2023-2024学年辽宁省营口市盖州市八年级上学期期中数学试题及答案

这是一份2023-2024学年辽宁省营口市盖州市八年级上学期期中数学试题及答案，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的为（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列每组线段，能构成三角形的一组是（ ）
A．1，1，3B．3，3，6C．1，5，5D．8，3，4
3．（3分）一个多边形的每一个外角都等于45°，那么这个多边形的内角和为（ ）
A．1260°B．1080°C．1620°D．360°
4．（3分）如图，作△ABC中BC边上的高AD，以下做法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）下列所给的四组条件中，能作出唯一三角形的是（ ）
A．AB＝2cm，BC＝6cm，AC＝3cm
B．BC＝3cm，AC＝5cm，∠B＝90°
C．∠A＝∠B＝∠C＝60°
D．AB＝4cm，AC＝6cm，∠C＝30°
6．（3分）如图，已知∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是（ ）
A．∠ABC＝∠ABDB．∠BAC＝∠BADC．AC＝ADD．AC＝BC
7．（3分）已知△ABC的三边长分别为3，5，7，△DEF的三边长分别为3，3x﹣2，2x﹣1，若这两个三角形全等，则x为（ ）
A．B．4C．3D．不能确定
8．（3分）如图：△ABC中，∠A＝30°，∠B＝20°，线段AC的垂直平分线交AB于点E，线段BC的垂直平分线交AB与点F，连接CE，CF，则∠ECF是（ ）
A．60°B．70°C．80°D．100°
9．（3分）在△ABC中，线段AD是∠BAC的角平分线、AM是BC边上的中线，DE垂直于AB，已知：S△ABM＝4.5，DE＝2，AB＝5，则AC长是（ ）
A．4B．5C．6D．7
10．（3分）如图所示，一个大长方形被两条线段AB、CD分成四个小长方形．如果其中图形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别为8、6、5，那么阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．（3分）点P（3，2）关于y轴对称的点的坐标是 ．
12．（3分）已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为6，其周长为 ．
13．（3分）在△ABC中，AB＝8，AC＝6，则BC边上的中线AD的取值范围是 ．
14．（3分）如图，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，BE是AC边上的高，∠BAC＝80°，∠EBC＝20°，则∠ADB＝ ．
15．（3分）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE⊥CE，BF⊥CE，垂足分别为E、F，若BF＝3，EF＝2.1，则AE＝ ．
16．（3分）如果依次用a1，a2，a3，a4分别表示图3中（1）、（2）、（3）、（4）内三角形的个数，那么a1＝3．a2＝8，a3＝15．a4＝ ．
三、解答题（共72分）
17．（8分）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，BF＝EC，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：∠A＝∠D．
18．（12分）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为（﹣4，5），（﹣1，3）．
（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
（2）请作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
（3）写出点B′的坐标．
19．（10分）如图，BF是△ABC的外角∠ABE平分线，且BF交CA的延长线于点F．
求证：∠C＝∠BAC﹣2∠F．
20．（10分）如图已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．求证：
（1）∠ECD＝∠EDC；
（2）OE是CD的垂直平分线．
21．（10分）如图所示，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点落在AB边上的点D、要使点D恰为AB的中点，问在图中还要添加什么条件？（直接填写答案）
（1）写出两条边满足的条件： ；
（2）写出两个角满足的条件： ；
（3）写出一个除边、角以外的其他满足条件： ．
22．（10分）如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB．求证：
（1）AP＝AQ；
（2）AP⊥AQ．
23．（12分）综合与实践：
问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9“平分一个已知角，”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在OA和OB上分别取点C和D，使得OC＝OD，连接CD，以CD为边作等边三角形CDE，则OE就是∠AOB的平分线．请写出OE平分∠AOB的依据： ；
类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：△CDE不一定必须是等边三角形，只需CE＝DE即可，他查阅资料；我国古代已经用角尺平分任意角，做法如下：如图3，在∠AOB的边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线OC是∠AOB的平分线，请说明此做法的理由；
拓展实践：（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路AB和AC，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等，试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用轴对称图形的定义进行分析即可．
【解答】解：选项B，C，D中的图形都不能确定一条直线，使图形沿这条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，不是轴对称图形，选项A中的图形沿某条直线对折后两部分能完全重合，是轴对称图形，
故选：A．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2．（3分）下列每组线段，能构成三角形的一组是（ ）
A．1，1，3B．3，3，6C．1，5，5D．8，3，4
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【解答】解：A、1+1＜3，不能构成三角形，不符合题意；
B、3+3＝6，不能构成三角形，不符合题意；
C、1+5＞5，能构成三角形，符合题意；
D、3+4＜8，不能构成三角形，不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键．
3．（3分）一个多边形的每一个外角都等于45°，那么这个多边形的内角和为（ ）
A．1260°B．1080°C．1620°D．360°
【分析】根据多边形的外角和与内角和定理即可求解．
【解答】解：∵多边形外角和为360°，
∴360÷45＝8，
∴八边形的内角和为（8﹣2）×180°＝1080°
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的内角和与外角和，解决本题的关键是掌握内角和与外角和公式．
4．（3分）如图，作△ABC中BC边上的高AD，以下做法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．
【解答】解：为△ABC中BC边上的高的是B选项．
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键．
5．（3分）下列所给的四组条件中，能作出唯一三角形的是（ ）
A．AB＝2cm，BC＝6cm，AC＝3cm
B．BC＝3cm，AC＝5cm，∠B＝90°
C．∠A＝∠B＝∠C＝60°
D．AB＝4cm，AC＝6cm，∠C＝30°
【分析】根据三角形三边的关系对A进行判断；根据全等三角形的判定方法对B、C、D进行判断．
【解答】解：A、因为AB+AC＜BC，三条线段不能组成三角形，所以A选项不符合题意；
B、BC＝3cm，AC＝5cm，∠B＝90°，根据“HL”可判断此三角形为唯一三角形，所以B选项符合题意；
C、利用∠A＝∠B＝∠C＝60°不能确定三角形的大小，所以C选项不符合题意；
D、利用AB＝4cm，AC＝6cm，∠C＝30°可画出两三角形，所以D选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
6．（3分）如图，已知∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是（ ）
A．∠ABC＝∠ABDB．∠BAC＝∠BADC．AC＝ADD．AC＝BC
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：A．∵∠ABC＝∠ABD，∠C＝∠D＝90°，AB＝AB，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（AAS），故本选项不符合题意；
B．∵∠BAC＝∠BAD，∠C＝∠D＝90°，AB＝AB，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（AAS），故本选项不符合题意；
C．∵∠C＝∠D＝90°，AB＝AB，AC＝AD，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），故本选项符合题意；
D．根据∠C＝∠D＝90°，AB＝AB，AC＝BC不能推出Rt△ABC≌Rt△ABD，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有ASA，SAS，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
7．（3分）已知△ABC的三边长分别为3，5，7，△DEF的三边长分别为3，3x﹣2，2x﹣1，若这两个三角形全等，则x为（ ）
A．B．4C．3D．不能确定
【分析】根据全等三角形的性质：全等三角形的周长相等可得出等式方程求出答案．
【解答】解：∵△ABC与△DEF全等，
∴3+5+7＝3+3x﹣2+2x﹣1，
解得：x＝3，
故选：C．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握性质定理．
8．（3分）如图：△ABC中，∠A＝30°，∠B＝20°，线段AC的垂直平分线交AB于点E，线段BC的垂直平分线交AB与点F，连接CE，CF，则∠ECF是（ ）
A．60°B．70°C．80°D．100°
【分析】由线段垂直平分线的性质推出AE＝CE，得到∠ACE＝∠A＝30°，同理：∠BCF＝∠B＝20°，由三角形内角和定理得到∠ACB＝130°，即可求出∠ECF＝∠ACB﹣∠ACE﹣∠BCF＝80°．
【解答】解：∵线段AC的垂直平分线交AB于点E，
∴AE＝CE，
∴∠ACE＝∠A＝30°，
同理：∠BCF＝∠B＝20°，
∵∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠A＝180°﹣30°﹣20°＝130°，
∵∠ECF＝∠ACB﹣∠ACE﹣∠BCF＝80°．
故选：C．
【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．关键是由线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质推出∠ACE＝∠A＝30°，∠BCF＝∠B＝20°．
9．（3分）在△ABC中，线段AD是∠BAC的角平分线、AM是BC边上的中线，DE垂直于AB，已知：S△ABM＝4.5，DE＝2，AB＝5，则AC长是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】过D点作DF⊥AC于F点，如图，先利用三角形面积公式得到S△ABC＝2S△ABM＝9，再根据角平分线的性质得到DF＝DE＝2，S△ABD+S△ACD＝S△ABC，然后根据三角形面积公式，利用S△ABD+S△ACD＝S△ABC可求出AC的长．
【解答】解：过D点作DF⊥AC于F点，如图，
∵AM是BC边上的中线，
∴S△ACM＝S△ABM，
∴S△ABC＝2S△ABM＝2×4.5＝9，
∵线段AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE＝2，
∵S△ABD+S△ACD＝S△ABC，
∴×5×2+×AC×2＝9，
解得AC＝4．
故答案为：A．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式．
10．（3分）如图所示，一个大长方形被两条线段AB、CD分成四个小长方形．如果其中图形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别为8、6、5，那么阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【分析】设大长方形的长为a，宽为b，Ⅰ的长为x，宽为y，则Ⅱ的长为a﹣x，宽为y，Ⅲ的长为a﹣x，宽为b﹣y，阴影部分的长为x，宽为b﹣y，设有阴影的矩形面积为z，再根据等高不同底利用面积的比求解即可．
【解答】解：∵图形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别为8、6、5，
∴＝＝＝，
∴＝＝＝，
∴＝，z＝
∴S阴影＝z＝×＝．
故选：C．
【点评】本题考查的是长方形及三角形的面积公式，解答此题的关键是熟知等高不同底的多边形底边的比等于其面积的比．
二、填空题
11．（3分）点P（3，2）关于y轴对称的点的坐标是 （﹣3，2） ．
【分析】此题考查平面直角坐标系与对称的结合．
【解答】解：点P（m，n）关于y轴对称点的坐标P′（﹣m，n），所以点P（3，2）关于y轴对称的点的坐标为（﹣3，2）．
故答案为：（﹣3，2）．
【点评】考查平面直角坐标系点的对称性质．
12．（3分）已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为6，其周长为 15 ．
【分析】根据三角形三边关系可知，等腰三角形腰长只能为6，然后即可求解．
【解答】解：∵如果腰长为3，则3+3＝6，不符合三角形三边关系，所以腰长只能为6．
∴其周长6+6+3＝15．
故答案为：15．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
13．（3分）在△ABC中，AB＝8，AC＝6，则BC边上的中线AD的取值范围是 1＜AD＜7 ．
【分析】延长AD至E，使DE＝AD，连接CE．根据SAS证明△ABD≌△ECD，得CE＝AB，再根据三角形的三边关系即可求解．
【解答】解：延长AD至E，使DE＝AD，连接CE．
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE＝AB．
在△ACE中，CE﹣AC＜AE＜CE+AC，
即2＜2AD＜14，
故1＜AD＜7．
故答案为：1＜AD＜7．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系．注意：倍长中线是常见的辅助线之一．
14．（3分）如图，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，BE是AC边上的高，∠BAC＝80°，∠EBC＝20°，则∠ADB＝ 110° ．
【分析】由BE是AC边上的高，可得出∠BEC＝90°，结合三角形内角和定理，可求出∠C的度数，由AD平分∠BAC，利用角平分线的定义，可求出∠CAD的度数，再由∠ADB是△ACD的外角，利用三角形的外角性质，即可求出结论．
【解答】解：∵BE是AC边上的高，
∴∠BEC＝90°，
∴∠C＝180°﹣∠BEC﹣∠EBC＝180°﹣90°﹣20°＝70°．
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAC＝×80°＝40°．
又∵∠ADB是△ACD的外角，
∴∠ADB＝∠CAD+∠C＝40°+70°＝110°．
故答案为：110°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、垂线以及三角形的外角性质，利用三角形内角和定理及角平分线的定义，求出∠C及∠CAD的度数是解题的关键．
15．（3分）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE⊥CE，BF⊥CE，垂足分别为E、F，若BF＝3，EF＝2.1，则AE＝ 0.9 ．
【分析】根据直角三角形的性质证明∠ACE＝∠CBF，根据“AAS”证明△AEC≌△CFB，可得AE＝CF，CE＝BF，即可根据线段的和差关系求出AE．
【解答】解：∵AE⊥CE，BF⊥CE，
∴∠AEC＝∠CFB＝90°，
∴∠FCB+∠FBC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠FCB+∠ACE＝90°，
∴∠ACE＝∠CBF，
在△AEC和△CFB中，
，
∴△AEC≌△CFB（AAS），
∴AE＝CF，CE＝BF，
∵BF＝3，EF＝2.1，
∴CE＝3，CF＝CE﹣EF＝3﹣2.1＝0.9，
∴AE＝0.9．
故答案为：0.9．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，正确识别图形，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
16．（3分）如果依次用a1，a2，a3，a4分别表示图3中（1）、（2）、（3）、（4）内三角形的个数，那么a1＝3．a2＝8，a3＝15．a4＝ 24 ．
【分析】可以将图（1）到图（4），看成△ABC1→△ABC2→△ABC3→△ABC4的变化过程，然后比较图（3）到图（4）的变化过程，可得出新增加的三角形个数，然后与图（3）中三角形的个数相加即可．
【解答】解：从图（1）到图（4），可以看成△ABC1→△ABC2→△ABC3→△ABC4的变化过程，
比较图（4）与图（3），增加的三角形中，以BD1为底得有4个，以BC4为底的也有4个，
以D1C4为底得有1个，
所以，a4＝a3+2×4+1＝24．
故答案为：24．
【点评】对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点．
三、解答题（共72分）
17．（8分）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，BF＝EC，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：∠A＝∠D．
【分析】利用SAS证明△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质即可得解．
【解答】证明：∵BF＝EC，
∴BF+CF＝EC+CF，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠A＝∠D．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用SAS证明△ABC≌△DEF是解题的关键．
18．（12分）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为（﹣4，5），（﹣1，3）．
（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
（2）请作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
（3）写出点B′的坐标．
【分析】（1）根据顶点A，C的坐标分别为（﹣4，5），（﹣1，3）建立坐标系即可；
（2）作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接即可；
（3）根据点B′在坐标系中的位置写出其坐标即可．
【解答】解：（1）如图所示；
（2）如图所示；
（3）由图可知，B′（2，1）．
【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
19．（10分）如图，BF是△ABC的外角∠ABE平分线，且BF交CA的延长线于点F．
求证：∠C＝∠BAC﹣2∠F．
【分析】由∠ABF是△ABC的外角，利用三角形的外角性质，可得出∠ABF＝∠C+∠BAC，结合角平分线的定义，可得出∠ABF＝（∠C+∠BAC），由∠BAC是△ABF的外角，利用三角形的外角性质，可得出∠BAC＝∠F+∠C+∠BAC，整理后即可得出∠C＝∠BAC﹣2∠F．
【解答】证明：∵∠ABF是△ABC的外角，
∴∠ABF＝∠C+∠BAC，
∵BF平分∠ABE，
∴∠ABF＝∠ABE＝（∠C+∠BAC）．
∵∠BAC是△ABF的外角，
∴∠BAC＝∠F+∠ABF＝∠F+（∠C+∠BAC）＝∠F+∠C+∠BAC，
∴∠C＝∠BAC﹣∠F﹣∠BAC＝∠BAC﹣∠F，
∴∠C＝∠BAC﹣2∠F．
【点评】本题考查了三角形的外角性质以及角平分线的定义，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．
20．（10分）如图已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．求证：
（1）∠ECD＝∠EDC；
（2）OE是CD的垂直平分线．
【分析】（1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得EC＝DE，再根据等边对等角证明即可；
（2）利用“HL”证明Rt△OCE和Rt△ODE全等，根据全等三角形对应边相等可得OC＝OD，然后根据等腰三角形三线合一证明．
【解答】证明：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴EC＝DE，
∴∠ECD＝∠EDC；
（2）在Rt△OCE和Rt△ODE中，，
∴Rt△OCE≌Rt△ODE（HL），
∴OC＝OD，
又∵OE是∠AOB的平分线，
∴OE是CD的垂直平分线．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键．
21．（10分）如图所示，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点落在AB边上的点D、要使点D恰为AB的中点，问在图中还要添加什么条件？（直接填写答案）
（1）写出两条边满足的条件： BC＝AB ；
（2）写出两个角满足的条件： ∠ABC＝2∠A ；
（3）写出一个除边、角以外的其他满足条件： △BEC≌△AED ．
【分析】（1）根据题意可得要使D在中点，则一定有BC＝AB，围绕此条件可推出两边满足的条件．
（2）由轴对称的性质可得出两角满足的条件．
（3）可以写全等的条件．
【解答】解：（1）①AB＝BC
证明：由轴对称的性质可得：BC＝BD，又因为BC＝AB＝BD
∴可得D在AB的中点位置．
（2）①∠ABC＝2∠A．
∵∠C＝90°，
∴∠ABC+∠A＝90°．
∵∠ABC＝2∠A，
∴∠A＝30°．
由轴对称的性质得：BC＝BD，CE＝DE，∠CBE＝∠DBE＝∠A＝30°．
∴△ADE≌△BCE，AD＝BC＝BD．
即点D在AB的中点；
（3）△BEC≌△AED
证明：∵△BEC≌△AED
∴可得：AD＝DB
故证得点D在AB的中点．
【点评】本题考查轴对称的性质，属于基础题，要根据题意和图形进行解答．
22．（10分）如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB．求证：
（1）AP＝AQ；
（2）AP⊥AQ．
【分析】（1）由于BD⊥AC，CE⊥AB，可得∠ABD＝∠ACE，又有对应边的关系，进而得出△ABP≌△QCA，即可得出结论．
（2）在（1）的基础上，证明∠PAQ＝90°即可．
【解答】证明：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB（已知），
∴∠BEC＝∠BDC＝90°，
∴∠ABD+∠BAC＝90°，∠ACE+∠BAC＝90°（直角三角形两个锐角互余），
∴∠ABD＝∠ACE（等角的余角相等），
在△ABP和△QCA中，
∴△ABP≌△QCA（SAS），
∴AP＝AQ（全等三角形对应边相等）．
（2）由（1）可得∠CAQ＝∠P（全等三角形对应角相等），
∵BD⊥AC（已知），即∠P+∠CAP＝90°（直角三角形两锐角互余），
∴∠CAQ+∠CAP＝90°（等量代换），即∠QAP＝90°，
∴AP⊥AQ（垂直定义）．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握并运用．
23．（12分）综合与实践：
问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9“平分一个已知角，”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在OA和OB上分别取点C和D，使得OC＝OD，连接CD，以CD为边作等边三角形CDE，则OE就是∠AOB的平分线．请写出OE平分∠AOB的依据： SSS ；
类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：△CDE不一定必须是等边三角形，只需CE＝DE即可，他查阅资料；我国古代已经用角尺平分任意角，做法如下：如图3，在∠AOB的边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线OC是∠AOB的平分线，请说明此做法的理由；
拓展实践：（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路AB和AC，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等，试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】（1）由等边三角形的性质得CE＝DE，再证△OCE≌△ODE（SSS），得∠COE＝∠DOE，即可得出结论；
（2）证△OCM≌△OCN（SSS），得∠AOC＝∠BOC，即可得出结论；
（3）先作∠BAC的平分线AK，再在AK上截取AE＝AD即可．
【解答】解：（1）∵△CDE是等边三角形，
∴CE＝DE，
又∵OC＝OD，OE＝OE，
∴△OCE≌△ODE（SSS），
∴∠COE＝∠DOE，
∴OE是∠AOB的平分线，
故答案为：SSS；
（2）∵OM＝ON，CM＝CN，OC＝OC，
∴△OCM≌△OCN（SSS），
∴∠AOC＝∠BOC，
∴射线OC是∠AOB的平分线；
（3）如图，
点E即为所求的点．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、角平分线定义以及尺规作图等知识，熟练掌握角平分线定义和等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．