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2023-2024学年辽宁省鞍山市铁西区八年级上学期期中数学试题及答案
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这是一份2023-2024学年辽宁省鞍山市铁西区八年级上学期期中数学试题及答案，共22页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）计算（﹣2m3n2）2的结果是（ ）
A．﹣2m6n4B．4m6n4C．4m5n4D．﹣4m6n4
2．（2分）下列说法正确的是（ ）
A．三角形的一个外角大于三角形的任何一个内角
B．三角形三条角平分线的交点叫做三角形的重心
C．三角形一个顶点处取一个外角，这三个外角中，钝角的个数最多是3个
D．一个三角形的三条中线、三条角平分线，三条高都在三角形的内部
3．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5B．（a2）3＝a6
C．a2•a3＝a6D．6a6﹣2a3＝3a3
4．（2分）如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明∠CAD＝∠DAB的依据是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．SSS
5．（2分）在下列各式中，应填入“（﹣y）”的是（ ）
A．﹣y3•______＝﹣y
B．﹣2y3•______＝2y4
C．（﹣2y）3•______＝﹣8y4
D．（﹣y）12•______＝﹣3y13
6．（2分）如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，F是射线OB上的任一点，则DF的长度不可能是（ ）
A．2.8B．3C．4.2D．5
7．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．2a3+2a＝2a4B．（a﹣2b）2＝a2﹣4b2
C．﹣5（2a﹣b）＝﹣10a﹣5bD．（﹣2a2b）3＝﹣8a6b3
8．（2分）如图，△ABC≌△ADE，线段BC的延长线过点E，∠AED＝108°，∠CAD＝12°，则∠DEF的度数为（ ）
A．28°B．36°C．38°D．42°
9．（2分）下列不能用平方差公式运算的是（ ）
A．（x+1）（x﹣1）B．（﹣x+1）（﹣x﹣1）
C．（x+1）（﹣x+1）D．（x+1）（1+x）
10．（2分）如图，七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线交于点O，则∠BOD的度数为（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）若矩形ABCD的面积为4a2b3，一边长为2ab3，则另一边长为 ．
12．（3分）如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，OB＝2米，A、B间的距离可能是 ．（写出一个即可）
13．（3分）＝ ．
14．（3分）如图，是一副三角板拼成的图形，边EF和BC在同一条直线上 ．
15．（3分）如图，某区有一块长为（3a+4b）米，宽为（2a+3b），规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间的边长为（a+b），b的式子表示绿化总面积为 ．
16．（3分）如图，AB＝5cm，AC＝BD＝3cm．∠CAB＝∠DBA，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．设运动时间为t（s） cm/s时，△ACP与△BPQ有可能全等．
三、解答题（17、18、19、20、21、题各8分，22题10分、23题12分，共62分）
17．（8分）因式分解：
（1）3ax2﹣6ax+3a．
（2）（x2+y2）2﹣4x2y2．
18．（8分）如图，已知AD＝CD，AB＝CB，PN⊥CD于点N．求证：PM＝PN．
19．（8分）回答下列问题：
（1）计算：
①（x+2）（x+3）＝ ；
②（x+2）（x﹣3）＝ ．
③（x﹣2）（x+3）＝ ；
④（x﹣2）（x﹣3）＝ ．
（2）总结公式（x+a）（x+b）＝x2+ x+ab
（3）已知a，b，m均为整数，且（x+a）（x+b）＝x2+mx+5．求m的所有可能值．
20．（8分）如图①，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．
（1）求证：∠BAC＝∠B+2∠E；
（2）如图②，若AF平分∠BAC，∠ECD＝60°，求∠AFC的度数．
21．（8分）阅读下列材料：数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“m2﹣mn+2m﹣2n”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了2﹣mn+2m﹣2n＝（m2﹣mn）+（2m﹣2n）＝m（m﹣n）+2（m﹣n）＝（m﹣n）（m+2），请在这种方法的启发下，解决以下问题：
（1）因式分解：a3﹣3a2﹣4a+12；
（2）已知m+n＝5，m﹣n＝1，求m2﹣n2+2m﹣2n的值；
22．（10分）【问题背景】
在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°
【初步探索】
小亮同学认为：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，再证明△AEF≌△AGF，则可得到BE、EF、FD之间的数量关系是 ．
【探索延伸】
在四边形ABCD中如图2，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，∠EAF＝∠BAD
【结论运用】
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处），舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，F处，且两舰艇之间的夹角（∠EOF），试求此时两舰艇之间的距离．
23．（12分）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2，请回答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式： ；
（2）利用（1）中所得的结论，解决下列问题：已知a+b+c＝11，求a2+b2+c2的值；
（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个长为b、宽为a的长方形纸片．请按要求利用所给的纸片拼出一个几何图形，并画在所给的方框内，要求所拼的几何图形的面积为2a2+5ab+2b2．
2023-2024学年辽宁省鞍山市铁西区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（在各小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确的答案字母代号涂在答题卡上，每小题2分，10小题，共20分）
1．（2分）计算（﹣2m3n2）2的结果是（ ）
A．﹣2m6n4B．4m6n4C．4m5n4D．﹣4m6n4
【分析】利用积的乘方的法则进行运算即可．
【解答】解：（﹣2m3n6）2＝4m8n4．
故选：B．
【点评】本题主要考查积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
2．（2分）下列说法正确的是（ ）
A．三角形的一个外角大于三角形的任何一个内角
B．三角形三条角平分线的交点叫做三角形的重心
C．三角形一个顶点处取一个外角，这三个外角中，钝角的个数最多是3个
D．一个三角形的三条中线、三条角平分线，三条高都在三角形的内部
【分析】根据三角形的外角定理可对选项A进行判断；根据三角形重心的定义可对选项B进行判断；分别讨论锐角三角形，直角三角形，钝角三角形在一个顶点处取一个外角，这三外角的大小即可对选项C进行判断；根据直角三角形的两条高与直角边重合，钝角三角形有两条高在三角形的外部可对选项D进行判断．
【解答】解：∵三角形的一个外角大于和它不相邻的内角，
∴选项A不正确；
∵三角形三条角平分线的交点是三角形的内心，三角形三条中线的交点是三角形的重心，
∴选项B不正确；
∵在锐角三角形每一个顶点处取一个外角，这三个外角都是钝角，这三个外角中有两个钝角，在钝角三角形每一个顶点处取一个外角，
∴在三角形每一个顶点处取一个外角，这三个外角中．
∴选项C正确；
∵直角三角形的两条高与直角边重合，钝角三角形有两条高在三角形的外部，
∴选项D不正确．
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的外角定理，三角形的重心，三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握三角形的外角定理，三角形的重心，三角形的角平分线、中线和高是解决问题的关键．
3．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5B．（a2）3＝a6
C．a2•a3＝a6D．6a6﹣2a3＝3a3
【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、a2与a3不属于同类项，不能合并；
B、（a2）3＝a6，故B符合题意；
C、a3•a3＝a5，故C不符合题意；
D、5a6与2a7不属于同类项，不能合并；
故选：B．
【点评】本题主要考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4．（2分）如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明∠CAD＝∠DAB的依据是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．SSS
【分析】根据作图过程可得，两个三角形三条边对应相等，所以可得两个三角形全等．
【解答】解：由作图过程可得：AE＝AF，DE＝DF，
所以△ADF≌△ADE（SSS），
∴∠CAD＝∠DAB，
故选：D．
【点评】本题考查了作角平分线，三角形全等判定定理：三组对应边分别相等的两个三角形全等（简称SSS或“边边边”），掌握以上知识是解题的关键．
5．（2分）在下列各式中，应填入“（﹣y）”的是（ ）
A．﹣y3•______＝﹣y
B．﹣2y3•______＝2y4
C．（﹣2y）3•______＝﹣8y4
D．（﹣y）12•______＝﹣3y13
【分析】根据单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方运算分别判断即可．
【解答】解：﹣y3•y﹣2＝﹣y，
故A选项不符合题意；
﹣2y3•（﹣y）＝2y5，
故B符合题意；
（﹣2y）3•y＝﹣5y4，
故C不符合题意；
（﹣y）12•（﹣3y）＝﹣7y13，
故D不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查了单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握这些知识是解题的关键．
6．（2分）如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，F是射线OB上的任一点，则DF的长度不可能是（ ）
A．2.8B．3C．4.2D．5
【分析】过点D作DH⊥OB于H，根据角平分线的性质，证明DE＝DH，再根据已知条件和垂线的性质进行解答即可．
【解答】解：如图所示：过点D作DH⊥OB于H，
∵OD平分∠AOB，DE⊥AO，
∴DE＝DH＝3，
∵F是射线OB上的任一点，根据垂线的性质：直线外一点到这条直线的垂线段最短，
∴DF的长度不可能小于3，
∴DF的长度不可能是2.8，
故选：A．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，解题关键是熟练掌握角平分线的性质和垂线的性质．
7．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．2a3+2a＝2a4B．（a﹣2b）2＝a2﹣4b2
C．﹣5（2a﹣b）＝﹣10a﹣5bD．（﹣2a2b）3＝﹣8a6b3
【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式不能合并；
B、原式＝a2﹣4ab+3b2，不符合题意；
C、原式＝﹣10a+5b；
D、原式＝﹣5a6b3，符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了完全平方公式，合并同类项，去括号与添括号，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
8．（2分）如图，△ABC≌△ADE，线段BC的延长线过点E，∠AED＝108°，∠CAD＝12°，则∠DEF的度数为（ ）
A．28°B．36°C．38°D．42°
【分析】由△ACB的内角和定理求得∠CAB＝24°；然后由全等三角形的对应角相等得到∠EAD＝∠CAB＝24°．则结合已知条件易求∠EAB的度数；最后利用△AEB的内角和是180度和图形来求∠DEF的度数．
【解答】解：∵∠ACB＝108°，∠B＝48°，
∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣48°﹣108°＝24°．
又∵△ABC≌△ADE，
∴∠EAD＝∠CAB＝24°．
又∵∠EAB＝∠EAD+∠CAD+∠CAB，∠CAD＝12°，
∴∠EAB＝24°+12°+24°＝60°，
∴∠AEB＝180°﹣∠EAB﹣∠B＝180°﹣60°﹣48°＝72°，
∴∠DEF＝∠AED﹣∠AEB＝108°﹣72°＝36°．
故选：B．
【点评】本题考查全等三角形的性质．全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
9．（2分）下列不能用平方差公式运算的是（ ）
A．（x+1）（x﹣1）B．（﹣x+1）（﹣x﹣1）
C．（x+1）（﹣x+1）D．（x+1）（1+x）
【分析】根据平方差公式解答即可．
【解答】解：A、（x+1）（x﹣1）＝x8﹣1，故此选项不符合题意；
B、（﹣x+1）（﹣x﹣5）＝x2﹣1，故此选项不符合题意；
C、（x+4）（﹣x+1）＝1﹣x7，故此选项不符合题意；
D、（x+1）（1+x）不能用平方差公式计算；
故选：D．
【点评】此题考查平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
10．（2分）如图，七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线交于点O，则∠BOD的度数为（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
【分析】由外角和内角的关系可求得∠1、∠2、∠3、∠4的和，由五边形内角和可求得五边形OAGFE的内角和，则可求得∠BOD．
【解答】解：∵∠1、∠2、∠3的外角的角度和为215°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+215°＝4×180°，
∴∠5+∠2+∠3+∠2＝505°，
∵五边形OAGFE内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠5+∠2+∠3+∠5+∠BOD＝540°，
∴∠BOD＝540°﹣505°＝35°，
故选：B．
【点评】本题主要考查多边形的内角和，利用内角和外角的关系求得∠1、∠2、∠3、∠4的和是解题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）若矩形ABCD的面积为4a2b3，一边长为2ab3，则另一边长为 2a ．
【分析】根据题意得另一边长为4a2b3÷2ab3，计算即可．
【解答】解：4a2b6÷2ab3＝6a．
即另一边长为2a．
故答案为：2a．
【点评】本题考查了整式的除法，解题的关键是掌握整式除法的运算法则．单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式．
12．（3分）如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，OB＝2米，A、B间的距离可能是 11 ．（写出一个即可）
【分析】根据三角形的三边关系，第三边的长一定大于已知的两边的差，而小于两边的和，求得相应范围，看哪个数值不在范围即可．
【解答】解：∵10﹣2＜AB＜10+2，
∴4＜AB＜12，
∴A、B间的距离可能是11米．
故答案为：11（答案不唯一）．
【点评】此题考查了三角形三边关系，已知三角形的两边，则第三边的范围是大于已知的两边的差，而小于两边的和．
13．（3分）＝ ﹣ ．
【分析】利用积的乘方的法则进行运算即可．
【解答】解：
＝（﹣）2023×（）2023×
＝（﹣×）2023×
＝（﹣1）2023×
＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
14．（3分）如图，是一副三角板拼成的图形，边EF和BC在同一条直线上 75° ．
【分析】由题意可得∠DFE，∠C，∠D的度数，利用三角形外角和定理可求得∠CMF的度数，继而可得∠DMN的度数，再利用三角形内角和定理即可求得答案．
【解答】解：由题意可得∠D＝90°，∠DFE＝45°，
∵∠DFE＝∠CMF+∠C，
∴∠CMF＝15°，
∴∠DMN＝15°，
∴∠DNM＝180°﹣∠D﹣∠DMN＝180°﹣90°﹣15°＝75°，
故答案为：75°．
【点评】本题考查三角形的内角和定理与外角性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
15．（3分）如图，某区有一块长为（3a+4b）米，宽为（2a+3b），规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间的边长为（a+b），b的式子表示绿化总面积为 （5a2+15ab+11b2）m2 ．
【分析】外面大长方形的面积减去中间小正方形的面积．
【解答】解：根据题意：
绿化总面积为：（3a+4b）×（7a+3b）﹣（a+b）2
＝8a2+9ab+8ab+12b2﹣a2﹣5ab﹣b2
＝（5a6+15ab+11b2）（m2）．
【点评】本题考查长方形和正方形的面积公式以及整式的乘法计算，理解题意是关键．
16．（3分）如图，AB＝5cm，AC＝BD＝3cm．∠CAB＝∠DBA，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．设运动时间为t（s） 1或 cm/s时，△ACP与△BPQ有可能全等．
【分析】根据题意可得：AP＝t cm，则BP＝（5﹣t）cm，然后根据已知∠CAB＝∠DBA，分两种情况：当AC＝BP＝3cm，AP＝BQ＝t cm时；当AC＝BQ＝3cm，AP＝BP时，分别进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
AP＝t cm，
∵AB＝5cm，
∴BP＝AB﹣AP＝（5﹣t）cm，
∵∠CAB＝∠DBA，
∴①当AC＝BP＝7cm，AP＝BQ＝t cm时，
∴5﹣t＝3，
∴t＝8，
∴AP＝BQ＝2cm，
∴点Q的运动速度＝＝1（cm/s）；
②当AC＝BQ＝3cm，AP＝BP时，
∴t＝7﹣t，
∴t＝2.5，
∴点Q的运动速度＝＝（cm/s）；
综上所述：当点Q的运动速度为1或cm/s时，
故答案为：1或．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，分两种情况讨论是解题的关键．
三、解答题（17、18、19、20、21、题各8分，22题10分、23题12分，共62分）
17．（8分）因式分解：
（1）3ax2﹣6ax+3a．
（2）（x2+y2）2﹣4x2y2．
【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答；
（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
【解答】解：（1）3ax2﹣3ax+3a
＝3a（x6﹣2x+1）
＝3a（x﹣1）2．
（2）（x4+y2）2﹣4x2y2
＝（x8+y2）2﹣（2xy）2
＝（x2+y8+2xy）（x2+y6﹣2xy）
＝（x+y）2（x﹣y）8．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
18．（8分）如图，已知AD＝CD，AB＝CB，PN⊥CD于点N．求证：PM＝PN．
【分析】根据SSS证明△ABD≌△CBD，得出∠ADB＝∠CDB，又因为点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，推出结论．
【解答】证明：在△ABD和△CBD中，
，
∴△CBD≌△ABD（SSS），
∴∠ADB＝∠CDB，
∵PM⊥AD于点M，PN⊥CD于点N，
∴PM＝PN．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，掌握判定方法是解题的关键．
19．（8分）回答下列问题：
（1）计算：
①（x+2）（x+3）＝ x2+5x+6 ；
②（x+2）（x﹣3）＝ x2﹣x﹣6 ．
③（x﹣2）（x+3）＝ x2+x﹣6 ；
④（x﹣2）（x﹣3）＝ x2﹣5x+6 ．
（2）总结公式（x+a）（x+b）＝x2+ （a+b） x+ab
（3）已知a，b，m均为整数，且（x+a）（x+b）＝x2+mx+5．求m的所有可能值．
【分析】（1）根据多项式乘多项式的法则计算①②③④这四个式子即可；
（2）根据（1）中的结果总结公式即可；
（3）运用（2）中的结论计算等式的左边，然后根据左右两边相等得到a+b＝m，ab＝5，再根据a，b，m均为整数，得出a＝1，b＝5或a＝﹣1，b＝﹣5或a＝5，b＝1或a＝﹣5，b＝﹣1，最后计算即可得出m的所有可能值．
【解答】解：（1）①（x+2）（x+3）
＝x5+3x+2x+5
＝x2+5x+5；
②（x+2）（x﹣3）
＝x5﹣3x+2x﹣3
＝x2﹣x﹣6；
③（x﹣8）（x+3）
＝x2+8x﹣2x﹣6
＝x5+x﹣6；
④（x﹣2）（x﹣6）
＝x2﹣3x﹣7x+6
＝x2﹣5x+6；
故答案为：x2+6x+6；x2﹣x﹣3；x2+x﹣6；x6﹣5x+6；
（2）（x+a）（x+b）＝x4+（a+b）x+ab，
故答案为：（a+b）；
（3）（x+a）（x+b）＝x2+mx+5，
∴x7+（a+b）x+ab＝x2+mx+5，
∴a+b＝m，ab＝6，
∵a，b，m均为整数，
∴a＝1，b＝5或a＝﹣8，b＝1或a＝﹣5，
当a＝7，b＝5时；
当a＝﹣1，b＝﹣8时；
当a＝5，b＝1时；
当a＝﹣6，b＝﹣1时；
综上，mm的所有可能值为6或﹣3．
【点评】本题主要考查多项式乘多项式，注意不要漏项，漏字母，有同类项的要合并同类项．
20．（8分）如图①，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．
（1）求证：∠BAC＝∠B+2∠E；
（2）如图②，若AF平分∠BAC，∠ECD＝60°，求∠AFC的度数．
【分析】（1）利用三角形的外角的性质即可解决问题．
（2）由CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，得出∠ACB＝60°和∠B＝36°，再由外角的性质求出∠AFC＝∠B+∠BAF，继而可得答案．
【解答】（1）证明：∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE，
∵∠DCE＝∠B+∠E，
∴∠ACE＝∠B+∠E，
∵∠BAC＝∠ACE+∠E，
∴∠BAC＝∠B+∠E+∠E＝∠B+2∠E．
（2）解：∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，
∴∠ACD＝2∠ECD＝4×60°＝120°，
∴∠ACB＝60°，
∵∠ECD＝60°，∠E＝24°，
∠B＝60°﹣24°＝36°，
在△ABC中，∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠B＝84°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝＝42°，
∴∠AFC＝∠B+∠BAF＝36°+42°＝78°．
【点评】本题考查三角形的外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的外角的性质和三角形的内角和定理，属于中考常考题型．
21．（8分）阅读下列材料：数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“m2﹣mn+2m﹣2n”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了2﹣mn+2m﹣2n＝（m2﹣mn）+（2m﹣2n）＝m（m﹣n）+2（m﹣n）＝（m﹣n）（m+2），请在这种方法的启发下，解决以下问题：
（1）因式分解：a3﹣3a2﹣4a+12；
（2）已知m+n＝5，m﹣n＝1，求m2﹣n2+2m﹣2n的值；
【分析】（1）将a3﹣3a2﹣4a+12变为a2（a﹣3）﹣4（a﹣3）即可；
（2）m2﹣n2+2m﹣2n变为（m+n）（m﹣n）+2（m﹣n）即可．
【解答】解：（1）a3﹣3a8﹣4a+12
＝a2（a﹣8）﹣4（a﹣3）
＝（a﹣5）（a2﹣4）
＝（a﹣4）（a﹣2）（a+2）；
（2）m6﹣n2+2m﹣3n
＝（m+n）（m﹣n+2）
＝（m﹣n）（m+n+2）
将m+n＝2，m﹣n＝1，
原式＝（m﹣n）（m+n+2）＝7×（5+2）＝7．
【点评】本题考查因式分解的应用——分组分解，利用因式分解解决求值问题、利用因式分解简化计算问题．掌握分组的要领是解决问题的关键．
22．（10分）【问题背景】
在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°
【初步探索】
小亮同学认为：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，再证明△AEF≌△AGF，则可得到BE、EF、FD之间的数量关系是 EF＝BE+FD ．
【探索延伸】
在四边形ABCD中如图2，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，∠EAF＝∠BAD
【结论运用】
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处），舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，F处，且两舰艇之间的夹角（∠EOF），试求此时两舰艇之间的距离．
【分析】【初步探索】延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，则可得到结论；
【探索延伸】延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，则结论可求；
【结论运用】连接EF，延长AE、BF交于点C，利用已知条件得到：四边形OABC中：OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝180°且∠EOF＝∠AOB，符合【探索延伸】具备的条件，则EF＝AE+BF．
【解答】【初步探索】解：延长FD到G，使DG＝BE，如图，
在Rt△ABE和Rt△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠BAD＝∠BAE+∠EAD，∠EAG＝∠EAD+∠DAG，
∴∠BAD＝∠EAG．
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠EAF＝EAG，
∴∠EAF＝∠GAF．
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵GF＝GD+DF＝DF+BE，
∴EF＝BE+DF；
故答案为：EF＝BE+FD；
【探索延伸】结论仍然成立：EF＝BE+DF．
证明：延长FD到G，使DG＝BE，如图，
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADG＝180°，
∴∠B＝∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠BAD＝∠BAE+∠EAD，∠EAG＝∠EAD+∠DAG，
∴∠BAD＝∠EAG．
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠EAF＝EAG，
∴∠EAF＝∠GAF．
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵GF＝GD+DF＝DF+BE，
∴EF＝BE+DF；
【结论运用】解：连接EF，延长AE，如图，
∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠EOF＝70°，
∴∠EOF＝∠AOB，
∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°，
∴四边形OABC中：OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝180°且∠EOF＝，
∴四边形OABC符合探索延伸中的条件，
∴结论EF＝AE+BF成立，
即EF＝AE+BF＝1.5×60+5.5×80＝210（海里），
答：此时两舰艇之间的距离是210海里．
【点评】本题主要考查了四边形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
23．（12分）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2，请回答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式： （a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ；
（2）利用（1）中所得的结论，解决下列问题：已知a+b+c＝11，求a2+b2+c2的值；
（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个长为b、宽为a的长方形纸片．请按要求利用所给的纸片拼出一个几何图形，并画在所给的方框内，要求所拼的几何图形的面积为2a2+5ab+2b2．
【分析】（1）正方形、长方形硬纸片共9块的面积等于边长为a+b+c的正方形即可得出答案；
（2）利用（1）中所求，将原式变形，进而求出答案；
（3）正方形、长方形硬纸片共9块的面积等于长为a+2b，宽为2a+b的矩形面积．
【解答】解：（1）由拼图面积可得：（a+b+c）2＝a2+b8+c2+2ab+8ac+2bc；
故答案为：（a+b+c）2＝a8+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）由（1）得：a4+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣7bc
＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）
＝117﹣2×38
＝45；
（3）如图所示：所拼出的几何图形的面积为2a4+5ab+2b5；
．
【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题．
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1．（2分）计算（﹣2m3n2）2的结果是（ ）
A．﹣2m6n4B．4m6n4C．4m5n4D．﹣4m6n4
2．（2分）下列说法正确的是（ ）
A．三角形的一个外角大于三角形的任何一个内角
B．三角形三条角平分线的交点叫做三角形的重心
C．三角形一个顶点处取一个外角，这三个外角中，钝角的个数最多是3个
D．一个三角形的三条中线、三条角平分线，三条高都在三角形的内部
3．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5B．（a2）3＝a6
C．a2•a3＝a6D．6a6﹣2a3＝3a3
4．（2分）如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明∠CAD＝∠DAB的依据是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．SSS
5．（2分）在下列各式中，应填入“（﹣y）”的是（ ）
A．﹣y3•______＝﹣y
B．﹣2y3•______＝2y4
C．（﹣2y）3•______＝﹣8y4
D．（﹣y）12•______＝﹣3y13
6．（2分）如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，F是射线OB上的任一点，则DF的长度不可能是（ ）
A．2.8B．3C．4.2D．5
7．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．2a3+2a＝2a4B．（a﹣2b）2＝a2﹣4b2
C．﹣5（2a﹣b）＝﹣10a﹣5bD．（﹣2a2b）3＝﹣8a6b3
8．（2分）如图，△ABC≌△ADE，线段BC的延长线过点E，∠AED＝108°，∠CAD＝12°，则∠DEF的度数为（ ）
A．28°B．36°C．38°D．42°
9．（2分）下列不能用平方差公式运算的是（ ）
A．（x+1）（x﹣1）B．（﹣x+1）（﹣x﹣1）
C．（x+1）（﹣x+1）D．（x+1）（1+x）
10．（2分）如图，七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线交于点O，则∠BOD的度数为（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）若矩形ABCD的面积为4a2b3，一边长为2ab3，则另一边长为 ．
12．（3分）如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，OB＝2米，A、B间的距离可能是 ．（写出一个即可）
13．（3分）＝ ．
14．（3分）如图，是一副三角板拼成的图形，边EF和BC在同一条直线上 ．
15．（3分）如图，某区有一块长为（3a+4b）米，宽为（2a+3b），规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间的边长为（a+b），b的式子表示绿化总面积为 ．
16．（3分）如图，AB＝5cm，AC＝BD＝3cm．∠CAB＝∠DBA，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．设运动时间为t（s） cm/s时，△ACP与△BPQ有可能全等．
三、解答题（17、18、19、20、21、题各8分，22题10分、23题12分，共62分）
17．（8分）因式分解：
（1）3ax2﹣6ax+3a．
（2）（x2+y2）2﹣4x2y2．
18．（8分）如图，已知AD＝CD，AB＝CB，PN⊥CD于点N．求证：PM＝PN．
19．（8分）回答下列问题：
（1）计算：
①（x+2）（x+3）＝ ；
②（x+2）（x﹣3）＝ ．
③（x﹣2）（x+3）＝ ；
④（x﹣2）（x﹣3）＝ ．
（2）总结公式（x+a）（x+b）＝x2+ x+ab
（3）已知a，b，m均为整数，且（x+a）（x+b）＝x2+mx+5．求m的所有可能值．
20．（8分）如图①，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．
（1）求证：∠BAC＝∠B+2∠E；
（2）如图②，若AF平分∠BAC，∠ECD＝60°，求∠AFC的度数．
21．（8分）阅读下列材料：数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“m2﹣mn+2m﹣2n”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了2﹣mn+2m﹣2n＝（m2﹣mn）+（2m﹣2n）＝m（m﹣n）+2（m﹣n）＝（m﹣n）（m+2），请在这种方法的启发下，解决以下问题：
（1）因式分解：a3﹣3a2﹣4a+12；
（2）已知m+n＝5，m﹣n＝1，求m2﹣n2+2m﹣2n的值；
22．（10分）【问题背景】
在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°
【初步探索】
小亮同学认为：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，再证明△AEF≌△AGF，则可得到BE、EF、FD之间的数量关系是 ．
【探索延伸】
在四边形ABCD中如图2，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，∠EAF＝∠BAD
【结论运用】
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处），舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，F处，且两舰艇之间的夹角（∠EOF），试求此时两舰艇之间的距离．
23．（12分）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2，请回答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式： ；
（2）利用（1）中所得的结论，解决下列问题：已知a+b+c＝11，求a2+b2+c2的值；
（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个长为b、宽为a的长方形纸片．请按要求利用所给的纸片拼出一个几何图形，并画在所给的方框内，要求所拼的几何图形的面积为2a2+5ab+2b2．
2023-2024学年辽宁省鞍山市铁西区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（在各小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确的答案字母代号涂在答题卡上，每小题2分，10小题，共20分）
1．（2分）计算（﹣2m3n2）2的结果是（ ）
A．﹣2m6n4B．4m6n4C．4m5n4D．﹣4m6n4
【分析】利用积的乘方的法则进行运算即可．
【解答】解：（﹣2m3n6）2＝4m8n4．
故选：B．
【点评】本题主要考查积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
2．（2分）下列说法正确的是（ ）
A．三角形的一个外角大于三角形的任何一个内角
B．三角形三条角平分线的交点叫做三角形的重心
C．三角形一个顶点处取一个外角，这三个外角中，钝角的个数最多是3个
D．一个三角形的三条中线、三条角平分线，三条高都在三角形的内部
【分析】根据三角形的外角定理可对选项A进行判断；根据三角形重心的定义可对选项B进行判断；分别讨论锐角三角形，直角三角形，钝角三角形在一个顶点处取一个外角，这三外角的大小即可对选项C进行判断；根据直角三角形的两条高与直角边重合，钝角三角形有两条高在三角形的外部可对选项D进行判断．
【解答】解：∵三角形的一个外角大于和它不相邻的内角，
∴选项A不正确；
∵三角形三条角平分线的交点是三角形的内心，三角形三条中线的交点是三角形的重心，
∴选项B不正确；
∵在锐角三角形每一个顶点处取一个外角，这三个外角都是钝角，这三个外角中有两个钝角，在钝角三角形每一个顶点处取一个外角，
∴在三角形每一个顶点处取一个外角，这三个外角中．
∴选项C正确；
∵直角三角形的两条高与直角边重合，钝角三角形有两条高在三角形的外部，
∴选项D不正确．
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的外角定理，三角形的重心，三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握三角形的外角定理，三角形的重心，三角形的角平分线、中线和高是解决问题的关键．
3．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5B．（a2）3＝a6
C．a2•a3＝a6D．6a6﹣2a3＝3a3
【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、a2与a3不属于同类项，不能合并；
B、（a2）3＝a6，故B符合题意；
C、a3•a3＝a5，故C不符合题意；
D、5a6与2a7不属于同类项，不能合并；
故选：B．
【点评】本题主要考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4．（2分）如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明∠CAD＝∠DAB的依据是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．SSS
【分析】根据作图过程可得，两个三角形三条边对应相等，所以可得两个三角形全等．
【解答】解：由作图过程可得：AE＝AF，DE＝DF，
所以△ADF≌△ADE（SSS），
∴∠CAD＝∠DAB，
故选：D．
【点评】本题考查了作角平分线，三角形全等判定定理：三组对应边分别相等的两个三角形全等（简称SSS或“边边边”），掌握以上知识是解题的关键．
5．（2分）在下列各式中，应填入“（﹣y）”的是（ ）
A．﹣y3•______＝﹣y
B．﹣2y3•______＝2y4
C．（﹣2y）3•______＝﹣8y4
D．（﹣y）12•______＝﹣3y13
【分析】根据单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方运算分别判断即可．
【解答】解：﹣y3•y﹣2＝﹣y，
故A选项不符合题意；
﹣2y3•（﹣y）＝2y5，
故B符合题意；
（﹣2y）3•y＝﹣5y4，
故C不符合题意；
（﹣y）12•（﹣3y）＝﹣7y13，
故D不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查了单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握这些知识是解题的关键．
6．（2分）如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，F是射线OB上的任一点，则DF的长度不可能是（ ）
A．2.8B．3C．4.2D．5
【分析】过点D作DH⊥OB于H，根据角平分线的性质，证明DE＝DH，再根据已知条件和垂线的性质进行解答即可．
【解答】解：如图所示：过点D作DH⊥OB于H，
∵OD平分∠AOB，DE⊥AO，
∴DE＝DH＝3，
∵F是射线OB上的任一点，根据垂线的性质：直线外一点到这条直线的垂线段最短，
∴DF的长度不可能小于3，
∴DF的长度不可能是2.8，
故选：A．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，解题关键是熟练掌握角平分线的性质和垂线的性质．
7．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．2a3+2a＝2a4B．（a﹣2b）2＝a2﹣4b2
C．﹣5（2a﹣b）＝﹣10a﹣5bD．（﹣2a2b）3＝﹣8a6b3
【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式不能合并；
B、原式＝a2﹣4ab+3b2，不符合题意；
C、原式＝﹣10a+5b；
D、原式＝﹣5a6b3，符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了完全平方公式，合并同类项，去括号与添括号，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
8．（2分）如图，△ABC≌△ADE，线段BC的延长线过点E，∠AED＝108°，∠CAD＝12°，则∠DEF的度数为（ ）
A．28°B．36°C．38°D．42°
【分析】由△ACB的内角和定理求得∠CAB＝24°；然后由全等三角形的对应角相等得到∠EAD＝∠CAB＝24°．则结合已知条件易求∠EAB的度数；最后利用△AEB的内角和是180度和图形来求∠DEF的度数．
【解答】解：∵∠ACB＝108°，∠B＝48°，
∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣48°﹣108°＝24°．
又∵△ABC≌△ADE，
∴∠EAD＝∠CAB＝24°．
又∵∠EAB＝∠EAD+∠CAD+∠CAB，∠CAD＝12°，
∴∠EAB＝24°+12°+24°＝60°，
∴∠AEB＝180°﹣∠EAB﹣∠B＝180°﹣60°﹣48°＝72°，
∴∠DEF＝∠AED﹣∠AEB＝108°﹣72°＝36°．
故选：B．
【点评】本题考查全等三角形的性质．全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
9．（2分）下列不能用平方差公式运算的是（ ）
A．（x+1）（x﹣1）B．（﹣x+1）（﹣x﹣1）
C．（x+1）（﹣x+1）D．（x+1）（1+x）
【分析】根据平方差公式解答即可．
【解答】解：A、（x+1）（x﹣1）＝x8﹣1，故此选项不符合题意；
B、（﹣x+1）（﹣x﹣5）＝x2﹣1，故此选项不符合题意；
C、（x+4）（﹣x+1）＝1﹣x7，故此选项不符合题意；
D、（x+1）（1+x）不能用平方差公式计算；
故选：D．
【点评】此题考查平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
10．（2分）如图，七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线交于点O，则∠BOD的度数为（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
【分析】由外角和内角的关系可求得∠1、∠2、∠3、∠4的和，由五边形内角和可求得五边形OAGFE的内角和，则可求得∠BOD．
【解答】解：∵∠1、∠2、∠3的外角的角度和为215°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+215°＝4×180°，
∴∠5+∠2+∠3+∠2＝505°，
∵五边形OAGFE内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠5+∠2+∠3+∠5+∠BOD＝540°，
∴∠BOD＝540°﹣505°＝35°，
故选：B．
【点评】本题主要考查多边形的内角和，利用内角和外角的关系求得∠1、∠2、∠3、∠4的和是解题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）若矩形ABCD的面积为4a2b3，一边长为2ab3，则另一边长为 2a ．
【分析】根据题意得另一边长为4a2b3÷2ab3，计算即可．
【解答】解：4a2b6÷2ab3＝6a．
即另一边长为2a．
故答案为：2a．
【点评】本题考查了整式的除法，解题的关键是掌握整式除法的运算法则．单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式．
12．（3分）如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，OB＝2米，A、B间的距离可能是 11 ．（写出一个即可）
【分析】根据三角形的三边关系，第三边的长一定大于已知的两边的差，而小于两边的和，求得相应范围，看哪个数值不在范围即可．
【解答】解：∵10﹣2＜AB＜10+2，
∴4＜AB＜12，
∴A、B间的距离可能是11米．
故答案为：11（答案不唯一）．
【点评】此题考查了三角形三边关系，已知三角形的两边，则第三边的范围是大于已知的两边的差，而小于两边的和．
13．（3分）＝ ﹣ ．
【分析】利用积的乘方的法则进行运算即可．
【解答】解：
＝（﹣）2023×（）2023×
＝（﹣×）2023×
＝（﹣1）2023×
＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
14．（3分）如图，是一副三角板拼成的图形，边EF和BC在同一条直线上 75° ．
【分析】由题意可得∠DFE，∠C，∠D的度数，利用三角形外角和定理可求得∠CMF的度数，继而可得∠DMN的度数，再利用三角形内角和定理即可求得答案．
【解答】解：由题意可得∠D＝90°，∠DFE＝45°，
∵∠DFE＝∠CMF+∠C，
∴∠CMF＝15°，
∴∠DMN＝15°，
∴∠DNM＝180°﹣∠D﹣∠DMN＝180°﹣90°﹣15°＝75°，
故答案为：75°．
【点评】本题考查三角形的内角和定理与外角性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
15．（3分）如图，某区有一块长为（3a+4b）米，宽为（2a+3b），规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间的边长为（a+b），b的式子表示绿化总面积为 （5a2+15ab+11b2）m2 ．
【分析】外面大长方形的面积减去中间小正方形的面积．
【解答】解：根据题意：
绿化总面积为：（3a+4b）×（7a+3b）﹣（a+b）2
＝8a2+9ab+8ab+12b2﹣a2﹣5ab﹣b2
＝（5a6+15ab+11b2）（m2）．
【点评】本题考查长方形和正方形的面积公式以及整式的乘法计算，理解题意是关键．
16．（3分）如图，AB＝5cm，AC＝BD＝3cm．∠CAB＝∠DBA，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．设运动时间为t（s） 1或 cm/s时，△ACP与△BPQ有可能全等．
【分析】根据题意可得：AP＝t cm，则BP＝（5﹣t）cm，然后根据已知∠CAB＝∠DBA，分两种情况：当AC＝BP＝3cm，AP＝BQ＝t cm时；当AC＝BQ＝3cm，AP＝BP时，分别进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
AP＝t cm，
∵AB＝5cm，
∴BP＝AB﹣AP＝（5﹣t）cm，
∵∠CAB＝∠DBA，
∴①当AC＝BP＝7cm，AP＝BQ＝t cm时，
∴5﹣t＝3，
∴t＝8，
∴AP＝BQ＝2cm，
∴点Q的运动速度＝＝1（cm/s）；
②当AC＝BQ＝3cm，AP＝BP时，
∴t＝7﹣t，
∴t＝2.5，
∴点Q的运动速度＝＝（cm/s）；
综上所述：当点Q的运动速度为1或cm/s时，
故答案为：1或．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，分两种情况讨论是解题的关键．
三、解答题（17、18、19、20、21、题各8分，22题10分、23题12分，共62分）
17．（8分）因式分解：
（1）3ax2﹣6ax+3a．
（2）（x2+y2）2﹣4x2y2．
【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答；
（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
【解答】解：（1）3ax2﹣3ax+3a
＝3a（x6﹣2x+1）
＝3a（x﹣1）2．
（2）（x4+y2）2﹣4x2y2
＝（x8+y2）2﹣（2xy）2
＝（x2+y8+2xy）（x2+y6﹣2xy）
＝（x+y）2（x﹣y）8．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
18．（8分）如图，已知AD＝CD，AB＝CB，PN⊥CD于点N．求证：PM＝PN．
【分析】根据SSS证明△ABD≌△CBD，得出∠ADB＝∠CDB，又因为点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，推出结论．
【解答】证明：在△ABD和△CBD中，
，
∴△CBD≌△ABD（SSS），
∴∠ADB＝∠CDB，
∵PM⊥AD于点M，PN⊥CD于点N，
∴PM＝PN．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，掌握判定方法是解题的关键．
19．（8分）回答下列问题：
（1）计算：
①（x+2）（x+3）＝ x2+5x+6 ；
②（x+2）（x﹣3）＝ x2﹣x﹣6 ．
③（x﹣2）（x+3）＝ x2+x﹣6 ；
④（x﹣2）（x﹣3）＝ x2﹣5x+6 ．
（2）总结公式（x+a）（x+b）＝x2+ （a+b） x+ab
（3）已知a，b，m均为整数，且（x+a）（x+b）＝x2+mx+5．求m的所有可能值．
【分析】（1）根据多项式乘多项式的法则计算①②③④这四个式子即可；
（2）根据（1）中的结果总结公式即可；
（3）运用（2）中的结论计算等式的左边，然后根据左右两边相等得到a+b＝m，ab＝5，再根据a，b，m均为整数，得出a＝1，b＝5或a＝﹣1，b＝﹣5或a＝5，b＝1或a＝﹣5，b＝﹣1，最后计算即可得出m的所有可能值．
【解答】解：（1）①（x+2）（x+3）
＝x5+3x+2x+5
＝x2+5x+5；
②（x+2）（x﹣3）
＝x5﹣3x+2x﹣3
＝x2﹣x﹣6；
③（x﹣8）（x+3）
＝x2+8x﹣2x﹣6
＝x5+x﹣6；
④（x﹣2）（x﹣6）
＝x2﹣3x﹣7x+6
＝x2﹣5x+6；
故答案为：x2+6x+6；x2﹣x﹣3；x2+x﹣6；x6﹣5x+6；
（2）（x+a）（x+b）＝x4+（a+b）x+ab，
故答案为：（a+b）；
（3）（x+a）（x+b）＝x2+mx+5，
∴x7+（a+b）x+ab＝x2+mx+5，
∴a+b＝m，ab＝6，
∵a，b，m均为整数，
∴a＝1，b＝5或a＝﹣8，b＝1或a＝﹣5，
当a＝7，b＝5时；
当a＝﹣1，b＝﹣8时；
当a＝5，b＝1时；
当a＝﹣6，b＝﹣1时；
综上，mm的所有可能值为6或﹣3．
【点评】本题主要考查多项式乘多项式，注意不要漏项，漏字母，有同类项的要合并同类项．
20．（8分）如图①，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．
（1）求证：∠BAC＝∠B+2∠E；
（2）如图②，若AF平分∠BAC，∠ECD＝60°，求∠AFC的度数．
【分析】（1）利用三角形的外角的性质即可解决问题．
（2）由CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，得出∠ACB＝60°和∠B＝36°，再由外角的性质求出∠AFC＝∠B+∠BAF，继而可得答案．
【解答】（1）证明：∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE，
∵∠DCE＝∠B+∠E，
∴∠ACE＝∠B+∠E，
∵∠BAC＝∠ACE+∠E，
∴∠BAC＝∠B+∠E+∠E＝∠B+2∠E．
（2）解：∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，
∴∠ACD＝2∠ECD＝4×60°＝120°，
∴∠ACB＝60°，
∵∠ECD＝60°，∠E＝24°，
∠B＝60°﹣24°＝36°，
在△ABC中，∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠B＝84°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝＝42°，
∴∠AFC＝∠B+∠BAF＝36°+42°＝78°．
【点评】本题考查三角形的外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的外角的性质和三角形的内角和定理，属于中考常考题型．
21．（8分）阅读下列材料：数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“m2﹣mn+2m﹣2n”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了2﹣mn+2m﹣2n＝（m2﹣mn）+（2m﹣2n）＝m（m﹣n）+2（m﹣n）＝（m﹣n）（m+2），请在这种方法的启发下，解决以下问题：
（1）因式分解：a3﹣3a2﹣4a+12；
（2）已知m+n＝5，m﹣n＝1，求m2﹣n2+2m﹣2n的值；
【分析】（1）将a3﹣3a2﹣4a+12变为a2（a﹣3）﹣4（a﹣3）即可；
（2）m2﹣n2+2m﹣2n变为（m+n）（m﹣n）+2（m﹣n）即可．
【解答】解：（1）a3﹣3a8﹣4a+12
＝a2（a﹣8）﹣4（a﹣3）
＝（a﹣5）（a2﹣4）
＝（a﹣4）（a﹣2）（a+2）；
（2）m6﹣n2+2m﹣3n
＝（m+n）（m﹣n+2）
＝（m﹣n）（m+n+2）
将m+n＝2，m﹣n＝1，
原式＝（m﹣n）（m+n+2）＝7×（5+2）＝7．
【点评】本题考查因式分解的应用——分组分解，利用因式分解解决求值问题、利用因式分解简化计算问题．掌握分组的要领是解决问题的关键．
22．（10分）【问题背景】
在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°
【初步探索】
小亮同学认为：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，再证明△AEF≌△AGF，则可得到BE、EF、FD之间的数量关系是 EF＝BE+FD ．
【探索延伸】
在四边形ABCD中如图2，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，∠EAF＝∠BAD
【结论运用】
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处），舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，F处，且两舰艇之间的夹角（∠EOF），试求此时两舰艇之间的距离．
【分析】【初步探索】延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，则可得到结论；
【探索延伸】延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，则结论可求；
【结论运用】连接EF，延长AE、BF交于点C，利用已知条件得到：四边形OABC中：OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝180°且∠EOF＝∠AOB，符合【探索延伸】具备的条件，则EF＝AE+BF．
【解答】【初步探索】解：延长FD到G，使DG＝BE，如图，
在Rt△ABE和Rt△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠BAD＝∠BAE+∠EAD，∠EAG＝∠EAD+∠DAG，
∴∠BAD＝∠EAG．
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠EAF＝EAG，
∴∠EAF＝∠GAF．
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵GF＝GD+DF＝DF+BE，
∴EF＝BE+DF；
故答案为：EF＝BE+FD；
【探索延伸】结论仍然成立：EF＝BE+DF．
证明：延长FD到G，使DG＝BE，如图，
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADG＝180°，
∴∠B＝∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠BAD＝∠BAE+∠EAD，∠EAG＝∠EAD+∠DAG，
∴∠BAD＝∠EAG．
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠EAF＝EAG，
∴∠EAF＝∠GAF．
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵GF＝GD+DF＝DF+BE，
∴EF＝BE+DF；
【结论运用】解：连接EF，延长AE，如图，
∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠EOF＝70°，
∴∠EOF＝∠AOB，
∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°，
∴四边形OABC中：OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝180°且∠EOF＝，
∴四边形OABC符合探索延伸中的条件，
∴结论EF＝AE+BF成立，
即EF＝AE+BF＝1.5×60+5.5×80＝210（海里），
答：此时两舰艇之间的距离是210海里．
【点评】本题主要考查了四边形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
23．（12分）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2，请回答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式： （a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ；
（2）利用（1）中所得的结论，解决下列问题：已知a+b+c＝11，求a2+b2+c2的值；
（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个长为b、宽为a的长方形纸片．请按要求利用所给的纸片拼出一个几何图形，并画在所给的方框内，要求所拼的几何图形的面积为2a2+5ab+2b2．
【分析】（1）正方形、长方形硬纸片共9块的面积等于边长为a+b+c的正方形即可得出答案；
（2）利用（1）中所求，将原式变形，进而求出答案；
（3）正方形、长方形硬纸片共9块的面积等于长为a+2b，宽为2a+b的矩形面积．
【解答】解：（1）由拼图面积可得：（a+b+c）2＝a2+b8+c2+2ab+8ac+2bc；
故答案为：（a+b+c）2＝a8+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）由（1）得：a4+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣7bc
＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）
＝117﹣2×38
＝45；
（3）如图所示：所拼出的几何图形的面积为2a4+5ab+2b5；
．
【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/12/11 13:28:48；用户：娄老师；邮箱：15225657626；学号：48669677
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