[数学][期末]广西壮族自治区防城港市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题

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考试时间：分钟 满分：分
*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(共8题；共40分)
1. 复数的共轭复数为（ ）
A . B . C . D .
2. 对某平面图形使用斜二测画法后得到的直观图是边长为1的正方形（如图），则原图形的面积是
A . B . 2 C . D . 4
3. 进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是.用计算机生成了20组随机数，结果如下：116 785 812 730 134 452 125 689 024 169 334 217 109 361 908 284 044 147 318 027
若用0，1，2，3，4，5表示高温橙色预警，用6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（ ）
A . B . C . D .
4. 已知单位向量 ， 满足 ， 则在上的投影向量为（ ）
A . B . C . D .
5. 已知中，角A ， B ， C所对的边分别是a ， b ， c ， 若 ， 且 ， 则是（ ）
A . 锐角三角形 B . 钝角三角形 C . 等边三角形 D . 等腰直角三角形
6. 在高二选科前，高一某班班主任对该班同学的选科意向进行了调查统计，根据统计数据发现：选物理的同学占全班同学的80%，同时选物理和化学的同学占全班同学的60%，且该班同学选物理和选化学相互独立.现从该班级中随机抽取一名同学，则该同学既不选物理也不选化学的概率为（ ）
A . 0.125 B . 0.1 C . 0.075 D . 0.05
7. 如图，在正方体中，E ， F分别为棱BC ， 的中点，过点A ， E ， F作一截面，该截面将正方体分成上、下两部分，则分成的上、下两部分几何体的体积比为（ ）
A . 2 B . C . D .
8. 如图，已知是的垂心，且 ， 则等于（ ）
A . B . C . D .
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分。(共3题；共18分)
9. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A . 若 ， 则 B . 若 ， 则 C . 若 ， 且 ， 则 D . 若 ， 且 ， 则
10. 如图，延长正方形的边至点E ， 使得 ， 动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A ， 若 ， 则下列判断不正确的是（ ）
A . 满足的点P必为的中点 B . 满足的点P有且只有一个 C . 满足的点P有且只有一个 D . 满足的点P有且只有一个
11. 已知圆锥的顶点为 ， 为底面圆心，母线与互相垂直，的面积为2，与圆锥底面所成的角为 ， 则下列说法正确的是（ ）
A . 圆锥的高为1 B . 圆锥的体积为 C . 圆锥侧面展开图的圆心角为 D . 二面角的大小为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。(共3题；共15分)
12. 某班兴趣小组做了一次关于“电子产品对视力的影响”的问卷调查．他们从岁，7～12岁，13～15岁，16～18岁四个年龄段回收的问卷依次为120份、180份、240份、份．因调查需要，现从回收的问卷中按年龄段按比例分配分层随机抽取一个容量为300的样本．若在岁年龄段的问卷中抽取了60份，则应在岁年龄段的问卷中抽取的份数为____________________．
13. 设是复数且 ， 则的最小值为____________________.
14. 已知在中，内角所对的边分别为 ， 点是的重心，且 ， 则角 的大小为____________________．
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(共5题；共77分)
15. 已知向量 ， ．
（1） 若 ， 求；
（2） 若 ， ， 求与的夹角的余弦值．
16. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段： ， ， ……，得到如图所示的频率分布直方图.
（1） 求频率分布直方图中的值；
（2） 求样本成绩的第75百分位数；
（3） 已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差.
17. 记的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ， 已知 ．
（1） 求角的大小；
（2） 若点在线段BC上，且AD平分 ， 若 ， 且 ， 求 ．
18. 如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面是棱的中点，.
（1） 证明：平面；
（2） 若二面角为 ， 求异面直线与所成角的正切值.
19. 在某抽奖活动中，初始时的袋子中有3个除颜色外其余都相同的小球，颜色为2白1红.每次随机抽取一个小球后放回.抽奖规则如下：设定抽中红球为中奖，抽中白球为未中奖；若抽到白球，放回后把袋中的一个白色小球替换为红色；若抽到红球，放回后把三个球的颜色重新变为2白1红的初始状态．记第n次抽奖中奖的概率为.
（1） 求 ， ；
（2） 若存在实数a ， b ， c ， 对任意的不小于4的正整数n ， 都有 ， 试确定a ， b ， c的值；
（3） 若累计中奖4次及以上可以获得一枚优胜者勋章，则从初始状态下连抽9次获得至少一枚勋章的概率为多少？