2023-2024学年广西壮族自治区防城港市高二下学期7月期末考试数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年广西壮族自治区防城港市高二下学期7月期末考试数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=x∣x−1≤1,B=0,1,2,4，则A∩B=( )
A. 1,2B. 0,1,2C. 0,1,2,4D. 1,4
2.“1x<1”是“x>1”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.一个宿舍的四名同学甲､乙､丙､丁受邀参加一个晚会且必须有人去，其中甲､乙两名同学要么都去，要么都不去，则该宿舍不同的参加晚会的方案共有( )
A. 4B. 7C. 10D. 12
4.随着“一带一路”经贸合作持续深化，西安某地对外贸易近几年持续繁荣，2023年6月18日，该地很多商场都在搞“6⋅18”促销活动.市物价局派人对某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价x(单位：元)和销售量y(单位：百件)之间的一组数据：
用最小二乘法求得y与x之间的经验回归方程是y=0.28x+a，当售价为45元时，预测该商品的销售量件数大约为( )(单位：百件)
A. 11.2B. 11.75C. 12D. 12.2
5.下列命题中正确的是( )
A. 若a>b，则1a<1bB. 若aC. 若a2>b2，则a>bD. 若ac2>bc2，则a>b
6.某体育器材厂生产一批足球，单个足球的质量Y(单位：克)服从正态分布N(400,4)，从这一批足球中随机抽检500个，则被抽检的足球的质量不小于396克的个数约为( ) 附：若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−2σA. 341B. 421C. 477D. 489
7.已知定义在R上的偶函数fx满足：①对任意的x1,x2∈0,+∞，且x1≠x2，都有fx1−fx2x1−x2<0成立；②f−1=0.则不等式xfx<0的解集为( )
A. −1,0∪1,+∞B. −∞,−1∪0,1
C. −1,0∪0,1D. −∞,−1∪1,+∞
8.已知函数fx在R上可导，其导函数为f′x，若fx满足：x−1f′x−fx>0，f2−x=fxe2−2x，则下列判断正确的是( )
A. f1>ef0B. f2>e2f0C. f3>e3f0D. f4二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的是( )
A. 若PA>0,PB>0，则事件A,B相互独立与事件A,B互斥不能同时成立
B. 一组数据4,3a,3−a,5的平均数为4，则a的值为1
C. 五位同学站成一排拍照，其中甲不能站在最左边的位置，则不同的排队方法有120种
D. 若随机变量X∼Nμ,σ2，且PX>7=PX<−3=0.1，则P−310.已知a>0，b>0，且a+b=1，则下列不等式成立的是( )
A. ab≥14B. 4a+9b≥25C. a+ b≤ 2D. a211.已知函数fx=xsinx，x∈R，则下列说法正确的有( )
A. fx为偶函数
B. fx为周期函数
C. 在区间π2,π上，fx有且只有一个极小值点
D. 过0,0作y=fx的切线有且仅有3条
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x2−x，则f(−1)= ．
13.曲线f(x)=x3−lnx在点(1,f(1))处的切线与坐标轴围成的图形的面积为 ．
14.已知每门大炮击中目标的概率都是0.6，现有14门大炮同时对某一目标各射击一次，则最有可能击中目标 次.
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
设集合A=x−1(1)当a=4时，求A∩B，A∪B
(2)若B⊆A，求a的取值范围．
16.(本小题12分)
为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下的列联表(单位：只)：
(1)请将上面的列联表补充完整；
(2)依据α=0.1的独立性检验，能否认为药物有效呢？从概率的角度解释得到的结论；
(3)为了进一步研究，现按分层抽样的方法从未患病动物中抽取10只作为样本，从该样本中随机抽取4只，设其中未服用药物的动物数为X，求X的分布列及期望．
附表及公式：X2=n(ad−bc)2a+bc+da+cb+d．
17.(本小题12分)
已知二项式(1+2x)n=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn，且其二项式系数之和为64．
(1)求n和a0+a1+a2+⋯+an的值；
(2)求a1+2a2+⋯+nan．
18.(本小题12分)
某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析.球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示．
(1)当甲出场比赛时，求球队输球的概率；
(2)当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当边锋的概率；
(3)如果某场比赛该足球队获胜，那么球员甲最有可能在场上的哪个位置？请说明理由．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=lnx+ax2+3(a∈R)．
(Ⅰ)当a=−12时，求函数f(x)的极值；
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间；
(Ⅲ)当a=0时，若xf(x)>kx−k+2在x∈(1,+∞)时恒成立，求整数k的最大值．
答案解析
1.B
【解析】解：由A=xx−1≤1=x0≤x≤2,B=0,1,2,4
所以A∩B=0,1,2
故选：B．
2.B
【解析】解：由1x<1可得x<0或x>1，
所以1x<1是x>1的必要不充分条件，
故选：B．
3.B
【解析】解：由于甲､乙两名同学要么都去，要么都不去，
因此将甲､乙捆绑，则可认为三名同学受邀参加一个晚会，并且有人必须去，
每个人有两种选择，则共有23种，而其中有一种情况是三名同学都不去，
所以共有23−1=7种方案．
故选：B．
4.D
【解析】解：因为x=1520+25+30+35+40=30，y=155+7+8+9+11=8，
所以回归直线y=0.28x+a过点30,8，故8=0.28×30+a，解得a=−0.4，
所以y=0.28x−0.4，将x=45代入y=0.28x−0.4中，得y=0.28×45−0.4=12.2，
即当售价为45元时，该商品的销售量件数大约为12.2百件．
故选：D．
5.D
【解析】解：对于A，若取a=2,b=−2，
则12>−12，即1a>1b，故 A错误；
对于B，令c=0，则有ac2=bc2，故 B错误；
对于C，令a=−2,b=1，则有a对于D，根据不等式性质可知D正确，
故选：D．
6.D
【解析】解：由题意，随机变量X∼N(400,4)，可得μ=400,σ=2，
根据正态分布曲线的对称性，可得质量不小于396克的概率为：P(X≥396)=P(X≥400−4)=1−1−P(μ−2σ所以被抽检的足球的质量不小于396克的个数约为500×0.9772≈489人.
故选：D．
7.A
【解析】解：由对任意的x1,x2∈0,+∞，且x1≠x2，都有fx1−fx2x1−x2<0成立可得，
函数fx在0,+∞上单调递减，
又fx是定义在R上的偶函数，根据偶函数性质可知，
fx在−∞,0上单调递增，且f−1=f(1)=0；
由不等式xfx<0可知，
当x>0时，fx<0=f(1)，根据fx在0,+∞上单调递减可得x>1；
当x<0时，fx>0=f(−1)，根据fx在−∞,0上单调递增可得−1综上可知，不等式xfx<0的解集为−1,0∪1,+∞．
故选：A
8.C
【解析】解：令Fx=fxex，则F′x=exf′x−exfxe2x=f′x−fxex，
函数f(x)满足(x−1)f′(x)−f(x)]>0，
当x>1时F′(x)>0,F(x)在1,+∞上单调递增，
当x<1时F′(x)<0,F(x)在−∞,1上单调递减，
又由f2−x=fxe2−2x⇔f2−xe2−x=fxex⇔F2−x=Fx，
即函数Fx的图象关于x=1对称，从而F(1)对于A，F(1)对于B，F(0)=F(2)，f2e2=f0e0，f2=e2f0， B错误；
对于C，F(3)>F(0)，f3e3>f0e0，f3>e3f0， C正确；
对于D，F(4)>F(0)，f4e4>f0e0，f4>e4f0， D错误．
故选：C
9.AD
【解析】解：A选项，若A,B相互独立，则A,B不互斥；若A,B互斥，则A,B不相互独立，所以A选项正确．
B选项，4+3a+3−a+54=4，解得a=2，B选项错误．
C选项，五位同学站成一排拍照，其中甲不能站在最左边的位置，
则不同的排队方法有4×A44=96种，C选项错误．
D选项，μ=−3+72=2，所以P−3故选：AD
10.BCD
【解析】解：对A：ab≤a+b22=14，当且仅当a=b=12时，等号成立，故 A错误；
对B：4a+9b=4a+9ba+b=4+9+4ba+9ab≥13+2 4ba⋅9ab=25，
当且仅当4ba=9ab，即a=25，b=35时，等号成立，故 B正确；
对C：由A知，ab≤14，故 a+ b2=a+b+2 ab=1+2 ab≤1+2×12=2，
即 a+ b≤ 2，当且仅当a=b=12时，等号成立，故 C正确；
对D：由a+b=1，故b=1−a，
则a2−a−3b=a2−a−31−a=a2+2a−3=a+12−4，
由a>0，b>0，故0即a2−a−3b=a+12−4<0，故a2故选：BCD．
11.AD
【解析】解：对于A，因为函数的定义域为R，因为fx=f−x，所以函数f(x)是偶函数，故 A正确；
对于B，若存在非零常数T，使得fx+T=fx，
令x=π2，则π2+Tsinπ2+T=π2，即π2+TcsT=π2，
令x=0，则TsinT=0，因为T≠0，所以sinT=0，即csT=1或csT=−1．
若csT=1，则π2+T=π2，解得T=0，舍去；
若csT=−1，则−π2+T=π2，解得T=−π，
所以若存在非零常数T，使得fx+T=fx，则T=−π．
即fx−π=fx，令x=3π2，则fπ2=f3π2，
而fπ2=π2，f3π2=−3π2，不符合题意.故不存在非零常数T，
使得fx+T=fx，故 B错误；
对于C，f(x)=xsinx，x∈R，则f′(x)=sinx+xcsx，
令gx=sinx+xcsx，则g′x=2csx−xsinx，
当x∈π2,π，g′x=2csx−xsinx<0，则gx单调递减，即f′x单调递减，
又f′π2=1>0，f′(π)=−π<0，
故f′(x)=0在π2,π上有且仅有一个解，设为x0，
所以当x∈π2,x0时f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈x0,π时f′(x)<0，f(x)单调递减，
所以f(x)有且只有一个极值点，且是极大值点，故 C错误；
对于D，设切点横坐标为t，则切线方程为y−tsint=(sint+tcst)(x−t)，
将0,0代入，得t2cst=0，解得t=0或t=π2+kπ，k∈Z．
若t=0，则切线方程为y=0；若t=π2+kπ，则y=±x，故 D正确．
故选：AD．
12.−1
【解析】解：：因为f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)=2x2−x，
所以f(−1)=−f(1)=−2×12−1=−1．
故答案为：−1．
13.14或0.25
【解析】解：易知f(x)的定义域为x∈(0,+∞)，而f(1)=1，故切点为(1,1)，
设切线斜率为k，且f′(x)=3x2−1x，故k=f′(1)=3−1=2，
切线方程为y−1=2(x−1)，化简得y=2x−1，
当y=0时，x=12，当x=0时，y=−1，
易知围成的图形是三角形，设面积为S，故S=12×12×−1=14．
故答案为：14
14.8或9
【解析】解：设击中目标的次数为X，由题可知，击中目标的次数X∼B14,0.6，
则PX=k=C14k⋅0.6k⋅0.414−k,0≤k≤14,k∈Z，
令PX=k≥PX=k−1PX=k≥PX=k+1，即C14k⋅0.6k⋅0.414−k≥C14k−1⋅0.6k−1⋅0.415−kC14k⋅0.6k⋅0.414−k≥C14k+1⋅0.6k+1⋅0.413−k,
化简得0.6×14−k+1≥0.4k0.4×k+1≥0.614−k，解得8≤k≤9，又k∈Z，
所以最有可能击中目标8或9次．
故答案为：8或9．
15.解：(1)当a=4时，B=x5≤x≤11，A∩B=x−1A∪B=x−1(2)因为B⊆A，
当B=⌀时，a+1>3a−1，解得a<1，
当B≠⌀时，a+1≤3a−1a+1>−13a−1<6，解得1≤a<73，
综上，a的取值范围是a<73．
【解析】(1)利用交集和并集的概念进行求解；
(2)分B=⌀和B≠⌀两种情况，得到不等式，求出答案．
16.解：(1)根据题意可得如下列联表：
(2)由列联表可得K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d=20050×35−75×40290×110×125×75≈3.367>2.706，
∴在犯错误的概率不超过10%的前提下认为药物有效．
解释：由于K2>2.706，所以表示有小于10%的可能性证明这两个事件无关，
也就是在犯错误的概率不超过10%的前提下认为药物有效．
(3)根据题意，10只未患病动物中，有6只服用药物，4只未服用药物，
所以ξ的值可能为0，1，2，3，4，则P(ξ=0)=C64C104=15210，P(ξ=1)=C63C41C104=80210，
P(ξ=2)=C62C42C104=90210，P(ξ=3)=C61C43C104=24210，P(ξ=4)=C44C104=1210，
ξ的分布列如下：
则E(ξ)=0×15210+1×80210+2×90210+3×24210+4×1210=1.6．
【解析】(1)根据表中的数据完成列联表即可；
(2)由公式K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)计算K2，然后根据临界值表进行判断；
(3)由题意可得ξ的值可能为0，1，2，3，4，求出相应的概率，从而可求得ξ的分布列与期望．
17.解：(1)二项式系数之和2n=64，则n=6，
令x=1，则a0+a1+a2+a3+⋯+a6=1+26=729．
(2)对二项式两边求导，2×6×1+2x5=a1+2a2x+3a3x2+⋯+6a6x5．
令x=1，则2×6×35=a1+2a2+3a3+⋯+6a6，
故a1+2a2+3a3+⋯+6a6=2916．
【解析】(1)利用二项式系数之和得n=6，再用赋值法计算出结果；
(2)对二项式两边求导，再利用赋值法解出答案；
18.解：(1)用A1表示“甲出任边锋”，A2表示“甲出任前卫”，A3表示“甲出任中场”，用B表示“球队赢球”．
则甲出场时，球队赢球的概率为：
PB=PA1⋅PB|A1+PA2⋅PB|A2+PA3⋅PB|A3=0.3×0.8+0.5×0.6+0.2×0.7=0.68
所以甲出场比赛时，球队输球的概率为：1−PB=1−0.68=0.32．
(2)因为PB=0.68．
所以PA1|B=PA1BPB=0.3×．
即当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，球员甲担当边锋的概率为617．
(3)因为PA2|B=PA2BPB=0.5×，PA3|B=PA3BPB=0.2×．
因为PA2|B>PA1|B>PA3|B．
所以如果某场比赛该足球队获胜，那么球员甲最有可能在前卫．
【解析】(1)根据条件概率公式分别计算出甲球员在担任边锋、前卫、中场时赢球的概率，最后相加得到甲球员参加比赛时，球队赢球的概率，再用1去减即可．
(2)根据条件概率的计算公式即可求解．
(3)由贝叶斯公式，即可做出判断．
19.解：(Ⅰ)当a=−12时，f(x)=lnx−12x2+3，x∈(0,+∞)，
所以f′(x)=1x−x=1−x2x，
令f′(x)>0，即0令f′(x)<0，即x>1，f(x)单调递减；
所以f(x)在x=1处取得极大值即f(1)=52，无极小值．
(Ⅱ)f′(x)=1x+2ax=1+2ax2x，x∈(0,+∞)，
①当a≥0时，f′(x)>0恒成立，
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增；
②当a<0时，
当x∈(0,− −2a2a)时，f′(x)>0，f(x)递增；
当x∈(− −2a2a,+∞)时，f′(x)<0，f(x)递减．
综上，当a≥0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；
当a<0时，f(x)在(0,− −2a2a)上单调递增，在(− −2a2a,+∞)上单调递减．
(Ⅲ)xf(x)>kx−k+2在x∈(1,+∞)时恒成立，
即k令F(x)=xlnx+3x−2x−1，则F′(x)=x−lnx−2(x−1)2．
令m(x)=x−lnx−2，
则m′(x)=1−1x=x−1x>0在x>1上恒成立，
所以m(x)在(1,+∞)上单调递增，且m(3)=1−ln3<0，m(4)=2−ln4>0，
所以m(x)在(1,+∞)上存在唯一实数b∈(3,4)，使得m(b)=0．
当x∈(1,b)时，m(x)<0，即F′(x)<0；
当x∈(b,+∞)时，m(x)>0，即F′(x)>0，
所以F(x)在(1,b)上单调递减，在(b,+∞)上单调递增，
所以F(x)min=F(b)=blnb+3b−2b−1=b(b−2)+3b−2b−1=b+2∈(5,6)，
故k【解析】
(Ⅰ)求出f′(x)=1x−x=1−x2x，分别令f′(x)>0和令f′(x)<0，即可求出f(x)单调增区间和单调减区间，进而得出f(x)极值；
(Ⅱ)求出f′(x)=1x+2ax=1+2ax2x，x∈(0,+∞)，然后分类讨论①a≥0和②a<0，函数f(x)的单调性即可；
(Ⅲ)根据已知式子进行变量分离可转化为k20
25
30
35
40
y
5
7
8
9
11
药物
疾病
合计
未患病
患病
未服用
50
40
服用
合计
75
200
α
0.15
0.10
0.05
0.025
xα
2.072
2.706
3.841
5.024
场上位置
边锋
前卫
中场
出场率
0.3
0.5
0.2
球队胜率
0.8
0.6
0.7
药物
疾病
合计
未患病
患病
未服用
50
40
90
服用
75
35
110
合计
125
75
200
ξ
0
1
2
3
4
P
15210
80210
90210
24210
1210