山东省聊城市冠县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份山东省聊城市冠县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．第22届杭州亚运会于2023年9月23日至10月8日成功举行．下面四张图分别是四届亚运会会徽，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C．D．
2．衡量样本和总体的波动大小的特征数是（ ）
A．平均数B．众数C．方差D．中位数
3．若表示的是一个最简分式，则☆可以是（ ）
A．B．C．D．
4．若分式中的和都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（ ）
A．B．C．D．3
5．定义：两点关于某条直线对称，则称这条直线为这两个点的“幸福直线”．若点，幸福直线是，则点关于这条幸福直线的对称点的坐标，是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（ ）
A．120B．60C．45D．30
7．如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为 边上一动点，当的值最小时，的度数是（ ）
A．118°B．125°C．136°D．124°
8．如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（ ）

A．1号袋B．2号袋C．3号袋D．4号袋
9．如图，在等边△ABC中，BD=CE，则∠APE等于（ ）
A．B．C．D．
10．若解分式方程产生增根，则k的值为（ ）
A．2B．0C．1D．
11．一组数据、、、、、、的平均数是，方差是，则另一组数据、、、、、、的平均数和方差分别是（ ）
A．3，B．，C．，D．，
12．如图，中，点E、F分别是延长线上一点，、的角平分线交于点P，连接，过点P作，垂足分别是点M、N，则下列结论中正确的个数（ ）
①平分；②；③；④．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
13．下列命题：①两个全等的三角形一定关于某直线对称；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③有一组对应角是60°的两个等腰三角形全等；④顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等．其中是假命题的有 ．（填写序号）
14．已知，且，则的值为 ．
15．如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点落在点处，交于点，再将沿折叠后，点落在点处，若刚好平分，则的度数为 ．
16．如图，在中，，，点P从点B出发以每秒速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当是以为底的等腰三角形时，运动的时间是 秒
17．观察下列各式：， 根据其中的规律可得 （用含n的式子表示）．
三、解答题
18．（1）先化简，再求值：，其中满足方程．
（2）解方程：．
19．如图，点在上，，，．求证：平分．

20．年7月5日，星际荣耀“双曲线二号”验证火箭动力系统试车取得圆满成功．为了庆祝这个时刻，某县举办了科技知识活动，根据综合成绩择优参加市活动，进入前两名选手的各项成绩（单项满分分）如下表所示：
(1)如果把各项成绩的平均分作为综合成绩，应推选哪位选手？
(2)如果把征文、演讲、歌唱三项成绩按2∶5∶3的比例作为综合成绩，应推选哪位选手？
21．如图，是的角平分线，、分别是和的高．
(1)试说明垂直平分；
(2)若，，，求的长．
22．分式方程应用题：近日，北京教育考试院发布了《北京市义务教育体育与健康考核评价现场考试项目评分准（试行）》，2024年中考中对于体育现场考试项目中的男生1000米和女生800米的考核标准调整为“达到良好即满分”，即达到3分55秒即可得到满分．在一次计时跑步中，某班一名女生和一名男生的平均速度相同，且这名女生跑完800米所用时间比这名男生跑完1000米所用时间少 56秒，按照中考考核标准来看，这名女生能否能拿到满分？
23．如图，，，分别平分和，经过点E．求证：．
24．阅读材料：要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得到：，这时中又有公因式（m+n），于是可以提出，从而得到，因此有，这种方法称为分组法．请回答下列问题：
(1)尝试填空： ______；
(2)解决问题：因式分解；．
(3)拓展应用：已知三角形的三边长分别是a，b，c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由．
25．已知在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，．
(1)如图1，当点E为的中点时，确定线段与的大小关系：______（填“>”“<”或“=”）
(2)如图2，当点E为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，并说明理由．
(3)如图3，在等边三角形中，点E在线段的延长线上，点D在线段的延长线上，且，若的边长为1，，求的长．
选手
征文
演讲
歌唱
甲
75分
90分
87分
乙
84分
83分
88分
参考答案：
1．D
【分析】本题考查了轴对称图形的概念．根据“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴”进行分析即可．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
【详解】解：A，B，C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：D．
2．C
【分析】根据方差的意义可以选出合适的选项．
【详解】根据方差的概念，知方差反映了一组数据的波动大小、故选C
【点睛】本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[++]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
3．B
【分析】本题考查了最简分式，根据最简分式的定义，即可求解．最简分式定义， 一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时 (即分子与分母互素)叫最简分式．
【详解】解：A、当☆为时，，不是最简分式，故该选项不符合题意；
B、当☆为时，，是最简分式，故该选项符合题意；
C、当☆为时，，不是最简分式，故该选项不符合题意；
D、当☆为时，，不是最简分式，故该选项不符合题意；
故选：B．
4．A
【分析】根据分式的性质即可求解．
【详解】解：和都扩大为原来的3倍得到：
因为分式的值不变
所以是同时含有和的一次二项式
故选：A
【点睛】本题考查分式的性质．掌握相关性质是解题的关键．
5．A
【分析】本题考查了关于直线对称的点坐标的特征．熟练掌握关于直线对称的点坐标的特征是解题的关键．由点关于幸福直线的对称点的坐标，可知的纵坐标相同，横坐标和的一半等于，即，然后作答即可．
【详解】解：由题意知，，即，
故选：A．
6．B
【分析】本题考查角平分线的性质，根据作图得到为的角平分线，进而得到点到的距离相等，再利用三角形的面积公式进行计算即可，掌握角平分线的作图方法，以及角平分线上的点都角两边的距离相等，是解题的关键．
【详解】解：由作图方法可知：为的角平分线，
∵点在上，
∴点到的距离相等，
设点到的距离为，
∵，即，
∴的长即为点到的距离，
∴，
∴的面积是；
故选B.
7．D
【分析】先在上截取，连接，证明，得出，说明，找出当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，根据三角形外角的性质可得答案．
【详解】解：在上截取，连接，如图：
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如图：
∵，，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理与三角形的外角的性质，解题的关键是找出使最小时点P的位置．
8．B
【分析】根据题意，画出图形，由轴对称的性质判定正确选项．
【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：

该球最后落入2号袋．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质．轴对称的性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；（2）对应线段相等，对应角相等．注意结合图形解题的思想；严格按轴对称画图是正确解答本题的关键．
9．C
【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得∠BAD与∠CBE的关系，根据三角形的外交的性质，可得∠APE=∠ABP+∠BAP，根据等量代换，可得答案．
【详解】解：在等边△ABC中，∠ABC=∠C=60°，AB=BC．
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE．
∵∠APE是△ABP的外角，
∴∠APE=∠ABP+∠BAP，
∴∠APE=∠ABP+∠PBD=∠ABC=60°．
故选C．
【点睛】本题考查了全等三角形，利用了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质．
10．C
【分析】本题考查分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①根据最简公分母确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．先解分式方程，再根据分式方程的增根的定义解决此题．
【详解】解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
的系数化为1，得，
分式方程产生增根，
，
，
故选：C
11．D
【分析】本题考查了算术平均数和方差的定义，由定义得，，从而可得，进行化简即可求解；掌握“，”是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，
，
，
；
故选：D．
12．C
【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理和判定定理，全等三角形的性质和判定．过点作于，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明和，根据全等三角形的性质得出可判断③和④．
【详解】解：过点作于，
∵平分，平分，，，，
，，
，
∴点在的角平分线上，故①正确；
∵，，
∴，
∴．
在和中，，
，
，，
同理：，
，，
∴，故③正确；
，
，故④正确；
与不一定相等，故②错误，
故选：C．
13．①②③
【分析】本题考查轴对称，等腰三角形的性质，全等三角形的判定，根据轴对称的概念，等腰三角形三线合一的性质，全等三角形的判定定理逐项判断即可．
【详解】解：两个全等的三角形不一定关于某直线对称，①是假命题；
等腰三角形的底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合，②是假命题；
有一组对应角是60°的两个等腰三角形不一定全等，③是假命题；
顶角相等，可知底角也相等，根据ASA或AAS均可判定顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等，④是真命题；
假命题有①②③，
故答案为：①②③．
14．12
【分析】直接利用已知用同一未知数表示出a，b，c的值，进而计算得出答案．
【详解】解：∵，
∴设a=6x，b=5x，c=4x.
∵a+b-2c=9，
∴6x+5x−8x=9，
解得x=3，
∴c=12.
故答案为：12.
【点睛】此题主要考查了比例的性质，利用x正确表示出各数是解题关键．
15．/18度
【分析】本题主要考查了折叠问题，根据折叠的性质得出，，根据角平分线的性质得出，根据长方形的性质得出，则，设，则，，根据，列出方程求解即可．解题的关键是掌握折叠前后对应角相等，长方形对边互相平行，四个角都为直角．
【详解】解：∵沿折叠得到，
∴，
∵平分，
∴，
∵沿折叠得到，
∴，
∵四边形是长方形，
∴，
∴，
设，则，，
∵，
∴，即，
解得：，
∴，
故答案为：．
16．4
【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，此题涉及到动点，有一定的拔高难度，属于中档题．
设运动的时间为x，则，当是等腰三角形时，，则，解得x即可．
【详解】解：设运动的时间为x，
在中，，，
点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒的速度向点C运动，
当是等腰三角形时，，
，
即，
解得．
故答案为：4．
17．
【分析】观察发现，每一项都是一个分数，分母依次为3、5、7，…，那么第n项的分母是2n+1；分子依次为2，3，10，15，26，…，变化规律为：奇数项的分子是n2+1，偶数项的分子是n2-1，即第n项的分子是n2+（-1）n+1；依此即可求解．
【详解】解：由分析得，
故答案为：
【点睛】本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．
18．（1），；（2）原方程无解．
【分析】本题考查了分式的化简求值，解分式方程．注意解分式方程一定要验根．
（1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把整体代入计算即可求出值；
（2）观察可得最简公分母是，方程两边乘以最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解.
【详解】解：（1）
，
满足方程
原式．
（2）两边同时乘以去分母得
，
解得，
检验：把代入最简公分母得
∴是增根，原方程无解．
19．见解析
【分析】根据全等三角形的判定和性质定理和角平分线的定义即可得到结论．
【详解】证明：，
，
在和中，
≌，
，，
，
，
平分．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．
20．(1)应推选乙选手
(2)应推选甲选手
【分析】本题考查了算术平均数，加权平均数，利用平均数作决策；
（1）分别计算甲乙的算术平均数，比较大小，然后作答即可；
（2）分别计算甲乙的加权平均数，比较大小，然后作答即可．
【详解】（1）解：由题意知，甲选手的平均分为（分），
乙选手的平均分为（分），
∵，
∴应推选乙选手；
（2）解：由题意知，甲选手的综合成绩为（分）；
乙选手的综合成绩为（分）；
∵，
∴应推选甲选手．
21．(1)见解析；
(2)．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用面积法解决问题．
（1）根据三角形的角平分线的性质定理和垂直平分线的定义解答；
（2）根据，可以求得的长度．
【详解】（1）解：∵平分， ， ，
∴，
∵， ，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴垂直平分．
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
22．这名女生能拿到满分
【分析】本题考查分式方程的应用．设女生所用的时间为秒，则男生所用时间为秒，根据两人的平均速度相同，列出方程求解即可．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．
【详解】解：设女生所用的时间为秒，则男生所用时间为秒，由题意，得：
，
解得：，
经检验是原方程的解；
∵分55秒秒，，
∴这名女生能拿到满分．
23．证明见解析
【分析】在上截取，连接，通过证明和，然后根据全等三角形的性质分析求证．
【详解】证明：在上截取，连接．
∵，分别平分和，
∴．
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，通过添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
24．(1)
(2)
(3)这个三角形是等边三角形，理由见解析
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，等边三角形的判定，正确理解题意掌握分组法进行因式分解是解题的关键．
（1）把和看做一组，分别提取公因数2，公因式y，得到，再提取公因式即可得到答案；
（2）把和看做一组，分别提取公因数c和用平方差公式分解因式，得到，再提取公因式即可得到答案；
（3）把已知条件式左边利用分组法结合完全平方公式进行分解因式推出，进而根据非负数的性质推出，由此可得结论．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：这个三角形是等边三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴这个三角形是等边三角形．
25．(1)
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）由等腰三角形的性质得，再由等边三角形的性质得，然后证，得，即可得出结论；
（2）过点作，交于点，证为等边三角形，得，再证（），得，即可得出结论；
（3）过点作，交的延长线于点，可证得是等边三角形，，由，，即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，
∵是等边三角形，点是的中点，
∴平分，，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
（2）当点为上任意一点时，如图，．理由如下：
如图，过作交于，
∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，∘，即，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即，
（3）过点作，交的延长线于点，如图所示：
∵是等边三角形，
∴，，
∴，∘，
即，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．