多选题
3．（2023·全国·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（ ）．
A．B．
C．D．
三、填空题
4．（2019·北京·高考真题）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为 ．
四、解答题
5．（2019·江苏·高考真题）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）．
（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；
（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；
（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．
参考答案：
1．B
【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.
【详解】由题意，第二天新增订单数为，
，故至少需要志愿者名.
故选：B
【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.
2．B
【分析】根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果.
【详解】因为，，，所以，所以，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，
则，所以，所以，
所以天.
故选：B.
【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.
3．ACD
【分析】根据题意可知，结合对数运算逐项分析判断.
【详解】由题意可知：，
对于选项A：可得，
因为，则，即，
所以且，可得，故A正确；
对于选项B：可得，
因为，则，即，
所以且，可得，
当且仅当时，等号成立，故B错误；
对于选项C：因为，即，
可得，即，故C正确；
对于选项D：由选项A可知：，
且，则，
即，可得，且，所以，故D正确；
故选：ACD.
4． 130. 15.
【分析】由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得的最大值.
【详解】(1),顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付元.
(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为元,
元时,李明得到的金额为,符合要求.
元时,有恒成立,即,即元.
所以的最大值为.
【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.
5．（1）15（百米）；
（2）见解析；
（3）17+（百米）.
【分析】解：解法一：
（1）过A作，垂足为E.利用几何关系即可求得道路PB的长；
（2）分类讨论P和Q中能否有一个点选在D处即可.
（3）先讨论点P的位置，然后再讨论点Q的位置即可确定当d最小时，P、Q两点间的距离．
解法二：
（1）建立空间直角坐标系，分别确定点P和点B的坐标，然后利用两点之间距离公式可得道路PB的长；
（2）分类讨论P和Q中能否有一个点选在D处即可.
（3）先讨论点P的位置，然后再讨论点Q的位置即可确定当d最小时，P、Q两点间的距离．
【详解】解法一：
（1）过A作，垂足为E.
由已知条件得，四边形ACDE为矩形，.
因为PB⊥AB，
所以.
所以.
因此道路PB的长为15（百米）.
（2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.
②若Q在D处，连结AD，由（1）知，
从而，所以∠BAD为锐角.
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.
因此，Q选在D处也不满足规划要求.
综上，P和Q均不能选在D处.
（3）先讨论点P的位置.
当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；
当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.
设为l上一点，且，由（1）知，，
此时；
当∠OBP>90°时，在中，.
由上可知，d≥15.
再讨论点Q的位置.
由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.
综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ=时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+.
因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+（百米）.
解法二：
（1）如图，过O作OH⊥l，垂足为H.
以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.
因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，−3.
因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25.
从而A（4，3），B（−4，−3），直线AB的斜率为.
因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为，
直线PB的方程为.
所以P（−13，9），.
因此道路PB的长为15（百米）.
（2）①若P在D处，取线段BD上一点E（−4，0），则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求.
②若Q在D处，连结AD，由（1）知D（−4，9），又A（4，3），
所以线段AD：.
在线段AD上取点M（3，），因为，
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.
因此Q选在D处也不满足规划要求.
综上，P和Q均不能选在D处.
（3）先讨论点P的位置.
当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；
当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.
设为l上一点，且，由（1）知，，此时；
当∠OBP>90°时，在中，.
由上可知，d≥15.
再讨论点Q的位置.
由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.
当QA=15时，设Q（a，9），由，
得a=，所以Q（，9），此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.
综上，当P（−13，9），Q（，9）时，d最小，此时P，Q两点间的距离
.
因此，d最小时，P，Q两点间的距离为（百米）.
【点睛】本题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.
考点突破
【考点1】利用函数图象刻画实际问题的变化过程
一、单选题
1．（2024·内蒙古赤峰·一模）在下列四个图形中，点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O、P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·甘肃酒泉·模拟预测）如图，在矩形中，，，是的中点，点沿着边、与运动，记，将的面积表示为关于的函数，则（ ）

A．当时，
B．当时，
C．当时，
D．当时，
二、多选题
3．（2021·福建厦门·一模）某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则（ ）
A．
B．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时
C．注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克
D．注射一次治疗该病的有效时间长度为时
4．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期末）设，当时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是 （ ）
A．的增长速度最快， 的增长速度最慢
B．的增长速度最快， 的增长速度最慢
C．的增长速度最快， 的增长速度最慢
D．的增长速度最快， 的增长速度最慢
三、填空题
5．（21-22高二下·江苏南通·期中）根据疫情防控要求，学校教室内每日需要进行喷洒药物消毒．若从喷洒药物开始，教室内空气中的药物浓度（毫克/立方米）与时间（分钟）的关系为：，根据相关部门规定该药物浓度达到不超过毫克/立方米时，学生可以进入教室，则从开始消毒至少 分钟后，学生可进教室正常学习；研究表明当空气中该药物浓度超过毫克/立方米持续8分钟以上时，才能起到消毒效果，则本次消毒 效果（填：有或没有）.
6．（2020·江西南昌·三模）如图，有一块半径为的半圆形广场，为的中点．现要在该广场内以为中轴线划出一块扇形区域，并在扇形区域内建两个圆形花圃（圆和圆），使得圆内切于扇形，圆与扇形的两条半径相切，且与圆外切．记，则圆的半径可表示成的函数式为 ，圆的半径的最大值为 ．
参考答案：
1．D
【分析】
由点在第二条边上运动时，的单调性可排除A，由图象的对称性可排除，由一开始与是线性的可排除C，对于D，当图形是正方形时，可以验证它满足题意.
【详解】对于A，点在第一条边上时，，
但点在第二条边上运动时，是随的增大先减小（减到最小时即为三角形的第二条边上的高的长度），然后再增大，
对比图象可知，A错误；
对于B，y与x的函数图形一定不是对称的，B错误；
对于C，一开始与的关系不是线性的，C错误；
对于D，因为函数图象对称，所以D选项应为正方形，不妨设边长为，
点在第一条边上时（即时），，
点在第二条边上运动时（即时），，依然单调递增，
点在第三条边上运动时（即时），，单调递减，
点在第四条边上运动时（即时），，单调递减，
且已知与的图象关于（其中）对称，D正确.
故选：D.
2．C
【分析】分、、三种情况讨论，求出的边上的高，结合三角形的面积公式可得出的表达式.
【详解】，则，易得，，
所以，，则.

当时，点在线段上（不包括点），则，
此时，；

当时，点在线段上（不包括点），此时；

当时，点在线段上（不包括点），

此时，则，则.
故选：C.
3．AD
【分析】利用图象分别求出两段函数解析式，再进行逐个分析，即可解决．
【详解】由函数图象可知，
当时，，即，解得，
，故正确，
药物刚好起效的时间，当，即，
药物刚好失效的时间，解得，
故药物有效时长为小时，
药物的有效时间不到6个小时，故错误，正确；
注射该药物小时后每毫升血液含药量为微克，故错误，
故选：．
4．ACD
【分析】
做出三个函数的图象，结合图象，即可求解
【详解】画出函数的图象，如图所示，
结合图象，可得三个函数中，
当时，函数增长速度最快，增长速度最慢.
所以选项B正确；选项ACD不正确.
故选：ACD.

5． 30 有
【分析】由已知只需即可确定几分钟之后学生可进教室，计算出药物浓度超过毫克/立方米的时间段，即可判断是否有效果.
【详解】由题设，只需，即，可得分钟，
所以分钟后药物浓度不超过毫克/立方米，故30分钟后学生可进教室正常学习，
当，则， 当，则，可得，
即第5分钟到第20分钟之间药物浓度超过毫克/立方米，故分钟，
所以本次消毒有效果.
故答案为：30，有.
6．
【分析】设圆的半径为，有几何关系可得，消去即可得到圆的半径与的函数关系；令，则，再由二次函数求出最大值，即可求出结果．
【详解】设圆的半径为，过作，，垂足分别为、，如下图所示：
在中，可得，即；
在中，可得，即；
则，则，；
令， 则，
当 ，即时，．
故圆的半径的最大值为．
故答案为：；.
【点睛】本题主要考查了函数的应用，同时考查了利用换元法和二次函数求最值，是中档题．
反思提升：
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际的情况.
【考点2】已知函数模型解决实际问题
一、单选题
1．（2024·北京通州·二模）某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积S（单位：平方米）与时间t（单位：月）的关系式为（，且），图象如图所示．则下列结论正确的个数为（ ）
①浮萍每个月增长的面积都相等；
②浮萍蔓延4个月后，面积超过30平方米；
③浮萍面积每个月的增长率均为50%；
④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是，，，则．
A．0B．1C．2D．3
2．（2022·黑龙江哈尔滨·三模）如图为某小区七人足球场的平面示意图，为球门，在某次小区居民友谊比赛中，队员甲在中线上距离边线米的点处接球，此时，假设甲沿着平行边线的方向向前带球，并准备在点处射门，为获得最佳的射门角度（即最大），则射门时甲离上方端线的距离为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2023·河南·模拟预测）若物体原来的温度为（单位:），环境温度为（单位:），物体的温度冷却到，单位:）与需用时间（单位:分钟）满足为正常数.现有一杯开水放在室温为的房间里，根据函数关系研究这杯开水冷却的情况（，则（ ）
A．当时，经过10分钟，这杯水的温度大约为
B．当时，这杯开水冷却到大约需要14分钟
C．若，则
D．这杯水从冷却到所需时间比从冷却到所需时间短
4．（2024·重庆·模拟预测）放射性物质在衰变中产生辐射污染逐步引起了人们的关注，已知放射性物质数量随时间的衰变公式，表示物质的初始数量，是一个具有时间量纲的数，研究放射性物质常用到半衰期，半衰期指的是放射性物质数量从初始数量到衰变成一半所需的时间，已知，右表给出了铀的三种同位素τ的取值：若铀234、铀235和铀238的半衰期分别为，，，则（ ）
A．B．与成正比例关系
C．D．
三、填空题
5．（2023·上海长宁·一模）在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标.其值（单位：）定义为.其中为声场中某点的声强度，其单位为为基准值.若，则其相应的声强级为 .
6．（2007·湖北·高考真题）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数）．根据图所提供的信息，回答下列问题：

（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式为 ；
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进教室，那么药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．
参考答案：
1．B
【分析】由已知可得出，计算出萍蔓延1月至2月份增长的面积和2月至3月份增长的面积，可判断①的正误；计算出浮萍蔓延4个月后的面积，可判断②的正误；计算出浮萍蔓延每个月增长率，可判断③的正误；利用指数运算可判断④的正误.
【详解】由已知可得，则.
对于①，浮萍蔓延1月至2月份增长的面积为（平方米），
浮萍蔓延2月至3月份增长的面积为（平方米），①错；
对于②，浮萍蔓延4个月后的面积为（平方米），②对；
对于③，浮萍蔓延第至个月的增长率为，所以，浮萍蔓延每个月增长率相同，都是，③错；
对于④，若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是，，，
则，，，所以，④错.
故选：B.
2．B
【分析】先根据题意解出长度，设，得到，再分析求值域，判断取等条件即可求解.
【详解】设，并根据题意作如下示意图，由图和题意得：，，
所以，且，
所以，
又，所以，解得，即，
设，，则，
，所以在中，
有，
令，所以，
所以，
因为，所以，则要使最大，
即要取得最小值，即取得最大值，
即在取得最大值，
令， ，
所以的对称轴为：，所以在单调递增，在单调递减，
所以当时，取得最大值，即最大，此时，即，
所以，所以，即为获得最佳的射门角度（即最大），
则射门时甲离上方端线的距离为：.
故选：B.
3．BCD
【分析】根据解析式中各量的意义，代入求解即可.
【详解】为正常数.
对于A，，
由，得，
所以，解得，故错误；
对于B，，
，故B正确；
对于C，由，得，即，
则，故正确；
对于D，设这杯水从冷却到所需时间为分钟，
则，
设这杯水从冷却到所需时间为分钟，
则，
因为，
所以，故D正确.
故选：BCD.
4．BD
【分析】A选项，根据半衰期的定义得到，从而得到方程，求出；B选项，由A选项得到结论；C选项，由B选项可得C错误；D选项，计算出，作商得到D正确.
【详解】A选项，由题意得，
又，故，两边取对数得，，
，A错误；
B选项，由A可知，与成正比例关系，B正确；
C选项，由B可知，与成正比例关系，由于铀234的值小于铀235的值，
故，C错误；
D选项，，
，
故，D正确.
故选：BD
5．130
【分析】
将题中数据直接代入公式，结合对数运算求解.
【详解】因为，，
所以其相应的声强级为.
故答案为：130.
6． /
【分析】（1）当时，可设，把点代入直线方程求得，得到直线方程；当时，把点代入求得，曲线方程可得．最后综合可得答案．
（2）分析可知只有当药物释放完毕，室内药量减少到毫克以下时学生方可进入教室，可出，解此不等式组即可得解.
【详解】解：（1）依题意，当时，设，则，解得，
将代入可得，解得.
综上所述，.
（2）由题意可得，因为药物释放过程中室内药量一直在增加，
即使药量小于毫克，学生也不能进入教室，
所以只有当药物释放完毕，室内药量减少到毫克以下时学生方可进入教室，
即，解得，
由题意至少需要经过小时后，学生才能回到教室．
故答案为：（1）；（2）.
反思提升：
1.求解已知函数模型解决实际问题的关注点.
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数；
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.
2.利用函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.
【考点3】构造函数模型解决实际问题
一、单选题
1．（2024·北京朝阳·二模）假设某飞行器在空中高速飞行时所受的阻力满足公式 ，其中是空气密度，是该飞行器的迎风面积，是该飞行器相对于空气的速度， 是空气阻力系数（其大小取决于多种其他因素），反映该飞行器克服阻力做功快慢程度的物理量为功率. 当不变，比原来提高时，下列说法正确的是（ ）
A．若不变，则比原来提高不超过
B．若不变，则比原来提高超过
C．为使不变，则比原来降低不超过
D．为使不变，则比原来降低超过
2．（23-24高三上·江苏南通·期末）某中学开展劳动实习，学生制作一个矩形框架的工艺品．要求将一个边长分别为10cm和20cm的矩形零件的四个顶点分别焊接在矩形框架的四条边上，则矩形框架周长的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2024·全国·模拟预测）某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为，继续排气4分钟后又测得浓度为．由检验知该地下车库一氧化碳浓度（单位：）与排气时间（单位：分钟）之间满足函数关系（为常数，是自然对数的底数）．若空气中一氧化碳浓度不高于，人就可以安全进入车库了，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．排气12分钟后浓度为
D．排气32分钟后，人可以安全进入车库
4．（2023·全国·模拟预测）第31届世界大学生夏季运动会在四川成都举行，大运会吉祥物“蓉宝”备受人们欢迎．某大型超市举行抽奖活动，推出“单次消费满1000元可参加抽奖”的活动，奖品为若干个大运会吉祥物“蓉宝”．抽奖结果分为五个等级，等级与获得“蓉宝”的个数的关系式为，已知三等奖比四等奖获得的“蓉宝”多2个，比五等奖获得的“蓉宝”多3个，且三等奖获得的“蓉宝”数是五等奖的2倍，则（ ）
A．B．
C．D．二等奖获得的“蓉宝”数为10
三、填空题
5．（2024·河南洛阳·模拟预测）在高度为的竖直墙壁面上有一电子眼，已知到天花板的距离为，电子眼的最大可视半径为．某人从电子眼正上方的天花板处贴墙面自由释放一个长度为0.2m的木棒（木棒竖直下落且保持与地面垂直），则电子眼A记录到木棒通过的时间为 s．（注意：位移与时间的函数关系为，重力加速度取）
6．（2024·上海长宁·二模）甲、乙、丙三辆出租车2023年运营的相关数据如下表：
出租车空驶率；依据以述数据，小明建立了求解三辆车的空驶率的模型，并求得甲、乙、丙的空驶率分别为，则 （精确到0.01）
参考答案：
1．C
【分析】由题意可得，，结合选项，依次判断即可.
【详解】由题意，，所以，，
A：当，不变，比原来提高时，
则，
所以比原来提高超过，故A错误；
B：由选项A的分析知，，
所以比原来提高不超过，故B错误；
C：当，不变，比原来提高时，，
所以比原来降低不超过，故C正确；
D：由选项C的分析知，比原来降低不超过，故D错误.
故选：C
2．D
【分析】由已知作图如图所示，设，利用三角函数表示各边长，借助三角函数性质计算可得结果.
【详解】如图所示，，
令，则，则，
，则
周长
，
故选：D．
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用三角函数的定义表示出所求周长，再利用三角恒等变换即可得解.
3．ACD
【分析】由题意列式，求出，即可判断A，B；可得函数解析式，将代入，即可判断C；结合解析式列出不等关系，求出人可以安全进入车库的排气时间，判断D.
【详解】设，代入，得,
解得，A正确，B错误．
此时，所以，C正确．
当时，即，得，所以，
所以排气32分钟后，人可以安全进入车库，D正确．
故选:ACD．
4．ABD
【分析】依题意，得出关于的方程组，解方程组得的值，从而得到关于的方程组，解方程组得的值，即可判断选项A，B，C是否正确，由的值推出的解析式，求出的值，即可判断选项D是否正确．
【详解】依题意，得，解得即：
对于选项A，由可得： ，（依题意知，，故）
得，所以，故A项正确；
对于选项B，因可得：，由选项A结论可知，
所以，所以，解得，故B项正确；
对于选项C，因可得：，由选项B结论，有，
解得，故C项错误；
对于选项D，由选项A，B，C可得，即，所以，
即二等奖获得的“蓉宝”数为10，故D项正确．
故选：ABD.
5．
【分析】由题意中的函数关系建立方程组，解之即可求解.
【详解】由已知得，木棒做自由落体运动，
设从开始下落到木棒的下端开始进入电子眼的视线和木棒的上端开始离开电子眼的视线所需要的时间分别为，
位移分别为，
所以，则，
所以电子眼A记录到木棒通过的时间为．
故答案为：
6．
【分析】根据题意得到出租车空驶率的模型，检验甲、乙两辆出租车的空驶率，满足题意，从而利用该模型求得丙的空驶率，从而得解.
【详解】依题意，因为出租车行驶的总里程为，出租车有载客时行驶的里程为，
所以出租车空驶率，
对于甲，，满足题意；
对于乙，，满足题意；
所以上述模型满足要求，
则丙的空驶率为，即.
故答案为：.
反思提升：
(1)在应用函数解决实际问题时需注意以下四个步骤：
①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型.
②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型.
③解模：求解函数模型，得出数学结论.
④还原：将数学结论还原为实际意义的问题.
(2)通过对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学知识和方法构建函数模型解决问题，提升数学建模核心素养.
分层检测
【基础篇】
一、单选题
1．（2023·云南·二模）下表是某批发市场的一种益智玩具的销售价格：
张师傅准备用2900元到该批发市场购买这种玩具，赠送给一所幼儿园，张师傅最多可买这种玩具（ ）
A．116件B．110件C．107件D．106件
2．（2024高三下·全国·专题练习）小微企业是推进创业富民、恢复市场活力、引领科技创新的主力军，一直以来，融资难、融资贵制约着小微企业的发展活力.某银行根据调查的数据，建立了小微企业实际还款比例与小微企业的年收入（单位：万元）的关系为.已知小微企业的年收入为80万元时，其实际还款比例为，若银行希望实际还款比例为，则小微企业的年收入约为（参考数据：，1）（ ）
A．46.49万元B．53.56万元C．64.43万元D．71.12万元
3．（2024·北京昌平·二模）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用90℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生极佳口感；在20℃室温下，茶水温度从90℃开始，经过tmin后的温度为，可选择函数来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律，则在上述条件下，该种绿茶茶水达到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近的是（ ）
（参考数据：）
A．B．C．6minD．
4．（22-23高三下·云南·阶段练习）近年来，天然气表观消费量从2006年的不到m3激增到2021年的m3. 从2000年开始统计，记k表示从2000年开始的第几年，，.经计算机拟合后发现，天然气表观消费量随时间的变化情况符合，其中是从2000年后第k年天然气消费量，是2000年的天然气消费量，是过去20年的年复合增长率.已知2009年的天然气消费量为m3，2018年的天然气消费量为m3，根据拟合的模型，可以预测2024年的天然气消费量约为（ ）
（参考数据：，
A．m3B．m3
C．m3D．m3
二、多选题
5．（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）已知大气压强随高度的变化满足关系式是海平面大气压强，.我国陆地地势可划分为三级阶梯，其平均海拔如下表：
若用平均海拔的范围直接代表各级阶梯海拔的范围，设在第一、二、三级阶梯某处的压强分别为，则（ ）
A．B．
C．D．
6．（22-23高一上·河南新乡·期末）压缩袋（真空压缩袋）也叫PE拉链复合袋．在我们的日常生活中，各类大小的压缩袋不但能把衣柜解放出来，而且可以达到防潮、防虫咬、清洁保存的效果．其中抽气式压缩袋是通过外接抽气用具如抽气泵或吸尘器，来进行排气的．现选用某种抽气泵对装有棉被的压缩袋进行排气，已知该型号的抽气泵每次可以抽出压缩袋内气体的，则（ ）（参考数据：取）
A．要使压缩袋内剩余的气体少于原来的，至少要抽5次
B．要使压缩袋内剩余的气体少于原来的，至少要抽9次
C．抽气泵第4次抽出了最初压缩袋内气体的
D．抽3次可以使压缩袋内剩余的气体少于原来的
7．（2022·江苏盐城·模拟预测）泊松分布适合于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数．如某一服务设施在一定时间内到达的人数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等等．其概率函数为，参数是单位时间（或单位面积）内随机事件的平均发生次数．现采用某种紫外线照射大肠杆菌，大肠杆菌的基因组平均产生3个嘧啶二体．设大肠杆菌的基因组产生的嘧啶二体个数为Y，表示经该种紫外线照射后产生k个嘧啶二体的概率．已知Y服从泊松分布，记为，当产生的嘧啶二体个数不小于1时，大肠杆菌就会死亡，下列说法正确的有（ ）（参考数据：，恒等式）
A．大肠杆菌a经该种紫外线照射后，存活的概率约为5%
B．设，则
C．如果，那么，X的标准差
D．大肠杆菌a经该种紫外线照射后，其基因组产生的嘧啶二体个数的数学期望为3
三、填空题
8．（2023·全国·模拟预测）对某种药剂进行稀释，初始时药剂有，浓度为100%，加入水后，药剂浓度被稀释为60%，若每次稀释都向上一次所得稀释液中加入水，则要使稀释液中药剂浓度低于初始浓度的10%，则要加水 次．
9．（22-23高二上·广东深圳·期末）我们可以用下面的方法在线段上构造出一个特殊的点集：如图，取一条长度为1的线段，第1次操作，将该线段三等分，去掉中间一段，留下两段；第2次操作，将留下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留下四段；按照这种规律一直操作下去.若经过次这样的操作后，去掉的所有线段的长度总和大于，则的最小值为 .（参考数据：）
10．（2024·全国·模拟预测）药物的半衰期指的是血液中药物浓度降低到一半所需时间．在特定剂量范围内，（单位，h）内药物在血液中浓度由（单位，）降低到（单位，），则药物的半衰期．已知某时刻测得药物甲、乙在血液中浓度分别为和，经过一段时间后再次测得两种药物在血液中浓度都为，设药物甲、乙的半衰期分别为，，则 ．
四、解答题
11．（2024·全国·模拟预测）某种汉堡是某西餐店火爆的快餐品种之一，该店该种汉堡的成本为每个10元，售价为每个15元，若当天没有售出，则全部销毁．

(1)若该西餐店某天制作该种汉堡（）个，求该西餐店当天该种汉堡的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：个，）的函数解析式；
(2)该西餐店某月（按30天算）每天制作该种汉堡90个，并对该月该种汉堡的日需求量（单位：个）进行统计，对统计数据进行分析制成条形图如图所示，求该西餐店该月这种汉堡的平均日利润．
12．（2000·广东·高考真题）某蔬菜基地种黄瓜，从历年市场行情可知，从二月一日起的天内，黄瓜市场售价（单位：元/千克）与上市时间（第天）的关系可用如图所示的一条折线表示，黄瓜的种植成本（单位：元/千克）与上市时间的关系可用如图所示的抛物线表示．

(1)写出图表示的市场售价与上市时间的函数关系式及图表示的种植成本与上市时间的函数关系式；
(2)若认定市场售价减去种植成本为纯收益，则何时上市能使黄瓜纯收益最大？
参考答案：
1．C
【分析】根据题意，设购买的件数为，花费为元，根据表中的数据列出满足的函数关系式，当时，求出的最大值即可.
【详解】设购买的件数为，花费为元，
则，当时，，
当时，，所以最多可购买这种产品件，
故选：C.
2．A
【分析】先根据题中数据代入计算函数中参数的值，然后计算还款比例为时的值即可.
【详解】由题意知，化简得，
故，得.
则当时，，化简得，
两边同时取对数，得，得，
故当实际还款比例为时，小微企业的年收入约为46.49万元.
故选：A
3．B
【分析】令，则，两边同时取对将代入即可得出答案.
【详解】由题可知，函数，
令，则，
两边同时取对可得：，即，
即.
故选：B.
4．B
【分析】由题意，，，由已知数据解出，再由，代入参考数据计算即可.
【详解】据题意，，两式相除可得，
又因为，
故选：B．
5．ACD
【分析】根据题意，列出不等式，根据对数函数的性质解对数不等式即可求解.
【详解】设在第一级阶梯某处的海拔为，则，即.
因为，所以，解得A正确；
由，得.当时，，即，所以，B错误；
设在第二级阶梯某处的海拔为，在第三级阶梯某处的海拔为，
则两式相减可得.
因为，所以，则，即，故均正确.
故选:ACD.
6．ACD
【分析】根据题意建立函数模型，利用指对函数的性质一一计算即可判定选项.
【详解】设抽气泵抽了次，若要使压缩袋内的气体少于原来的，则，
即，则．因为，
所以至少要抽5次，A正确，B错误．
抽气泵第4次抽出了最初压缩袋内气体的，
C正确．
，D正确．
故选：ACD
7．AD
【分析】根据珀松分布的性质即可逐一求解.
【详解】对于A;当时，大肠杆菌就会死亡，当时，大肠杆菌能存活，由 知，当时，，故A对，
对于B;,,
，因为，的正负无法确定，故的大小无法确定，故B错误.
对于C；根据珀松分布的方差可知,但
,故C错误；
对于D;由珀松分布可知，而，故，故D正确.
故选：AD
8．14（答案不唯一）
【分析】根据题意利用函数模型列出不等式即可求得结果.
【详解】设要加水次，，根据题意可得，
解得，
所以要至少加水14次可以使稀释液中药剂浓度低于初始浓度的10%．
故答案为：14（答案不唯一）
9．12
【分析】设每次操作留下的长度为，得到为等比数列，公比为，首项为，求出，
从而得到去掉的所有线段长度总和为，列出不等式，求出答案.
【详解】设每次操作留下的长度为，
则，，且每次操作留下的长度均为上一次操作留下长度的，
所以为等比数列，公比为，首项为，故，
所以经过次这样的操作后，去掉的所有线段长度总和为，
故，即，
两边取对数得：，
因为，所以，则n的最小值为12.
故答案为：12
10．2
【分析】根据题意代入即可求解.
【详解】由题意得，．
故答案为：2
11．(1)（）
(2)（元）
【分析】（1）分别写出和时的利润，表示为分段函数的形式；
（2）由（1）求出的解析式求出利润，再求平均利润即可.
【详解】（1）当时，日利润，
当时，日利润，，
关于的函数解析式为（）.
（2）由题及（1）知，日利润为180元的天数为1，
日利润为240元的天数为3，
日利润为300元的天数为4，
日利润为360元的天数为5，
日利润为420元的天数为6，
日利润为450元的天数为11，
该月的平均日利润为
（元）.
故该西餐店该月这种汉堡的平均日利润为（元）.
12．(1)，
(2)从二月一日开始的第天上市，能使黄瓜纯收益最大
【分析】（1）采用待定系数法假设一次函数和二次函数解析式，代入已知点即可求得结果；
（2）收益为，结合二次函数最值可求得结果.
【详解】（1）当时，设，则，解得：，；
当时，设，则，解得：，；
综上所述：；
设，
，解得：，.
（2）设从二月一日起的第天的纯收益为，由题意知：，
即
当时，，
当时，在区间上取得最大值；
当时，，
当时，在区间上取得最大值；
综上可知：当时，取得最大值，最大值为，
即从二月一日开始的第天上市，能使黄瓜纯收益最大．
【能力篇】
一、单选题
1．（23-24高三上·福建泉州·期末）函数的数据如下表，则该函数的解析式可能形如（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
2．（2024·辽宁·二模）半导体的摩尔定律认为，集成电路芯片上的晶体管数量的倍增期是两年，用表示从开始，晶体管数量随时间变化的函数，若，则下面选项中，符合摩尔定律公式的是（ ）
A．若是以月为单位，则
B．若是以年为单位，则
C．若是以月为单位，则
D．若是以年为单位，则
三、填空题
3．（2022·河南安阳·二模）某景区套票原价300元/人，如果多名游客组团购买套票，则有如下两种优惠方案供选择：方案一：若人数不低于10，则票价打9折；若人数不低于50，则票价打8折；若人数不低于100，则票价打7折.不重复打折.方案二：按原价计算，总金额每满5000元减1000元.已知一个旅游团有47名游客，若可以两种方案搭配使用，则这个旅游团购票总费用的最小值为 元.
四、解答题
4．（2024·四川南充·二模）已知某科技公司的某型号芯片的各项指标经过全面检测后，分为Ⅰ级和Ⅱ级，两种品级芯片的某项指标的频率分布直方图如图所示：
若只利用该指标制定一个标准，需要确定临界值K，按规定须将该指标大于K的产品应用于A型手机，小于或等于K的产品应用于B型手机．若将Ⅰ级品中该指标小于或等于临界值K的芯片错误应用于A型手机会导致芯片生产商每部手机损失800元；若将Ⅱ级品中该指标大于临界值K的芯片错误应用于B型手机会导致芯片生产商每部手机损失400元；假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)设临界值时，将2个不作该指标检测的Ⅰ级品芯片直接应用于A型手机，求芯片生产商的损失（单位：元）的分布列及期望；
(2)设且，现有足够多的芯片Ⅰ级品、Ⅱ级品，分别应用于A型手机、B型手机各1万部的生产：
方案一：将芯片不作该指标检测，Ⅰ级品直接应用于A型手机，Ⅱ级品直接应用于B型手机；
方案二：重新检测该芯片Ⅰ级品，Ⅱ级品的该项指标，并按规定正确应用于手机型号，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需要130万元；
请求出按方案一，芯片生产商损失费用的估计值（单位：万元）的表达式，并从芯片生产商的成本考虑，选择合理的方案．
参考答案：
1．A
【分析】由函数的数据即可得出答案.
【详解】由函数的数据可知，函数，
偶函数满足此性质，可排除B，D；
当时，由函数的数据可知，函数增长越来越快，可排除C.
故选：A.
2．BC
【分析】对AC，计算，满足，，，可确定，对CD，计算，满足，，，可确定．
【详解】选项A，，，A不符合；
选项B，，，，，符合；
选项C，，则，，，，，符合，
选项D，，，
，，不符合．
故选：BC．
3．11710
【分析】由题意分析方案一和方案二的单人票价，可得用方案二先购买34张票，剩余13张用方案一，费用最小，从而可求出其最小值
【详解】方案一：满10人可打9折，则单人票价为270元，
方案二：满5000元减1000元，按原价计算，则满5000元至少凑齐17人，
，则单人票价为，
满10000元时，，则需34人，单人票价为241元，
满15000元时，，人数不足，
因为，
所以用方案二先购买34张票，剩余13不满足方案二，但满足方案一，
所以总费用为（元），
故答案为：11710
4．(1)分布列见解析，
(2)，，方案二
【分析】（1）首先求出Ⅰ级品中该指标小于或等于的频率，依题意的可能取值为，，，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望；
（2）首先求出Ⅰ级品该指标小于或等于临界值的频率，Ⅱ级品中该指标大于或等于临界值K的频率，即可求出损失费用的估计值的解析式，再求出值域，即可判断.
【详解】（1）当临界值时，Ⅰ级品中该指标小于或等于的频率为，
所以将个不作该指标检测的Ⅰ级品芯片直接应用于型手机，每部手机损失元的概率为，
所以芯片生产商的损失的可能取值为，，，
所以，，
，
所以的分布列为：
所以.
（2）当临界值且时，
若采用方案一：
Ⅰ级品中该指标小于或等于临界值的频率为，
所以可以估计部型手机中有部手机芯片应用错误；
Ⅱ级品中该指标大于或等于临界值的频率为，
所以可以估计部型手机中有部手机芯片应用错误；
所以可以估计芯片生产商的损失费用，
即，，
因为，所以，
又采用方案二需要检测费用共万元，
故从芯片生产商的成本考虑，应选择方案二.
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力（战斗单位数）随时间的变化遵循兰彻斯特模型：，其中正实数，分别为红、蓝两方的初始兵力，为战斗时间；，分别为红、蓝两方时刻的兵力；正实数，分别为红方对蓝方、蓝方对红方的战斗效果系数；和分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数．规定：当红、蓝两方任何一方兵力为0时战斗演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为．则下列结论不正确的是（ ）
A．若且，则
B．若且，则
C．若，则红方获得战斗演习胜利
D．若，则红方获得战斗演习胜利
二、多选题
2．（2023·辽宁大连·三模）甲乙两队进行比赛，若双方实力随时间的变化遵循兰彻斯特模型：
其中正实数分别为甲､乙两方初始实力，为比赛时间；分别为甲､乙两方时刻的实力；正实数分别为甲对乙､乙对甲的比赛效果系数.规定当甲､乙两方任何一方实力为0时比赛结束，另一方获得比赛胜利，并记比赛持续时长为.则下列结论正确的是（ ）
A．若且，则
B．若且，则
C．若，则甲比赛胜利
D．若，则甲比赛胜利
三、填空题
3．（2022·北京东城·二模）某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限，劳累程度，劳动动机相关，并建立了数学模型．
已知甲、乙为该公司的员工，给出下列四个结论：
①甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高；
②甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高；
③甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强：
④甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短．则甲比乙劳累程度弱．
其中所有正确结论的序号是 ．
参考答案：
1．C
【分析】对于A根据已知条件利用作差法比较大小即可得出，对于B，利用A中结论可得蓝方兵力先为0，即解得；对于C和D，若要红方获得战斗演习胜利，分别解出红、蓝两方兵力为0时所用时间、，比较大小即可.
【详解】对于A，若且，则，
即，所以，
由可得，即A正确；
对于B，当时根据A中的结论可知，所以蓝方兵力先为，
即，化简可得，
即，两边同时取对数可得，
即，所以战斗持续时长为，所以B正确；
对于C，若红方获得战斗演习胜利，则红方可战斗时间大于蓝方即可，
设红方兵力为时所用时间为，蓝方兵力为时所用时间为，
即，可得
同理可得，即，解得，
又因为都为正实数，所以可得，红方获得战斗演习胜利；
所以可得C错误，D正确.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题给的信息比较多，关键是理解题意，然后利用相应的知识（作差法、指数函数的性质）进行判断.
2．ABD
【分析】计算，A正确，确定，化简得到B正确，甲方获得比赛胜利，则甲方可比赛时间大于乙方即可，计算得到，C错误D正确，得到答案.
【详解】对选项A：若且，则，
所以，由可得，正确；
对选项B：当时根据A中的结论可知，所以乙方实力先为0，
即，化简可得，
即，两边同时取对数可得，
即，即，正确；
对选项C：，若甲方获得比赛胜利，则甲方可比赛时间大于乙方即可，
设甲方实力为0时所用时间为，乙方实力为0时所用时间为，
即，可得，
同理可得，即，解得，
又因为都为正实数，所以可得，甲方获得比赛胜利，错误；
对选项D：根据C知正确；
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题考查了利用函数的性质比较函数值大小，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，利用作差法比较函数值的大小关系是解题的关键.
3．①②④
【分析】利用指数函数的性质，幂函数的性质逐项分析即得.
【详解】设甲与乙的工人工作效率，工作年限，劳累程度，劳动动机，
对于①，，，，，
∴，，
则，
∴，即甲比乙工作效率高，故①正确；
对于②，，，，
∴，，
则，
∴，即甲比乙工作效率高，故②正确；
对于③，，，，，
∴，，
，
所以，即甲比乙劳累程度弱，故③错误；
对于④，，，，
∴，，
∴，
所以，即甲比乙劳累程度弱，故④正确.
故答案为：①②④.
函数
性质
y＝ax
(a>1)
y＝lgax
(a>1)
y＝xn
(n>0)
在(0，＋∞)
上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象
的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值
变化而
各有不同
值的比较
存在一个x0，当x>x0时，有lgax函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
与指数函数相关的模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与对数函数相关的模型
f(x)＝blgax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与幂函数相关的模型
f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)
声源
与声源的距离
声压级
燃油汽车
10
混合动力汽车
10
电动汽车
10
40
物质
τ的量纲单位
τ的值
铀234
万年
35.58
铀235
亿年
10.2
铀238
亿年
64.75
甲
乙
丙
接单量t（单）
7831
8225
8338
油费s（元）
107150
110264
110376
平均每单里程k（公里）
15
15
15
平均每公里油费a（元）
0.7
0.7
0.7
一次购买件数
5-10件
11-50件
51-100件
101-300件
300件以上
每件价格
37元
32元
30元
27元
25元
平均海拔
第一级阶梯
第二级阶梯
第三级阶梯
-2
-1
0
1
2
3
5
2.3
1.1
0.7
1.1
2.3
5.9
49.1