2025年高考数学一轮复习-第一章-第二节 常用逻辑用语-课时作业【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-第一章-第二节 常用逻辑用语-课时作业【含解析】，共9页。

1.命题p：∃m∈R，方程x2＋mx＋1＝0有实根，则¬p是（ ）
A.∃m∈R，方程x2＋mx＋1＝0无实根
B.∀m∈R，方程x2＋mx＋1＝0无实根
C.∀m∈R，方程x2＋mx＋1＝0有实根
D.至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实根
2.若命题p：对任意的x∈R，都有x3－x2＋1＜0，则¬p为（ ）
A.不存在x∈R，使得x3－x2＋1＜0
B.存在x∈R，使得x3－x2＋1＜0
C.对任意的x∈R，都有x3－x2＋1≥0
D.存在x∈R，使得x3－x2＋1≥0
3.（2024·天津卷）已知a∈R，则“a＞6”是“a2＞36”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.“∀x∈[－2，1]，x2－2a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A.a≥0B.a≥1
C.a≥2D.a≥3
5.下列命题中的真命题是（ ）
A.∃x∈R，使得sin x＋cs x＝32
B.∀x∈（0，＋∞），ex＞x＋1
C.∃x∈（－∞，0），2x＜3x
D.∀x∈（0，π），sin x＞cs x
6.（多选）－112＜5x－3＜12的一个必要条件是（ ）
A.－12＜x＜2B.－12＜x＜4
C.－3＜x＜12D.－1＜x＜6
7.（2024·河南郑州模拟）若命题“∃x∈R，使得3x2＋2ax＋1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是 .
8.已知“x2－x－2＞0”是“2x＋p＞0”的必要条件，则实数p的取值范围是 .
9.使得“2x＞4x”成立的一个充分条件是 .
[B组 能力提升练]
10. （2024·河北邢台）“不等式ax2＋2ax－1＜0恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A.－1≤a＜0B.a≤0
C.－1＜a≤0D.－1＜a＜0
11.（2024·贵州贵阳）设a，b均为单位向量，则“｜a－3b｜＝｜3a＋b｜”是“a⊥b”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
12. （2024·湖北武汉模拟）阅读下段文字：“已知2为无理数，若（2）2为有理数，则存在无理数a＝b＝2，使得ab为有理数；若（2）2为无理数，则存在无理数a＝（2）2，b＝2，此时ab＝（2）22＝（2）2·2＝（2）2＝2为有理数.”依据这段文字可以证明的结论是（ ）
A.（2）2是有理数
B.（2）2是无理数
C.存在无理数a，b，使得ab为有理数
D.对任意无理数a，b，都有ab为无理数
13.（多选）下列四个关于命题的判断，其中正确的是（ ）
A.命题“∃x∈（0，＋∞），3x＋cs x＜1”是假命题
B.在△ABC中，“sin A＞sin B”是“A＞B”的充要条件
C.命题“∀x∈N，lg（x＋1）＞0”的否定是“∃x∉N，lg（x＋1）＞0”
D.命题“在△ABC中，若AB·BC＜0，则△ABC是钝角三角形”是真命题
14.（2024·河北唐山模拟）若“x2－2x－8＞0”是“x＜m”的必要不充分条件，则m的最大值为 .
15.集合A＝xx－1x+1<0，B＝{x｜｜x－b｜＜a}.若“a＝1”是“A∩B≠⌀”的充分条件，则实数b的取值范围是 .
2025年高考数学一轮复习-第一章-第二节 常用逻辑用语-课时作业（解析版）
[A组 基础保分练]
1.命题p：∃m∈R，方程x2＋mx＋1＝0有实根，则¬p是（ ）
A.∃m∈R，方程x2＋mx＋1＝0无实根
B.∀m∈R，方程x2＋mx＋1＝0无实根
C.∀m∈R，方程x2＋mx＋1＝0有实根
D.至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实根
答案：B
解析：命题“∃m∈R，方程x2＋mx＋1＝0有实根”的否定是“∀m∈R，方程x2＋mx＋1＝0无实根”.
2.若命题p：对任意的x∈R，都有x3－x2＋1＜0，则¬p为（ ）
A.不存在x∈R，使得x3－x2＋1＜0
B.存在x∈R，使得x3－x2＋1＜0
C.对任意的x∈R，都有x3－x2＋1≥0
D.存在x∈R，使得x3－x2＋1≥0
答案：D
3.（2024·天津卷）已知a∈R，则“a＞6”是“a2＞36”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案：A
解析：①由a＞6，得a2＞36，所以“a＞6”是“a2＞36”的充分条件，
②由a2＞36，得a＞6或a＜－6，所以“a＞6”是“a2＞36”的不必要条件，
故a＞6是a2＞36的充分不必要条件.
4.“∀x∈[－2，1]，x2－2a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A.a≥0B.a≥1
C.a≥2D.a≥3
答案：D
解析：“∀x∈[－2，1]，x2－2a≤0”为真命题，即2a≥x2在x∈[－2，1]时恒成立，所以2a≥4，所以a≥2，即“∀x∈[－2，1]，x2－2a≤0”为真命题的充要条件是a≥2，所以可转化为求“a≥2”的充分不必要条件，即找集合A＝{a｜a≥2}的非空真子集，结合选项，所以a≥3.
5.下列命题中的真命题是（ ）
A.∃x∈R，使得sin x＋cs x＝32
B.∀x∈（0，＋∞），ex＞x＋1
C.∃x∈（－∞，0），2x＜3x
D.∀x∈（0，π），sin x＞cs x
答案：B
解析：∵sin x＋cs x＝2sinx＋π4≤2＜32，故A错误；设f（x）＝ex－x－1，则f'（x）＝ex－1.
∵当x∈（0，＋∞）时，f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，＋∞）上为增函数.
又f（0）＝0，
∴∀x∈（0，＋∞），f（x）＞0，即ex＞x＋1，故B正确；
当x＜0时，y＝2x的图象在y＝3x的图象上方，故C错误；∵当x∈0，π4时，sin x＜cs x，故D错误.
6.（多选）－112＜5x－3＜12的一个必要条件是（ ）
A.－12＜x＜2B.－12＜x＜4
C.－3＜x＜12D.－1＜x＜6
答案：BD
解析：解－112＜5x－3＜12，得－12＜x＜3，当x满足－12＜x＜3时，满足－12＜x＜4和－1＜x＜6.
7.（2024·河南郑州模拟）若命题“∃x∈R，使得3x2＋2ax＋1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是 .
答案：[－3，3]
解析：命题“∃x∈R，使得3x2＋2ax＋1＜0”是假命题，即“∀x∈R，3x2＋2ax＋1≥0”是真命题，故Δ＝4a2－12≤0，解得－3≤a≤3.
8.已知“x2－x－2＞0”是“2x＋p＞0”的必要条件，则实数p的取值范围是 .
答案：（－∞，－4]
解析：由2x＋p＞0，得x＞－p2，令A＝xx＞－p2，
由x2－x－2＞0，解得x＞2或x＜－1，令B＝{x｜x＞2，或x＜－1}，
由题意知A⊆B时，
即－p2≥2，
解得p≤－4，
∴实数p的取值范围是（－∞，－4].
9.使得“2x＞4x”成立的一个充分条件是 .
答案：x＜－1（答案不唯一）
解析：由于4x＝22x，故2x＞22x等价于x＞2x，
解得x＜0，
使得“2x＞4x”成立的一个充分条件只需为集合{x｜x＜0}的子集即可.
[B组 能力提升练]
10. （2024·河北邢台）“不等式ax2＋2ax－1＜0恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A.－1≤a＜0B.a≤0
C.－1＜a≤0D.－1＜a＜0
答案：D
解析：当a＝0时，－1＜0恒成立，
当a≠0时，则a<0，4a2+4a<0，解得－1＜a＜0.
综上所述，不等式ax2＋2ax－1＜0恒成立时，－1＜a≤0，
所以选项中“不等式ax2＋2ax－1＜0恒成立”的一个充分不必要条件是－1＜a＜0.
11.（2024·贵州贵阳）设a，b均为单位向量，则“｜a－3b｜＝｜3a＋b｜”是“a⊥b”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案：C
解析：因为｜a－3b｜＝｜3a＋b｜，所以（a－3b）2＝（3a＋b）2，所以a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2.又因为｜a｜＝｜b｜＝1，所以a·b＝0，所以a⊥b；反之也成立.
12. （2024·湖北武汉模拟）阅读下段文字：“已知2为无理数，若（2）2为有理数，则存在无理数a＝b＝2，使得ab为有理数；若（2）2为无理数，则存在无理数a＝（2）2，b＝2，此时ab＝（2）22＝（2）2·2＝（2）2＝2为有理数.”依据这段文字可以证明的结论是（ ）
A.（2）2是有理数
B.（2）2是无理数
C.存在无理数a，b，使得ab为有理数
D.对任意无理数a，b，都有ab为无理数
答案：C
解析：这段文字中，没有证明（2）2是有理数的条件，也没有证明（2）2是无理数的条件，A，B错误；这段文字的两句话中，都说明了结论“存在无理数a，b，使得ab为有理数”，因此这段文字可以证明此结论，C正确；这段文字中只提及存在无理数a，b，不涉及对任意无理数a，b，都成立的问题，D错误.
13.（多选）下列四个关于命题的判断，其中正确的是（ ）
A.命题“∃x∈（0，＋∞），3x＋cs x＜1”是假命题
B.在△ABC中，“sin A＞sin B”是“A＞B”的充要条件
C.命题“∀x∈N，lg（x＋1）＞0”的否定是“∃x∉N，lg（x＋1）＞0”
D.命题“在△ABC中，若AB·BC＜0，则△ABC是钝角三角形”是真命题
答案：AB
解析：对于A，设f（x）＝3x＋cs x（x＞0），则f'（x）＝3－sin x，f'（x）＞0，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递增，所以f（x）＞0＋cs 0＝1，从而命题“∃x∈（0，＋∞），3x＋cs x＜1”是假命题，故选项A正确；
对于B，在△ABC中，设△ABC的外接圆半径为R，sin A＞sin B⇔2Rsin A＞2Rsin B⇔a＞b⇔A＞B，故选项B正确；
对于C，由全称命题的否定可得，命题“∀x∈N，lg（x＋1）＞0”的否定是“∃x∈N，lg（x＋1）≤0”，故选项C是错误的；
对于D，在△ABC中，若AB·BC＜0，则BA·BC＞0，则B为锐角，不能判定△ABC是钝角三角形，所以选项D是错误的.
14.（2024·河北唐山模拟）若“x2－2x－8＞0”是“x＜m”的必要不充分条件，则m的最大值为 .
答案：－2
解析：由x2－2x－8＞0，解得x＞4，或x＜－2，
所以记A＝{x｜x＞4，或x＜－2}，B＝{x｜x＜m}；
若“x2－2x－8＞0”是“x＜m”的必要不充分条件，则B是A的真子集.
故m≤－2，所以m的最大值为－2.
15.集合A＝xx－1x+1<0，B＝{x｜｜x－b｜＜a}.若“a＝1”是“A∩B≠⌀”的充分条件，则实数b的取值范围是 .
答案：（－2，2）
解析：由“a＝1”是“A∩B≠⌀”的充分条件，知当a＝1时，A∩B≠⌀.当a＝1时，由题意得A＝（－1，1），B＝（b－1，b＋1），由A∩B≠⌀得b－1＜1且b＋1＞－1，即－2＜b＜2，所以b的取值范围是（－2，2）.