2023-2024学年广西贵港市高二下学期期末教学质量监测数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年广西贵港市高二下学期期末教学质量监测数学试题（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若全集U=−2,0,1,3,5，集合A=−2,0,1,B=0,1,5，则∁UA∩B=( )
A. 3B. 0,1C. −2,3,5D. −2,1,3,5
2.在a−b11的展开式中，含a6b5的项的系数为( )
A. C115B. −C115C. C114D. −C114
3.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的一条渐近线的倾斜角小于π3，则ba的取值范围为( )
A. 3,+∞B. 0, 3C. 33,+∞D. 0, 33
4.已知正四棱柱的底面边长为2，高为6，则该正四棱柱的外接球的表面积为( )
A. 20πB. 22πC. 40πD. 44π
5.若函数fx的定义域为D，对任意x1,x2∈D,x1≠x2，都有fx1≠fx2，则称fx为单射函数．若函数gx=x+ax，则“a<0”是“gx是单射函数”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6.把函数fx=cs3x的图象向右平移aa>0个单位长度后得到函数gx的图象，若gx的图象关于点2a,0对称，则a的最小值为( )
A. π5B. π10C. π6D. π12
7.《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于家畜偷吃禾苗的问题.假设有羊、骡子、马、牛吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求羊的主人、骡子的主人、马的主人、牛的主人共赔偿12斗粟.羊的主人说：“羊吃得最少，羊和骡子吃的禾苗总数只有马和牛吃的禾苗总数的一半.”骡子的主人说：“骡子吃的禾苗只有羊和马吃的禾苗总数的一半.”马的主人说：“马吃的禾苗只有骡子和牛吃的禾苗总数的一半.”若按照此比率偿还，则羊的主人应赔偿的粟的斗数为( )
A. 1B. 32C. 2D. 52
8.已知定义域均为R的函数fx,gx的导函数分别为f′x,g′x，且gx>0,f5=g5,f′xgx−fxg′xgx2<0，则不等式fxA. −∞,5B. 5,+∞C. −∞,1D. 1,+∞
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z= 2+i2− 2i，则( )
A. z 的实部为 26B. z的虚部为−23
C. z= 22D. z在复平面内对应的点位于第一象限
10.已知函数fx有2个极值点，则fx的解析式可能为( )
A. fx=sinx+3xB. fx=x3−3x+1
C. fx=x2−xexD. fx=xex
11.已知数列an满足an≠±1，且an+1an+an+1=2,bn=an+2an−1，则下列说法正确的是( )
A. 数列an可能为常数列
B. 数列bn可能为等比数列
C. 若a1=2，则i=120bi=221−2
D. 若a1=−52，记Sn是数列1bn的前n项积，则Sn的最大值为S3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.2018年至2023年某国财政收入增长速度分别为6.2%,3.8%,−3.9%,10.7%,0.5%,6.4%，则该组数据的60%分位数为 ．
13.已知F1,F2分别是椭圆M:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点，P是M上的一点，且PF1=4a3,PF1⊥PF2，则M的离心率为 ．
14.至少经过正五棱台ABCDE−A1B1C1D1E1的3个顶点的平面共有 个．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知锐角▵ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，向量m=2a,c,n=sinC,− 3，且m⊥n．
(1)求A；
(2)若bc=32,▵ABC的面积为3 32，求a．
16.(本小题12分)
已知F为抛物线C：x2=2pyp>0的焦点，且C上一点m,3到点F的距离为4．
(1)求C的方程；
(2)若斜率为2的直线l与C交于A，B两点，且AF+BF=24，求l的方程．
17.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是等腰梯形，AD//BC,AD=2BC=4，侧面PAD⊥平面ABCD,O,M分别为AD,PD的中点．

(1)证明：PB/​/平面OMC．
(2)若CD=2,PA=PD=4，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值．
18.(本小题12分)
某种资格证考试分为笔试和面试两部分，考试流程如下：每位考生一年内最多有两次笔试的机会，最多有两次面试的机会．考生先参加笔试，一旦某次笔试通过，不再参加以后的笔试，转而参加面试；一旦某次面试通过，不再参加以后的面试，便可领取资格证书，否则就继续参加考试．若两次笔试均未通过或通过了笔试但两次面试均未通过，则考试失败．甲决定参加考试，直至领取资格证书或考试失败，他每次参加笔试通过的概率均为12，每次参加面试通过的概率均为13，且每次考试是否通过相互独立．
(1)求甲在一年内考试失败的概率；
(2)求甲在一年内参加考试次数X的分布列及期望．
19.(本小题12分)
已知函数fx=lnx+x+a的图象在点1,f1处的切线方程为bx−y=0．
(1)求a,b的值；
(2)证明：fx答案解析
1.C
【解析】解：由题意得A∩B=0,1，所以∁UA∩B=−2,3,5．
故选：C．
2.B
【解析】解：含a6b5的项为C115a6−b5=−C115a6b5，
所以所求的系数为−C115．
故选：B．
3.B
【解析】解：由题意得C的渐近线方程为y=±bax，则0故选：B．
4.D
【解析】解：由题意得该正四棱柱的外接球的半径为 22+22+622= 11，
所以该正四棱柱的外接球的表面积为4π×11=44π．
故选：D．
5.D
【解析】解：当a<0时，g −a=g− −a=0，所以gx不是单射函数．
当a=0时，gx=x是单射函数．
故“a<0”是“gx是单射函数”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
6.C
【解析】解：由题意得gx=cs3x−a=cs3x−3a，由g2a=cs3a=0，
得3a=π2+kπ,k∈Z，即a=π6+kπ3,k∈Z.故a的最小值为π6．
故选：C．
7.B
【解析】解：设羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次为a1,a2,a3,a4，由题意得
通过等差中项可判断羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次成等差数列，
设该数列为an，公差为d，则．由题意得2a1+a2=a3+a4,a1+a2+a3+a4=12,
即22a1+d=2a1+5d,4a1+6d=12,解得a1=32,d=1．
故选：B．
8.B
【解析】解：令ℎx=fxgx，则ℎ′x=f′xgx−fxg′xgx2<0，所以ℎx单调递减．
由fxgx,gx0,f5=g5，
得ℎx=fxgx<ℎ5=f5g5=1，所以x>5．
故选：B．
9.AC
【解析】解：由题意得z= 2+i2+ 2i2− 2i2+ 2i= 26+23i，所以z的实部为 26，虚部为23，故 A正确B错误；
z= 262+232= 22,z在复平面内对应的点 26,−23位于第四象限．故 C正确D错误；
故选：AC．
10.BC
【解析】解：由题意得fx的导函数f′x有两个异号零点，
由fx=sinx+3x，得f′x=csx+3>0恒成立， A错误；
由fx=x3−3x+1，得f′x=3x2−3，
令f′x=0，得x=±1， B正确；
由fx=x2−xex，得f′x=x2+x−1ex，
令f′x=0，得x2+x−1=0，
因为Δ=12−4×−1=5>0，所以f′x有两个异号零点， C正确；
由fx=xex，得f′x=1−xex，
令f′x=0，得x=1， D错误．
故选：BC．
11.ABD
【解析】解：A.当an+1=an时，an2+an=2，得an=−2或an=1(舍)，
此时an=−2为常数列，故 A正确；
B.an+1=2an+1，an≠±1，
bn+1=an+1+2an+1−1=2an+1+22an+1−1=4+2an1−an=22+an1−an=2bn，
若an=−2时，此时bn=0，不是等比数列，
若an≠−2时，bn+1bn=2，此时数列bn为公比为2的等比数列，故B正确；
C.若a1=2，b1=a1+2a1−1=4，所以i=120bi=41−2201−2=222−4，故 C错误；
D.若a1=−52，b1=a1+2a1−1=17，数列1bn是首项为7，公比为12的等比数列，
1bn=7×12n−1=72n−1，数列1bn单调递减，Sn=71×72×722×...×72n−1，
当n=3时，1b3=722=74>1，当n=4时，1b4=78<1，
所以Sn的最大值为S3，故 D正确．
故选：ABD
12.6.2%
【解析】解：该组数据从小到大依次为−3.9%,0.5%,3.8%,6.2%,6.4%,10.7%，一共有6个数据，
因为6×60%=3.6，所以该组数据的60%分位数为第四个数据6.2%．
故答案为：6.2%．
13. 53或13 5
【解析】解：
由PF1+PF2=2a，PF1=4a3，得PF2=2a3，
而PF1⊥PF2，由勾股定理有PF12+PF22=F1F22，
所以169a2+49a2=4c2，所以c2a2=59，故e=ca= 53．
故答案为： 53．
14.42
【解析】解：如图，在正五棱台ABCDE−A1B1C1D1E1中，仅经过5个顶点的平面有2个．
因为AB//A1B1//EC//E1C1，所以仅经过这8个顶点中的4个顶点的平面有4个，
类似于AB//A1B1//EC//E1C1的平行线还有4组，则仅经过4个顶点的平面有5×4=20个．
故所求的平面共有C103−2C53−20C43+2+20=42个．
故答案为：42．
15.解：(1)由题意得m⋅n=2asinC− 3c=0，
由正弦定理得2sinAsinC− 3sinC=0，
又C∈0,π2，所以sinC≠0，则2sinA− 3=0，即sinA= 32．
因为A∈0,π2，所以A=π3．
(2)由S▵ABC=12bcsinA= 34bc=3 32，
得bc=6，结合bc=32，得b=3,c=2．
由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA=7，
得a= 7．
【解析】(1)根据向量垂直结论得到三角函数式子，后运用正弦定理进行边角互化即可；
(2)运用面积公式得到方程，结合条件bc=32，求出b,c，再用余弦定理求a即可．
16.解：(1)C上一点m,3到点F的距离为4，
由抛物线定义可得3+p2=4，∴p=2，∴抛物线C的方程为x2=4y．
(2)设直线，l:y=2x+m，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
将l方程代入C方程整理得y2−2m+16y+m2=0，需满足Δ=64m+256>0，
∴y1+y2=2m+16，
故AF+BF=y1+p2+y2++p2=2m+16+p=24，解得m=3，
当m=3时，满足Δ=2m+162−4m2>0，故m=3符合题意，
故直线方程为y=2x+3
【解析】(1)根据抛物线方程的定义即可由焦半径求解，
(2)联立直线与抛物线方程，利用焦半径公式即可求解．
17.解：(1)证明：连接BD,OB，设BD与OC相交于点E，因为AD/​/BC，

AD=2BC=2OD=4，所以OBCD为平行四边形，即E为BD的中点．
连接ME，因为M为PD的中点，所以PB//ME．
因为PB⊄平面OMC,ME⊂平面OMC，所以PB/​/平面OMC．
(2)因为PA=PD，所以PO⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD,PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD．
取BC的中点H，连接OH.因为ABCD是等腰梯形，所以OH⊥AD．
以O为坐标原点，OH,OD,OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A0,−2,0,B 3,−1,0,C 3,1,0,P0,0,2 3，
所以AB= 3,1,0,AP=0,2,2 3,PC= 3,1,−2 3．
设平面PAB的法向量为m=x,y,z，则m⋅AB= 3x+y=0,m⋅AP=2y+2 3z=0．
令x=1，则y=− 3,z=1，可得m=1,− 3,1．
csm,PC=m⋅PCmPC=1× 3− 3×1−2 3×1 3+1+12 1+3+1= 1510
所以直线PC与平面PAB所成角的正弦值为 1510．
【解析】(1)根据线面平行的判定定理证明线面平行；
(2)利用向量法计算直线与平面所成角的正弦值；
18.解：(1)甲每次参加笔试未通过的概率均为1−12=12，每次参加面试未通过的概率均为1−13=23．
甲两次笔试均未通过的概率为12×12=14，
甲通过了第一次笔试，但两次面试均未通过的概率为12×23×23=29，
甲未通过第一次笔试，通过了第二次笔试，但两次面试均未通过的概率为12×12×23×23=19
所以甲在一年内考试失败的概率为14+19+29=712．
(2)由题意得X的可能取值为2,3,4，
PX=2=12×12+12×13=512,
PX=3=12×12×13+12×23=512,
PX=4=12×12×23=16,
所以X的分布列为
故EX=2×512+3×512+4×16=114．
【解析】(1)由一年内考试失败对应的笔试面试结果，分类讨论考试失败的概率；
(2)由X可能的取值，计算相应的概率，写出分布列，由公式计算期望
19.解：(1)由题意得f′x=1x+1，
由切线bx−y=0的斜率为b，得b=f′1=2，
则切线方程为2x−y=0，
当x=1时，y=2，所以f1=1+a=2，得a=1．
(2)证明：由(1)可知fx=lnx+x+1,x>0，
要证fx设gx=lnx+x−xex，则g′x=1x+1−x+1ex=x+11x−ex．
令ℎx=1x−ex,x>0，则ℎ′x=−1x2−ex<0(x>0)，
所以ℎx在(0,+∞)上递减，
因为ℎ12=2− e>0,ℎ1=1−e<0，
所以存在唯一x0∈12,1，使得ℎx0=1x0−ex0=0，即x0=1ex0．
当x∈0,x0时，g′x>0,gx单调递增，当x∈x0,+∞时，g′x<0,gx单调递减，
所以gxmax=gx0=lnx0+x0−x0ex0=ln1ex0+x0−1ex0⋅ex0=−x0+x0−1=−1．
设ux=xlnx−x，则u′x=lnx．
当x∈0,1时，u′x<0,ux单调递减，当x∈1,+∞时，u′x>0,ux单调递增，
所以uxmin=u1=−1．
因为gx=lnx+x−xex≤−1,ux=xlnx−x≥−1(两个不等式中的等号不能同时成立)，所以lnx+x−xex即fx 【解析】(1)先利用导数的 几何意义求出切线方程，再利用切点是公共点结合斜率可求出a,b的值；
(2)将问题转化为证lnx+x−xex2
3
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P
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