2023-2024学年福建省莆田市城厢区文献中学九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省莆田市城厢区文献中学九年级（上）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程是一元二次方程的是( )
A. 3x+1=0B. x2−3=0C. y+x2=4D. 1x+x2=2
2.下列图标中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.下列事件中，为必然事件的是( )
A. 明天要下雨B. |a|≥0
C. −2>−1D. 打开电视机，它正在播广告
4.将抛物线y=(x−2)2+3向左平移3个单位长度，平移后的抛物线的解析式是( )
A. y=(x−5)2+3B. y=(x−2)2+6C. y=(x+1)2+3D. y=(x+1)2+6
5.某城市2011年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2013年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是( )
A. 300(1+x)=363B. 300(1+x)2=363
C. 300(1+2x)=363D. 363(1−x)2=300
6.如图，PA、PB切⊙O于点A、B，直线FG切⊙O于点E，交PA于F，交PB于点G，若PA=6cm，则△PFG的周长是( )
A. 8cm
B. 12cm
C. 16cm
D. 20cm
7.如图，在△ABC中，∠B=40°，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△ADE，点D恰好落在BC的延长线上，则旋转角的度数( )
A. 70°B. 80°C. 100°D. 110°
8.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点．若∠CAB=24°，则∠ADC的度数为( )
A. 45°
B. 60°
C. 66°
D. 70°
9.如图，在△ABC中，AB=3，BC=6，∠ABC=60°，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点D，则图中阴影部分的面积是( )
A. 9 3−3πB. 9 32−π2C. 9 32−πD. 9 32−3π2
10.已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点A(1,m)，B(3,m)，若点M(−2,y1)，N(−1,y2)，K(7,y3)也在二次函数y=x2+bx+c的图象上，则下列结论正确的是( )
A. y1二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.如果一个正多边形的中心角为45°，那么这个正多边形的边数是______．
12.某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同样条件下，对这种幼树进行大量移植，并完成统计情况，得到一组统计数据：
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是 (结果精确到0.1)．
13.若圆锥的底面半径为3，母线长为4，则这个圆锥的侧面积是______．
14.大小、形状完全相同的5张卡片，背面分别写着“我”“的”“中”“国”“梦”这5个字，从中随机抽取一张，则这张卡片背面恰好写着“中”字的概率是______．
15.某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度h(单位：m)与足球飞行的时间t(单位：s)之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球从踢出到落地所需的时间是 ．
16.如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，I为△ABC的内心，连接OI，AI，BI.若OI⊥BI，OI=2，则AB的长为______ ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.用适当的方法解下列方程：
(1)x2+2x−3=0；
(2)x−7−x(x−7)=0．
四、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程2x2+(2k+1)x+k=0．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若该方程有一个根是正数，求k的取值范围．
19.(本小题8分)
丽丽与明明相约去天文馆参观，该馆有A、B两个入口，有C、D、E三个出口，他们从同一人口B进入后分散参观，结束后，请用列表法或画树状图法，求她们恰好从同一出口走出的概率．
20.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
(1)作⊙O，使它过点A、B，C(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)所作的圆中，若AC=1，AB=2，求出劣弧BC的长．
21.(本小题8分)
在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−4,1)、B(−1,−1)、C(−3,2)．
(1)若△A1B1C1与△ABC关于原点O成中心对称，画出△A1B1C1，并写出点A的对应点A1的坐标；
(2)将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△A2BC2，画出△A2BC2．
22.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB长为半径作圆经过点D，交BC于点E．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若OB=13，CD=12，求EC的长．
23.(本小题8分)
某商家销售一种成本为30元的商品销售一段时间后发现，每天的销量y(件)与当天的销售单价x(元/件)满足的函数关系为y=−15x+1500，物价部门规定，该商品的销售单价不能超过60元/件．
(1)问销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润是9000元？
(2)当销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，并求出最大利润．
24.(本小题8分)
如图1，在等边△ABC中，点D、E分别是BC、AB上的点，CD=BE，CE与AD交于点O．
(1)填空：∠AOC= ______ 度；
(2)如图2，将AO绕点A旋转60°得AF，连接BF、OF，求证：BF=OC；
(3)如图3，若点G是AC的中点，连接BO、GO，判断BO与GO有什么数量关系？并说明理由．
25.(本小题8分)
已知：抛物线C1：y=ax2+bx+c(a>0)与x轴交于点(−1,0)，(2,0)．
(1)b、c分别用含a的式子表示为：b=______，c=______；
(2)将抛物线C1向左平移12个单位，得到抛物线C2.直线y=kx+a(k>0)与C2交于A，B两点(A在B左侧).P是抛物线C2上一点，且在直线AB下方．作PE/​/y轴交线段AB于E，过A、B两点分别作PE的垂线AM、BN，垂足分别为M，N．
①当P点在y轴上时，试说明：AM⋅BN为定值．
②已知当点P(a,n)时，恰有S△ABM=S△ABN，求当1≤a≤3时，k的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、该方程属于一元一次方程，故本选项不符合题意．
B、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．
C、该方程是二元二次方程，故本选项不符合题意：
D、该方程属于分式方程，故本选项不符合题意．
故选：B．
根据一元二次方程的定义求解即可．一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0．
本题主要考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0(且a≠0)．
2.【答案】B
【解析】解：选项A、C、D的图形不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：B．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3.【答案】B
【解析】【分析】
必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．
本题考查了必然事件，关键是理解必然事件是一定会发生的事件．解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．
【解答】
解：根据题意，结合必然事件的定义可得：
A、明天要下雨不一定发生，不是必然事件，故选项不合题意；
B、一个数的绝对值为非负数，故是必然事件，故选项符合题意；
C、−2>−1，是不可能事件，故选项不合题意；
D、打开电视机，它不一定正在播广告，有可能是其他节目，故不是必然事件，故选项不合题意；
故选：B．
4.【答案】C
【解析】解：将y=(x−2)2+3向左平移3个单位长度，
得到y=(x+3−2)2+3，即y=(x+1)2+3，
故选：C．
利用平移的规律：左加右减，上加下减解答即可．
本题主要考查了函数图象的平移，解题的关键是利用平移的规律：左加右减，上加下减．
5.【答案】B
【解析】解：设绿化面积平均每年的增长率为x，
根据题意即可列出方程300(1+x)2=363．
故选B．
本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，如果设绿化面积平均每年的增长率为x，根据题意即可列出方程．
本题为增长率问题，一般形式为a(1+x)2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
6.【答案】B
【解析】解：∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，FG与⊙O相切于点E，PA=6cm，
∴PB=PA=6cm，FA=FE，GB=GE，
∴△PFG的周长=PF+FE+PG+GE=PF+FA+PG+GB=PA+PB=12cm，
故选：B．
根据切线长定理得到E，GB=GE，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是切线长定理，熟记从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：由旋转的性质可知，∠BAD的度数为旋转度数，AB=AD，∠ADE=∠B=40°，
∵AB=AD，
∴∠ADB=∠B=40°，
∴∠BAD=100°，
故选：C．
由旋转的性质可知，旋转前后对应边相等，对应角相等，得出等腰三角形，再根据等腰三角形的性质求解．
本题主要考查了旋转的性质，找出旋转角和旋转前后的对应边得出等腰三角形是解答此题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：连接BC．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=24°，
∴∠ABC=90°−∠CAB=66°，
∴∠ADC=∠ABC=66°．
故选：C．
连接BC，由AB为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB=90°，又由∠CAB=24°，得出∠B的度数，根据同弧所对的圆周角相等继而求得∠ADC的度数．
本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
9.【答案】D
【解析】解：连接AD，
∵AB=BD=3，∠ABC=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=AB=3，∠ADB=60°，
∵BC=6，
∴CD=3，
∴AD=CD，
∴∠C=∠CAD，
∵∠C+∠CAD=∠ADB=60°，
∴∠C=30°，
∴∠BAC=90°，
∴AC= BC2−AB2=3 3，
∴图中阴影部分的面积=12AB⋅AC−60⋅π×32360=12×3×3 3−3π2=9 32−3π2，
故选：D．
连接AD，根据等边三角形的性质得到AD=AB=3，∠ADB=60°，根据勾股定理得到AC= BC2−AB2=3 3，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了扇形面积的进行，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，推出△ABD是等边三角形是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵二次函数y=x2+bx+c的图象过点A(1,m)，B(3,m)，
注意到A(1,m)，B(3,m)两点的纵坐标都是m，
∴二次函数y=x2+bx+c的图象是开口向上，且对称轴为直线x=1+32，即x=2的抛物线，
∵点M(−2,y1)，N(−1,y2)，K(7,y3)，
也在二次函数y=x2+bx+c的图象上，
∴y2故选：B．
由于A(1,m)，B(3,m)的纵坐标相等，所以A点与B点是抛物线上的对称点，所以抛物线的对称轴为直线x=2，然后通过比较点M、N、K到直线的距离的大小来判断y1，y2，y3的大小．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质，数形结合解题是解题的关键．
11.【答案】8
【解析】【分析】
本题考查的是正多边形的中心角的有关计算；熟记正多边形的中心角与边数的关系是解题的关键．根据正多边形的边数=周角÷中心角，计算即可得解．
【解答】解：这个多边形的边数是360÷45°=8，
故答案为8．
12.【答案】0.9
【解析】解：∵幼树移植数14000棵时，幼树移植成活的频率为0.902，
∴估计幼树移植成活的概率为0.902，精确到0.1，即为0.9．
故答案为：0.9．
大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
本题考查了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．
13.【答案】12π
【解析】解：圆锥的侧面积=2π×3×4÷2=12π．
故答案为：12π．
圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．
14.【答案】15
【解析】解：∵在我”“的”“中”“国”“梦”这5个字的卡片中只有1张写有“中”字，
∴这张卡片上面恰好写着“中”字的概率是15
故答案为：15．
由在我”“的”“中”“国”“梦”这5个字的卡片中只有1张写有“中”字，利用概率公式计算可得．
本题考查了统计与概率中概率的求法．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
15.【答案】1.6s
【解析】解：设飞行的高度h(单位：m)与足球飞行的时间t(单位：s)之间的二次函数关系为h=at2+bt，
将(0.5,2.75)，(1.1,2.75)代入得：
0.25a+0.5b=+1.1b=2.75，
解得a=−5b=8，
∴h=−5t2+8t，
在h=−5t2+8t中，令h=0得0=−5t2+8t，
解得t=0或t=1.6，
∴足球从踢出到落地所需的时间是1.6s，
故答案为：1.6s．
设飞行的高度h(单位：m)与足球飞行的时间t(单位：s)之间的二次函数关系为h=at2+bt，用待定系数法求出h=−5t2+8t，令h=0即可解得答案．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出二次函数的函数关系式．
16.【答案】4 5
【解析】解：延长BI交⊙O于M点，连接MA，
在△ABM中斜边AB经过圆心O，
∴∠AMB=∠ACB=90°，
又∵BI⊥OI，AO=OB，
∴OI为△AMB的中位线，
∴AM=2OI=4，
在Rt△ABC中，I为三个角平分线的交点，
∴∠IAB+∠IBA=45°，
即∠MIA=45°，
∴Rt△MAI为等腰直角三角形，
∴MA=MI=IB=4，
根据勾股定理可得，
AB2=MA2+MB2=42+82=80，
即AB=4 5，
故答案为：4 5．
延长BI交⊙O于M点，连接MA，通过中位线定理可求出AM的长，再通过角的关系可求得∠MIA=45°，进而求证直角三角形MAI为等䒼直角三角形，求得MI的长，MB的长，利用勾股定理求出AB的长．
本题考查了三角形中位线“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”，圆周角角定理“半(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．”以及勾股定理，解题的关键是掌握三角形中位线定理，勾股定理．
17.【答案】解：(1)(x+3)(x−1)=0，
x+3=0或x−1=0，
所以x1=−3，x2=1；
(2)(x−7)(1−x)=0，
x−7=0或1−x=0，
所以x1=7，x2=1．
【解析】(1)利用因式分解法把方程转化为x+3=0或x−1=0，然后解一次方程即可；
(2)利用因式分解法把方程转化为x−7=0或1−x=0，然后解一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
18.【答案】解：(1)由题意，得△=(2k+1)2−8k
=(2k−1)2
∵(2k−1)2≥0，
∴方程总有两个实数根．
(2)由求根公式，得x1=−12，x2=−k．
∵方程有一个根是正数，
∴−k>0．
∴k<0
【解析】(1)根据根的判别式即可求出答案．
(2)根据因式分解法求出方程的两根，然后列出不等式即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
19.【答案】解：画树状图如下：

∵共有9种等可能的情况，其中恰好从同一出口走出的情况有3种，
∴她们恰好从同一出口走出的概率为39=13．
【解析】先画出树状图，共有9种等可能的情况，其中恰好从同一出口走出的情况有3种，再根据概率公式，计算即可得出结果．
本题考查了用树状图求概率，解本题的关键在根据树状图找出所有等可能的情况数．概率等于所求情况数与总情况数之比．
20.【答案】解：(1)如图，⊙O为所作；
(2)连接OC，如图，∵OA=OC=1，AC=1，
∴OA=OC=AC，
∴△OAC为等边三角形，
∴∠A=60°，
∴∠BOC=2∠A=120°，
∴劣弧BC的长=120⋅π⋅1180=23π.
【解析】(1)作AB的垂直平分线得到AB的中点O，然后以O点为圆心，OA为半径作圆即可；
(2)先判断△OAC为等边三角形得到∠A=60°，根据圆周角定理得到∠BOC=2∠A=120°，然后根据弧长公式计算．
本题考查了作图−复杂作图，弧长公式，找出圆心的位置是解题的关键．
21.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
点A1的坐标为(4,−1)．
(2)如图，△A2BC2即为所求．

【解析】(1)根据中心对称的性质作图，即可得出答案．
(2)根据旋转的性质作图即可．
本题考查作图−旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键．
22.【答案】(1)证明：连接OD，

∵BD为∠ABC平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
∵OB=OD，
∴∠ABD=∠ODB，
∴∠CBD=∠ODB，
∴OD//BC，
∵∠C=90°
∴∠ODA=90°，
则AC为圆O的切线；
(2)解：过O作OG⊥BC，连接OE，

∴四边形ODCG为矩形，
∴GC=OD=OB=13，OG=CD=12，
在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG=5，
∴BC=18，
∵OG⊥BE，OB=OE，
∴BE=2BG=10．
∴EC=18−10=8．
【解析】(1)连接OD，由BD为角平分线得到一对角相等，根据OB=OD，等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，进而确定出OD与BC平行，利用两直线平行同位角相等得到∠ODA为直径，即可得证；
(2)过O作OG垂直于BE，可得出四边形ODCG为矩形，在直角三角形OBG中，利用勾股定理求出BG的长，由垂径定理可得BE=2BG．
此题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．
23.【答案】解：(1)根据题意，得(x−30)(−15x+1500)=9000，
整理，得x2−130x+3600=0，
解得x1=40，x2=90，
∵销售单价最高不能超过60元/件，
∴x=40，
答：销售单价定为40元/件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润9000元；
(2)设销售利润为w元，
则w=(x−30)(−15x+1500)=−15(x−65)2+18375，
∵−10<0，且销售单价最高不能超过60元/件，
∴当x=60时，w取最大值为：18000，
故当销售单价定为60元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，其最大利润为18000元．
【解析】(1)根据“总利润=单件利润×销售量”可得关于x的一元二次方程，解之即可得；
(2)利润w=(x−30)(−15x+1500)，化为一般式后配方后，即可求解．
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
24.【答案】120
【解析】(1)解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠B=∠ACD=60°，
在△ACD和△CBE中，
CD=BE∠ACD=∠BAC=BC，
∴△ACD≌△CBE(SAS)，
∴∠CAD=∠BCE，
∴∠AOE=∠CAD+∠ACE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=60°，
∴∠AOC=180°−60°=120°；
故答案为：120；
(2)证明：将AO绕点A旋转60°得AF，连接BF、OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴AF=AO，∠FAO=60°=∠BAC，
∴∠BAF=∠CAO，
∴△ABF≌△ACO(SAS)，
∴BF=CO；
(3)解：BO=2GO，理由如下：
如图，延长AO至H，使OH=AO，连接CH，
∵点G是AC的中点，
∴AG=GC，
又∵AO=OH，
∴CH=2OG，
∵△AFO是等边三角形，
∴AF=AO=FO，∠AFO=∠AOF=60°，
∴FO=HO，∠AOC=120°，∠COH=60°，
∵△ABF≌△ACO，
∴∠AOC=∠AFB=120°，
∴∠BFO=60°=∠COH，
又∵BF=OC，
∴△BFO≌△COH(SAS)，
∴CH=BO，
∴BO=2OG．
(1)由“SAS”可证△ACD≌△CBE，可得∠CAD=∠BCE，由外角的性质可求解；
(2)由“SAS”可证△ABF≌△ACO，可得BF=CO；
(3)由三角形中位线定理可得CH=2GO，由“SAS”可证△BFO≌△COH，可得CH=BO=2OG．
本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
25.【答案】−a −2a
【解析】解：(1)抛物线的表达式为：y=a(x+1)(x−2)=a(x2−x−2)，
故b=−a，c=−2a，
故答案为：−a，−2a；
(2)设：点A、B的坐标分别为：(x1,y1)、(x2,y2)，
①由(1)知，b=−a，c=−2a，
抛物线C1的表达式为：y=ax2−ax−2a=a(x−12)2−9a4，
则抛物线C2的表达式为：y=ax2−9a4，
联立直线与抛物线C2的表达式并整理得：ax2−kx−13a4=0，
则x1x2=134=AM⋅BN，
故AM⋅BN为定值；
②∵S△ABM=S△ABN，
∴AM=BN，a−x1=x2−a，则x1+x2=2a，
∵x1+x2=ka，
∴ka=2a，
∴k=2a2，
∵1≤a≤3，
∴2≤k≤18．
(1)抛物线的表达式为：y=a(x+1)(x−2)=a(x2−x−2)，即可求解；
(2)①由(1)知，b=−a，c=−2a，抛物线C1的表达式为：y=ax2−ax−2a=a(x−12)2−9a4，则抛物线C2的表达式为：y=ax2−9a4，联立直线与抛物线C2的表达式并整理得：ax2−kx−13a4=0，则x1x2=134=AM⋅BN，即可求解；
②S△ABM=S△ABN，则AM=BN，a−x1=x2−a，则x1+x2=2a，x1+x2=ka，则ka=2a，k=2a2，即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，解题的关键是利用韦达定理处理复杂数据，本题是基本题，难度不大．移植总次数n
1500
3500
7000
9000
14000
成活数m
1335
3203
6335
8037
12628
成活的频率mn
0.890
0.915
0.905
0.893
0.902