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2021年湖南省长沙市雨花区南雅中学中考数学二模试卷 （解析版+原卷版）
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这是一份2021年湖南省长沙市雨花区南雅中学中考数学二模试卷 （解析版+原卷版），共24页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年湖南省长沙市雨花区南雅中学中考数学二模试卷
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．最大的负整数是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．不存在
2．“中国疫苗，助力全球战疫”，据中国外交部数据显示，中国已向53个提出要求的发展中国家提供了疫苗援助，并正在向20多个国家出口疫苗．预计2021年我国生产的新冠疫苗总产量将会超过20亿剂，必将为全球抗疫作出重大贡献．将数据“20亿”用科学记数法表示为（ ）
A．2×108 B．2×109 C．2×1010 D．20×108
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．a6÷a2＝a3 B．a2+2a＝3a3
C．（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6 D．（2a+b）2＝4a2+b2+2ab
5．如图，已知AB∥CD，CE平分∠ACD，交AB于点B，∠ABE＝150°，则∠A为（ ）
A．110° B．120° C．135° D．150°
6．化简的结果是（ ）
A．a+b B．b﹣a C．a﹣b D．﹣a﹣b
7．已知，直线y＝（n﹣2）x+n经过第二、三、四象限，则n的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
8．下列命题，真命题是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．有一个角为直角的四边形为矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．一组邻边相等的矩形是正方形
9．如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他做了如下操作：（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE＝α；（2）量得测角仪的高度CD＝1.2米；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB＝m米．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（ ）
A．（1.2+）米 B．（1.2+）米
C．（1.2+m sinα）米 D．（1.2+m tanα）米
10．如图，直线y＝﹣x+2与y轴交于点A，与直线y＝x交于点D，以AD为边向左作菱形ABCD，点C恰与原点O重合，抛物线y＝（x﹣h）2+k的顶点在直线y＝x移动．若抛物线与菱形的边AD、CD都有公共点，则h的取值范围是（ ）
A．﹣≤h≤2 B．﹣1≤h≤2 C．﹣≤h≤1 D．﹣≤h≤1
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．分解因式：9m2﹣n2＝ ．
12．如图，直线l1∥l2，点A在l1上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点；连接AC，BC．若∠ABC＝65°，则∠1的大小为 ．
13．使二次根式有意义的x的取值范围是 ．
14．平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标为（﹣4，﹣5），半径为5，那么⊙P与y轴的位置关系是 ．
15．在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1的相似比是2：1，并且是关于原点O的位似图形，若点B的坐标为（﹣4，﹣2），则其对应点B1的坐标是 ．
16．已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝ ．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算（﹣）﹣2﹣（π﹣3）0+|﹣2|+2sin60°；
18．先化简，再求值：
（x+2y）（x﹣2y）+（x﹣2y）2﹣（6x2y﹣2xy2）÷（2y），其中x＝﹣2，y＝．
19．如图，在10×10正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．
（1）画出将△ABC向下平移4个单位后得到的△A′B′C′；
（2）画出将△A′B′C′绕点C′顺时针旋转90°后得到的△A″B″C′；
（3）求点A′旋转到A″所经过的路线长．
20．某中学为了解九年级学生对新冠肺炎防控知识的掌握情况，从全校九年级学生中随机抽取部分学生进行调查．调查结果分为四类：A类——非常了解；B类——比较了解；C类——一般了解；D类——不了解．现将调查结果绘制成如图不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生．
（2）补全条形统计图．
（3）D类所对应扇形的圆心角的大小为 ．
（4）已知D类中有2名女生，现从D类中随机抽取2名同学，请用画树状图或列表格的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
21．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AD＝10，EC＝4，求AC的长度．
22．某商店销售一种商品，小明经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：
售价x（元/件）
60
70
80
周销售量y（件）
100
80
60
周销售利润w（元）
2000
2400
2400
注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）
（1）该商品进价是 元/件；
（2）求y关于x的函数解析式．（不要求写出自变量的取值范围）
（3）当售价是多少元/件时，周销售利润最大，并求出最大利润．
23．如图1，AB为⊙O的直径，P为AB延长线上的点，PD为⊙O的切线，切点为D，CD⊥AB，垂足为E，C在⊙O上，连接CO，PC．
（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）如图2，M是线段PC上一点，若OM平分∠COP，OM与线段CE交于点N．
①求证：△OMP∽△ONC；
②若CM＝10，tan∠CMO＝2，求ON的长．
24．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，直线y＝m与x轴平行，且与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的“准蝶形”，线段AB称为碟宽，顶点M称为碟顶．已知y1＝ax2﹣4ax﹣（a＞0）与直线y2＝x+m．
（1）抛物线y＝对应的碟宽为 ；
（2）抛物线y1＝ax2﹣4ax﹣（a＞0）对应的碟宽为6，且在x轴上，试求a的值；
（3）在（2）的条件下，当﹣2≤x≤1时，函数y＝y1+y2•x+的图象与x轴有两个不同公共点，求m的取值范围．
25．如图，抛物线y＝ax2+bx+c关于直线x＝1对称，与坐标轴交于A，B，C三点，且AB＝4，点D（2，）在抛物线上，直线l是一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的图象，点O是坐标原点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线l分四边形OBDC所成的面积比为1：2，求k的值；
（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线l交于M，N两点，问在y轴正半轴上是否存在一定点P，使得不论k取何值，直线PM与PN总是关于y轴对称？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．最大的负整数是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．不存在
解：负整数是负数且是整数，即最大的负整数是﹣1．
故选：C．
2．“中国疫苗，助力全球战疫”，据中国外交部数据显示，中国已向53个提出要求的发展中国家提供了疫苗援助，并正在向20多个国家出口疫苗．预计2021年我国生产的新冠疫苗总产量将会超过20亿剂，必将为全球抗疫作出重大贡献．将数据“20亿”用科学记数法表示为（ ）
A．2×108 B．2×109 C．2×1010 D．20×108
解：20亿＝2000000000＝2×109，
故选：B．
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．a6÷a2＝a3 B．a2+2a＝3a3
C．（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6 D．（2a+b）2＝4a2+b2+2ab
解：A．a6÷a2＝a4，原说法错误，故选项不符合题意；
B．a2和2a不能合并，，原说法错误，故选项不符合题意；
C．（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6，正确，故选项符合题意；
D．（2a+b）2＝4a2+b2+4ab，原说法错误，故选项不符合题意；
故选：C．
5．如图，已知AB∥CD，CE平分∠ACD，交AB于点B，∠ABE＝150°，则∠A为（ ）
A．110° B．120° C．135° D．150°
解：∵∠ABE＝150°，
∴∠ABC＝30°，
又∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD＝30°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACD＝2∠BCD＝60°，
又∵AB∥CD，
∴∠A+∠ACD＝180°，
∴∠A＝180°﹣∠ACD＝180°﹣60°＝120°．
故选：B．
6．化简的结果是（ ）
A．a+b B．b﹣a C．a﹣b D．﹣a﹣b
解：原式＝﹣＝＝＝a+b，
故选：A．
7．已知，直线y＝（n﹣2）x+n经过第二、三、四象限，则n的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
解：∵直线y＝（n﹣2）x+n经过第二、三、四象限，
∴，
∴n＜0．
故选：B．
8．下列命题，真命题是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．有一个角为直角的四边形为矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．一组邻边相等的矩形是正方形
解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或梯形，本选项说法是假命题；
B、有一个角为直角的平行四边形为矩形，本选项说法是假命题；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，本选项说法是假命题；
D、一组邻边相等的矩形是正方形，本选项说法是真命题；
故选：D．
9．如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他做了如下操作：（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE＝α；（2）量得测角仪的高度CD＝1.2米；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB＝m米．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（ ）
A．（1.2+）米 B．（1.2+）米
C．（1.2+m sinα）米 D．（1.2+m tanα）米
解：过C作CF⊥AB于F，则四边形BFCD是矩形，
∴BF＝CD＝1.2米，CF＝BD＝m米，
∵∠ACF＝α，
∴tanα＝＝，
∴AF＝m•tanα，
∴AB＝BF+AF＝（1.2+mtanα）（米），
即旗杆的高度为（1.2+mtanα）米，
故选：D．
10．如图，直线y＝﹣x+2与y轴交于点A，与直线y＝x交于点D，以AD为边向左作菱形ABCD，点C恰与原点O重合，抛物线y＝（x﹣h）2+k的顶点在直线y＝x移动．若抛物线与菱形的边AD、CD都有公共点，则h的取值范围是（ ）
A．﹣≤h≤2 B．﹣1≤h≤2 C．﹣≤h≤1 D．﹣≤h≤1
解：将y＝﹣x+2与y＝联立得：，解得：．
∴点D的坐标为（2，1）．
由抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为（h，k）．
∵将x＝h，y＝k，代入得y＝x得：h＝k，解得k＝h，
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣h）2+h．
当抛物线经过点C时．
将C（0，0）代入y＝（x﹣h）2+h得：h2+h＝0，解得：h1＝0（舍去），h2＝﹣．
当抛物线经过点D时．
将D（2，1）代入y＝（x﹣h）2+h得：（2﹣h）2+h＝1，整理得：2h2﹣7h+6＝0，解得：h1＝2，h2＝（舍去）．
综上所述，h的范围是﹣≤h≤2．
故选：A．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．分解因式：9m2﹣n2＝ （3m+n）（3m﹣n） ．
解：原式＝（3m）2﹣n2＝（3m+n）（3m﹣n），
故答案为：（3m+n）（3m﹣n）．
12．如图，直线l1∥l2，点A在l1上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点；连接AC，BC．若∠ABC＝65°，则∠1的大小为 50° ．
解：∵AC＝AB，
∴∠ACB＝∠ABC＝65°，
根据三角形的内角和定理得：∠ACB+∠ABC+∠CAB＝180°，
∴∠CAB＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
∵l1∥l2，
∴∠1＝∠CAB＝50°，
故答案为：50°．
13．使二次根式有意义的x的取值范围是 x＞﹣2 ．
解：∵二次根式有意义，
∴＞0，x+2≠0，
∴x+2＞0，
解得：x＞﹣2．
故答案为：x＞﹣2．
14．平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标为（﹣4，﹣5），半径为5，那么⊙P与y轴的位置关系是 相交 ．
解：∵⊙P的圆心坐标为（﹣4，﹣5），
∴⊙P到y轴的距离d为4，
∵d＝4＜r＝5，
∴y轴与⊙P相交，
故答案为：相交．
15．在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1的相似比是2：1，并且是关于原点O的位似图形，若点B的坐标为（﹣4，﹣2），则其对应点B1的坐标是 （﹣2，﹣1）或（2，1） ．
解：∵△ABC与△A1B1C1的相似比是2：1，并且是关于原点O的位似图形，点B的坐标为（﹣4，﹣2），
∴其对应点B1的坐标是（﹣4×，﹣2×）或（﹣4×（﹣），﹣2×（﹣）），即（﹣2，﹣1）或（2，1），
故答案为：（﹣2，﹣1）或（2，1）．
16．已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝ 3或 ．
解：∵二次函数y＝mx2+2mx+1＝m（x+1）2﹣m+1，
∴对称轴为直线x＝﹣1，
①m＞0，抛物线开口向上，
x＝﹣1时，有最小值y＝﹣m+1＝﹣2，
解得：m＝3；
②m＜0，抛物线开口向下，
∵对称轴为直线x＝﹣1，在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，
∴x＝2时，有最小值y＝4m+4m+1＝﹣2，
解得：m＝﹣；
故答案为：3或．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算（﹣）﹣2﹣（π﹣3）0+|﹣2|+2sin60°；
解：原式＝4﹣1+2﹣+2×
＝5﹣+
＝5．
18．先化简，再求值：
（x+2y）（x﹣2y）+（x﹣2y）2﹣（6x2y﹣2xy2）÷（2y），其中x＝﹣2，y＝．
解：（x+2y）（x﹣2y）+（x﹣2y）2﹣（6x2y﹣2xy2）÷（2y）
＝x2﹣4y2+x2﹣4xy+4y2﹣3x2+xy
＝﹣x2﹣3xy，
当x＝﹣2，y＝时，原式＝﹣（﹣2）2﹣3×（﹣2）×＝﹣4+3＝﹣1．
19．如图，在10×10正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．
（1）画出将△ABC向下平移4个单位后得到的△A′B′C′；
（2）画出将△A′B′C′绕点C′顺时针旋转90°后得到的△A″B″C′；
（3）求点A′旋转到A″所经过的路线长．
解：（1）画出△A'B'C'；
（2）画出△A''B''C'；
（3）连接A′C′＝＝．
点A'旋转到A''所经过的路线长为＝．
20．某中学为了解九年级学生对新冠肺炎防控知识的掌握情况，从全校九年级学生中随机抽取部分学生进行调查．调查结果分为四类：A类——非常了解；B类——比较了解；C类——一般了解；D类——不了解．现将调查结果绘制成如图不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 50 名学生．
（2）补全条形统计图．
（3）D类所对应扇形的圆心角的大小为 36° ．
（4）已知D类中有2名女生，现从D类中随机抽取2名同学，请用画树状图或列表格的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
解：（1）本次共调查的学生数为：20÷40%＝50（名）；
故答案为：50；
（2）C类学生人数为：50﹣15﹣20﹣5＝10（名），
条形图如下：
（3）D类所对应扇形的圆心角＝360°×＝36°；
故答案为36°；
（4）画树状图为：
共有20种等可能的结果，其中抽到一男一女的结果数为12，
所以恰好抽到一男一女的概率＝＝．
21．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AD＝10，EC＝4，求AC的长度．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD是矩形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，AD＝10，
∴AD＝AB＝BC＝10，
∵EC＝4，
∴BE＝10﹣4＝6，
在Rt△ABE中，AE＝，
在Rt△AEC中，AC＝．
22．某商店销售一种商品，小明经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：
售价x（元/件）
60
70
80
周销售量y（件）
100
80
60
周销售利润w（元）
2000
2400
2400
注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）
（1）该商品进价是 40 元/件；
（2）求y关于x的函数解析式．（不要求写出自变量的取值范围）
（3）当售价是多少元/件时，周销售利润最大，并求出最大利润．
解：（1）该商品进价是60﹣2000÷100＝40（元/件）；
故答案为：40．
（2）设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，将（60，100），（70，80）分别代入得：
，
解得：．
∴y关于x的函数解析式为y＝﹣2x+220．
（3）由题意得：
w＝y（x﹣40）
＝（﹣2x+220）（x﹣40）
＝﹣2x2+300x﹣8800
＝﹣2（x﹣75）2+2450，
∵二次项系数﹣2＜0，抛物线开口向下，
∴当售价是75元/件时，周销售利润最大，最大利润是2450元．
23．如图1，AB为⊙O的直径，P为AB延长线上的点，PD为⊙O的切线，切点为D，CD⊥AB，垂足为E，C在⊙O上，连接CO，PC．
（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）如图2，M是线段PC上一点，若OM平分∠COP，OM与线段CE交于点N．
①求证：△OMP∽△ONC；
②若CM＝10，tan∠CMO＝2，求ON的长．
【解答】证明：（1）连接OD，如图1，
∵PD为⊙O切线，
∴∠ODP＝90°，
∵AB⊥CD，且AB为⊙O直径，
∴AB垂直平分CD，
∴PC＝PD，
∴∠PCD＝∠PDC，
又∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴∠OCP＝∠OCD+∠PCD＝∠ODC+∠PDC＝90°，
∴OC⊥PC，
∴PC为⊙O的切线；
（2）①∵AB⊥CD，
∴∠CEP＝90°，
∴∠ECP+∠MPO＝90°，
又∠OCD+∠ECP＝90°，
∴∠MPO＝∠OCD，
又OM平分∠COP，
∴∠CON＝∠MOP，
∴△OMP∽△ONC；
（2）②∵∠CNM＝∠CON+∠OCN，
∠CMO＝∠CPO+∠MOP，
∴∠CNM＝∠CMN，
∴CM＝CN＝10，
过点C作CG⊥MN于G，
∵tan∠CMO＝2，
∴NG＝MG＝2，CG＝4，
在Rt△OCM中，由勾股定理得：OM＝，
∴ON＝OM﹣MN＝10．
24．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，直线y＝m与x轴平行，且与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的“准蝶形”，线段AB称为碟宽，顶点M称为碟顶．已知y1＝ax2﹣4ax﹣（a＞0）与直线y2＝x+m．
（1）抛物线y＝对应的碟宽为 4 ；
（2）抛物线y1＝ax2﹣4ax﹣（a＞0）对应的碟宽为6，且在x轴上，试求a的值；
（3）在（2）的条件下，当﹣2≤x≤1时，函数y＝y1+y2•x+的图象与x轴有两个不同公共点，求m的取值范围．
解：（1）∵△AMB为等腰直角三角形，AB∥x轴，
∴AC＝BC＝OC，
设点B的坐标为（m，m2），
把点B坐标代入y＝x2，
＝m，
解得：m＝2或0（0舍去），
∴AB＝4，
故答案为：4；
（2）∵抛物线：y＝ax2﹣4ax﹣的碟宽为6，且在x轴上，
∴AB＝6，
∵△AMB为等腰直角三角形，
∴AN＝BN＝MN＝3，
∵抛物线的对称轴为：x＝﹣＝2，
∴点B坐标为（5，0），
将（5，0）代入抛物线函数关系式，得
25a﹣20a﹣＝0，
解得：；
（3）∵y1＝x2﹣x﹣，y2＝x+m，
∴y＝y1+y2•x+＝x2﹣x﹣+（x+m）x+
＝x2+（m﹣）x﹣1，
此抛物线△＝（m﹣）2+4≥0，
∴抛物线与x轴有两个不同的交点，
∵当﹣2≤x≤1时，抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴当x＝﹣2，1时，对应函数值都≥0即可，
即，
解得：．
25．如图，抛物线y＝ax2+bx+c关于直线x＝1对称，与坐标轴交于A，B，C三点，且AB＝4，点D（2，）在抛物线上，直线l是一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的图象，点O是坐标原点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线l分四边形OBDC所成的面积比为1：2，求k的值；
（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线l交于M，N两点，问在y轴正半轴上是否存在一定点P，使得不论k取何值，直线PM与PN总是关于y轴对称？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵抛物线关于直线x＝1对称，AB＝4，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
∵点D（2，）在抛物线上，
∴＝a×3×（﹣1），解得a＝﹣，
∴抛物线解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+x+．
（2）∵抛物线解析式为：y＝﹣x2+x+，
令x＝0，得y＝，
∴C（0，），
∵D（2，），
∴CD∥OB，
∴直线CD解析式为y＝且S梯形OBDC＝×（2+3）×＝，
∵直线l解析式为y＝kx﹣2，
∴令y＝0，得x＝；令y＝，得x＝；
如答图1所示，设直线l分别与OB、CD交于点E、F，则E（，0），F（，），
∴OE＝，BE＝3﹣，CF＝，DF＝2﹣．
∵直线l分四边形OBDC所成的面积比为1：2，
∴S梯形OEFC＝S梯形OBDC或S梯形OBDC，
∴S梯形OEFC＝或，
∴（OE+CF）•OC＝或，
∴（+）•＝或，
解得：k＝或，
又∵当直线l经过D点（2，）时有＝2k﹣2，
∴k＝，
∵＜，＞，
∴k＝时，F在CD上；k＝时，F不在CD上，
令y＝x﹣2＝0，x＝，即OE＝，
∴BE＝3﹣＝，
∴此时△BED的面积＝•BE•＝＜，
∴直线l分四边形OBDC所成的面积比为1：2的另外一种情况，即直线l经过BD时是不存在的，
∴k＝；
（3）假设存在符合题意的点P，其坐标为（0，t）．
抛物线解析式为：y＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣1）2+2，
把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为：y＝﹣x2．
如答图2所示，过点M作MD⊥y轴于点D，NE⊥y轴于点E，
设M（xm，ym），N（xn，yn），则MD＝﹣xm，PD＝t﹣ym；NE＝xn，PE＝t﹣yn．
∵直线PM与PN关于y轴对称，
∴∠MPD＝∠NPE，
又∠MDP＝∠NEP＝90°，
∴Rt△PMD∽Rt△PNE，
∴，即①，
∵点M、N在直线y＝kx﹣2上，
∴ym＝kxm﹣2，yn＝kxn﹣2，
代入①式化简得：（t+2）（xm+xn）＝2kxmxn②，
把y＝kx﹣2代入y＝x2．
整理得：x2+2kx﹣4＝0，
∴xm+xn＝﹣2k，xmxn＝﹣4，
代入②式解得：t＝2，符合条件．
所以在y轴正半轴上存在一个定点P（0，2），使得不论k取何值，直线PM与PN总是关于y轴对称．
2021年湖南省长沙市雨花区南雅中学中考数学二模试卷
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．最大的负整数是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．不存在
2．“中国疫苗，助力全球战疫”，据中国外交部数据显示，中国已向53个提出要求的发展中国家提供了疫苗援助，并正在向20多个国家出口疫苗．预计2021年我国生产的新冠疫苗总产量将会超过20亿剂，必将为全球抗疫作出重大贡献．将数据“20亿”用科学记数法表示为（ ）
A．2×108 B．2×109 C．2×1010 D．20×108
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．a6÷a2＝a3 B．a2+2a＝3a3
C．（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6 D．（2a+b）2＝4a2+b2+2ab
5．如图，已知AB∥CD，CE平分∠ACD，交AB于点B，∠ABE＝150°，则∠A为（ ）
A．110° B．120° C．135° D．150°
6．化简的结果是（ ）
A．a+b B．b﹣a C．a﹣b D．﹣a﹣b
7．已知，直线y＝（n﹣2）x+n经过第二、三、四象限，则n的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
8．下列命题，真命题是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．有一个角为直角的四边形为矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．一组邻边相等的矩形是正方形
9．如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他做了如下操作：（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE＝α；（2）量得测角仪的高度CD＝1.2米；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB＝m米．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（ ）
A．（1.2+）米 B．（1.2+）米
C．（1.2+m sinα）米 D．（1.2+m tanα）米
10．如图，直线y＝﹣x+2与y轴交于点A，与直线y＝x交于点D，以AD为边向左作菱形ABCD，点C恰与原点O重合，抛物线y＝（x﹣h）2+k的顶点在直线y＝x移动．若抛物线与菱形的边AD、CD都有公共点，则h的取值范围是（ ）
A．﹣≤h≤2 B．﹣1≤h≤2 C．﹣≤h≤1 D．﹣≤h≤1
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．分解因式：9m2﹣n2＝ ．
12．如图，直线l1∥l2，点A在l1上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点；连接AC，BC．若∠ABC＝65°，则∠1的大小为 ．
13．使二次根式有意义的x的取值范围是 ．
14．平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标为（﹣4，﹣5），半径为5，那么⊙P与y轴的位置关系是 ．
15．在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1的相似比是2：1，并且是关于原点O的位似图形，若点B的坐标为（﹣4，﹣2），则其对应点B1的坐标是 ．
16．已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝ ．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算（﹣）﹣2﹣（π﹣3）0+|﹣2|+2sin60°；
18．先化简，再求值：
（x+2y）（x﹣2y）+（x﹣2y）2﹣（6x2y﹣2xy2）÷（2y），其中x＝﹣2，y＝．
19．如图，在10×10正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．
（1）画出将△ABC向下平移4个单位后得到的△A′B′C′；
（2）画出将△A′B′C′绕点C′顺时针旋转90°后得到的△A″B″C′；
（3）求点A′旋转到A″所经过的路线长．
20．某中学为了解九年级学生对新冠肺炎防控知识的掌握情况，从全校九年级学生中随机抽取部分学生进行调查．调查结果分为四类：A类——非常了解；B类——比较了解；C类——一般了解；D类——不了解．现将调查结果绘制成如图不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生．
（2）补全条形统计图．
（3）D类所对应扇形的圆心角的大小为 ．
（4）已知D类中有2名女生，现从D类中随机抽取2名同学，请用画树状图或列表格的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
21．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AD＝10，EC＝4，求AC的长度．
22．某商店销售一种商品，小明经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：
售价x（元/件）
60
70
80
周销售量y（件）
100
80
60
周销售利润w（元）
2000
2400
2400
注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）
（1）该商品进价是 元/件；
（2）求y关于x的函数解析式．（不要求写出自变量的取值范围）
（3）当售价是多少元/件时，周销售利润最大，并求出最大利润．
23．如图1，AB为⊙O的直径，P为AB延长线上的点，PD为⊙O的切线，切点为D，CD⊥AB，垂足为E，C在⊙O上，连接CO，PC．
（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）如图2，M是线段PC上一点，若OM平分∠COP，OM与线段CE交于点N．
①求证：△OMP∽△ONC；
②若CM＝10，tan∠CMO＝2，求ON的长．
24．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，直线y＝m与x轴平行，且与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的“准蝶形”，线段AB称为碟宽，顶点M称为碟顶．已知y1＝ax2﹣4ax﹣（a＞0）与直线y2＝x+m．
（1）抛物线y＝对应的碟宽为 ；
（2）抛物线y1＝ax2﹣4ax﹣（a＞0）对应的碟宽为6，且在x轴上，试求a的值；
（3）在（2）的条件下，当﹣2≤x≤1时，函数y＝y1+y2•x+的图象与x轴有两个不同公共点，求m的取值范围．
25．如图，抛物线y＝ax2+bx+c关于直线x＝1对称，与坐标轴交于A，B，C三点，且AB＝4，点D（2，）在抛物线上，直线l是一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的图象，点O是坐标原点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线l分四边形OBDC所成的面积比为1：2，求k的值；
（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线l交于M，N两点，问在y轴正半轴上是否存在一定点P，使得不论k取何值，直线PM与PN总是关于y轴对称？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．最大的负整数是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．不存在
解：负整数是负数且是整数，即最大的负整数是﹣1．
故选：C．
2．“中国疫苗，助力全球战疫”，据中国外交部数据显示，中国已向53个提出要求的发展中国家提供了疫苗援助，并正在向20多个国家出口疫苗．预计2021年我国生产的新冠疫苗总产量将会超过20亿剂，必将为全球抗疫作出重大贡献．将数据“20亿”用科学记数法表示为（ ）
A．2×108 B．2×109 C．2×1010 D．20×108
解：20亿＝2000000000＝2×109，
故选：B．
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．a6÷a2＝a3 B．a2+2a＝3a3
C．（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6 D．（2a+b）2＝4a2+b2+2ab
解：A．a6÷a2＝a4，原说法错误，故选项不符合题意；
B．a2和2a不能合并，，原说法错误，故选项不符合题意；
C．（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6，正确，故选项符合题意；
D．（2a+b）2＝4a2+b2+4ab，原说法错误，故选项不符合题意；
故选：C．
5．如图，已知AB∥CD，CE平分∠ACD，交AB于点B，∠ABE＝150°，则∠A为（ ）
A．110° B．120° C．135° D．150°
解：∵∠ABE＝150°，
∴∠ABC＝30°，
又∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD＝30°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACD＝2∠BCD＝60°，
又∵AB∥CD，
∴∠A+∠ACD＝180°，
∴∠A＝180°﹣∠ACD＝180°﹣60°＝120°．
故选：B．
6．化简的结果是（ ）
A．a+b B．b﹣a C．a﹣b D．﹣a﹣b
解：原式＝﹣＝＝＝a+b，
故选：A．
7．已知，直线y＝（n﹣2）x+n经过第二、三、四象限，则n的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
解：∵直线y＝（n﹣2）x+n经过第二、三、四象限，
∴，
∴n＜0．
故选：B．
8．下列命题，真命题是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．有一个角为直角的四边形为矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．一组邻边相等的矩形是正方形
解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或梯形，本选项说法是假命题；
B、有一个角为直角的平行四边形为矩形，本选项说法是假命题；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，本选项说法是假命题；
D、一组邻边相等的矩形是正方形，本选项说法是真命题；
故选：D．
9．如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他做了如下操作：（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE＝α；（2）量得测角仪的高度CD＝1.2米；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB＝m米．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（ ）
A．（1.2+）米 B．（1.2+）米
C．（1.2+m sinα）米 D．（1.2+m tanα）米
解：过C作CF⊥AB于F，则四边形BFCD是矩形，
∴BF＝CD＝1.2米，CF＝BD＝m米，
∵∠ACF＝α，
∴tanα＝＝，
∴AF＝m•tanα，
∴AB＝BF+AF＝（1.2+mtanα）（米），
即旗杆的高度为（1.2+mtanα）米，
故选：D．
10．如图，直线y＝﹣x+2与y轴交于点A，与直线y＝x交于点D，以AD为边向左作菱形ABCD，点C恰与原点O重合，抛物线y＝（x﹣h）2+k的顶点在直线y＝x移动．若抛物线与菱形的边AD、CD都有公共点，则h的取值范围是（ ）
A．﹣≤h≤2 B．﹣1≤h≤2 C．﹣≤h≤1 D．﹣≤h≤1
解：将y＝﹣x+2与y＝联立得：，解得：．
∴点D的坐标为（2，1）．
由抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为（h，k）．
∵将x＝h，y＝k，代入得y＝x得：h＝k，解得k＝h，
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣h）2+h．
当抛物线经过点C时．
将C（0，0）代入y＝（x﹣h）2+h得：h2+h＝0，解得：h1＝0（舍去），h2＝﹣．
当抛物线经过点D时．
将D（2，1）代入y＝（x﹣h）2+h得：（2﹣h）2+h＝1，整理得：2h2﹣7h+6＝0，解得：h1＝2，h2＝（舍去）．
综上所述，h的范围是﹣≤h≤2．
故选：A．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．分解因式：9m2﹣n2＝ （3m+n）（3m﹣n） ．
解：原式＝（3m）2﹣n2＝（3m+n）（3m﹣n），
故答案为：（3m+n）（3m﹣n）．
12．如图，直线l1∥l2，点A在l1上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点；连接AC，BC．若∠ABC＝65°，则∠1的大小为 50° ．
解：∵AC＝AB，
∴∠ACB＝∠ABC＝65°，
根据三角形的内角和定理得：∠ACB+∠ABC+∠CAB＝180°，
∴∠CAB＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
∵l1∥l2，
∴∠1＝∠CAB＝50°，
故答案为：50°．
13．使二次根式有意义的x的取值范围是 x＞﹣2 ．
解：∵二次根式有意义，
∴＞0，x+2≠0，
∴x+2＞0，
解得：x＞﹣2．
故答案为：x＞﹣2．
14．平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标为（﹣4，﹣5），半径为5，那么⊙P与y轴的位置关系是 相交 ．
解：∵⊙P的圆心坐标为（﹣4，﹣5），
∴⊙P到y轴的距离d为4，
∵d＝4＜r＝5，
∴y轴与⊙P相交，
故答案为：相交．
15．在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1的相似比是2：1，并且是关于原点O的位似图形，若点B的坐标为（﹣4，﹣2），则其对应点B1的坐标是 （﹣2，﹣1）或（2，1） ．
解：∵△ABC与△A1B1C1的相似比是2：1，并且是关于原点O的位似图形，点B的坐标为（﹣4，﹣2），
∴其对应点B1的坐标是（﹣4×，﹣2×）或（﹣4×（﹣），﹣2×（﹣）），即（﹣2，﹣1）或（2，1），
故答案为：（﹣2，﹣1）或（2，1）．
16．已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝ 3或 ．
解：∵二次函数y＝mx2+2mx+1＝m（x+1）2﹣m+1，
∴对称轴为直线x＝﹣1，
①m＞0，抛物线开口向上，
x＝﹣1时，有最小值y＝﹣m+1＝﹣2，
解得：m＝3；
②m＜0，抛物线开口向下，
∵对称轴为直线x＝﹣1，在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，
∴x＝2时，有最小值y＝4m+4m+1＝﹣2，
解得：m＝﹣；
故答案为：3或．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算（﹣）﹣2﹣（π﹣3）0+|﹣2|+2sin60°；
解：原式＝4﹣1+2﹣+2×
＝5﹣+
＝5．
18．先化简，再求值：
（x+2y）（x﹣2y）+（x﹣2y）2﹣（6x2y﹣2xy2）÷（2y），其中x＝﹣2，y＝．
解：（x+2y）（x﹣2y）+（x﹣2y）2﹣（6x2y﹣2xy2）÷（2y）
＝x2﹣4y2+x2﹣4xy+4y2﹣3x2+xy
＝﹣x2﹣3xy，
当x＝﹣2，y＝时，原式＝﹣（﹣2）2﹣3×（﹣2）×＝﹣4+3＝﹣1．
19．如图，在10×10正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．
（1）画出将△ABC向下平移4个单位后得到的△A′B′C′；
（2）画出将△A′B′C′绕点C′顺时针旋转90°后得到的△A″B″C′；
（3）求点A′旋转到A″所经过的路线长．
解：（1）画出△A'B'C'；
（2）画出△A''B''C'；
（3）连接A′C′＝＝．
点A'旋转到A''所经过的路线长为＝．
20．某中学为了解九年级学生对新冠肺炎防控知识的掌握情况，从全校九年级学生中随机抽取部分学生进行调查．调查结果分为四类：A类——非常了解；B类——比较了解；C类——一般了解；D类——不了解．现将调查结果绘制成如图不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 50 名学生．
（2）补全条形统计图．
（3）D类所对应扇形的圆心角的大小为 36° ．
（4）已知D类中有2名女生，现从D类中随机抽取2名同学，请用画树状图或列表格的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
解：（1）本次共调查的学生数为：20÷40%＝50（名）；
故答案为：50；
（2）C类学生人数为：50﹣15﹣20﹣5＝10（名），
条形图如下：
（3）D类所对应扇形的圆心角＝360°×＝36°；
故答案为36°；
（4）画树状图为：
共有20种等可能的结果，其中抽到一男一女的结果数为12，
所以恰好抽到一男一女的概率＝＝．
21．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AD＝10，EC＝4，求AC的长度．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD是矩形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，AD＝10，
∴AD＝AB＝BC＝10，
∵EC＝4，
∴BE＝10﹣4＝6，
在Rt△ABE中，AE＝，
在Rt△AEC中，AC＝．
22．某商店销售一种商品，小明经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：
售价x（元/件）
60
70
80
周销售量y（件）
100
80
60
周销售利润w（元）
2000
2400
2400
注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）
（1）该商品进价是 40 元/件；
（2）求y关于x的函数解析式．（不要求写出自变量的取值范围）
（3）当售价是多少元/件时，周销售利润最大，并求出最大利润．
解：（1）该商品进价是60﹣2000÷100＝40（元/件）；
故答案为：40．
（2）设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，将（60，100），（70，80）分别代入得：
，
解得：．
∴y关于x的函数解析式为y＝﹣2x+220．
（3）由题意得：
w＝y（x﹣40）
＝（﹣2x+220）（x﹣40）
＝﹣2x2+300x﹣8800
＝﹣2（x﹣75）2+2450，
∵二次项系数﹣2＜0，抛物线开口向下，
∴当售价是75元/件时，周销售利润最大，最大利润是2450元．
23．如图1，AB为⊙O的直径，P为AB延长线上的点，PD为⊙O的切线，切点为D，CD⊥AB，垂足为E，C在⊙O上，连接CO，PC．
（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）如图2，M是线段PC上一点，若OM平分∠COP，OM与线段CE交于点N．
①求证：△OMP∽△ONC；
②若CM＝10，tan∠CMO＝2，求ON的长．
【解答】证明：（1）连接OD，如图1，
∵PD为⊙O切线，
∴∠ODP＝90°，
∵AB⊥CD，且AB为⊙O直径，
∴AB垂直平分CD，
∴PC＝PD，
∴∠PCD＝∠PDC，
又∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴∠OCP＝∠OCD+∠PCD＝∠ODC+∠PDC＝90°，
∴OC⊥PC，
∴PC为⊙O的切线；
（2）①∵AB⊥CD，
∴∠CEP＝90°，
∴∠ECP+∠MPO＝90°，
又∠OCD+∠ECP＝90°，
∴∠MPO＝∠OCD，
又OM平分∠COP，
∴∠CON＝∠MOP，
∴△OMP∽△ONC；
（2）②∵∠CNM＝∠CON+∠OCN，
∠CMO＝∠CPO+∠MOP，
∴∠CNM＝∠CMN，
∴CM＝CN＝10，
过点C作CG⊥MN于G，
∵tan∠CMO＝2，
∴NG＝MG＝2，CG＝4，
在Rt△OCM中，由勾股定理得：OM＝，
∴ON＝OM﹣MN＝10．
24．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，直线y＝m与x轴平行，且与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的“准蝶形”，线段AB称为碟宽，顶点M称为碟顶．已知y1＝ax2﹣4ax﹣（a＞0）与直线y2＝x+m．
（1）抛物线y＝对应的碟宽为 4 ；
（2）抛物线y1＝ax2﹣4ax﹣（a＞0）对应的碟宽为6，且在x轴上，试求a的值；
（3）在（2）的条件下，当﹣2≤x≤1时，函数y＝y1+y2•x+的图象与x轴有两个不同公共点，求m的取值范围．
解：（1）∵△AMB为等腰直角三角形，AB∥x轴，
∴AC＝BC＝OC，
设点B的坐标为（m，m2），
把点B坐标代入y＝x2，
＝m，
解得：m＝2或0（0舍去），
∴AB＝4，
故答案为：4；
（2）∵抛物线：y＝ax2﹣4ax﹣的碟宽为6，且在x轴上，
∴AB＝6，
∵△AMB为等腰直角三角形，
∴AN＝BN＝MN＝3，
∵抛物线的对称轴为：x＝﹣＝2，
∴点B坐标为（5，0），
将（5，0）代入抛物线函数关系式，得
25a﹣20a﹣＝0，
解得：；
（3）∵y1＝x2﹣x﹣，y2＝x+m，
∴y＝y1+y2•x+＝x2﹣x﹣+（x+m）x+
＝x2+（m﹣）x﹣1，
此抛物线△＝（m﹣）2+4≥0，
∴抛物线与x轴有两个不同的交点，
∵当﹣2≤x≤1时，抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴当x＝﹣2，1时，对应函数值都≥0即可，
即，
解得：．
25．如图，抛物线y＝ax2+bx+c关于直线x＝1对称，与坐标轴交于A，B，C三点，且AB＝4，点D（2，）在抛物线上，直线l是一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的图象，点O是坐标原点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线l分四边形OBDC所成的面积比为1：2，求k的值；
（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线l交于M，N两点，问在y轴正半轴上是否存在一定点P，使得不论k取何值，直线PM与PN总是关于y轴对称？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵抛物线关于直线x＝1对称，AB＝4，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
∵点D（2，）在抛物线上，
∴＝a×3×（﹣1），解得a＝﹣，
∴抛物线解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+x+．
（2）∵抛物线解析式为：y＝﹣x2+x+，
令x＝0，得y＝，
∴C（0，），
∵D（2，），
∴CD∥OB，
∴直线CD解析式为y＝且S梯形OBDC＝×（2+3）×＝，
∵直线l解析式为y＝kx﹣2，
∴令y＝0，得x＝；令y＝，得x＝；
如答图1所示，设直线l分别与OB、CD交于点E、F，则E（，0），F（，），
∴OE＝，BE＝3﹣，CF＝，DF＝2﹣．
∵直线l分四边形OBDC所成的面积比为1：2，
∴S梯形OEFC＝S梯形OBDC或S梯形OBDC，
∴S梯形OEFC＝或，
∴（OE+CF）•OC＝或，
∴（+）•＝或，
解得：k＝或，
又∵当直线l经过D点（2，）时有＝2k﹣2，
∴k＝，
∵＜，＞，
∴k＝时，F在CD上；k＝时，F不在CD上，
令y＝x﹣2＝0，x＝，即OE＝，
∴BE＝3﹣＝，
∴此时△BED的面积＝•BE•＝＜，
∴直线l分四边形OBDC所成的面积比为1：2的另外一种情况，即直线l经过BD时是不存在的，
∴k＝；
（3）假设存在符合题意的点P，其坐标为（0，t）．
抛物线解析式为：y＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣1）2+2，
把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为：y＝﹣x2．
如答图2所示，过点M作MD⊥y轴于点D，NE⊥y轴于点E，
设M（xm，ym），N（xn，yn），则MD＝﹣xm，PD＝t﹣ym；NE＝xn，PE＝t﹣yn．
∵直线PM与PN关于y轴对称，
∴∠MPD＝∠NPE，
又∠MDP＝∠NEP＝90°，
∴Rt△PMD∽Rt△PNE，
∴，即①，
∵点M、N在直线y＝kx﹣2上，
∴ym＝kxm﹣2，yn＝kxn﹣2，
代入①式化简得：（t+2）（xm+xn）＝2kxmxn②，
把y＝kx﹣2代入y＝x2．
整理得：x2+2kx﹣4＝0，
∴xm+xn＝﹣2k，xmxn＝﹣4，
代入②式解得：t＝2，符合条件．
所以在y轴正半轴上存在一个定点P（0，2），使得不论k取何值，直线PM与PN总是关于y轴对称．
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