2023-2024学年福建省莆田市城厢区文献中学九年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省莆田市城厢区文献中学九年级（下）期中数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.实数2023的相反数是( )
A. −2023B. −12023C. 12023D. 2023
2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.2023年2月10日，神舟十五号航天员乘组圆满完成了首次出舱任务，据了解，这艘飞船的时速为每小时28000千米，28000千米用科学记数法表示应为( )
A. 0.28×105千米B. 2.8×103千米C. 2.8×104千米D. 28×103千米
4.一个几何体如图所示，它从左面看的图形是( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，某型号电动车开门时，车门与车身的最大展开度数∠BAC=62°，若车门宽度AC=AB=90cm，则司机恰好进入车体时他身体的宽度BC的最大值约为(结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cs31°≈0.86，tan31°≈0.60)( )
A. 99.2cm
B. 98.6cm
C. 95.8cm
D. 93.6cm
6.某班学生开展献爱心活动，积极向灾区捐款，下图是该班50名同学捐款情况的条形统计图，则该班同学捐款金额的平均数和众数分别是( )
A. 46元，10元B. 10元，46元C. 46元，20元D. 20元，46元
7.如图，正三角形PMN的顶点分别是正六边形ABCDEF三边的中点，则正三角形PMN与正六边形ABCDEF的周长之比( )
A. 1：2
B. 2：3
C. 3：4
D. 3：8
8.如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，∠ADC=115°，则∠BAC的度数是( )
A. 25°
B. 30°
C. 35°
D. 40°
9.如图，一只正方体箱子沿着斜面CG向上运动，∠C=α，箱高AB=1米，当BC=2米时，点A离地面CE的距离是米．( )
A. 1csα+2sinα
B. 1csα+12sinα
C. csα+2sinα
D. 2csα+sinα
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
10.因式分解：2x3−8x=______．
11.某班从甲、乙、丙三位选手中随机选取两人参加校体能测试，恰好选中甲、乙两位手的概率是______．
12.若y=kx的图象在第二、四象限，则k的值可以是______(填上一个满足条件的k值)．
13.已知圆锥的母线长5，底面半径为3，则圆锥的侧面积为______．
14.在中国历法中，甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，它们经常和其它汉字来搭配命名，如化学中的“甲烷、乙烷、丙烷”等，如图为有机物甲烷、乙烷、丙烷的分子结构图，请你依照规律，推测出壬烷中“H”的个数为______．
15.如图，含30°的直角三角板ABC(其中∠ABC=90°)的三个顶点均在反比例函数y=1x的图象上，且斜边AC经过原点O，则直角三角板ABC的面积为______．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
解一元一次不等式组2x+1>x①x<−3x+8②．
17.(本小题6分)
如图，BD/​/AC，BD=BC，点E在BC上，且BE=AC.求证：∠D=∠ABC．
18.(本小题8分)
先化简，再求值：m−33m2−6m÷(m+2−5m−2)，其中m2+3m=1．
19.(本小题10分)
如图，在△ABC中，点I是△ABC的内心．
(1)求作过点I且平行于BC的直线，与AB，AC分别相交于点D，E(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
(2)若AB=6，AC=8，DE=143，求BC的长．
20.(本小题10分)
贵州“村超”火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江(三宝侗寨)和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”.“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐.甲乙丙三人模仿“村超”进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．
(1)求第4局甲当裁判的概率；
(2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率．
21.(本小题10分)
为了迎接疫情彻底结束后的购物高峰，某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋.其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表．
已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．
(1)求m的值；
(2)现专卖店欲购进甲、乙两种运动鞋共200双，准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a元(6022.(本小题12分)
阅读下列材料，回答问题．
【背景】如图1，有一条两岸近似平行的河，即两岸a，b可以看成a/​/b，并且河岸a上有一颗小树M．
【任务】在不过河的前提下，测量这条河的宽度．
【工具】一把皮尺(测量长度远大于河宽)、一副三角板和一台测角仪，如图2.皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离(这两点间的距离不大于皮尺的测量长度)；测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P，Q两点，可测得∠POQ的大小，如图3．
【应用】小刚同学通过借助一副三角板操作和利用皮尺测量等活动，求出了这条河的宽度.其活动过程如下(如图4)：
①将一块含30°的三角板ABC的直角边BC与近岸b重合，再沿着b移动三角板ABC使视线沿AC到达小树M的位置；
②将一块含45°的三角板DEF的直角边EF与近岸b重合，再沿着b移动三角板DEF使视线沿DF到达小树M的位置；
③利用皮尺测量出CF的长度h m，即可求出这条河的宽度．
回答问题：
(1)根据小刚的操作过程求这条河的宽度；
(2)请你只利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求出这条河的宽度，简要写出你的操作过程及求解过程.(要求：测量得到的长度用字母a，b，c…表示，角度用α，β，γ…表示)．
23.(本小题12分)
已知菱形ABCD的边长为1.∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F．
(1)特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心；
(2)若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P.猜想验证：如图2.猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明．
24.(本小题12分)
抛物线y=ax2+bx−3a与y轴交于点C(0,3)，与x轴交于点A和点B，点A在点B左侧，连接AC，BC，若对称轴为直线x=1．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若点D是抛物线上一动点，且满足∠DBC=45°−∠ACO，求点D坐标；
(3)直线l：y=−x+b，l交抛物线于M、N两点(点M在点N左侧)，直线MC和NB交于点P，求证：点P的横坐标是定值
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：实数2023的相反数是−2023，
故选：A．
根据相反数的意义即可解答．
本题考查了实数的性质，相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A.原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D.原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3.【答案】C
【解析】解：28000千米=2.8×104千米．
故选：C．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】B
【解析】解：从左面看该几何体，所得到的图形如下：
故选：B．
分析：
本题考查简单几何体从不同方向看的形状，理解视图的意义，掌握“能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示”是正确判断的关键．
5.【答案】D
【解析】解：过A作AD⊥BC于D，如图：
∵AB=AC，
∴BD=CD，∠BAD=∠CAD=12∠BAC=31°，
在Rt△ABD中，BD=AB⋅sin∠BAD，
∴BD=90×sin30°≈46.8(cm)，
∴BC=2BD≈93.6(cm)；
故选：D．
过A作AD⊥BC于D，由AB=AC，得BD=CD，∠BAD=∠CAD=12∠BAC=31°，在Rt△ABD中，BD=90×sin30°≈46.8(cm)，故BC=2BD≈93.6(cm)．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义．
6.【答案】A
【解析】解：捐款10元的人数为20人，最多，则众数为10元，
平均数=150(10×20+20×5+50×10+100×15)=46(元)，
故选：A．
根据条形图中每组捐款人数，再根据平均数和众数的定义得出答案即可．
本题考查了条形统计图，掌握平均数和众数的定义是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：连接BE，过点F作FQ/​/AB交BE于Q，如下图所示：
设AF=a，
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴AB=BC=CD=DE=EF=AF=a，正六边形的每个内角为16×(6−2)×180°=120°，
∴正六边形ABCDEF的周长为6a，
根据正六边形的性质得：BE为对称轴，
∴∠BEF=12∠DEF=60°，
∴∠AFE+∠BEF=120°+60°=180°，
∴AF/​/BE，
∴四边形ABEF为梯形，
又∵FQ//AB，
∴四边形ABQF为平行四边形，
∵AB=AF，
∴平行四边形ABQF为菱形，
∴FQ=AB=EF，
∴△EFQ为正三角形，
∴EQ=EF=a，
∴BE=BQ+EQ=2a，
∴点P，N分别是AB，EF的中点，
∴PN为梯形ABEF的中位线，
∴PN=1/2(AF+BE)=12(a+2a)=1.5a，
∴正三角形PMN的周长为：4.5a，
∴正三角形PMN的周长与正六边形ABCDEF的周长之比为：4.5a：6a=3：4．
故选：C．
连接BE，过点F作FQ/​/AB交BE于Q，设AF=a，根据正六边形性质得正六边形的每个内角120°，周长为6a，BE为对称轴，进而得∠BEF=60°，由此可证AF/​/BE，则四边形ABEF为梯形，四边形ABQF为菱形，再证△EFQ为正三角形，则EQ=EF=a，进而得BE=BQ+EQ=2a，然后根据梯形中位线得PN=1.5a，进而得正三角形PMN的周长为4.5a，据此即可得出答案．
此题考查主要考查了正六边形的性质，等边三角形的性质，梯形的判定和梯形的中位线定理，熟练掌握正六边形的性质，等边三角形的性质，梯形的判定和梯形的中位线定理是解决问题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：如图，连接OC，
∵∠ADC=115°，
∴优弧ABC所对的圆心角为2×115°=230°，
∴∠BOC=230°−180°=50°，
∴∠BAC=12∠BOC=25°，
故选：A．
连接OC，利用圆周角定理及角的和差求得∠BOC的度数，进而求得∠BAC的度数．
本题考查圆周角定理，结合已知条件求得∠BOC的度数是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：过点B作BM⊥AD，垂足为M，
由题意得：BE=DM，∠ABC=∠BEC=∠ADC=90°，
∴∠C+∠CFD=90°，∠AFB+∠BAF=90°，
∵∠CFD=∠AFB，
∴∠C=∠BAF=α，
在Rt△ABM中，AB=1米，
∴AM=AB⋅csα=csα(米)，
在Rt△CBE中，BC=2米，
∴BE=BC⋅sinα=2sinα(米)，
∴DM=BE=2sinα米，
∴AD=AM+DM=(csα+2sinα)米，
∴点A离地面CE的距离是(csα+2sinα)米，
故选：C．
过点B作BM⊥AD，垂足为M，根据题意可得BE=DM，∠ABC=∠BEC=∠ADC=90°，再利用等角的余角相等可得∠C=∠BAF=α，然后在Rt△ABM中，利用锐角三角函数的定义求出AM的长，再在Rt△CBE中，利用锐角三角函数的定义求出BE的长，从而求出DM的长，最后进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
10.【答案】2x(x+2)(x−2)
【解析】【分析】
先提公因式2x，分解成2x(x2−4)，而x2−4可利用平方差公式分解．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式后再利用平方差公式继续进行因式分解，分解因式一定要彻底．
【解答】
解：2x3−8x=2x(x2−4)=2x(x+2)(x−2)．
故答案为2x(x+2)(x−2)．
11.【答案】13
【解析】解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两位手的结果有2种，
∴恰好选中甲、乙两位手的概率是26=13，
故答案为：13．
画树状图，共有6种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两位手的结果有2种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
12.【答案】−1
【解析】解：∵若y=kx的图象在第二、四象限，
根据反比例函数的性质k<0，
k的值可以是−1(答案不唯一)．
根据反比例函数的性质解答．
定义：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=kx(k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数．
反比例函数的性质：当k>0时，图象分别位于第一、三象限；当k<0时，图象分别位于第二、四象限．
13.【答案】15π
【解析】解：圆锥的侧面积=2π×3×5÷2=15π．
圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
本题考查圆锥的侧面积的求法．
14.【答案】20
【解析】解：由图可得，
甲烷分子结构式中“H”的个数是2+2×1=4；
乙烷分子结构式中“H”的个数是2+2×2=6；
丙烷分子结构式中“H”的个数是2+2×3=8；
…，
∴第9个壬烷分子结构式中“H”的个数是：2+2×9=20；
故答案为：20．
根据题目中的图形，可以发现“H”的个数的变化特点，然后即可写出第9个壬烷分子结构式中“H”的个数．
本题考查图形类规律探究，解答本题的关键是明确题意，发现“H”的个数的变化特点．
15.【答案】2 3
【解析】解：如图，连接OB，
∵含30°的直角三角板ABC(其中∠ABC=90°)，OA=OC，
∴OB=12AC=OA，AB=12AC=OA，
∴OA=OB=AB，
∴△OAB为等边三角形，
∵点A，B在反比例函数y=1x的图象上，
∴点A，B关于直线y=x对称，
设点A(a,1a)，则点B(1a,a)，
∵OA2=AB2，
∴a2+1a2=(a−1a)2+(1a−a)2，
化简得：a2+1a2=4，
∴S△ABC=2S△OAB=2× 34OA2= 32×(a2+1a2)=2 3．
故答案为：2 3．
连接OB，由题意，可得△OAB为等边三角形，即点A，B关于直线y=x对称，设点A(a,1a)，则点B(1a,a)，根据OA2=AB2，可得a2+1a2=(a−1a)2+(1a−a)2，即a2+1a2=4，所以S△ABC=2S△OAB=2× 34OA2= 32×(a2+1a2)=2 3．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积的计算，解题的关键是得出点A，B关于直线y=x对称．
16.【答案】解：解不等式①，得x>−1，
解不等式②，得x<2，
所以原不等式组的解集是−1【解析】先解每一个不等式，再求它们的公共部分．
本题考查了解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式是解题的关键，
17.【答案】证明：∵BD/​/AC，
∴∠ACB=∠EBD，
在△ABC和△EDB中，
CB=BD∠ACB=∠EBDAC=EB，
∴△ABC≌△EDB(SAS)，
∴∠ABC=∠D．
【解析】先根据平行线的性质得到∠ACB=∠EBD，然后根据“SAS”可判断△ABC≌△EDB，从而根据全等三角形的性质得到结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
18.【答案】解：原式=m−33m(m−2)÷(m2−4m−2−5m−2)
=m−33m(m−2)÷m2−9m−2
=m−33m(m−2)⋅m−2(m+3)(m−3)
=13m(m+3)
=13m2+9m，
当m2+3m=1时，
原式=13(m2+3m)
=13×1
=13．
【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m2+3m=1整体代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
19.【答案】解：(1)如图，连接BI，作∠DIB=∠IBC，直线ID交AC于E点，
则直线DE为所作；
(2)连接CI，如图，
∵点I是△ABC的内心，
∴BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，
∴∠DBI=∠CBI，∠ECI=∠BCI，
∵DE/​/BC，
∴∠DIB=∠CBI，∠EIC=∠BCI，
∴∠DIB=∠DBI，∠EIC=∠ECI，
∴DB=DI，EI=EC，
设BD=x，则DI=x，CE=EI=143−x，
∵DE/​/BC，
∴BD：BA=CE：CA，
即x：6=(143−x)：8，
解得x=2，
∴AD=AB−BD=4，
∵DE/​/BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DE：BC=AD：AB，即143：BC=4：6，
解得BC=7，
即BC的长为7．
【解析】(1)连接BI，作∠DIB=∠IBC，根据平行线的判定方法可得到DE/​/BC；
(2)连接CI，如图，根据三角形内心的性质得到BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，则可证明∠DIB=∠DBI，∠EIC=∠ECI，所以DB=DI，EI=EC，设BD=x，则DI=x，CE=EI=143−x，根据平行线分线段成比例得到BD：BA=CE：CA，即x：6=(143−x)：8，则可求出x=2，然后证明△ADE∽△ABC，则利用相似比可求出BC的长．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的性质和等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质．
20.【答案】解：(1)要第4局甲当裁判，则第3局甲输，
∵第1局甲当裁判，
∴第2局甲为选手，
∵每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，
∴第2局甲获胜，
∴第4局甲当裁判的概率=12×(1−12)=14；
(2)∵第1局甲当裁判，
∴乙恰好当1次裁判出现在第2、3、4局，
∴当在第2局时的概率=(1−12)×12=14，
当在第3局时的概率=12×(1−12)=14，
当在第4局时的概率=12×12×(1−12)=18，
∴乙恰好当1次裁判的概率=14+14+18=58．
【解析】(1)本题考查了概率的计算，逐局分析胜负计算概率即可解题．
(2)考虑前4局中乙恰好当1次裁判出现的局数，逐一计算概率，即可解题．
本题考查了概率的计算及用列举法求概率，熟练掌握概率的运算法则是解题的关键．
21.【答案】解：(1)依题意得，
3000m=2400m−20，
整理得，3000(m−20)=2400m，解得m=100，
经检验，m=100是原分式方程的解，
∴m=100；
(2)设购进甲种运动鞋n双，则乙种运动鞋(200−a)双，根据题意得，
100n+80(200−n)≤18000n≥95
解得95≤n≤100，
设总利润为W，则W=(240−100−a)n+(160−80)(200−n)=(60−a)n+16000(95≤n≤100)，
∵60∴60−a<0，
∴W随n的增大而减小，
∴当n=95时，W有最大值，即该专卖店要获得最大利润，此时应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋200−95=105双．
【解析】(1)用总价除以单价表示出购进鞋的数量，根据两种鞋的数量相等列出方程求解即可；
(2)设购进甲种运动鞋n双，表示出乙种运动鞋(200−n)双，然后根据总成本及鞋的数量列出一元一次不等式组，求出不等式组的解集后，设总利润为W，根据总利润等于两种鞋的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性求解即可．
本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．
22.【答案】(1)解：由题意可知，∠MCF=∠ACB=90°，∠MFC=∠DFE=45°，
∴∠CMF=180°−∠MCF−∠MFC=45°，则∠MFC=∠CMF=45°．
∴MC=CF=h m；
(2)操作过程：①在近岸b上用测角仪在点P处测得∠MPK=a，在点Q处测得∠MQK=β；②用皮尺测得PQ=a m；

求解过程：由测量可知∠MPK=a，∠MQK=β，PQ=a m，
过点M作MN⊥b，
在Rt△MNP中，tanα=MNPN，则PN=MNtanα，.
在Rt△MNQ中，tanβ=MNQN，则QN=MNtanβ，
则PQ=QN−PN=MNtanβ−MNtanα=MN⋅tanα−tanβtanα⋅tanβ=a，
∴MN=atanα−tanβtanα⋅tanβ=a⋅tanα⋅tanβtanα−tanβ．
即：这条河的宽度为a⋅tanα⋅tanβtanα−tanβ．
【解析】(1)由题意可知∠MCF=∠ACB=90°，∠MFC=∠DFE=45°，进而可知∠MFC=∠CMF=45°，即可得MC=CF=h m；
(2)操作过程：①在近岸b上用测角仪在点P处测得∠MPK=a，在点Q处测得∠MQK=β；②用皮尺测得PQ=a m；
求解过程：过点M作MN⊥b，根据锐角三角函数的定义推得PN=MNtanα，QN=MNtanβ，根据PQ=QN−PN=a m即可求解．
本题考查了解直角三角形的实际应用，根据题意画出几何图形，建立数学模型是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：如图1，分别连接OE、0F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BD平分∠ADC.AC=DC=BC，
∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°，∠ADO=12∠ADC=12×60°=30°，
又∵E、F分别为DC、CB中点，
∴OE=12CD，OF=12BC，AO=12AD，
∴0E=OF=OA，
∴点O即为△AEF的外心．
(2)解：猜想：外心P一定落在直线DB上．
证明：如图2，分别连接PE、PA，过点P分别作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J，
∴∠PIE=∠PJD=90°，
∵∠ADC=60°，
∴∠IPJ=360°−∠PIE−∠PJD−∠JDI=120°，
∵点P是等边△AEF的外心，
∴∠EPA=120°，PE=PA，
∴∠IPJ=∠EPA，
∴∠IPE=∠JPA，
∴△PIE≌△PJA，
∴PI=PJ，
∴点P在∠ADC的平分线上，即点P落在直线DB上．
【解析】(1)首先分别连接OE、0F，由四边形ABCD是菱形，即可得AC⊥BD，BD平分∠ADC.AC=DC=BC，又由E、F分别为DC、CB中点，即可证得0E=OF=OA，则可得点O即为△AEF的外心；
(2)首先分别连接PE、PA，过点P分别作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J，即可求得∠IPJ的度数，又由点P是等边△AEF的外心，易证得△PIE≌△PJA，可得PI=PJ，即点P在∠ADC的平分线上，即点P落在直线DB上．
此题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的外心的判定与性质，以及菱形的性质等知识．此题综合性很强，图形也比较复杂，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．
24.【答案】解：(1)将点C(0,3)代入解析式有：−3a=3，解得a=−1，
∴抛物线的解析式为y=−x2+bx+3，
∵抛物线对称轴为直线x=1，
∴−b−1×2=1，
解得：b=2，
∴抛物线的解析式为y=−x2+2x+3；
(2)当y=0，则−x2+2x+3=0，
解得x1=−1，x2=3，
∴A(−1,0)，B(3,0)
当点D在直线BC上方时，过点C作CD//x轴交抛物线于D，

则点D坐标为(2,3)，
由抛物线的对称性得，AC=BD，
过点 D作DH⊥x 轴于H点，
则有∠COH=∠OCD=∠DHO=90°，
∴四边形OCDH是矩形，
∴DH=OC，
∵AC=BD，
∴Rt△AOC≌Rt△BHD(HL)，
∴∠ACO=∠BDH，
∵OB=OC，∠BOC=90°，
∴∠BCO=∠CBO=45°，
∴∠DCB=90°−45°=45°，
∴在△CDB中，∠CBD=180°−45°−90°−∠BDH=45°−∠ACO，
∴D(2,3)满足条件；
当点D在直线BC下方时，
∵∠DBC=45°−∠ACO，
∴∠DBC+∠ACO=45°，
∵∠OBC=45°，
∴∠DBC+∠ABD=45°，
∴∠ABD=∠ACO，
设BD交 y轴于点E，

∵OB=OC，
∠AOC=∠BOE，
∴△AOC≌△EOB(ASA)，
∴OE=OA=1，
∴E(0,1)，
设直线BE的解析式为y=mx+n，
则3m+n=0n=1，解得m=−13n=1，
∴直线BE的解析式为y=−13x+1，
联立方程组得−13x+1=−x2+2x+3，
解得：x1=−23，x2=3，
∴点D的坐标为(−23,119)，
综上所述：点D的坐标为(2,3)或(−23,119)；
(3)设M(m,−m+b)，N(n,−n+b)，
设MC的解析式为y=kx+e，
则tk+e=−m+be=3，解得k=−m+b−3te=3，
∴MC的解析式为y=−m+b−3mx+3，
同理可求NB的解析式为y=−n+bn−3x+3n−3bn−3，
直线MC与NB的解析式联立方程组，得y=−m+b−3mx+3y=−n+bn−3x+3n−3bn−3，
解得x=9m−3mb3m+nb−3b−3n+9−mb①，
联立方程组y=−x+by=−x2+2x+3，
整理得x2−3x+b−3=0，
∴m+n=3，mn=b−3，
∴b=mn+3，
把b=mn+3代入①，
得x=9m−3m(mn+3)3m+n(mn+3)−3(mn+3)−3n+9−m(mn+3)
=−3m2nmn2−3mn−m2n
=−3mn−3−m②
把m+n=3代入②，
得x=−3mn−(m+n)−m=−3mn−m−n−m=−3m−2m=32，
∴点P的横坐标是定值．
【解析】(1)直接利用待定系数法即可得出结论；
(2)分点D在直线BC上方，可以确定D坐标，代入验算即可；点D在直线BC下方，可以确定BE的解析式，最后联立抛物线解析式解方程组，即可得出结论；
(3)设M(m,−m+b)，N(n,−n+b)，利用待定系数法求出MC的解析式为y=−m+b−3mx+3，NB的解析式为y=−n+bn−3x+3n−3bn−3，直线MC与NB的解析式联立方程组，得y=−m+b−3mx+3y=−n+bn−3x+3n−3bn−3，解得x=9m−3mb3m+nb−3b−3n+9−mb①，联立方程组y=−x+by=−x2+2x+3，整理得x2−3x+b−3=0，求出m+n=3，mn=b−3，然后把代入①，得x═−3mn−3−m②，把m+n=3代入②，整理得x=32，即可得证．
本题主要考查二次函数的综合问题，全等三角形的判定与性质、一次函数，解决本题的关键是理解题意，作出辅助线．运动鞋价格
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