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2024年湖南省长沙市部分学校中考模拟数学试题（原卷版+解析版）
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注意事项：
1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；
2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分．
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A. 3与B. 8与C. 7与D. 5与
2. 2023年10月29日，长沙马拉松正式开赛．本届长沙马拉松的全马、半马参赛人数较往届各增加1000人，其中全马9000人、半马13000人、欢乐跑4000人，参赛总人数增加到26000人．数据26000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列计算正确是（ ）
A. B.
C. D.
4. 长沙宁乡出土的“四羊方尊”是我国商代青铜器工艺品中杰出的代表作之一，现收藏于中国国家博物馆．如图，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ）
A. 三种视图都相同B. 主视图与左视图相同
C. 主视图与俯视图相同D. 左视图与俯视图相同
5. 如图，直线，相交于点O，．若，则的度数为（ ）
A B. C. D.
6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
7. 2023年国庆期间，某商场举行庆国庆促销活动，商场对一款原价为a元的商品降价销售一段时间后，为加大促销力度，再次降价x%，此时售价降低了b元，则（ ）
A. B.
C. D.
8. 分式方程的解是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在中考体育模拟测试中，某校10名学生体育模拟测试成绩如图所示，对于这10名学生的体育模拟测试成绩，下列说法错误的是（ ）
A. 极差是10B. 众数是90分
C. 平均数是91分D. 中位数是90分
10. 如图是长沙某4S店新能源车轮胎展厅陈列的轮胎正面及其固定支架的截面图，凹槽是矩形．当轮胎正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与边相切．若，，则此轮胎的半径为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6个小题；每小题3分，共18分）
11. 8的算术平方根和立方根的积是______
12. 在平面直角坐标系中，点A（2，﹣3）关于y轴对称的点的坐标为_____．
13. 2023年湘江新区“湘江艺术季”于13月4日在谢子龙影像艺术馆正式启幕，本次“艺术季”涵盖艺术展览、高峰论坛级讲座、公共交流与创作、青少年艺术研学、互动演艺、公共创作等六大种类丰富的公共艺术活动．活动按照六部分分类开展，现小静和小珍两人各随机从中选择一类活动先进行观看，则两人选择先观看的活动内容恰好是同一类别的概率为______．
14. 已知一个扇形的圆心角为，半径是，则此扇形的面积为______．
15. 兴趣小组为了解某电路中电压U（V）、电流I（A）、电阻R（Ω）三者之间的关系，测得数据如表，根据数据猜想得到三者之间的关系为：．由此可得，当电阻时，电流______A．
16. 如图，为四边形的对角线，E是的中点，，，，连接交于点F．若，则的长为______．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
18. 先化简，再求值：，其中．
19. 如图，D是的边上的一点，连接，已知．
（1）求证：；
（2）若，，求线段的长．
20. 我市某中学开展了“强国复兴有我”迎国庆知识竞赛活动，赛后随机抽取了部分参赛学生的成绩（满分100分），按得分划分为A：，B：，C：，D：四个等级，绘制成如下两幅不完整的统计图表．
请根据以上信息回答下列问题：
（1）这次抽样调查的样本容量为______；
（2）其中频数分布表中______，______并补全频数分布直方图；
（3）若该校共有1200名同学参赛，成绩在80分以上（包括80分）的为“优”等，估计全校学生成绩为“优”等的学生有多少人．
21. 为优化社区风貌，提升“夜长沙”气质，某小区购进一款新型路灯，如图是路灯架造型示意图．已知支撑臂AB与支撑柱的夹角，支撑臂，．（参考数据：，，，，）
（1）求B点与支撑柱的距离；
（2）若cm，支撑臂，求路灯C离地面的距离．
22. 为了培育“一镇一特，一村一品”，加快农民脱贫致富步伐．近年来，长沙某镇依托地域优势创办了优质葡萄种植基地，该基地对外销售种植的A，B两种不同品种的葡萄，A品种葡萄每千克的售价比B品种葡萄每千克的售价的2倍少4元，3千克A品种葡萄比4千克B品种葡萄多卖4元．
（1）问葡萄种植基地销售A，B两种葡萄每千克的售价各是多少元？
（2）某超市计划从葡萄种植基地购进400千克葡萄，其中A品种葡萄不少于80千克，且总费用不超过3600元，超市对购进的葡萄进行包装销售（如下表），全部包装销售完，当包装A品种葡萄多少包时，所获总利润最大？最大总利润为多少元？
23. 如图，点E是矩形对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点G，．
（1）试判断线段与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求的长．
24. 我们规定：若二次函数（a，b，c为常数，且）与x轴的两个交点的横坐标，满足，则称该二次函数为“强基函数”，其中点，称为该“强基函数”的一对“基点”．
（1）判断：下列函数中，为“强基函数”是______（仅填序号）．
①；②．
（2）已知二次函数为“强基函数”，求：当时，函数的最大值．
（3）已知直线与x轴交于点C，与双曲线交于点A，点B的坐标为．若点，是某“强基函数”的一对“基点”，位于内部．
①求的取值范围；
②若为整数，是否存在满足条件的“强基函数”？若存在，请求出该“强基函数”的解析式；若不存在，请说明理由．
25. 如图，内接于，是的直径，，是的切线，点D是AC上一动点（点D不与点A，B重合），连接BD并延长交AC于点H，交CF于点E，连接AE，AD．
（1）求的面积；
（2）当时，求的长；
（3）若的面积记为，的面积记为，的面积记为，的面积记为，，请用含k的代数式表示的值．R（Ω）
…
50
100
200
400
…
I（A）
…
…
分数段（分）
频数（人）
频率
10
a
b
16
c
4
d
葡萄品种
A品种
B品种
每包中葡萄重量（千克）
1
2
售价（元/包）
18
20
每个包装盒成本（元）
3
2
注意事项：
1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；
2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分．
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A. 3与B. 8与C. 7与D. 5与
2. 2023年10月29日，长沙马拉松正式开赛．本届长沙马拉松的全马、半马参赛人数较往届各增加1000人，其中全马9000人、半马13000人、欢乐跑4000人，参赛总人数增加到26000人．数据26000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列计算正确是（ ）
A. B.
C. D.
4. 长沙宁乡出土的“四羊方尊”是我国商代青铜器工艺品中杰出的代表作之一，现收藏于中国国家博物馆．如图，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ）
A. 三种视图都相同B. 主视图与左视图相同
C. 主视图与俯视图相同D. 左视图与俯视图相同
5. 如图，直线，相交于点O，．若，则的度数为（ ）
A B. C. D.
6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
7. 2023年国庆期间，某商场举行庆国庆促销活动，商场对一款原价为a元的商品降价销售一段时间后，为加大促销力度，再次降价x%，此时售价降低了b元，则（ ）
A. B.
C. D.
8. 分式方程的解是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在中考体育模拟测试中，某校10名学生体育模拟测试成绩如图所示，对于这10名学生的体育模拟测试成绩，下列说法错误的是（ ）
A. 极差是10B. 众数是90分
C. 平均数是91分D. 中位数是90分
10. 如图是长沙某4S店新能源车轮胎展厅陈列的轮胎正面及其固定支架的截面图，凹槽是矩形．当轮胎正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与边相切．若，，则此轮胎的半径为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6个小题；每小题3分，共18分）
11. 8的算术平方根和立方根的积是______
12. 在平面直角坐标系中，点A（2，﹣3）关于y轴对称的点的坐标为_____．
13. 2023年湘江新区“湘江艺术季”于13月4日在谢子龙影像艺术馆正式启幕，本次“艺术季”涵盖艺术展览、高峰论坛级讲座、公共交流与创作、青少年艺术研学、互动演艺、公共创作等六大种类丰富的公共艺术活动．活动按照六部分分类开展，现小静和小珍两人各随机从中选择一类活动先进行观看，则两人选择先观看的活动内容恰好是同一类别的概率为______．
14. 已知一个扇形的圆心角为，半径是，则此扇形的面积为______．
15. 兴趣小组为了解某电路中电压U（V）、电流I（A）、电阻R（Ω）三者之间的关系，测得数据如表，根据数据猜想得到三者之间的关系为：．由此可得，当电阻时，电流______A．
16. 如图，为四边形的对角线，E是的中点，，，，连接交于点F．若，则的长为______．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
18. 先化简，再求值：，其中．
19. 如图，D是的边上的一点，连接，已知．
（1）求证：；
（2）若，，求线段的长．
20. 我市某中学开展了“强国复兴有我”迎国庆知识竞赛活动，赛后随机抽取了部分参赛学生的成绩（满分100分），按得分划分为A：，B：，C：，D：四个等级，绘制成如下两幅不完整的统计图表．
请根据以上信息回答下列问题：
（1）这次抽样调查的样本容量为______；
（2）其中频数分布表中______，______并补全频数分布直方图；
（3）若该校共有1200名同学参赛，成绩在80分以上（包括80分）的为“优”等，估计全校学生成绩为“优”等的学生有多少人．
21. 为优化社区风貌，提升“夜长沙”气质，某小区购进一款新型路灯，如图是路灯架造型示意图．已知支撑臂AB与支撑柱的夹角，支撑臂，．（参考数据：，，，，）
（1）求B点与支撑柱的距离；
（2）若cm，支撑臂，求路灯C离地面的距离．
22. 为了培育“一镇一特，一村一品”，加快农民脱贫致富步伐．近年来，长沙某镇依托地域优势创办了优质葡萄种植基地，该基地对外销售种植的A，B两种不同品种的葡萄，A品种葡萄每千克的售价比B品种葡萄每千克的售价的2倍少4元，3千克A品种葡萄比4千克B品种葡萄多卖4元．
（1）问葡萄种植基地销售A，B两种葡萄每千克的售价各是多少元？
（2）某超市计划从葡萄种植基地购进400千克葡萄，其中A品种葡萄不少于80千克，且总费用不超过3600元，超市对购进的葡萄进行包装销售（如下表），全部包装销售完，当包装A品种葡萄多少包时，所获总利润最大？最大总利润为多少元？
23. 如图，点E是矩形对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点G，．
（1）试判断线段与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求的长．
24. 我们规定：若二次函数（a，b，c为常数，且）与x轴的两个交点的横坐标，满足，则称该二次函数为“强基函数”，其中点，称为该“强基函数”的一对“基点”．
（1）判断：下列函数中，为“强基函数”是______（仅填序号）．
①；②．
（2）已知二次函数为“强基函数”，求：当时，函数的最大值．
（3）已知直线与x轴交于点C，与双曲线交于点A，点B的坐标为．若点，是某“强基函数”的一对“基点”，位于内部．
①求的取值范围；
②若为整数，是否存在满足条件的“强基函数”？若存在，请求出该“强基函数”的解析式；若不存在，请说明理由．
25. 如图，内接于，是的直径，，是的切线，点D是AC上一动点（点D不与点A，B重合），连接BD并延长交AC于点H，交CF于点E，连接AE，AD．
（1）求的面积；
（2）当时，求的长；
（3）若的面积记为，的面积记为，的面积记为，的面积记为，，请用含k的代数式表示的值．R（Ω）
…
50
100
200
400
…
I（A）
…
…
分数段（分）
频数（人）
频率
10
a
b
16
c
4
d
葡萄品种
A品种
B品种
每包中葡萄重量（千克）
1
2
售价（元/包）
18
20
每个包装盒成本（元）
3
2
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