[数学]湖南省长沙市雨花区2024年中考模拟试题(解析版)

这是一份[数学]湖南省长沙市雨花区2024年中考模拟试题(解析版)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列四个数中，比1小的正无理数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵是有理数，
∴选项A不符合题意；
∵是负数，
∴选项B不符合题意；
∵是比1小的正无理数，
∴选项C符合题意；
∵是比1大的正无理数
∴选项D不符合题意，
故选：C．
2. 中国城市轨道交通持续稳步发展，线网规模和客流规模继续稳居全球第一，下列城市轨道交通标志是中心对称图形的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵沿着某一点旋转后能与原图形重合即为中心对称图形，
∴C选项符合中心对称图形定义，
故选：C．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A．，故此选项符合题意；
B．，故此选项不符合题意；
C．和不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意；
D．，故此选项不符合题意．
故选：A．
4. 已知三条线段的长分别是6，m，8，若它们能构成三角形，则整数m的最小值是（ ）
A. 2B. 3C. 6D. 8
【答案】B
【解析】∵三条线段的长分别是6，m，8，它们能构成三角形，
∴，
∴，
∴整数m的最小值是3．
故选：B．
5. 不透明的袋子中装有2个白球和3个黑球，除颜色外，这5个小球无其他差别．随机从袋子中摸出3个球，下列事件中是必然事件的是（ ）
A. 3个球都是白球B. 至少有1个黑球
C. 3个球都是黑球D. 有1个白球2个黑球
【答案】B
【解析】不透明的袋子中装有2个白球和3个黑球，除颜色外，这5个小球无其他差别．随机从袋子中摸出3个球，则
A、“3个球都是白球”是不可能事件，不符合题意；
B、“至少有1个黑球”是必然事件，符合题意；
C、“3个球都是黑球”是随机事件，不符合题意；
D、“有1个白球2个黑球”是随机事件，不符合题意；
故选：B．
6. 某班甲、乙、丙、丁四名篮球运动员进行投篮测试，每人每轮10次投篮机会，投进个数的平均数（单位：个）及方差s2（单位：个2）如表所示：
根据表中数据可知，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加学校的投篮比赛，应选择（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】D
【解析】由表知甲、丙、丁成绩的平均数相等，且大于乙的平均数，
∴从甲、丙、丁中选择一人参加竞赛，
∵丁的方差较小，
∴丁发挥稳定，
∴选择丁参加比赛．
故选：D．
7. 如图，直线，被射线，所截，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
8. 如图，，根据尺规作图的痕迹推断，下列结论不一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由作图知，是的角平分线，
∴，故A不符合题意；
由作图知垂直平分，
∴，，故B，D不符合题意；
无法证明，故C符合题意，
故选：C．
9. 如图，在由大小相同的小正方形组成的网格中有一条“心形线”．数学小组为了探究随机投放一个点恰好落在“心形线”内部的概率，进行了计算机模拟试验，得到如下数据：
根据表中的数据，估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为（ ）
A. 0.46B. 0.50C. 0.55D. 0.61
【答案】B
【解析】当试验次数逐渐增大时，落在“心形线”内部的频率稳定在0.50附近，
则估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为0.50．
故选：B．
10. 如图，在直角坐标系中，已知点，等边三角形的顶角在反比例函数的图象上，则的值为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】过点作于点，
∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵等边三角形的顶角在反比例函数的图象上，
∴，故选：．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 最新数据显示，长沙市在2023年全国的地区生产总值（GDP）达到了万亿元，同此增长．将数据1.43万亿用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】万亿，
故答案为：．
12. 化简的结果为_____．
【答案】x
【解析】，
故答案为x．
13. 关于x的一元二次方程有两根，其中一根为，则两根之和为______．
【答案】
【解析】∵方程的其中一根为，
∴，
解得，
∴方程为，
∴两根之和为．
故答案为：．
14. 如图，与是位似图形，点O为位似中心，已知与的面积之比是，则与之比是_______．
【答案】3：1
【解析】∵与是位似图形，点O为位似中心，与的面积之比是．
∴，，
故答案为：3：1．
15. 如图，内接于⊙O，已知，，则的半径为______．
【答案】5
【解析】连接，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，
∴，
∴的半径为5，
故答案：5．
16. 我们探究得方程的正整数解只有组，方程的正整数解只有组，方程的正整数解只有组，…，那么方程的正整数解有______组．
【答案】
【解析】令，
则的正整数解中的值可以为：，，，，，，
∴的正整数解有组，
又∵的正整数解有组；
的正整数解有组；
的正整数解有组；
的正整数解有组；
的正整数解有组；
的正整数解有组；
∴方程的正整数解组数为：．
故答案为：．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
解：
．
18. 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
．
19. 白鹭塔位于长沙的城市“绿肺”——长沙洋湖湿地景区，塔体采用多层密檐形式，以八角、七层、重檐为基本特征，既宏伟壮观又具湖南地域特色．某数学兴趣小组要利用测角仪测量白鹭塔的高度，如图，塔前有一座高为的景观桥，已知，，点E、C、A在同一条水平直线上．在景观桥C处测得塔顶部B的仰角为，在景观桥D处测得塔顶部B的仰角为．
（1）求的长；
（2）求白鹭塔的高度．（参考数据：，，，，结果取整数）
解：（1）由题意得：，
在中，，，
∴
∴的长约为；
（2）过点D作，垂足为F，
由题意得：，，
在中，，，
∴，
设，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴
解得：，
∴白鹭塔的高度约为．
20. 为提高学生身体素质，某校决定开展足球、篮球、排球、乒乓球等四项课外体育活动，要求全员参与，并且每名学生只能选择其中一项．为了解选择各种体育活动项目的学生人数，该校随机抽取若干名学生进行调查，并绘制出如下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：
（1）本次调查共抽取了多少名学生？
（2）请把条形统计图补充完整；
（3）该校共有1200名学生，估计该学校学生选择排球的有多少人？
（4）请你根据调查结果向该校提一条合理建议．
解：（1）（名），
答：本次调查共抽取了50名学生；
（2）选择排球的人数为：，
补全条形统计图如下：
（3）（人），
答：估计该学校学生选择排球的大约有480人；
（4）由统计图可知，选择排球的人数较多，建议学校适当增加和完善排球场地．（答案不唯一）．
21. 如图，，，，．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，求的度数．
解：（1），理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，则，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
22. 为进一步改善生态环境，某小区决定在小区内种植香樟和红枫．已知购买棵香樟和棵红枫共花费元，购买棵红枫比购买棵香樟多花元．
（1）求购买棵红枫和棵香樟各需多少元；
（2）通过大家的共同努力，今年该小区被评为“绿色小区”，小区计划用不超过元的经费再次购买香樟和红枫共棵，若单价不变，则本次至少可以购买多少棵香樟？
解：（1）设购买棵红枫需元，购买棵香樟需元，
由题意可得：，解得：，
答：购买棵红枫需元，购买棵香樟需元；
（2）设购买香樟棵，
由题意可得：，解得：，
∵为正整数，
∴至少可以购买棵香樟．
23. 如图，点O是矩形的对角线上一点，过点O作，交于点E，交于点F．
（1）在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件： ，使得，并说明理由；
（2）若，求的长．
解：（1），理由如下：
∵，，
∵，
，
又∵，
，
∴．
（2）∵，
∴，
∵，
∵，
，
又∵，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
∴．
24. 如图，半径为4的扇形中，，C为弧上的一个动点（点C不与点A，B重合），过圆心O分别作弦，的垂线，，垂足分别为D，E．
（1）求的度数；
（2）当点C沿着弧从点A出发，顺时针运动到点B时，求的外心P所经过的路径的长度；
（3）设，，连接，分别交，于点M，N，记以线段，，为三边的三角形的外接圆半径为r，当四边形的面积取最大值时，求的值．
解：（1）连接，如图一，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴．
（2）连接，如图二，
∵，，
∴，
∴O，E，C，D四点在以为直径的圆上，该圆为的外接圆，
∴的外心P为的中点，
∴，
∵，C为弧上的一个动点，
∴的外心P的运动的轨迹为以O为圆心，2为半径的圆周，
∴的外心P所经过的路径的长度．
（3）连接，，如图三，
∵半径为4的扇形中，，
∴，
∴．
由（1）知：垂直平分，垂直平分，
∴，．
∴，，
∴，．
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴以线段，，为三边的三角形为直角三角形，
∴．
∵，，
∴，
∵，
∴的面积取最大值时，四边形的面积取最大值，
∵，
∴边上的高取最大值时，的面积取最大值，
∵C为上的一个动点，
∴当点C为的中点时，边上的高取最大值．
设点C为的中点，连接，，，与交于点H，如图，
则，，
∴， ，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
同理，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
25. 抛物线与轴相交于，两点，若抛物线上存在点，使，就称此抛物线为“星城”曲线，点为其“星城”点．
（1）如图，已知抛物线过点，，直线过点，与抛物线相交于另一点，与轴相交于点，若此抛物线为“星城”曲线，点为其“星城”点，且，求直线的解析式；
（2）如图，已知抛物线为“星城”曲线，与轴相交于，点，与轴相交于点，当点为其“星城”点时，求的面积；
（3）如图，已知抛物线为“星城”曲线，与轴相交于点，，为曲线上“星城”点，当“星城”点至少有个时，求代数式的最小值．
解：（1）∵，
∴，∴，
∴，∴
设直线的解析式为，∴，解得，
∴直线的解析式为；
（2）作的外接圆，设圆心为， 作轴交于点，
∵，
∴，
∵ ，
∴是等腰直角三角形，
当时，，
解得：或，
∴，，
∴，点横坐标为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴ 或，
∵，∴，∴，∴的面积；
（3）∵，，∴关于轴对称,
∵，∴三点在以或为圆心的圆上，
∵圆的半径为 “星城”点至少有个，
∴点的纵坐标最大为，
∴，
设经过三点的抛物线解析式为，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
∴的最小值为．甲
乙
丙
丁
7
6
7
7
s2
试验总次数
100
200
300
500
1500
2000
3000
落在“心形线”内部的次数
61
93
165
246
759
996
1503
落在“心形线”内部的频率
0.610
0.465
0.550
0.492
0.506
0498
0.501