江苏省镇江中学2023-2024学年高一下学期3月阶段性检测数学试卷(含答案)

这是一份江苏省镇江中学2023-2024学年高一下学期3月阶段性检测数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,则角B的大小是( )
A. B. C. D.
2．在中,已知,,,则( )
A.1B.C.D.3
3．若,,( )
A.B.C.D.
4．在中,,,满足此条件的有两解,则边长度的取值范围为( )
A.B.C.D.
5．( )
A.B.C.D.
6．已知,,则( )
A.B.C.D.
7．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,,,若边上的中线,则的外接圆面积是( )
A.B.C.D.
8．已知函数,若实数a、b、c使得对任意的实数x恒成立,则的值为( )
A.B.C.2D.
二、多项选择题
9．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,下列四个命题中正确的是( )
A.若,则一定是等腰三角形
B.若,则为锐角三角形
C.若,则一定是等边三角形
D.若,则是等腰三角形
10．在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若,内角A的平分线交于点D,,,以下结论正确的是( )
A.B.C.D.
11．已知,,且,则以下结论正确的是( )
A.B.有最大值
C.有最大值D.有最小值
三、填空题
12．若,则___________.
13．圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑,其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体,极具对称之美.为了估算圣·索菲亚教堂的高度,某人在教堂的正东方向找到一座建筑物,高约为,在它们之间的地面上的点M（B,M,D三点共线）处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角分别是和,在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为,则可估算圣·索菲亚教堂的高度约为______________.
14．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,若点M是的中点,且,则___________．
四、解答题
15．已知的三个内角A,B,C满足：,.
（1）求的值;
（2）求角B的大小.
16．回答下列问题
（1）求的值;
（2）已知,求函数的值域.
17．在①;②两个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答该问题．在中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且______．
（1）求角B的大小：
（2）若点D在的延长线上,且,,求面积的最大值．
18．在校园美化、改造活动中,甲、乙两所学校各要修建一个矩形的观赛场地．
（1）甲校决定在半径为30m的半圆形空地的内部修建一矩形观赛场地．如图所示,求出观赛场地的最大面积;
（2）乙校决定在半径为30m、圆心角为扇形空地的内部修建一矩形观赛场地,如图所示,设中点为M,连接交于N,记,请你确定B点的位置,使观赛场地的面积最大,并求出最大面积．
19．对于定义域为R的函数,若存在正常数T,使得是以T为周期的函数,则称为余弦周期函数,且称T为其余弦周期.已知是以T为余弦周期的余弦周期函数,其值域为R.设单调递增,,.
（1）验证是以为周期的余弦周期函数;
（2）设．证明对任意,存在,使得;
（3）证明：“为方程在上得解”的充要条件是“为方程在上有解”,并证明对任意都有.
参考答案
1．答案：A
解析：在中,因,
由正弦定理可得,
因,所以,故,即,
又因,所以,
故选：A.
2．答案：D
解析：依题意,设,,,则,,又,
由余弦定理,得,
即,解得（负值舍去）,即.
故选：D.
3．答案：B
解析：因为,所以,
又,所以,
则
.
故选：B.
4．答案：B
解析：作,在的一条边上取,
过点B作垂直于的另一边,垂足为H.
则,以点C为圆心,2为半径画圆弧,
因为,即,所以圆弧与的另一边有两个交点,,
所以,均满足条件,所以满足条件的三角形有两个.
故选：B.
5．答案：C
解析：由,,成倍角关系,而,则,
于是.
故选：C.
6．答案：B
解析：因为,而,因此,
则,
所以.
故选：B.
7．答案：A
解析：因为,所以,
又,所以,
又D是中点,所以,又,
所以,
即,解得（负值舍去）,
所以,则,
所以,即,
所以的外接圆面积为,
故选：A.
8．答案：B
解析：设,
可得,其中,且,
因为实数a,b,c使得对任意的实数x恒成立,
即恒成立,
即恒成立,
所以
由上式对任意恒成立,故必有,
若,则由式①知,显然不满足式③,所以,
所以,由式②知,则,
当时,则式①,③矛盾.
所以,由式①,③知,所以.
故选：B.
9．答案：CD
解析：对于A,因为,所以,
所以,所以或,
所以或,
所以是等腰三角形或直角三角形,故A错误;
对于B,由正弦定理可得,
则,则C为锐角,但是A,B两角无法判断其是否为锐角,
如当,,时,,,
为钝角三角形,故B错误;
对于C,因为,所以,
所以,且A,B,,所以,
所以为等边三角形,故C正确;
对于D,因为,所以,
即,则,
又因为A,,所以或（舍去）,
所以为等腰三角形,故D正确.
故选：CD.
10．答案：ABD
解析：对于A项,因,由正弦定理,,
即,则有,
因,,故,即得,故A正确;
对于B项,如图,由上分析,在中,设,则,
因平分,则有,
即① ,在中,,代入①式,解得,即,故B项正确;
对于C项,由上分析知故C项错误;
对于D项,由易得,故D项正确.
故答案为：ABD.
11．答案：AC
解析：对于A,因为,
又,
所以,则,故A正确;
对于BCD,令,则,
因为,,所以,则,
所以,
当且仅当,即,,,即时取等号,
所以有最大值,故C正确,BD错误.
故选：AC.
12．答案：
解析：因为,
所以
.
故答案为：.
13．答案：
解析：由题可得在直角中,,,所以,
在中,,,
所以,
所以由正弦定理可得,所以,
则在直角中,,即圣·索菲亚教堂的高度约为54m.
故答案为：.
14．答案：
解析：因为,
所以由正弦定理得,
又,则,则,即,
又,故;
设,,
在中,由余弦定理得,
在中同理可得,
因为,所以,化简整理得,
代入,得,则,
在中,由正弦定理得,
所以．
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）,
因为,,故C为锐角且.
所以.
（2）因为,,故A为锐角且,
故,故,
而,故.
16．答案：（1）;
（2）
解析：（1）
.
（2）令,
当时,,故,即,
又,所以,
故,
又在上单调递减,在上单调递增,
所以当时,取得最大值,当时,函数取得最小值-1,
所以的值域为.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）选①,因为,
所以,
即,
因为,
所以,
所以,
因为,所以,
所以,即,
所以.
选②,由及正弦定理得,
所以,
即,
因为,
所以,
因为A,,所以,
所以,所以.
（2）如图：
由题意,,
因为,
由余弦定理,,
所以,即,
因为,所以,即,
当且仅当,即,等号成立,
所以,
所以面积的最大值为.
18．答案：（1）
（2）当时,矩形的面积最大,最大值为.
（1）如图所示：
设,则,且,,
易知O为的中点,所以,
当,即时,.
故观赛场地的面积的最大值为.
（2）如图所示：
,则,且,,
,,
,
当,即时,,
此时.
故当时,矩形的面积最大,最大值为.
19．答案：（1）详见解析
（2）详见解析
（3）详见解析
解析：证明：（1）易见的定义域为R,
对任意,,
所以,
即是以为余弦周期的余弦周期函数.
（2）由于的值域为R,所以对任意,c都是一个函数值,即有,使得.
若,则由单调递增得到,与矛盾,所以.同理可证.故存在使得.
（3）若为在上的解,则,且,
,即为方程在上的解.
同理,若为方程在上的解,则为该方程在上的解.
以下证明最后一部分结论.
由（2）所证知存在,使得,,1,2,3,4.
而是函数的单调区间,,1,2,3.
与之前类似地可以证明：是在上的解当且仅当是在上的解.从而在与上的解的个数相同.
故,,1,2,3,4.
对于,,,
而,故.
类似地,当,,2,3时,有.
结论成立.