2023-2024学年山东省淄博市高二下学期期末考试数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省淄博市高二下学期期末考试数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设等差数列{an}，a2=3，d=5，则a5=( )
A. −5B. 18C. 23D. 28
2.若函数f(x)满足limΔx→0f(1−Δx)−f(1)Δx=18，则f′(1)=( )
A. −18B. −14C. 18D. 14
3.设{an}是等比数列，且a2+a3=2，a5+a6=−16，则公比q=( )
A. −2B. 2C. −8D. 8
4.在(2− x)7的展开式中，含x2的项的系数为( )
A. −280B. 280C. −560D. 560
5.某志愿者小组有5人，从中选3人到A、B两个社区开展活动，其中1人到A社区，则不同的选法有( )
A. 12种B. 24种C. 30种D. 60种
6.直线y=kx与曲线y=ln2x相切，则实数k的值为( )
A. 1B. 12C. 2eD. 2e2
7.若P(B|A)=13，P(A)=34，P(B)=12，则P(A|B)=( )
A. 14B. 34C. 13D. 12
8.不等式2lnx> xln2的解集是( )
A. (1,2)B. (4,+∞)C. (2,+∞)D. (2,4)
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量X~N(3,1),则下列说法正确的是( )
A. 若Y=X+3,则E(Y)=6B. 若Y=3X+1,则D(Y)=3
C. P(X≤2)=P(X≥4)D. P(0≤X≤4)=1-2P(X≥4)
10.若函数f(x)的定义域为(−4,3)，其导函数f′(x)的图象如图所示，则( )
A. f(x)有两个极大值点B. f(x)有一个极小值点
C. f(0)>f(1)D. f(−2)>f(−3)
11.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.如数列1，3，6，10，它的前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，则数列1，3，6，10被称为二阶等差数列，现有二阶等差数列{cn}，其前6项分别为4，8，10，10，8，4，设其通项公式cn=g(n).则下列结论中正确的是( )
A. 数列{cn+1−cn}的公差为2B. i=120(ci+1−ci)=−300
C. 数列{cn}的前7项和最大D. c21=−296
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知(2x−1)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a1+a2+a3+a4+a5= ．
13.已知随机变量X的分布列如下：
若E(X)=1.2，则D(X)= ．
14.人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化.现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%.根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，则该支股票将上涨的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知f(x)=−f′(1)x2+x+2lnx.
(1)求f′(1)并写出f(x)的表达式;
(2)证明：f(x)≤x−1．
16.(本小题12分)
近年来，养宠物的人越来越多，在供需端及资本的共同推动下中国宠物经济产业迅速增长，数据显示，目前中国养宠户数在全国户数中占比为15．
(1)随机抽取200名成年人，并调查这200名成年人养宠物的情况，统计后得到如下列联表：
依据小概率值α=0.01的独立性检验，判断能否认为养宠物与性别有关?
(2)记2018−2023年的年份代码x依次为1，2，3，4，5，6，中国宠物经济产业年规模为y (单位：亿元)，由这6年中国宠物经济产业年规模数据求得y，关于x的回归方程为y=0.86x+0.63，且 i=16(yi−y)2≈3.61.求相关系数r，并判断该回归方程是否有价值．
参考公式及数据：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d
回归方程y=bx+a，其中b=i=1n(xi−x)(yi−y)i=1n(xi−x)2，a=y−bx，相关系数r=i=1n(xi−x)(yi−y) i=1n(xi−x)2i=1n(yi−y)2;若|r|≥0.75，则认为y与x有较强的相关性.其中 17.5≈4.18．
17.(本小题12分)
在一个不透明的密闭纸箱中装有10个大小、形状完全相同的小球，其中8个白球，2个黑球.小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸4次，记随机变量X为小张摸出白球的个数．
(1)若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后放回纸箱，求E(X)和D(X);
(2)若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后不放回纸箱，求X的分布列．
18.(本小题12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足lg2(Sn+2)=n+1．
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)数列{bn}的通项bn=n，求{an⋅bn}的前n项和Mn;
(3)在任意相邻两项ak与ak+1(其中k∈N∗)之间插入2k个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列{cn}.记Tn为数列{cn}的前n项和，求T36的值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=aln(x+2)−12x2(a∈R)．
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若函数f(x)有两个极值点，
(i)求实数a的取值范围;
(ii)证明：函数f(x)有且只有一个零点．
答案简析
1.B
【简析】解：由等差数列的通项公式可得：a5=a2+3d=3+3×5=18．
故选：B．
2.A
【简析】解：函数f(x)可导，
则limΔx→0f(1−Δx)−f(1)Δx=−lim△x→0f(1−△x)−f(1)−△x=−f′(1)=18，
所以f′(1)=−18
故选：A．
3.A
【简析】解：由题意，得q3=a5+a6a2+a3=−162=−8，
则公比q=−2
4.B
【简析】解： (2− x)7的展开式的通项公式为 Tr+1=C7r(2)7−r(−x12)r=(−1)r27−rC7rxr2，r=0，1，2，⋯7，
令 r2 =2，可得r=4，所以x2的系数为 (−1)427−4C74=280，
故选B．
5.C
【简析】解：先给A社区选1人，有C51=5种方法，再给B社区选2人，有C42=6种，
根据分步乘法计数原理可得共有5×6=30种选法．
6.C
【简析】解：设直线y=kx与曲线y=ln2x的切点为P(x0,y0)，
由y′=22x=1x，所以k=1x0=y0x0=ln2x0x0，解得x0=e2，
所以k=1x0=2e．
故选C．
7.D
【简析】解：由P(A)=34，P(BA)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)，
所以P(A|B)=P(A)P(B|A)P(B)=34×1312=12．
故选：D．
8.D
【简析】解：设f(x)=lnxx(x>0)，则f′(x)=1−lnxx2，
当00;当x>e时，f′(x)<0，
所以f(x)在(0,e)上是增函数，在(e,+∞)上是减函数．
原不等式可化为lnxx>ln22，即f(x)>f(2)，结合f(2)=f(4)，可得2所以原不等式的解集为{x|29.AC
【简析】解：因为随机变量X~N(3,1),所以E（X）=3，D（X）=1，
选项A，Y=X+3,则E(Y)=E（X）+3=3+3=6，A正确；
选项B，Y=3X+1,则D(Y)=32D（X）=9，B错误；
选项C，因为2和4关于x=3对称，由正态分布的对称性可知，P(X≤2)=P(X≥4)，C正确；
选项D，由正态分布的对称性可知，1-2P(X≥4)=P(2≤X≤4)＜P(0≤X≤4)，D错误.
故选AC.
10.AB
【简析】解：由题意可知：当x∈(−4,−3)∪(−2,2)时，f′(x)≥0;当x∈(−3,−2)∪(2,3)时，f′(x)<0;
可知f(x)在(−4,−3)，(−2,2)单调递增，在(−3,−2)，(2,3)单调递减，
可知：f(0)故AB正确;CD错误．
11.BD
【简析】解：A选项，二阶等差数列{cn}的前6项为：4，8，10，10，8，4，所以数列{cn+1−cn}的项为：4，2，0，−2，−4，成等差数列，公差为−2，故A错误；
B选项，由A得cn+1−cn=6−2n，累加法得cn+1−c1=−n2+5n，所以i=120(ci+1−ci)=c21−c1=−202+5×20=−300，故B正确;
C选项，由B选项可得cn=−n2+7n−2=−n(n−7)−2，所以c6=4>0，c7=−2<0，所以数列{cn}的前6项和最大，故C错误;
D选项，由B选项可得cn=−n2+7n−2，所以c21=−212+7×21−2=−296，故D正确，
故选BD．
12.2
【简析】解：(2x−1)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0中，
令x=1，得(2−1)5=a5+a4+a3+a2+a1+a0，
即a0+a1+a2+a3+a4+a5=1．
令x=0可得a0=−1，
∴a1+a2+a3+a4+a5=2．

【简析】解：由E(x)=1.2，得0×p+1×0.6+2×(1−0.6−p)=1.2，解得p=0.1，
依题意D(X)=0.1×(0−1.2)2+0.6×(1−1.2)2+0.3×(2−1.2)2=0.36．
故答案为：0.36
14.64%
【简析】解：记A为事件“利率下调”，那么A即为“利率不变”，
记B为事件“股票价格上涨”，
依题设知P(A)=60%，P(A)=40%，P(B|A)=80%，P(B|A)=40%，
于是P(B)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)
=60%×80%+40%×40%=64%．
故答案为64%．
15.解：(1)因为f′(x)=−2f′(1)x+1+2x，令x=1解得f′(1)=1，所以f(x)=−x2+x+2lnx.
(2)构造F(x)=f(x)−x+1=−x2+2lnx+1，F′(x)=−2x+2x=2(1−x)(1+x)x．
当00，于是F(x)在[0,1]单调递增;
当x≥1时，F′(x)≤0，于是F(x)在[1,+∞)单调递减，
所以Fmax(x)=F(1)=0，于是F(x)≤F(1)=0，所以f(x)≤x−1．
【简析】(1)求导，令x=1，代入求出f′(1)=1，即可求出f(x)的表达式；
(2)构造F(x)=f(x)−x+1=−x2+2lnx+1，求出函数F(x)的最大值即可求解。
16.解：(1)因为χ2=200×38×40−62×602100×100×102×98≈9.684>6.635，
依据小概率值α=0.01的独立性检验，可以认为是否养宠物与性别有关联．
(2)由x的取值依次为1，2，3，4，5，6，得x=3.5，i=16xi−x2=17.5，
因为回归方程为y=0.86x+0.63，
所以b=i=16xi−xyi−yi=16xi−x2=i=16xi−xyi−y17.5=0.86，
所以i=16xi−xyi−y=15.05，
所以r=i=16xi−xyi−y i=16xi−x2i=16yi−y2≈×3.61≈0.997．
因为r>0.75，所以y与x有较强的相关性，该同归方程有价值．
【简析】(1)首先计算χ2，再和6.635比较大小，即可判断结论；
(2)根据回归直线方程，结合b和相关系数r的公式，即可求解相关系数．
17.解:(1)由已知得,X~B(4,0.8),
所以E(X)=4×0.8=3.2,
D(X)=4×0.8×(1-0.8)=0.64.
(2)由已知得,X服从超几何分布,
且P(X=k)=C8kC24−kC104,k=2,3,4,
P(X=2)=C82C24−2C104=215，
P(X=3)=C83C24−3C104=815，
P(X=4)=C84C24−4C104=13​​​​​​​，
所以X的分布列为
【简析】(1)由已知得,X~B(4,0.8),根据二项分布即可求解；
(2)X服从超几何分布,且P(X=k)=C8kC24−kC104,k=2,3,4,即可求解.
18.解：(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足lg2(Sn+2)=n+1，
则Sn+2=2n+1，
则当n≥2时，an=Sn−Sn−1=2n+1−2n=2n，
又a1=22−2=2满足上式，
即数列{an}的通项公式为an=2n；
(2)由(1)可知an⋅bn=n×2n，
所以Mn=1×2+2×22+3×23+⋯+n×2n，
所以2Mn=1×22+2×23+3×24+⋯+n×2n+1，
则−Mn=1×2+1×22+1×23+⋯+1×2n−n×2n+1
=2(1−2n)1−2−n×2n+1=(1−n)×2n+1−2，
所以Mn=(n−1)×2n+1+2;
(3)在任意相邻两项ak与ak+1(其中k∈N∗)之间插入2k个3，
使它们和原数列的项构成一个新的数列{bn}，
则a5为数列{bn}的第21+22+23+24+5=34项，
则b35=b36=3，
则T36=31×3+a1+a2+a3+a4+a5=93+2×(1−25)1−2=155．
【简析】(1)由已知可得Sn+2=2n+1，然后求数列{an}的通项公式即可；
(2)利用错位相减法求和即可；
(3)由题意可得a5为数列{bn}的第34项，则b35=b36=3，然后结合等比数列的求和公式求解即可．
19.解：(1)因为f′(x)=ax+2−x=−(x+1)2+a+1x+2，
(i)当a≤−1时，f(x)在(−2,+∞)单调递减;
(ii)当−1当x∈(−2,− a+1−1)，f′(x)<0．
当x∈(− a+1−1, a+1−1)，f′(x)>0．
当x∈( a+1−1,+∞)，f′(x)<0．
所以f(x)在(−2,− a+1−1)单调递减，在(− a+1−1, a+1−1)单调递增，在( a+1−1,+∞)单调递减;
(iii)当a≥0时，f(x)在(−2, a+1−1)单调递增，( a+1−1,+∞)单调递减．
(2) (i)由(1)知−1(ii)由(1)知f(x)极大值为f( a+1−1)，
因为f( a+1−1)=aln( a+1+1)−12( a+1−1)2<0，
又因为f(e4a−2)=4−12(e4a−2)2>0．
所以函数f(x)有且只有一个零点．
【简析】(1)求出f′(x)，然后对a进行分类讨论，利用导数和单调性的关系即可求解;
(2)(i)由(1)即可求解;
(ii)求出极大值，结合零点存在定理即可判断．X
0
1
2
P
p
0.6
q
成年男性
成年女性
合计
养宠物
38
60
98
不养宠物
62
40
102
合计
100
100
200
α
0.10
0.05
0.01
xα
2.706
3.841
6.635
X
2
3
4
P
215
815
13