2023-2024学年山东省聊城市冠县八年级上学期期中数学试题及答案

这是一份2023-2024学年山东省聊城市冠县八年级上学期期中数学试题及答案，共22页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列式子是分式的是（ ）
A．B．C．x+yD．
2．（3分）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，使对称之美惊艳了千年的时光．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ）
A．清华大学B．北京大学
C．中国人民大学D．浙江大学
3．（3分）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（2，3）B．（2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（﹣2，﹣3）
4．（3分）如图，已知△ADC≌△AEB，且AC＝5，则CE的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．（3分）如图用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，由△ADF≌△ADE可得∠CAD＝∠BAD，由作图的过程可知（ ）
A．SASB．SSSC．ASAD．AAS
6．（3分）当x为一切实数时，下列分式一定有意义的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）若a≠b，则下列分式化简正确的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
8．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，在直线BC或AC上取一点P，使得△ABP为等腰三角形（ ）
A．3B．4C．5D．6
9．（3分）根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（ ）
A．∠C＝90°，AB＝6B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4D．AB＝3，BC＝4，CA＝8
10．（3分）小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形的三条高交于一点
D．三角形三边的垂直平分线交于一点
11．（3分）等腰三角形的顶角为x度，一个底角的外角为y度，则y关于x的函数表达式是（ ）
A．y＝180﹣xB．y＝180﹣2xC．y＝90+D．y＝90﹣
12．（3分）如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点．若AB＝5，BC＝6，则△APC周长的最小值是（ ）
A．9B．10C．10.5D．11
二.填空题（共5小题，满分15分，只写出最后结果）
13．（3分）在比例尺为1：20000的地图上，A、B两地的距离为2.5cm，则实际距离为 m．
14．（3分）已知等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则这个等腰三角形的周长为 ．
15．（3分）一组按规律排列的式子：﹣，，﹣，，…（ab≠0），则第n个式子是 （n为正整数）．
16．（3分）如图，是一个3×3的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ ．
17．（3分）如图．△ABC中，∠B＝32°，∠BCA＝78°，计算∠α＝ ．
三、解答题（共8小题）
18．（7分）如图，已知AB＝CD，BC＝AD，求∠D．
19．（8分）已知线段a、b、c满足＝＝，且a+2b+c＝26．
（1）求a、b、c的值；
（2）若线段d＝2c，线段x是线段a、d的比例中项，求x．
20．（8分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1）（2，0）、C（4，3）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，计算△ABC的面积；
（2）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为1，求点P的坐标．
21．（8分）如图，△ABC中，AD平分∠CAB，DE∥AC．求证：AE＝BE．
22．（8分）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，若∠ABE＝20°
23．（8分）如图，点C、F、E、B在一条直线上，∠CFD＝∠BEA，DF＝AE，写出CD与AB之间的关系
24．（12分）（1）化简（﹣x+2）÷；
（2）先化简，再求值：（+），其中a＝﹣3；
（3）先化简，再求值：（﹣）÷（），再从﹣2，0，2中选择一个合适的数a代入求值．
25．（10分）如图，点B，C分别在∠A的两边上，DE⊥AB，DF⊥AC，F，且AB＝AC，DE＝DF．求证：BD＝CD．
2023-2024学年山东省聊城市冠县八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题有且只有一个正确答案，满分36分）
1．（3分）下列式子是分式的是（ ）
A．B．C．x+yD．
【分析】形如（A，B均为整式，B中含有字母且B≠0）的式子即为分式，据此进行判断即可．
【解答】解：分母中不含字母，
则A不符合题意；
符合分式的定义，
则B符合题意；
x+y是整式，
则C不符合题意；
分母中不含字母，
则D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查分式的定义，熟练掌握并理解分式的定义是解题的关键．
2．（3分）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，使对称之美惊艳了千年的时光．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ）
A．清华大学B．北京大学
C．中国人民大学D．浙江大学
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．（3分）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（2，3）B．（2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（﹣2，﹣3）
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质分析得出答案．
【解答】解：点P（2，﹣3）关于x轴对称的点的坐标是：（5．
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
4．（3分）如图，已知△ADC≌△AEB，且AC＝5，则CE的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】由全等三角形的性质得到AE＝AD＝3，即可求出CE＝AC﹣AE＝5﹣3＝2．
【解答】解：∵△ADC≌△AEB，
∴AE＝AD＝3，
∵AC＝5，
∴CE＝AC﹣AE＝3﹣3＝2．
故选：B．
【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是由全等三角形的性质得到AE＝AD＝3．
5．（3分）如图用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，由△ADF≌△ADE可得∠CAD＝∠BAD，由作图的过程可知（ ）
A．SASB．SSSC．ASAD．AAS
【分析】根据作图过程可得，AF＝AE，DF＝DE，又AD＝AD，根据SSS可以证明△FAD≌△EAD，即可得结论．
【解答】解：根据作图过程可知：
AF＝AE，DF＝DE，
在△FAD和△EAD中，
，
∴△FAD≌△EAD（SSS），
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
6．（3分）当x为一切实数时，下列分式一定有意义的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】直接利用分式有意义的条件分别分析得出答案．分式有意义的条件是分母不等于零．
【解答】解：A．当x＝﹣1时，故本选项不合题意；
B．∵x2≥2，
∴x2+1＞2，
∴当x为任意实数时，该分式一定有意义；
C．当x＝﹣1时，故本选项不合题意；
D．当x＝±1时，故本选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键．
7．（3分）若a≠b，则下列分式化简正确的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【分析】根据a≠b，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵a≠b，
∴，故选项A错误；
，故选项B错误；
，故选项C错误；
，故选项D正确；
故选：D．
【点评】本题考查分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，在直线BC或AC上取一点P，使得△ABP为等腰三角形（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】分三种情况分别画出图形，如图，以AB为腰，B为顶角的顶点的等腰三角形；以AB为腰，A为顶角的顶点的等腰三角形；以AB为底边，P为顶角的顶点的等腰三角形；从而可得答案．
【解答】解：如图，以AB为腰1，△BAP2，△BAP8，
以AB为腰，A为顶角的顶点的等腰三角形有△ABP3，△ABP4，△ABP2，
以AB为底边，P为顶角的顶点的等腰三角形有△P6AB，
其中△ABP3是等边三角形，
∴符合条件的点的个数有8个，
故选：D．
【点评】本题考查的是等腰三角形的定义，等边三角形的判定，做到不重复不遗漏的得到点P是解本题的关键．
9．（3分）根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（ ）
A．∠C＝90°，AB＝6B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4D．AB＝3，BC＝4，CA＝8
【分析】根据全等三角形的三边关系理逐个判断即可．
【解答】解：A．如图Rt△ACB和Rt△ADB的斜边都是AB，故本选项不符合题意；
B．AB＝4，∠A＝30°，不能画出唯一的三角形；
C．∠A＝60°，AB＝4，能画出唯一的三角形；
D．5+4＜8，不能画出三角形；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理和三角形三边关系定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
10．（3分）小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形的三条高交于一点
D．三角形三边的垂直平分线交于一点
【分析】由题意可知，点P到射线OB，OA的距离相等，则点P在∠BOA的平分线上，即可得出答案．
【解答】解：由题意可知，点P到射线OB的距离是直尺的宽度，
∴点P到射线OB，OA的距离相等，
∴点P在∠BOA的平分线上（在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上）．
故选：A．
【点评】本题考查角平分线的性质，理解题意，掌握角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解答本题的关键．
11．（3分）等腰三角形的顶角为x度，一个底角的外角为y度，则y关于x的函数表达式是（ ）
A．y＝180﹣xB．y＝180﹣2xC．y＝90+D．y＝90﹣
【分析】利用三角形内角和定理和外角的定义即可解决问题．
【解答】解：∵x+（180﹣y）+（180﹣y）＝180，
∴．
故选：C．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，函数关系式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
12．（3分）如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点．若AB＝5，BC＝6，则△APC周长的最小值是（ ）
A．9B．10C．10.5D．11
【分析】根据垂直平分线的性质得BP＝PC，所以△APC周长＝AC+AP+PC＝AC+AP+BP≥AC+AB＝9．
【解答】解：∵直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，
∴BP＝PC
∴△APC周长＝AC+AP+PC＝AC+AP+BP
∵两点之间线段最短
∴AP+BP≥AB
∴△APC的周长＝AC+AP+BP≥AC+AB
∵AC＝4，AB＝5
∴△APC周长最小为AC+AB＝8
故选：A．
【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质定理，以及两点之间线段最短．做本题的关键是能得出AP+BP≥AB，做此类题的关键在于能根据题设中的已知条件，联系相关定理得出结论，再根据结论进行推论．
二.填空题（共5小题，满分15分，只写出最后结果）
13．（3分）在比例尺为1：20000的地图上，A、B两地的距离为2.5cm，则实际距离为 500 m．
【分析】首先设相距2.5cm的两地实际距离为x cm，根据题意可得方程＝，解此方程即可求得答案，注意统一单位．
【解答】解：设实际距离为x cm，
根据题意得：＝，
解得：x＝50000，
∵50000cm＝500m，
∴实际距离为500m．
故答案为：500．
【点评】此题考查了比例尺．此题比较简单，解题的关键是注意理解题意，根据题意列方程，注意统一单位．
14．（3分）已知等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则这个等腰三角形的周长为 25 ．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为5和10，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：分两种情况：
当腰为5时，5+2＝10；
当腰为10时，5+10＞10，周长是：10+10+5＝25．
故答案为：25．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
15．（3分）一组按规律排列的式子：﹣，，﹣，，…（ab≠0），则第n个式子是 （﹣1）n （n为正整数）．
【分析】根据分子的变化得出分子变化的规律，根据分母的变化得出分母变化的规律，根据分数符号的变化规律得出分数符号的变化规律，即可得到该组式子的变化规律．
【解答】解：分子为b，其指数为2，5，3，…，其规律为3n﹣1，
分母为a，其指数为5，2，3，5，…，
分数符号为﹣，+，﹣，+，…，其规律为（﹣1）n，
所以第n个式子（﹣1）n．
故答案为：（﹣1）n．
【点评】此题考查了分式的变化规律，先根据分子、分母的变化得出规律，再根据分式符号的变化得出规律是解题的关键．
16．（3分）如图，是一个3×3的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ 180° ．
【分析】仔细分析图中角度，可得出，∠1+∠4＝90°，∠2+∠3＝90°，进而得出答案．
【解答】解：∵∠1和∠4所在的三角形全等，
∴∠5+∠4＝90°，
∵∠2和∠4所在的三角形全等，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠5+∠2+∠3十∠2＝180°．
故答案为：180°．
【点评】此题主要考查了全等图形，解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用．
17．（3分）如图．△ABC中，∠B＝32°，∠BCA＝78°，计算∠α＝ 81° ．
【分析】先根据三角形的内角和得出∠BAC＝70°，由角平分线的定义求出∠EAC的度数，再由EF是线段AC的垂直平分线得出∠ABC＝∠BCF的度数，根据三角形内角和定理得出∠α的度数，进而可得出结论．
【解答】解：∵∠B＝32°，∠BCA＝78°，
∴∠BAC＝70°，
由作法可知，AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD＝∠BAC＝35°，
由作法可知，EF是线段BC的垂直平分线，
∴∠BCF＝∠B＝32°，
∵∠ACF＝∠ACB﹣∠BCF＝46°，
∴∠α＝∠CAD+∠ACF＝81°，
故答案为：81°．
【点评】本题考查的是作图—基本作图，熟知角平分线及线段垂直平分线的作法及其性质是解答此题的关键．
三、解答题（共8小题）
18．（7分）如图，已知AB＝CD，BC＝AD，求∠D．
【分析】连接AC，利用SSS证明△ABC≌△CDA即可求解．
【解答】解：如图，连接AC，
在△ABC和△CDA中，
，
∴△ABC≌△CDA（SSS），
∴∠D＝∠B＝23°．
【点评】本题主要考查全等三角形判定与性质，解题关键是正确作出辅助线，构造全等三角形的解决问题．
19．（8分）已知线段a、b、c满足＝＝，且a+2b+c＝26．
（1）求a、b、c的值；
（2）若线段d＝2c，线段x是线段a、d的比例中项，求x．
【分析】（1）设，然后用k表示出a、b、c，再代入a+2b+c＝26求解得到k，即可得到a、b、c的值；
（2）根据比例中项的定义列式得到x2＝ad，即x2＝6×24，然后根据算术平方根的定义求解．求解即可求出线段x的长．
【解答】解：（1）设，
则a＝3k，b＝2k，
所以，6k+2×2k+6k＝26，
解得k＝2，
所以，a＝6，c＝12；
（2）∵线段d＝5c，
∴d＝2×12＝24，
∵线段x是线段a、d的比例中项，
∴x2＝ad＝6×24＝144，
∴x＝12．
【点评】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键，同时利用“设k法”用k表示出a、b、c可以使计算更加简便．
20．（8分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1）（2，0）、C（4，3）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，计算△ABC的面积；
（2）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为1，求点P的坐标．
【分析】（1）利用平面坐标系画出图形，然后根据△ABC的面积＝S正方形ECFM﹣S△ECA﹣S△NAB﹣S△BCF求出即可；
（2）根据题意求得PB，即可求得P的坐标．
【解答】解：（1）如图所示：△ABC的面积是：，
（2）∵P为x轴上一点，△ABP的面积为1，
∴BP＝2，
∴点P的横坐标为：5+2＝4或4﹣2＝0，
故P点坐标为：（8，0）或（0．
【点评】此题考查了坐标和图形的关系以及三角形的面积，找到各点的对应点，是解题的关键．
21．（8分）如图，△ABC中，AD平分∠CAB，DE∥AC．求证：AE＝BE．
【分析】由AD平分∠CAB，DE∥AC可证得∠DAE＝∠ADE，得到AE＝DE，再结合BD⊥AD，可得∠EDB＝∠EBD，得到ED＝EB，从而可得出结论．
【解答】证明：∵DE∥AC，
∴∠CAD＝∠ADE，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠EAD，
∴∠EAD＝∠ADE，
∴AE＝ED，
∵BD⊥AD，
∴∠ADE+∠EDB＝90°，∠DAB+∠ABD＝90°，
又∠ADE＝∠DAB，
∴∠EDB＝∠ABD，
∴DE＝BE，
∴AE＝BE．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质和判定，利用DE作中介得到AE＝DE，BE＝DE是解题的关键．
22．（8分）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，若∠ABE＝20°
【分析】由BC∥AD得∠BFE＝∠ADE，由折叠得∠BEF＝∠DEF，所以∠BEF＝∠BFE，而∠EBF＝∠ABC﹣∠ABE＝90°﹣20°＝70°，则∠BEF＝55°，所以∠EFG＝180°﹣∠BEF＝125°．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC∥AD，
∴∠BFE＝∠ADE，
由折叠得∠BEF＝∠DEF，
∴∠BEF＝∠BFE，
∵∠ABC＝90°，∠ABE＝20°，
∴∠EBF＝∠ABC﹣∠ABE＝90°﹣20°＝70°，
∵∠BEF+∠BFE+∠EBF＝180°，
∴2∠BEF+70°＝180°，
∴∠BEF＝55°，
∵FG∥EB，
∴∠EFG＝180°﹣∠BEF＝180°﹣55°＝125°，
∴∠EFG的度数是125°．
【点评】此题重点考查轴对称的性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识，求得∠BEF＝55°是解题的关键．
23．（8分）如图，点C、F、E、B在一条直线上，∠CFD＝∠BEA，DF＝AE，写出CD与AB之间的关系
【分析】先证CF＝BE，再由SAS证△CFD≌△BEA，得CD＝AB，∠C＝∠B，然后由平行线的判定推出CD∥AB即可．
【解答】解：CD＝AB，CD∥AB
∵CE＝BF，
∴CE﹣EF＝BF﹣EF，
∴CF＝BE，
在△CFD和△BEA中，
，
∴△CFD≌△BEA（SAS），
∴CD＝AB，∠C＝∠B，
∴CD∥AB．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
24．（12分）（1）化简（﹣x+2）÷；
（2）先化简，再求值：（+），其中a＝﹣3；
（3）先化简，再求值：（﹣）÷（），再从﹣2，0，2中选择一个合适的数a代入求值．
【分析】（1）算算括号内的，把除化为乘，再约分即可；
（2）先通分算括号内的，把除化为乘，再约分，化简后将a＝﹣3代入计算即可；
（3）先通分算括号内的，把除化为乘，再约分，化简后将有意义的a的值代入计算即可．
【解答】解：（1）原式＝•
＝•
＝•
＝x﹣4；
（2）原式＝•+•
＝+
＝；
当a＝﹣3时，原式＝；
（3）原式＝[﹣]÷
＝（﹣）•
＝•
＝，
当a＝﹣2，a＝0，原式无意义，
∴把a＝﹣6代入得：原式＝＝﹣2．
【点评】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质，把所求式子化简．
25．（10分）如图，点B，C分别在∠A的两边上，DE⊥AB，DF⊥AC，F，且AB＝AC，DE＝DF．求证：BD＝CD．
【分析】根据DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF，可知∠CAD＝∠BAD，然后根据SAS证明△ADC≌△ADB即可证明结论．
【解答】证明：连接AD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABD和△ACD中
，
∴△ABD≌△ACD，（SAS），
∴BD＝CD．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/12/3 16:43:57；用户：娄老师；邮箱：15225657626；学号：48669677