2024-2025学年度北师版八上数学-第一章-勾股定理-回顾与思考【课外培优课件】

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第一章　勾股定理回顾与思考 1. 在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（　C　）2. 在△ ABC 中，已知 AC ＝15， AB ＝17，∠ C ＝90°，则△ ABC 的周长等于（　B　）CB3. 小华和小刚两兄弟同时从家去同一所学校上学，步行速度都是50m/min.小华从家到学校走直线用了10min，而小刚从家出发先去找小明再到学校（均走直线），小刚到小明家用了6min，从小明家到学校用了8min，小刚上学所走路线是（　C　）C4. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ B ＝90°，以 AC 长为直径的圆恰好过点 B . 若 AB ＝8， BC ＝6，则阴影部分的面积是 ⁠（结果保留π）.25π－24　5. 如图，折叠长方形 ABCD ，使点 D 落在边 BC 上的点 F 处.若 AB ＝8， BC ＝10，则 EC 的长为 ⁠.3　6. 如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从点 A 处绕到正上方的点 B 处.已知知圆柱底面周长是3m，高为16m，则所需彩带最短是 m.20　7. 如图，在△ ABC 中，已知∠ ACB ＝90°，过点 C 作 CD ⊥ AB 于点 D . （1）通过观察，找出图中所有的直角三角形；（2）若 AC ＝0.75cm， AB ＝1.25cm，试求 CD 的长和△ ABC 的面积.解：（1）由题意，得直角三角形有Rt△ ADC ，Rt△ BDC 和Rt△ ABC .  8. 某地区加速推进“三改一通一落地”，加速城市更新步伐.如图，绿地广场有一块三角形空地将进行绿化.在△ ABC 中， AB ＝ AC ，点 E 是 AC 上的一点， CE ＝5m， BC ＝13m， BE ＝12m.（1）判断△ ABE 的形状，并说明理由；（2）求线段 AB 的长.解：（1）△ ABE 是直角三角形.理由如下：因为 BC2＝132＝169， BE2＝122＝144， CE2＝52＝25，所以 BE2＋ CE2＝169＝ BC2.所以△ BCE 是直角三角形，且∠ BEC ＝90°.所以 BE ⊥ AC . 所以△ ABE 是直角三角形.（2）设 AB ＝ AC ＝ x m，则 AE ＝（ x －5）m.由（1）可知，△ ABE 是直角三角形，所以 BE2＋ AE2＝ AB2，即122＋（ x －5）2＝ x2，解得 x ＝16.9.所以 AB ＝16.9m. 9. 如图，在3×3的网格上标出了∠1和∠2，则∠1＋∠2的度数为 ⁠.45°　【解析】如答图，连接 BC . 因为 AP ∥ BQ ， CM ∥ AN ，所以∠1＝∠ BAP ，∠2＝∠ CAN . 设每个小正方形的边长为 a ，则 AB2＝ BC2＝ a2＋（2 a ）2＝5 a2， AC ＝ a2＋（3 a ）2＝10 a2，所以 AB2＋ BC2＝5 a2＋5 a2＝10 a2＝ AC2.所以△ ABC 是等腰直角三角形，且∠ ABC ＝90°.所以∠ BAC ＝45°.所以∠ BAP ＋∠ CAN ＝45°.所以∠1＋∠2＝45°.故答案为45°.答图10. 《九章算术》提供了许多勾股数，如（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）等，并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”.后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若 m 是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，则 m 与这两个整数构成一组勾股数；若 m 是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1得到两个整数，则 m 与这两个整数构成一组勾股数.由上述方法得到的勾股数称为“由 m 生成的勾股数”.根据以上规律，“由8生成的勾股数”的“弦数”为 ⁠.17　 11. 如图，长方形地面 ABCD 的长 AB ＝22m，宽 AD ＝7m，中间竖有一堵砖墙，其高 MN ＝1m.若一只蚂蚁从点 A 爬到点 C ，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要爬 m.25　【解析】如图，将其表面展开，则原图长度增加2m，即 AB ＝22＋2＝24（m），连接 AC . 因为四边形 ABCD 是长方形， AB ＝24m， AD ＝7m，所以 AC2＝ AB2＋ BC2＝242＋72＝625.所以 AC ＝25m（负值舍去）.所以蚂蚁从点 A 爬到点 C ，它至少要爬25m的路程.故答案为25.12. 如图，在△ ABC 中，已知 AB ＝ AC ＝10， BC ＝16，点 D 在 BC 上， DA ⊥ CA 于点 A . 求 BD 的长. 答图 答图 13. （选做）如图，在△ ABC 中，∠ B ＝90°， AB ＝8cm， BC ＝6cm，点 P ， Q 分别是△ ABC 的边 AB ， BC 上的两个动点.点 P 从点 A 开始，沿 A → B 运动，速度为1cm/s；点 Q 从点 B 开始，沿 B → C → A 运动，速度为2cm/s.它们同时出发，各自到达终点时停止.设运动的时间为 t （s）.（1）在运动过程中，当 t 为何值时，△ APC 是等腰三角形？（2）当点 Q 在边 CA 上运动时，求能使△ BCQ 成为等腰三角形的运动时间 t 的值.备用图 （2）在△ ABC 中，由勾股定理，得 AC2＝ AB2＋ BC2＝82＋62＝100，所以 AC ＝10cm（负值舍去）.当点 Q 在 AC 上时， AQ ＝ BC ＋ AC －2 t ＝（16－2 t ）cm， CQ ＝2 t － BC ＝（2 t －6）cm.要使△ BCQ 成为等腰三角形，有以下三种情况：①当 CQ ＝ CB ＝6cm时，如图1，则2 t －6＝6；解得 t ＝6；图1②当 QC ＝ QB 时，如图2，则∠ C ＝∠ QBC . 又因为∠ C ＋∠ A ＝90°＝∠ CBQ ＋∠ QBA ，所以∠ A ＝∠ QBA . 所以 QB ＝ QA . 图2   图3图3 所以△ BCD ≌△ BQD （SSS），所以∠ BDC ＝∠ BDQ . 又因为∠ BDC ＋∠ BDQ ＝180°，所以∠ BDC ＝90°，即 BD ⊥ AC .   在Rt△ BCD 中，由勾股定理，得    演示完毕 谢谢观看