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青岛版初中八年级数学上册专项素养综合练(一)与全等三角形相关的四大模型课件
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这是一份青岛版初中八年级数学上册专项素养综合练(一)与全等三角形相关的四大模型课件，共20页。
专项素养综合全练(一)与全等三角形相关的四大模型类型一 一线三等角模型1.(2024湖南株洲二中期中)如图,D、E、F分别为△ABC的边 AC、AB、BC上的点,∠A=∠1=∠C,DE=DF,下面的结论一 定成立的是 ( ) A.AE=FC B.AE=DE C.AE+FC=AC D.AD+FC=ABC解析 因为∠CDE=∠1+∠CDF=∠A+∠AED,∠A=∠1,所以 ∠CDF=∠AED.在△ADE和△CFD中, 所以△ADE≌△CFD(AAS),所以AE=CD,AD=CF,所以AE+FC= CD+AD=AC,故选C.2.(2023浙江杭州外国语学校期中)如图,在△ABC中,∠BAC= 90°,AB=AC,AE是经过点A的一条直线,且B,C在AE的两侧,BD ⊥AE于D,CE⊥AE于E,CE=2,BD=6,则DE的长为 ( ) A.2 B.3 C.5 D.4D解析 因为BD⊥AE,CE⊥AE,所以∠ADB=∠CEA=90°,所以 ∠BAD=90°-∠ABD,因为∠BAC=90°,所以∠CAE+∠BAD=90°,即∠BAD=90°-∠CAE,所以∠ABD=∠CAE.又∠ADB=∠CEA,AB=CA,所以△ABD≌△CAE,所以BD=AE,AD=CE.所以DE=AE-AD=BD-CE=6-2=4.故选D.3.课间,小明拿着老师的等腰直角三角尺玩,不小心三角尺掉 到两堆砖块之间,如图所示,AD⊥DE,BE⊥DE.(1)求证:△ADC≌△CEB.(2)已知DE=35 cm,请你帮小明求出一块砖的厚度a(每块砖的 厚度相同). 解析 (1)证明:由题意得AC=BC,∠ACB=90°,∵AD⊥DE,BE⊥DE,∴∠ADC=∠CEB=90°,∵∠ACD+∠BCE=90°,∠ACD+∠DAC=90°,∴∠BCE=∠DAC.在△ADC和△CEB中, ∴△ADC≌△CEB(AAS).(2)∵一块砖的厚度为a,∴AD=4a,BE=3a,由(1)得△ADC≌△CEB,∴DC=BE=3a,AD=CE=4a,∴DE=DC+CE=3a+4a=7a=35 cm,∴a=5 cm.答:一块砖的厚度为5 cm.类型二 手拉手模型4.(2024湖南株洲二中期中)已知:如图,在△ABC、△ADE中, ∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,点C、D、E在同一直线 上,连接BD.(1)求证:△BAD≌△CAE.(2)请判断BD、CE有何数量、位置关系,并证明.解析 (1)证明:因为∠BAC=∠DAE=90°,所以∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD,所以∠BAD=∠CAE.在△BAD和△CAE中, 所以△BAD≌△CAE(SAS).(2)BD=CE,BD⊥CE,证明如下:由(1)知△BAD≌△CAE,所以BD=CE,∠ABD=∠ACE.因为∠BAC=90°,AB=AC,所以∠ABC=∠ACB=45°,所以∠ABD+∠DBC=45°,所以∠ACE+∠DBC=45°,所以∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°,所以∠BDC=90°,即BD⊥CE.类型三 半角模型5.在四边形ABDC中,∠B=∠C=90°,DB=DC,∠BDC=120°,以D 为顶点作一个60°角,角的两边分别交AB、AC于E、F两点, 连接EF,探索线段BE、CF、EF之间的数量关系,并加以证 明. 解析 结论:EF=BE+CF.证明如下:如图,延长AB到M,使BM=CF, 因为∠ABD=90°,所以∠MBD=90°,因为∠C=90°,所以∠MBD=∠C.在△BDM与△CDF中, 所以△BDM≌△CDF(SAS),所以DM=DF,∠BDM=∠CDF,所以∠EDM=∠EDB+∠BDM=∠EDB+∠CDF=∠CDB-∠ EDF=120°-60°=60°,所以∠EDM=∠EDF.在△DEM与△DEF中, 所以△DEM≌△DEF(SAS),所以EF=EM,因为EM=BE+BM=BE+CF,所以EF=BE+CF.类型四 对角互补模型6.(1)问题情境:如图1,∠AOB=90°,OC平分∠AOB,把三角尺 的直角顶点放在OC的任意一点P上,并使三角尺的两条直角 边分别与OA、OB相交于点E、F,PF与PE相等吗?请你给出 证明.(2)变式拓展:如图2,已知∠AOB=120°,OC平分∠AOB,P是OC 上一点,∠EPF=60°,PE与OA相交于点E,PF与射线OB的反向 延长线相交于点F,PE与PF还相等吗?为什么?图1 图2解析 (1)相等.证明:过点P作PM⊥OB于M,PN⊥OA于N,如图, 所以∠PMO=∠PMF=∠PNO=90°.因为OC平分∠AOB,所以∠POM=∠PON.在△POM和△PON中, 所以△POM≌△PON(AAS),所以PM=PN.因为∠PMO=∠PNO=∠MON=90°,所以∠MPN=360°-3×90°=90°,因为∠MPN=∠EPF=90°,所以∠MPF=∠NPE.在△PMF和△PNE中, 所以△PMF≌△PNE(ASA),所以PF=PE.(2)相等.理由如下:如图,过点P作PM⊥OB于M,PN⊥OA于N,∴∠PMF=∠PNE=∠PNO=90°.同(1)可得△POM≌△PON(AAS),所以PM=PN.因为∠PMO=∠PNO=90°,∠MON=120°,所以∠MPN=360°-2×90°-120°=60°,因为∠MPN=∠EPF=60°,所以∠MPF=∠NPE.在△PMF和△PNE中, 所以△PMF≌△PNE(ASA),所以PF=PE.
专项素养综合全练(一)与全等三角形相关的四大模型类型一 一线三等角模型1.(2024湖南株洲二中期中)如图,D、E、F分别为△ABC的边 AC、AB、BC上的点,∠A=∠1=∠C,DE=DF,下面的结论一 定成立的是 ( ) A.AE=FC B.AE=DE C.AE+FC=AC D.AD+FC=ABC解析 因为∠CDE=∠1+∠CDF=∠A+∠AED,∠A=∠1,所以 ∠CDF=∠AED.在△ADE和△CFD中, 所以△ADE≌△CFD(AAS),所以AE=CD,AD=CF,所以AE+FC= CD+AD=AC,故选C.2.(2023浙江杭州外国语学校期中)如图,在△ABC中,∠BAC= 90°,AB=AC,AE是经过点A的一条直线,且B,C在AE的两侧,BD ⊥AE于D,CE⊥AE于E,CE=2,BD=6,则DE的长为 ( ) A.2 B.3 C.5 D.4D解析 因为BD⊥AE,CE⊥AE,所以∠ADB=∠CEA=90°,所以 ∠BAD=90°-∠ABD,因为∠BAC=90°,所以∠CAE+∠BAD=90°,即∠BAD=90°-∠CAE,所以∠ABD=∠CAE.又∠ADB=∠CEA,AB=CA,所以△ABD≌△CAE,所以BD=AE,AD=CE.所以DE=AE-AD=BD-CE=6-2=4.故选D.3.课间,小明拿着老师的等腰直角三角尺玩,不小心三角尺掉 到两堆砖块之间,如图所示,AD⊥DE,BE⊥DE.(1)求证:△ADC≌△CEB.(2)已知DE=35 cm,请你帮小明求出一块砖的厚度a(每块砖的 厚度相同). 解析 (1)证明:由题意得AC=BC,∠ACB=90°,∵AD⊥DE,BE⊥DE,∴∠ADC=∠CEB=90°,∵∠ACD+∠BCE=90°,∠ACD+∠DAC=90°,∴∠BCE=∠DAC.在△ADC和△CEB中, ∴△ADC≌△CEB(AAS).(2)∵一块砖的厚度为a,∴AD=4a,BE=3a,由(1)得△ADC≌△CEB,∴DC=BE=3a,AD=CE=4a,∴DE=DC+CE=3a+4a=7a=35 cm,∴a=5 cm.答:一块砖的厚度为5 cm.类型二 手拉手模型4.(2024湖南株洲二中期中)已知:如图,在△ABC、△ADE中, ∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,点C、D、E在同一直线 上,连接BD.(1)求证:△BAD≌△CAE.(2)请判断BD、CE有何数量、位置关系,并证明.解析 (1)证明:因为∠BAC=∠DAE=90°,所以∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD,所以∠BAD=∠CAE.在△BAD和△CAE中, 所以△BAD≌△CAE(SAS).(2)BD=CE,BD⊥CE,证明如下:由(1)知△BAD≌△CAE,所以BD=CE,∠ABD=∠ACE.因为∠BAC=90°,AB=AC,所以∠ABC=∠ACB=45°,所以∠ABD+∠DBC=45°,所以∠ACE+∠DBC=45°,所以∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°,所以∠BDC=90°,即BD⊥CE.类型三 半角模型5.在四边形ABDC中,∠B=∠C=90°,DB=DC,∠BDC=120°,以D 为顶点作一个60°角,角的两边分别交AB、AC于E、F两点, 连接EF,探索线段BE、CF、EF之间的数量关系,并加以证 明. 解析 结论:EF=BE+CF.证明如下:如图,延长AB到M,使BM=CF, 因为∠ABD=90°,所以∠MBD=90°,因为∠C=90°,所以∠MBD=∠C.在△BDM与△CDF中, 所以△BDM≌△CDF(SAS),所以DM=DF,∠BDM=∠CDF,所以∠EDM=∠EDB+∠BDM=∠EDB+∠CDF=∠CDB-∠ EDF=120°-60°=60°,所以∠EDM=∠EDF.在△DEM与△DEF中, 所以△DEM≌△DEF(SAS),所以EF=EM,因为EM=BE+BM=BE+CF,所以EF=BE+CF.类型四 对角互补模型6.(1)问题情境:如图1,∠AOB=90°,OC平分∠AOB,把三角尺 的直角顶点放在OC的任意一点P上,并使三角尺的两条直角 边分别与OA、OB相交于点E、F,PF与PE相等吗?请你给出 证明.(2)变式拓展:如图2,已知∠AOB=120°,OC平分∠AOB,P是OC 上一点,∠EPF=60°,PE与OA相交于点E,PF与射线OB的反向 延长线相交于点F,PE与PF还相等吗?为什么?图1 图2解析 (1)相等.证明:过点P作PM⊥OB于M,PN⊥OA于N,如图, 所以∠PMO=∠PMF=∠PNO=90°.因为OC平分∠AOB,所以∠POM=∠PON.在△POM和△PON中, 所以△POM≌△PON(AAS),所以PM=PN.因为∠PMO=∠PNO=∠MON=90°,所以∠MPN=360°-3×90°=90°,因为∠MPN=∠EPF=90°,所以∠MPF=∠NPE.在△PMF和△PNE中, 所以△PMF≌△PNE(ASA),所以PF=PE.(2)相等.理由如下:如图,过点P作PM⊥OB于M,PN⊥OA于N,∴∠PMF=∠PNE=∠PNO=90°.同(1)可得△POM≌△PON(AAS),所以PM=PN.因为∠PMO=∠PNO=90°,∠MON=120°,所以∠MPN=360°-2×90°-120°=60°,因为∠MPN=∠EPF=60°,所以∠MPF=∠NPE.在△PMF和△PNE中, 所以△PMF≌△PNE(ASA),所以PF=PE.
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