2024年湖南省长沙市宁乡市中考模拟数学试题（原卷版+解析版）

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1. 有理数的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义进行判断即可，解题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数．
【详解】解：有理数的相反数是，
故选：．
2. 2024年1月，国家统计局公布了2023年的主要数据，其中人口的变化最引人瞩目．2023年全年出生人口数约为9020000，又创新低．其中数字9020000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【详解】解：．
故选：C．
3. 中国传统文化博大精深，源远流长．传统文化之剪纸更是闻名中外，巧妙利用轴对称性质进行剪纸会使得操作更加容易，图案更加美观．下列剪纸图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：选项A、B、C中的剪纸图案都能找到一条或多条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项D中的剪纸图案不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：D．
4. 如图，直线，直角三角形的直角顶点在直线上，已知，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，平角的性质，利用平行线的性质，平角的性质解决问题即可．
【详解】解：如图，
，
，
，
故选：C．
5. 下列计算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了单项式乘多项式、二次根式和完全平方公式的运算能力，运用单项式乘多项式、二次根式和完全平方公式的知识进行逐一计算即可，解题的关键是熟练掌握运算法则．
【详解】解：、，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算正确，符合题意；
、与不可以合并，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
故选：．
6. 如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【详解】解：从上面看，是一行三个小正方形．
故选：A．
【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
7. 菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，被视为数学界的诺贝尔奖．截止目前，菲尔兹奖得主中最年轻的8位数学家获奖时年龄分别为：，则该组由年龄组成的数据的众数和平均数是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了众数和平均数的知识，根据平均数和众数的概念求解，正确理解一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数是解题的关键．
【详解】解：∵数据出现了次，最多，
∴众数为：，
平均数为：，
故选：．
8. 直线沿轴向下平移个单位后与轴的交点坐标是，以下各点在直线上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一次函数的图像与几何变换，一次函数图像上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，根据“上加下减”的原则求解即可．熟知函数图像上点的坐标满足解析式是解题的关键．
【详解】解：直线沿轴向下平移个单位后与轴的交点坐标是，
将，代入中，
得：，
解得：，
∴直线解析式为：，
A．当时，，故此选项不符合题意；
B．当时，，故此选项不符合题意；
C．当时，，故此选项符合题意；
D．当时，，故此选项不符合题意．
故选：C．
9. 如图，四边形为矩形，，．点是线段上一动点，点为线段上一点．，则的最小值为（ ）
A. 5B. 6C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】取的中点，连接，，证明，推出，点在以为圆心，4为半径的上，利用勾股定理求出，可得结论．
【详解】解：如图，取的中点，连接，．
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
点在以为圆心，4为半径的上，
，
，
最小值为．
故选：D．
【点睛】本题考查矩形的性质，轨迹，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，应用直角三角形性质解决问题．
10. 如图，点A，B是反比例函数图象上的两点，线段的延长线与x轴正半轴交于点C．若点B是线段的中点，的面积是6，则k的值为（ ）
A. 8B. C. 16D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，熟练掌握反比例函数值的几何意义是关键．
设点的坐标为，利用中点坐标公式建立方程，求出值即可．
【详解】解：设点的坐标为，
∵是的中点，
，
，
代入中，
，
，
，
代入中，
，
，
∵是的中点，
即，
，
，
故选：A．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 分解因式：3a2﹣12=___．
【答案】3（a+2）（a﹣2）
【解析】
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．
【详解】3a2﹣12
=3（a2﹣4）
=3（a+2）（a﹣2）．
12. 关于的一元二次方程的一个根是，则的值为_______________.
【答案】
【解析】
【分析】本题综合考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解；将代入原方程，可得出且，即可求解．
【详解】将代入原方程，则且
∴
故答案为：．
13. 已知圆锥底面圆半径是3，高为4，则圆锥的侧面积是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理求得圆锥的母线长，即为圆锥侧面展开图的扇形的半径，再利用扇形面积公式求解．
【详解】解：∵圆锥的底面圆半径是3，高为4，
∴圆锥的母线长为，
又圆锥底面周长为，
∴圆锥的侧面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理、圆锥侧面展开图、扇形面积公式，熟练掌握圆锥侧面展开图和勾股定理是解答的关键．
14. 若抛物线与轴有交点，则整数的最大值是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数与一元二次方程的联系，得有实数根，所以且，求解取最大整数解，得答案．
【详解】解：由题意知，，方程有实数根
∴，且
解得，且
∴整数a的最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的定义，二次函数与一元二次方程的联系，一元二次方程根的判别，一元一次不等式的求解，理解二次函数与一元二次方程的联系是解题的关键．
15. 如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于长为半径画弧，交于点M，N，作直线分别交于点D，E，若，则的度数是_________．
【答案】##84度
【解析】
【分析】由作图可知，为线段的垂直平分线，则，，由，得，根据，计算求解即可．
【详解】解：由作图可知，为线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂直平分线的作法，垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和．解题的关键在于确定角度之间的数量关系．
16. 甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，规则是：两人比赛，另一人当裁判，输者将在下一局中担任裁判，每一局比赛没有平局．已知甲、乙各比赛了4局，丙当了3次裁判．则第三局的裁判是_____．
【答案】丙
【解析】
【分析】本题考查了推理与论证，解决本题的关键是推断出每场比赛的双方．由题意知道，甲和乙各与丙比赛了一场．丙当了三次裁判，说明甲和乙比赛了三场，这三场中间分别是甲和丙，乙和丙比赛．因此第一，三，五场比赛是甲和乙比赛，第二，四场是甲和丙，乙和丙比赛，并且丙都输了．
【详解】解：解：由题意，知：三场比赛的对阵情况为：
第一场：甲与乙，丙当裁判；
第二场：乙与丙，甲当裁判；
第三场：甲与乙，丙当裁判；
第四场：甲与丙，乙当裁判；
第五场：乙与甲，丙当裁判；
则第三局的裁判是丙．
故答案为：丙．
三、解答题：（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
【答案】4
【解析】
【分析】此题考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减．先计算零指数幂、特殊角的三角函数值、开平方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【详解】解：
．
18. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．先算括号，再根据分式计算法则化简，代入x，y值即可计算．
【详解】解：
，
当，时，
原式．
19. 人教版初中数学八年级下册第页数学活动告诉我们一种折纸得特殊角的方法：
①对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
②再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段．请你根据提供的材料完成下面的问题．
（1）填空： ；
（2）求的度数．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查折叠的性质， 三角函数的应用，理解折叠的性质是解本题的关键；
（1）根据折叠判断线段关系即可计算比值；
（2）由（1）可知，可得到，继而得到，即可得解；
根据折叠得到对应的边角关系是解题的关键．
【小问1详解】
解：由折叠可知：，，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
由折叠可知：，
在中，，
∴，
∴，
∴．
20. 长沙第一高楼位于芙蓉区五一商圈的国金中心，是旅游打卡圣地，小明想了解它的具体高度，通过下面方法进行测算．如图，小明站在楼前的平地B处，观测到国金大厦的最高点G仰角为15°，他朝正前方笔直行走900.8米来到C处，此时观测到国金大厦的最高点G仰角为30°，若小明的眼睛离地面1.6米．
（1）求长沙第一高楼国金大厦的高度；
（2）小明还要走多远（的距离）才能到达国金大厦？
【答案】（1）长沙第一高楼国金大厦的高度DG为452米
（2）小明还要走450.4米才能到达国金大厦
【解析】
【分析】（1）根据题意可得：米，米，，，先根据三角形的外角性质可得，从而可得米，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答；
（2）根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答．
【小问1详解】
解：由题意得：米，米，，，
∵是的一个外角，，
∴，
∴，
∴米，
在中，（米），
∴（米），
∴长沙第一高楼国金大厦的高度为452米；
【小问2详解】
由题意得：，
在中，米，
∴（米），
∴米，
∴小明还要走米才能到达国金大厦．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
21. 月日被定为“国际数学日”，某校数学兴趣小组为调查学生对相关知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如下的频数分布直方图和扇形统计图．
（1） ， ，补全频数分布直方图；
（2）在扇形统计图中，“”这组的扇形圆心角为 ；
（3）测试结束后，九年级一班从本班获得优秀（测试成绩分）的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两名宣讲数学知识，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率．
【答案】（1），，见解析；
（2）；
（3）见解析，．
【解析】
【分析】（）用频数分布直方图中的频数除以扇形统计图中的百分比可得的值；用频数分布直方图中的频数除以再乘以可得，即可得的值；求出测试成绩为（含100）的人数，补全频数分布直方图即可．
（）用乘以“”的人数所占的百分比，即可得出答案；
（）画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好抽到甲、乙两名同学的结果数，再利用概率公式可得出答案；
本题考查了列表法与树状图法、频数（率）分布直方图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法是解题的关键．
【小问1详解】
解：，
，
∴，
故答案为：；；
测试成绩为（含）的人数为（人），
补全频数分布直方图如图所示，
【小问2详解】
在扇形统计图中，“”这组的扇形圆心角为，
故答案为：；
【小问3详解】
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有：甲乙、乙甲，共种，
∴恰好抽到甲、乙两名同学的概率为．
22. 某中学为绿化美丽校园，营造温馨环境，计划购进甲、乙两种规格的花架放置新购进的绿植，调查发现，若购买甲种花架10个、乙种花架8个，共需资金1584元；若购买甲种花架5个，乙种花架12个，共需资金1656元．
（1）甲、乙两种花架每个的价格分别是多少元？
（2）若该校计划购进这两种规格的花架共28个，且乙种花架的数量不少于10个，设购买这批花架所需费用为w元，甲种花架购买a个，求w与a之间的函数关系式，并设计一种使费用最少的购买方案，写出最少费用．
【答案】（1）甲种花架每个的价格为72元，乙种花架每个的价格为108元
（2），当购买甲种花架18个，乙种花架10个时，所需费用最少，最少费用为2376元
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．
（1）设甲种花架每个的价格为元，乙种花架每个的价格为元，根据题意得，即可解得答案；
（2）由乙种花架的数量不少于10个，可得，而，根据一次函数性质可得答案．
【小问1详解】
解：设甲种花架每个的价格为元，乙种花架每个的价格为元，根据题意得：，
解得：，
答：甲种花架每个的价格为72元，乙种花架每个的价格为108元；
【小问2详解】
∵甲种花架购买个，
∴乙种花架购买个，
∵乙种花架的数量不少于10个，
∴，
解得：，
根据题意得：，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，取最小值，最小值为，
∴当购买甲种花架18个，乙种花架10个时，所需费用最少，最少费用为2376元．
23. 如图，在四边形中，，对角线交于点平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）利用平行线和角的平分线，证明，继而判断四边形是平行四边形，结合得证．
（2）利用勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，计算即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
【小问2详解】
解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．
24. 如图，四边形内接于，对角线交于点E且为直径，延长交于点F，连接，若，请回答下列问题：

（1）求证：；
（2）若，求的值；
（3）设，与四边形的面积之比为h，请求出h关于t的函数关系式．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据同弧所对圆周角相等得，结合可证明结论；
（2）设，则，，由，可得再证明即可得出结论；
（3）证明得即设的半径为，则证明可得出进一步可得出答案．
【小问1详解】
∵，
∴，
又∵
∴；
【小问2详解】
由（1）知，，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵，
∵设，则，，
由（1），
∴
∴
∵
∴
∴
∴
【小问3详解】
∵四边形内接于，
∴
又
∴
∵
∴
∵与四边形的面积之比为h，
设四边形的面积为，则
∴
∴
∴
设的半径为，则
∵，
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴即
∴
∵
∴
∴
∴
∴．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，灵活判定三角形相似是解答本题的关键．
25. 定义：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线（n为常数）对称，则称该函数为“函数”．
（1）在下列函数中，是“函数”的有 （填序号）．
①；②；③；④
（2）若关于x的函数是“函数”，且图象与直线相交于A，B两点，函数图象的顶点为P，当时，求h，k的值．
（3）若关于x的函数是函数，且过点，当时，函数的最大值与最小值的差为2，求t的值．
【答案】（1）④ （2），
（3）或
【解析】
【分析】（1）由定义即可求解；
（2）证明、、是等腰直角三角形，得到，即可求解；
（3）由新定义得到“函数”为，再分类求解即可．
【小问1详解】
由定义知，整个图象关于成轴对称，符合题设的条件，其他都不符合新定义的要求．
故答案为：④；
【小问2详解】
如图：根据题意，，则，
，
函数的图象与直线相交于、两点，直线与轴交于点，
设，，
联立两个函数的表达式得：，
整理得：，
，，且，
则，
根据该函数图象关于直线对称得，，
，
，
、、是等腰直角三角形，
点到的距离为，
，
由得，（舍去），
；
【小问3详解】
由题意，得，
解得，
此“函数”为，
①当时，
当时，，
当时，，
，
解得：；
②当，即时，
当时，，
当时，，
则，
解得：；
③当时，
当时，，当时，，
则，
解得：（舍去）；
④当时，
当时，，当时，，
则，
解得：（舍去）；
综上所述：或．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到新定义、等腰直角三角形的性质、轴对称的性质等，分类求解是解题的关键．