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6.10 平面图形的认识（一）章末九大题型总结（培优篇）（苏科版）（学生版）
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专题6.10 平面图形的认识（一）章末九大题型总结（培优篇）【苏科版】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc11656" 【题型1 直线、射线、线段、角的相关概念辨析】 PAGEREF _Toc11656 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc4141" 【题型2 根据线段间的关系判断结论】 PAGEREF _Toc4141 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc21298" 【题型3 根据线段间的关系求线段长度】 PAGEREF _Toc21298 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc30579" 【题型4 钟表中的角度计算】 PAGEREF _Toc30579 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc30771" 【题型5 根据角与角之间的关系判断结论】 PAGEREF _Toc30771 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc19734" 【题型6 根据角与角之间的关系求角度】 PAGEREF _Toc19734 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc10739" 【题型7 线段中的分类讨论思想问题】 PAGEREF _Toc10739 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc7678" 【题型8 角度中的分类讨论思想问题】 PAGEREF _Toc7678 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc2670" 【题型9 对顶角】 PAGEREF _Toc2670 \h 11【题型1 直线、射线、线段、角的相关概念辨析】【例1】（2023上·河南·七年级河南省实验中学校考期中）下列语句正确的有( )（1）线段AB就是A、B两点间的距离；（2）画射线AB=10cm；（3）A，B两点之间的所有连线中，最短的是线段AB；（4）在直线上取A，B，C三点，若AB=5cm，BC=2cm，则AC=7cm．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1-1】（2023上·黑龙江牡丹江·七年级统考期末）如图，线段条数为m，小于平角的角的个数为n，则n-m的值为（ ）A．4 B．3 C．2 D．1【变式1-2】（2023上·天津北辰·七年级统考期末）如图，辰辰同学根据图形写出了四个结论：①图中有两条直线；②图中有5条线段；③射线AC和射线AD是同一条射线；④直线BD经过点C．其中结论正确的结论是 ．【变式1-3】（2023上·七年级单元测试）如图,已知A、B、C、D四点,根据下列要求画图:(1)画直线AB、射线AD；(2)画∠CDB；(3)找一点P，使点P既在AC上又在BD上.【题型2 根据线段间的关系判断结论】【例2】（2023上·浙江杭州·七年级统考期末）如图，D、E顺次为线段AB上的两点，AB=20，C为AD的中点，则下列选项正确的是（ ）A．若BE-DE=0，则AE-CD=7 B．若BE-DE=2，则AE-CD=7C．若BE-DE=4，则AE-CD=7 D．若BE-DE=6，则AE-CD=7【变式2-1】（2023上·湖北咸宁·七年级统考期末）如图，点C是线段AB上的一个动点（不与A，B重合），点D，E，P分别是线段AC，BC，DE的中点，下列结论：①图中的点D，P，C，E都是动点；②AD>BE；③AB=2DE；④当AC=BC时，点P与点C重合．其中正确的是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）【变式2-2】（2023上·湖北武汉·七年级统考期末）如图所示，B在线段AC上，且BC=3AB，D是线段AB的中点，E是BC的三等分点，则下列结论：①EC=13AE，②DE=5BD，③BE=13AE+BC，④AE=65BC-AD，其中正确结论的有（ ）A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④【变式2-3】（2023上·福建泉州·七年级校联考期末）如图，AB=30，C为射线AB上一点，BC比AC的4倍少20，P，Q两点分别从A，B两点同时出发．分别以2单位/秒和1单位/秒的速度在射线AB上沿AB方向运动，运动时间为t秒，M为BP的中点，N为QM的中点，以下结论：①BC=2AC；②运动过程中，QM的长度保持不变；③AB=4NQ；④当BQ=PB时，t=12，其中正确结论的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【题型3 根据线段间的关系求线段长度】【例3】（2023上·河南省直辖县级单位·七年级校联考期末）如图，已知线段AB=23，BC=15，点M是AC的中点． (1)求线段AM的长；(2)在CB上取一点N，使得CN:NB=2:3，求线段MN的长．【变式3-1】（2023上·河北承德·七年级统考期末）根据题意，补全解题过程．如图，已知点C为线段AB的中点，E为线段AB上一点，且AE:EB=2:5，若EC=3，求线段AB的长度． 解：设AE=2x，∵AE:EB=2:5，∴EB=______，∴AB=AE+______=______，∵C为AB的中点，∴AC=______=______，∴EC=______-AE=______，∵EC=3，∴x=______，∴AB=7x=______．【变式3-2】（2023上·河南南阳·七年级校考期末）如图，线段BD=13AB=14CD，点M、N分别是线段AB、CD的中点，且MN=20cm，求AC的长． 【变式3-3】（2023上·四川成都·七年级统考期末）（1）如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB=12，AC=8，求MN的长； （2）设AB=a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），①如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即AM=13AC，BN=13BC，求MN的长；②若M，N分别是AC，BC的n等分点，即AM=1nAC，BN=1nBC，直接写出MN的值．【题型4 钟表中的角度计算】【例4】（2023上·浙江金华·七年级统考期末）阅读理解：在钟面上，把一周分成12个大格，每个大格分成5个小格，所以每个大格对应的是30°角，每个小格对应的是6°角，时针每分钟转过的角度是0.5度，分针每分针转过的角度是6度．(1)解决问题：当时钟的时刻是8：30时，求此时分针与时针所夹的锐角的度数．(2)8：00开始几分钟后分针第一次追上时针．(3)设在8：00时，分针的位置为OA，时针的位置为OB，运动后的分针为OP，时针为OQ．问：在8：00~9：00之间，从8：00开始运动几分钟，OB，OP，OQ这三条射线，其中一条射线是另外两条射线所夹的角的平分线？【变式4-1】（2023上·福建宁德·七年级统考期末）如图，钟表的秒针因故障停滞不动，时针与分针正常运行．小晶发现3点整时，秒针正好是时针与分针夹角的角平分线，经过m分钟后，秒针又一次成为时针与分针夹角的角平分线，则m的最小值是 ． 【变式4-2】（2023上·江苏镇江·七年级统考期末）七年级学生小聪和小明完成了数学实验《钟面上的数学》后，制作了一个模拟钟面，如图所示，点O为模拟钟面的圆心，M、O、N在一条直线上，指针OA、OB分别从OM、ON出发绕点O转动，OA顺时针转动，OB逆时针转动，OA运动速度为每秒转动15°，OB运动速度为每秒转动5°，设转动的时间为t秒（t>0），请你试着解决他们提出的下列问题：(1)当t=3秒时，求∠AOB的度数；(2)当OA与OB第三次重合时，求∠BOM的度数；(3)在OA与OB第四次重合前，当t=___________时，直线MN平分∠AOB．【变式4-3】（2023上·山东济南·七年级统考期末）如图1，已知∠AOB＝60°，OM平分∠AOB．(1)∠BOM＝________；(2)若在图1中画射线OC，使得∠BOC＝20°，ON平分∠BOC，求∠MON的大小；(3)如图2，若线段OA与OB分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，∠AOB＝60°，在时针与分针转动过程中，OM始终平分∠AOB，则经过多少分钟后，∠BOM的度数第一次等于50°．【题型5 根据角与角之间的关系判断结论】【例5】（2023上·湖北襄阳·七年级统考期末）如图，OB在∠AOC内部，且∠BOC=3∠AOB，OD是∠AOB的平分线，∠BOC=3∠COE，则下列结论：①∠EOC=13∠AOE；②∠DOE=5∠BOD；③∠BOE=12∠AOE+∠BOC；④∠AOE=65∠BOC-∠AOD．其中正确结论有 （写序号）． 【变式5-1】（2023上·江苏苏州·七年级校联考期末）如图，已知∠AOB=∠BOC=∠COD，下列结论中错误的是（ ）A．OB、OC分别平分∠AOC、∠BODB．∠AOD=∠AOB+∠AOCC．∠BOC=12∠AOD-∠AOBD．∠COD=12(∠AOD-∠BOC)【变式5-2】（2023上·贵州铜仁·七年级统考期末）如图，已知O为直线AB上一点，将直角三角板MON的直角顶点放在点O处，若OC是∠MOB的平分线，则下列结论正确的是（ ）∠AOM=3∠NOC B．∠AOM=2∠NOC C．2∠AOM=3∠NOC D．3∠AOM=5∠NOC【变式5-3】（2023上·福建福州·七年级统考期末）如图，已知射线OC在∠AOB内部，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，OF平分∠AOB，现给出以下4个结论：①∠DOE=∠AOF；②2∠DOF=∠AOF-∠COF；③∠AOD=∠BOC；④∠EOF=12∠COF+∠BOF其中正确的结论有（填写所有正确结论的序号） ．【题型6 根据角与角之间的关系求角度】【例6】（2023上·黑龙江大庆·七年级校考期末）已知∠AOB=120°，从∠AOB的顶点O引出一条射线OC，射线OC在∠AOB的内部，将射线OC绕点O逆时针旋转60°形成∠COD． (1)如图1，若∠AOD=90°，比较∠AOC和∠BOD的大小，并说明理由；(2)作射线OE，射线OE为∠AOD的平分线，设∠AOC=α．①如图2，当0°<α<60°，若射线OC恰好平分∠AOE，求∠BOD的度数；②当α≠60°时，请探究∠EOC与∠BOD之间的数量关系．【变式6-1】（2023上·辽宁大连·七年级统考期末）如图，OE平分∠BOD，∠AOB=90°，∠COD=110°，∠AOD=40°，求∠COE的度数．【变式6-2】（2023下·山东泰安·七年级统考期末）点O为直线AB上一点，在直线AB同侧任作射线OC，OD，使得∠COD=90∘． (1)如图1，过点O作射线OE，使OE平分∠AOC，当∠COE=25∘时，∠BOD的度数为多少？(2)如图2，过点O作射线OE，当OE恰好为∠AOD的角平分线时，求出∠BOD与∠COE的数量关系．【变式6-3】（2023上·河南南阳·七年级统考期末）阅读材料并回答问题．数学课上，老师提出了如下问题：已知点O在直线AB上，∠COE=90°，在同一平面内，过点O作射线OD，满足∠AOC=2∠AOD．当∠BOC=40°时，如图1所示，求∠DOE的度数． 甲同学：以下是我的解答过程（部分空缺）解：如图2，∵点O在直线AB上，∴∠AOB= °，∵∠BOC=40°，∴∠AOC= °，∵∠AOC=2∠AOD，∴OD平分∠AOC，∴∠COD=12∠AOC= °，∵∠DOE=∠COD+∠COE，∠COE=90°，∴∠DOE= °．乙同学：“我认为还有一种情况．”请完成以下问题：(1)请将甲同学解答过程中空缺的部分补充完整．(2)判断乙同学的说法是否正确，若正确，请在图1中画出另一种情况对应的图形，并求∠DOE的度数，写出解答过程；若不正确，请说明理由．(3)将题目中“∠BOC=40°”的条件改成“∠BOC=α”，其余条件不变，当α在90°到180°之间变化时，如图3所示，α为何值时，∠COD=∠BOE成立？请直接写出此时α的值．【题型7 线段中的分类讨论思想问题】【例7】（2023上·江西吉安·七年级校考期末）在同一直线上有A,B,C,D不重合的四个点，AB=8,BC=3,CD=5，则AD的长为 ．【变式7-1】（2023上·山西晋城·七年级统考期末）如图，点C是线段AB的中点，点D是线段CB的中点，且AB=9cm． (1)图中共有___________条线段；(2)求AD的长；(3)若点E在直线AB上，且EA=3cm，直接写出DE的长．【变式7-2】（2023上·湖北武汉·七年级校考期末）已知，直线l上线段AB=6、线段CD=2(点A在点B的左侧，点C在点D的左侧)．(1)若线段BC=1，则线段AD= ；(2)如图2，点P、Q分别为AD、BC的中点，求线段PQ的长度；(3)若线段CD从点B开始以1个单位/秒的速度向右运动，同时，点M从点A开始以2个单位/秒的速度向右运动，点N是线段BD的中点，若MN=2DN，求线段CD运动的时间．【变式7-3】（2023上·河北张家口·七年级统考期末）如图，有公共端点C的两条线段AC，BC组成一条折线A-C-B，若该折线A-C-B上一点D把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点D叫做这条折线的“折中点”． （1）若AC=BC，点D与 重合（填A、B、C）；（2）若E为线段AC中点，EC=5cm，CD=2cm，则BC的长为 ．【题型8 角度中的分类讨论思想问题】【例8】（2023上·河北唐山·七年级统考期末）如图，点O为直线AB上一点，∠BOC=40°，OD平分∠AOC． (1)求∠AOD的度数；(2)作射线OE，使∠BOE=23∠COE，求∠COE的度数；(3)在（2）的条件下，作∠FOH=90°，使射线OH在∠BOE的内部，若∠DOF=3∠BOH，∠COE>90°直接写出∠AOH的度数．【变式8-1】（2023下·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）已知∠AOB=18°，∠AOC=3∠AOB，则∠BOC的度数是 ．【变式8-2】（2023上·广东肇庆·七年级统考期末）在同一平面内，∠AOB=90°，∠AOC=25°，∠COD=50°，∠BOD>15°，求∠BOD的度数．【变式8-3】（2023上·广东珠海·七年级统考期末）已知O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC． (1)在图1中，若∠AOC=28°，求∠DOE的度数；(2)在图1中，若∠AOC=α，求∠DOE的度数（用含α的代数式表示）；(3)将图1中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，且保持射线OC在直线AB上方，在整个旋转过程中，当∠AOC的度数是多少时，∠COE=32∠DOB？【题型9 对顶角】【例9】（2023下·陕西渭南·七年级统考期末）如图，直线AB和CD相交于点O，OE把∠AOC分成两部分，且∠AOE∶∠EOC=1∶2，OF平分∠BOE．(1)∠BOD的对顶角为 ，∠AOE的邻补角为 ；(2)若∠BOD=69°，求∠BOF度数．【变式9-1】（2023下·上海虹口·七年级上外附中校考期末）若∠1的对顶角是∠2，∠2的邻补角是∠3，∠3的余角是∠4，若∠4=55°，则∠1＝ °．【变式9-2】（2023下·安徽淮北·七年级校联考期末）观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）、邻补角．(1)如图1，共有___________对对顶角，____________对邻补角；(2)如图2，共有___________对对顶角，____________对邻补角；(3)如图3，共有___________对对顶角，____________对邻补角；(4)根据（1）-（3）中直线的条数与对顶角、邻补角的对数之间的关系，探究：若有n条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？多少对邻补角？【变式9-3】（2022下·云南曲靖·七年级统考期末）直线AB,CD相交于点O，OF⊥CD于点O，作射线OE，且OC在∠AOE的内部．(1)①当OE、OF在如图1所示位置时，若∠BOD=20°,∠BOE=130°，求∠EOF的度数；②当OE、OF在如图2所示位置时，若OF平分∠BOE，证明：OC平分∠AOE；(2)若∠AOF=2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．
专题6.10 平面图形的认识（一）章末九大题型总结（培优篇）【苏科版】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc11656" 【题型1 直线、射线、线段、角的相关概念辨析】 PAGEREF _Toc11656 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc4141" 【题型2 根据线段间的关系判断结论】 PAGEREF _Toc4141 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc21298" 【题型3 根据线段间的关系求线段长度】 PAGEREF _Toc21298 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc30579" 【题型4 钟表中的角度计算】 PAGEREF _Toc30579 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc30771" 【题型5 根据角与角之间的关系判断结论】 PAGEREF _Toc30771 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc19734" 【题型6 根据角与角之间的关系求角度】 PAGEREF _Toc19734 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc10739" 【题型7 线段中的分类讨论思想问题】 PAGEREF _Toc10739 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc7678" 【题型8 角度中的分类讨论思想问题】 PAGEREF _Toc7678 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc2670" 【题型9 对顶角】 PAGEREF _Toc2670 \h 11【题型1 直线、射线、线段、角的相关概念辨析】【例1】（2023上·河南·七年级河南省实验中学校考期中）下列语句正确的有( )（1）线段AB就是A、B两点间的距离；（2）画射线AB=10cm；（3）A，B两点之间的所有连线中，最短的是线段AB；（4）在直线上取A，B，C三点，若AB=5cm，BC=2cm，则AC=7cm．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1-1】（2023上·黑龙江牡丹江·七年级统考期末）如图，线段条数为m，小于平角的角的个数为n，则n-m的值为（ ）A．4 B．3 C．2 D．1【变式1-2】（2023上·天津北辰·七年级统考期末）如图，辰辰同学根据图形写出了四个结论：①图中有两条直线；②图中有5条线段；③射线AC和射线AD是同一条射线；④直线BD经过点C．其中结论正确的结论是 ．【变式1-3】（2023上·七年级单元测试）如图,已知A、B、C、D四点,根据下列要求画图:(1)画直线AB、射线AD；(2)画∠CDB；(3)找一点P，使点P既在AC上又在BD上.【题型2 根据线段间的关系判断结论】【例2】（2023上·浙江杭州·七年级统考期末）如图，D、E顺次为线段AB上的两点，AB=20，C为AD的中点，则下列选项正确的是（ ）A．若BE-DE=0，则AE-CD=7 B．若BE-DE=2，则AE-CD=7C．若BE-DE=4，则AE-CD=7 D．若BE-DE=6，则AE-CD=7【变式2-1】（2023上·湖北咸宁·七年级统考期末）如图，点C是线段AB上的一个动点（不与A，B重合），点D，E，P分别是线段AC，BC，DE的中点，下列结论：①图中的点D，P，C，E都是动点；②AD>BE；③AB=2DE；④当AC=BC时，点P与点C重合．其中正确的是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）【变式2-2】（2023上·湖北武汉·七年级统考期末）如图所示，B在线段AC上，且BC=3AB，D是线段AB的中点，E是BC的三等分点，则下列结论：①EC=13AE，②DE=5BD，③BE=13AE+BC，④AE=65BC-AD，其中正确结论的有（ ）A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④【变式2-3】（2023上·福建泉州·七年级校联考期末）如图，AB=30，C为射线AB上一点，BC比AC的4倍少20，P，Q两点分别从A，B两点同时出发．分别以2单位/秒和1单位/秒的速度在射线AB上沿AB方向运动，运动时间为t秒，M为BP的中点，N为QM的中点，以下结论：①BC=2AC；②运动过程中，QM的长度保持不变；③AB=4NQ；④当BQ=PB时，t=12，其中正确结论的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【题型3 根据线段间的关系求线段长度】【例3】（2023上·河南省直辖县级单位·七年级校联考期末）如图，已知线段AB=23，BC=15，点M是AC的中点． (1)求线段AM的长；(2)在CB上取一点N，使得CN:NB=2:3，求线段MN的长．【变式3-1】（2023上·河北承德·七年级统考期末）根据题意，补全解题过程．如图，已知点C为线段AB的中点，E为线段AB上一点，且AE:EB=2:5，若EC=3，求线段AB的长度． 解：设AE=2x，∵AE:EB=2:5，∴EB=______，∴AB=AE+______=______，∵C为AB的中点，∴AC=______=______，∴EC=______-AE=______，∵EC=3，∴x=______，∴AB=7x=______．【变式3-2】（2023上·河南南阳·七年级校考期末）如图，线段BD=13AB=14CD，点M、N分别是线段AB、CD的中点，且MN=20cm，求AC的长． 【变式3-3】（2023上·四川成都·七年级统考期末）（1）如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB=12，AC=8，求MN的长； （2）设AB=a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），①如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即AM=13AC，BN=13BC，求MN的长；②若M，N分别是AC，BC的n等分点，即AM=1nAC，BN=1nBC，直接写出MN的值．【题型4 钟表中的角度计算】【例4】（2023上·浙江金华·七年级统考期末）阅读理解：在钟面上，把一周分成12个大格，每个大格分成5个小格，所以每个大格对应的是30°角，每个小格对应的是6°角，时针每分钟转过的角度是0.5度，分针每分针转过的角度是6度．(1)解决问题：当时钟的时刻是8：30时，求此时分针与时针所夹的锐角的度数．(2)8：00开始几分钟后分针第一次追上时针．(3)设在8：00时，分针的位置为OA，时针的位置为OB，运动后的分针为OP，时针为OQ．问：在8：00~9：00之间，从8：00开始运动几分钟，OB，OP，OQ这三条射线，其中一条射线是另外两条射线所夹的角的平分线？【变式4-1】（2023上·福建宁德·七年级统考期末）如图，钟表的秒针因故障停滞不动，时针与分针正常运行．小晶发现3点整时，秒针正好是时针与分针夹角的角平分线，经过m分钟后，秒针又一次成为时针与分针夹角的角平分线，则m的最小值是 ． 【变式4-2】（2023上·江苏镇江·七年级统考期末）七年级学生小聪和小明完成了数学实验《钟面上的数学》后，制作了一个模拟钟面，如图所示，点O为模拟钟面的圆心，M、O、N在一条直线上，指针OA、OB分别从OM、ON出发绕点O转动，OA顺时针转动，OB逆时针转动，OA运动速度为每秒转动15°，OB运动速度为每秒转动5°，设转动的时间为t秒（t>0），请你试着解决他们提出的下列问题：(1)当t=3秒时，求∠AOB的度数；(2)当OA与OB第三次重合时，求∠BOM的度数；(3)在OA与OB第四次重合前，当t=___________时，直线MN平分∠AOB．【变式4-3】（2023上·山东济南·七年级统考期末）如图1，已知∠AOB＝60°，OM平分∠AOB．(1)∠BOM＝________；(2)若在图1中画射线OC，使得∠BOC＝20°，ON平分∠BOC，求∠MON的大小；(3)如图2，若线段OA与OB分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，∠AOB＝60°，在时针与分针转动过程中，OM始终平分∠AOB，则经过多少分钟后，∠BOM的度数第一次等于50°．【题型5 根据角与角之间的关系判断结论】【例5】（2023上·湖北襄阳·七年级统考期末）如图，OB在∠AOC内部，且∠BOC=3∠AOB，OD是∠AOB的平分线，∠BOC=3∠COE，则下列结论：①∠EOC=13∠AOE；②∠DOE=5∠BOD；③∠BOE=12∠AOE+∠BOC；④∠AOE=65∠BOC-∠AOD．其中正确结论有 （写序号）． 【变式5-1】（2023上·江苏苏州·七年级校联考期末）如图，已知∠AOB=∠BOC=∠COD，下列结论中错误的是（ ）A．OB、OC分别平分∠AOC、∠BODB．∠AOD=∠AOB+∠AOCC．∠BOC=12∠AOD-∠AOBD．∠COD=12(∠AOD-∠BOC)【变式5-2】（2023上·贵州铜仁·七年级统考期末）如图，已知O为直线AB上一点，将直角三角板MON的直角顶点放在点O处，若OC是∠MOB的平分线，则下列结论正确的是（ ）∠AOM=3∠NOC B．∠AOM=2∠NOC C．2∠AOM=3∠NOC D．3∠AOM=5∠NOC【变式5-3】（2023上·福建福州·七年级统考期末）如图，已知射线OC在∠AOB内部，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，OF平分∠AOB，现给出以下4个结论：①∠DOE=∠AOF；②2∠DOF=∠AOF-∠COF；③∠AOD=∠BOC；④∠EOF=12∠COF+∠BOF其中正确的结论有（填写所有正确结论的序号） ．【题型6 根据角与角之间的关系求角度】【例6】（2023上·黑龙江大庆·七年级校考期末）已知∠AOB=120°，从∠AOB的顶点O引出一条射线OC，射线OC在∠AOB的内部，将射线OC绕点O逆时针旋转60°形成∠COD． (1)如图1，若∠AOD=90°，比较∠AOC和∠BOD的大小，并说明理由；(2)作射线OE，射线OE为∠AOD的平分线，设∠AOC=α．①如图2，当0°<α<60°，若射线OC恰好平分∠AOE，求∠BOD的度数；②当α≠60°时，请探究∠EOC与∠BOD之间的数量关系．【变式6-1】（2023上·辽宁大连·七年级统考期末）如图，OE平分∠BOD，∠AOB=90°，∠COD=110°，∠AOD=40°，求∠COE的度数．【变式6-2】（2023下·山东泰安·七年级统考期末）点O为直线AB上一点，在直线AB同侧任作射线OC，OD，使得∠COD=90∘． (1)如图1，过点O作射线OE，使OE平分∠AOC，当∠COE=25∘时，∠BOD的度数为多少？(2)如图2，过点O作射线OE，当OE恰好为∠AOD的角平分线时，求出∠BOD与∠COE的数量关系．【变式6-3】（2023上·河南南阳·七年级统考期末）阅读材料并回答问题．数学课上，老师提出了如下问题：已知点O在直线AB上，∠COE=90°，在同一平面内，过点O作射线OD，满足∠AOC=2∠AOD．当∠BOC=40°时，如图1所示，求∠DOE的度数． 甲同学：以下是我的解答过程（部分空缺）解：如图2，∵点O在直线AB上，∴∠AOB= °，∵∠BOC=40°，∴∠AOC= °，∵∠AOC=2∠AOD，∴OD平分∠AOC，∴∠COD=12∠AOC= °，∵∠DOE=∠COD+∠COE，∠COE=90°，∴∠DOE= °．乙同学：“我认为还有一种情况．”请完成以下问题：(1)请将甲同学解答过程中空缺的部分补充完整．(2)判断乙同学的说法是否正确，若正确，请在图1中画出另一种情况对应的图形，并求∠DOE的度数，写出解答过程；若不正确，请说明理由．(3)将题目中“∠BOC=40°”的条件改成“∠BOC=α”，其余条件不变，当α在90°到180°之间变化时，如图3所示，α为何值时，∠COD=∠BOE成立？请直接写出此时α的值．【题型7 线段中的分类讨论思想问题】【例7】（2023上·江西吉安·七年级校考期末）在同一直线上有A,B,C,D不重合的四个点，AB=8,BC=3,CD=5，则AD的长为 ．【变式7-1】（2023上·山西晋城·七年级统考期末）如图，点C是线段AB的中点，点D是线段CB的中点，且AB=9cm． (1)图中共有___________条线段；(2)求AD的长；(3)若点E在直线AB上，且EA=3cm，直接写出DE的长．【变式7-2】（2023上·湖北武汉·七年级校考期末）已知，直线l上线段AB=6、线段CD=2(点A在点B的左侧，点C在点D的左侧)．(1)若线段BC=1，则线段AD= ；(2)如图2，点P、Q分别为AD、BC的中点，求线段PQ的长度；(3)若线段CD从点B开始以1个单位/秒的速度向右运动，同时，点M从点A开始以2个单位/秒的速度向右运动，点N是线段BD的中点，若MN=2DN，求线段CD运动的时间．【变式7-3】（2023上·河北张家口·七年级统考期末）如图，有公共端点C的两条线段AC，BC组成一条折线A-C-B，若该折线A-C-B上一点D把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点D叫做这条折线的“折中点”． （1）若AC=BC，点D与 重合（填A、B、C）；（2）若E为线段AC中点，EC=5cm，CD=2cm，则BC的长为 ．【题型8 角度中的分类讨论思想问题】【例8】（2023上·河北唐山·七年级统考期末）如图，点O为直线AB上一点，∠BOC=40°，OD平分∠AOC． (1)求∠AOD的度数；(2)作射线OE，使∠BOE=23∠COE，求∠COE的度数；(3)在（2）的条件下，作∠FOH=90°，使射线OH在∠BOE的内部，若∠DOF=3∠BOH，∠COE>90°直接写出∠AOH的度数．【变式8-1】（2023下·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）已知∠AOB=18°，∠AOC=3∠AOB，则∠BOC的度数是 ．【变式8-2】（2023上·广东肇庆·七年级统考期末）在同一平面内，∠AOB=90°，∠AOC=25°，∠COD=50°，∠BOD>15°，求∠BOD的度数．【变式8-3】（2023上·广东珠海·七年级统考期末）已知O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC． (1)在图1中，若∠AOC=28°，求∠DOE的度数；(2)在图1中，若∠AOC=α，求∠DOE的度数（用含α的代数式表示）；(3)将图1中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，且保持射线OC在直线AB上方，在整个旋转过程中，当∠AOC的度数是多少时，∠COE=32∠DOB？【题型9 对顶角】【例9】（2023下·陕西渭南·七年级统考期末）如图，直线AB和CD相交于点O，OE把∠AOC分成两部分，且∠AOE∶∠EOC=1∶2，OF平分∠BOE．(1)∠BOD的对顶角为 ，∠AOE的邻补角为 ；(2)若∠BOD=69°，求∠BOF度数．【变式9-1】（2023下·上海虹口·七年级上外附中校考期末）若∠1的对顶角是∠2，∠2的邻补角是∠3，∠3的余角是∠4，若∠4=55°，则∠1＝ °．【变式9-2】（2023下·安徽淮北·七年级校联考期末）观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）、邻补角．(1)如图1，共有___________对对顶角，____________对邻补角；(2)如图2，共有___________对对顶角，____________对邻补角；(3)如图3，共有___________对对顶角，____________对邻补角；(4)根据（1）-（3）中直线的条数与对顶角、邻补角的对数之间的关系，探究：若有n条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？多少对邻补角？【变式9-3】（2022下·云南曲靖·七年级统考期末）直线AB,CD相交于点O，OF⊥CD于点O，作射线OE，且OC在∠AOE的内部．(1)①当OE、OF在如图1所示位置时，若∠BOD=20°,∠BOE=130°，求∠EOF的度数；②当OE、OF在如图2所示位置时，若OF平分∠BOE，证明：OC平分∠AOE；(2)若∠AOF=2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．
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