江苏省镇江第一中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷

这是一份江苏省镇江第一中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）点到直线的距离为（ ）
A．1B．3C．5D．7
2．（5分）圆与圆的位置关系是（ ）
A．内切B．外切C．相交D．外离
3．（5分）记为等差数列的前项和．若，则的公差为（ ）
A．1B．2C．4D．8
4．（5分）“”是“方程为椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（5分）已知数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
6．（5分）若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ）
A．2B．3C．6D．8
7．（5分）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交椭圆于点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．3
8．（5分）已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线与交于两点，直线与交于两点，则的最小值为（ ）
A．16B．14C．12D．10
9．（5分）数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列．其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2，4，7，11，16从第二项起，每一项与前一项的差组成的新数列2，3，4，5是等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其前六项分别为，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）
10．（多选）（5分）下列说法正确的是（ ）
A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
C．已知直线，则直线的倾斜角为
D．若两直线与平行，则
11．（多选）（5分）已知等差数列为递减数列，且，则下列结论中正确的有（ ）
A．数列的公差为B．
C．数列是公差为的等差数列D．
12．（多选）（5分）已知是左、右焦点分别为的椭圆上的动点，，下列说法正确的有（ ）
A．B．的最大值为
C．存在点，使D．的最大值为
13．（多选）（5分）已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线，切点分别是和，下列说法正确的为（ ）
A．圆上恰有一个点到直线的距离为B．四边形面积的最小值为1
C．切线长的最小值为1D．直线恒过定点
三、填空题：本大题共5小题，共20分．
14．（3分）已知直线，则直线过定点为______．
15．（3分）与双曲线共渐近线且过点的双曲线方程______．
16．（3分）在数列中，，则______．
17．（3分）已知为椭圆上的左右顶点，设点为粗圆上异于的任意一点，直线的斜率分别为，若椭圆离心率为，则为______．
18．（3分）已知椭圆和直线，若对任意的，直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共8小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19．（10分）已知数列是一个等差数列，且．
（Ⅰ）求的通项；
（Ⅱ）求前项和的最大值．
20．（12分）如图，已知等腰直角三角形的斜边所在直线方程为，其中点在点上方，直角顶点的坐标为．
（1）求边上的高线所在直线的方程；
（2）求三角形的面积．
21．（12分）已知椭圆的焦点为，该粗圆经过点
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆上的点满足，求的值．
22．（12分）如图，一抛物线型拱桥的拱顶离水面高4米，水面宽度米．现有一船只运送一堆由小货箱码成的长方体形的货物欲从桥下中央经过，已知长方体形货物总宽6米，高1.5米，货箱最底面与水面持平．
（1）问船只能否顺利通过该桥？
（2）已知每加一层货箱，船只吃水深度增加1cm；每减一层货箱，船只吃水深度减少1cm．若每层小货箱高3cm，且货物与桥壁需上下留2cm间隙方可通过，问船只需增加或减少几层货箱可恰好能从桥下中央通过？
23．（12分）某公司从2020年初起生产某种高科技产品，初始投入资金为1000万元，到年底资金增长。预计以后每年资金增长率与第一年相同，但每年年底公司要扣除消费资金万元，余下资金再投入下一年的生产。设第年年底扣除消费资金后的剩余资金为万元．
（1）用表示，并写出与的关系式；
（2）若企业希望经过5年后，使企业剩余资金达3000万元，试确定每年年底扣除的消费资金的值（精确到万元）。
24．（12分）已知直线与双曲线（）交于两点，是的左焦点，且．
（1）求双曲线的方程；
（2）若是双曲线上的两点，是的右顶点，且直线与的斜率之积为，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标．
25．（12分）已知正项数列前项和为，且满足．
（1）求；
（2）令，记数列前项和为，若对任意的，均有恒成立，求实数的取值范围．
26．（12分）已知圆经过两点，且圆心在直线上．
（1）求圆的方程；
（2）已知过点的直线与圆相交截得的弦长为，求直线的方程；
（3）已知点，在平面内是否存在异于点的定点，对于圆上的任意动点，都有为定值？若存在求出定点的坐标，若不存在说明理由．
2023-2024学年江苏省镇江一中高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【分析】根据已知条件，结合点到直线的距离公式，即可求解．
【解答】解：设点到直线的距离为，则．
故选：D．
【点评】本题主要考查点到直线的距离公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
2．【分析】化圆的一般方程为标准方程，求得两圆的圆心坐标与半径，再由圆心距与两个圆的半径的关系相等得答案．
【解答】解：化圆为，
得圆心坐标为，半径；
化圆为，
得圆心坐标为，半径．
，
圆与圆的位置关系是内切．
故选：A．
【点评】本题考查圆与圆位置关系的判定，考查化圆的一般方程为标准方程，是基础题．
3．【分析】利用等差数列通项公式及前项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出的公差．
【解答】解：为等差数列的前项和，，
，
解得，
的公差为4．
故选：C．
【点评】本题考查等差数列公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
4．【分析】求出方程为椭圆方程的充要条件，根据充分必要条件的定义判断即可．
【解答】解：若方程为椭圆方程，
则，解得：，且，
故“”是“方程为椭圆方程”的必要不充分条件，
故选：B．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查椭圆的定义，是一道基础题．
5．【分析】由题意可得：数列是以1为首项，2为公差的等差数列，然后结合等差数列的通项公式的求法求解即可．
【解答】解：已知数列满足，
则，
又，
即数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
即，
则．
故选：C．
【点评】本题考查了利用数列递推式求数列的通项公式，重点考查了等差数列的通项公式的求法，属基础题．
6．【分析】先求出左焦点坐标，设，根据在椭圆上可得到的关系式，表示出向量，根据数量积的运算将的关系式代入组成二次函数进而可确定答案．
【解答】解：由题意，，设点，则有，解得，
因为，
所以，
此二次函数对应的抛物线的对称轴为，
因为，所以当时，取得最大值，
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力．
7．【分析】不妨设椭圆方程为，半焦距为，且设，结合，可得，再将代入粗圆方程，并结合椭圆的性质，即可求解．
【解答】解：不妨设椭圆方程为，半焦距为，
且设，
，
，解得，
在椭圆上，，
又，
即．
故选：A．
【点评】本题主要考查粗圆的性质，考查向量的应用，属于中档题．
8．【分析】方法一：根据题意可判断当与与关于轴对称，即直线的斜率为1，最小，根据弦长公式计算即可．
方法二：设直线的倾斜角为，则的倾斜角为或，利用焦点弦的弦长公式分别表示出，整理求得答案
【解答】解：方法一：如图，，直线与交于两点，
直线与交于两点，由图象知要使最小，
则与与关于轴对称，即直线的斜率为1，
又直线过点，
则直线的方程为，
联立方程组则，
，
，
的最小值为，
方法二：设直线的倾斜角为，则的倾斜角为或，
根据焦点弦长公式可得
，
，
则，
，
即，
当时，或时，
或，
当或时，的最小，最小为16，故选：A．
【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系，弦长公式，对于过焦点的弦，能熟练掌握相关的结论，解决问题事半功倍属于中档题．
9．【分析】先得出递推公式，叠加法求通项公式，再用基本不等式求最小值即可．
【解答】解：数列前六项分别为，
依题知，
叠加可得：，
整理得，
当时，，满足，
所以，
所以，
当且仅当时，即时，等号成立，
又，所以等号取不了，所以最小值在取得，
当时，，
所以最小值为1．
故选：C．
【点评】本题考查等差数列的性质，数列的递推关系，考查用函数方法研究数列性质，属中档题．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）
10．【分析】直接利用直线间的位置关系以及直线平行和垂直的充要条件求出结果．
【解答】解：对于A：直线与“直线互相垂直”的充要条件是：，解得或，故A错误；
对于B：经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或，故B错误；
对于C：已知直线，则直线的倾斜角为满足，故倾斜角，故C正确；
对于D：若两直线与平行，，解得：或，当时，两直线重合，故舍去，故D正确．
故选：CD．
【点评】本题考查的知识要点：直线间的位置关系，两直线垂直和平行的充要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
11．【分析】根据已知条件求出首项和公差，得到通项公式，再依次判断四个选项即可．
【解答】解：等差数列为递减数列，且，由题意知，，
．
公差，故A正确；
又，故B正确；
由上可知，则当时，，
当时，，
数列是首项为4，公差为的等差数列，故C正确；
，故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查等差数列的通项及性质，属中档题．
12．【分析】由椭圆的定义与性质逐个选项判断正误即可．
【解答】解：由题设可得：，
由椭圆的定义可得：，故选项A正确；
由椭圆的性质可知：（当为植圆的右顶点时取“”），故选项B正确；
又由椭圆的性质可知：当点为椭圆的上顶点或下顶点时，最大，此时，
，即，故选项C错误；
设，
则，
当时，，故选项D正确，
故选：ABD．
【点评】本题主要考查椭圆的定义及性质的应用，属于中档题．
13．【分析】对于A，利用圆心到直线的距离公式，即可求解；对于B，由圆的性质，切线长，当最小时，有最小值，即可求解；对于C，四边形的面积为，即可求解；对于D，由题可知，在以为直径的圆上，利用两圆方程，求得直线的方程，即可求解．
【解答】解：对于A，∵圆，
圆心，半径，
圆心到直线的距离为，
直线与圆相离，
所以圆上任意一点到直线的距离的取值范围为，而，故A错误；
对于C，由圆的性质，切线长，
当最小时，有最小值，
又，则，故C正确；
对于B，四边形的面积为：，
因为，故四边形的面积为1，故B正确；
对于D，设，
由题意知在以为直径的圆上，又，
，
即，
又圆，即，
联立，相减，
即直线的方程为，
即，
由，解得，
即直线恒过定点，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了数形结合思想与方程思想，属于中档题．
三、填空题：本大题共5小题，共20分．
14．【分析】直线的方程中先分离参数，再令参数的系数等于零，求得的值，可得它经过的定点坐标．
【解答】解：若，直线，即，
令，
解得，
可得直线恒过定点，
故答案为：．
【点评】本题考查了直线系的应用，属于基础题．
15．【分析】依题意，设双曲线的方程为，将点，代入可求，即可求出双曲线的方程．
【解答】解：设与双曲线有共同的渐近线的双曲线的方程为，
该双曲线经过点，
．
所求的双曲线方程为：，即
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，设出所求双曲线的方程为是关键，属于中档题．
16．【分析】利用构造法求数列的通项公式．
【解答】解：因为，
所以，
所以，
所以数列是一个等比数列，
所以，
所以．
故答案为：．
【点评】本题主要考查数列递推式，考查运算求解能力，属于基础题．
17．【分析】由题意可得，设，由题意可得的关系式，结合椭圆系数的关系和离心率的定义可得。
【解答】解：由题意可得，设，
则由在椭圆上可得，
直线与的斜率之积为，
椭圆离心率为，可得，即，
故．
即．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，涉及椭圆的离心率和直线的斜率公式，属中档题．
18．【分析】由已知直线过定点，可得在椭圆内部或在椭圆上，然后分类讨论得答案．
【解答】解：直线恒过定点，
要使直线与椭圆恒有公共点，
则在椭圆内部或在椭圆上，
若椭圆是焦点在轴上的椭圆，则；
若椭圆是焦点在轴上的椭圆，则．
实数的取值范围是：．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线系方程的应用，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．
四、解答题：本题共8小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19．【分析】（Ⅰ）根据等差数列通项公式变形有，则公差，可得公差，再由通项公式，即可得到所求；
（Ⅱ）根据等差数列前项和公式，配方得，根据二次函数图象及性质可知，当时，前项和取得最大值，最大值为4．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得公差，
所以；
（Ⅱ），
当时，前项和取得最大值，最大值为4．
【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，考查运算能力，属于基础题．
20．【分析】（1）利用两条直线垂直的条件可得的斜率，再利用点斜式写出直线的方程；
（2）利用点到直线的距离公式求得，再根据等腰直角三角形的性质与面积公式，求解即可．
【解答】解：（1）设的斜率为，
因为斜边所在直线方程为，
所以，
又经过点，所以，
即的直线方程为．
（2）由题意知，，
因为是等腰直角三角形，
所以，
所以的面积为．
【点评】本题主要考查直线方程的求法，熟练掌握两条直线垂直的条件，点到直线的距离公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
21．【分析】（1）设出设出椭圆方程，利用已知条件求出椭圆的几何量，得到椭圆方程．
（2）通过椭圆上的点满足，利用数量积为0，求出的纵坐标即可，
【解答】解：（1）依题意，设所求粗圆方程为，
其半焦距．
因为点在椭圆上，
所以
所以，从而
故所求椭圆的标准方程是
（2）由得
即代入粗圆方程得：，
故
【点评】本题考查椭圆的方程的求法，椭圆的简单性质以及直线与椭圆的位置关系的应用．
22．【分析】（1）以为原点，过垂直于的直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系：设抛物线方程为，根据题意知点在抛物线上，求解抛物线方程，设，过作的垂线，交抛物线于，求出，即可判断货箱是否能顺利通过该桥．
（2）求出货物超出高度，每减少一层，则船体连货物高度整体下降，由货物与桥壁需留下2cm间隙．然后求解需要减少2层可恰好能从中央通过．
【解答】解：（1）以为原点，过垂直于的直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系：
设抛物线方程为，根据题意知点在抛物线上；
；
可设，过作的垂线，交抛物线于，
则；
货箱能顺利通过该桥．
（2）由题（1）知，货物超出高度为，
每增加一层，则船体连货物高度整体增加，
由货物与桥壁需留下2cm间隙．则需要增加层数为，
答：船只能顺利通过该桥，需要增加26层可恰好能从中央通过．
23．【分析】（1）根据题意直接得，进而归纳出；
（2）由（1）可得，利用等比数列的求和公式可得，结合即可计算出的值．
【解答】解：（1）由题意知，
，
，
，
（2）由（1）可得，，
则
所以，
即，
当时，，
解得，
当时，万元，
故该企业每年年底扣除消费资金为348万元时，5年后企业剩余资金为3000万元．
【点评】本题考查了数列的递推式和等比数列的求和公式，属于中档题．
24．【分析】（1）利用双曲线的几何性质求出，即可求出双曲线的方程；
（2）设直线与的斜率分别为，分类讨论：①当直线不垂直于轴时，利用“设而不求法”求出，判断出直线过定点．②当直线垂直于轴时，设，解得，判断出直线过定点．
【解答】解：（1）因为，所以，
设双曲线的焦距为，
因为直线与双曲线交于两点，是的左焦点，
由双曲线的对称性知，
设双曲线的右焦点为，则，得，
则，
故双曲线的方程为．
（2）证明：由已知得，设直线与的斜率分别为，
①当直线不垂直于轴时：
设直线的斜率为的方程为，
由得，
当时，，
那么
，得，符合题意．
所以直线的方程为，恒过定点．
②当直线垂直于轴时：
设，因为是上的点，所以，
则，解得，
故直线过点．
综上，直线恒过定点．
【点评】本题考查了双曲线的方程以及双曲线中直线过定点的问题，属于中档题．
25．【分析】（1）根据与的关系，即可得出答案；
（2）利用错位相减法求解得，利用分离变量法可得恒成立，令，求出最大值，即可得出答案．
【解答】解：（1）①，
当时，，解得，
当时，有②，
由①-②得，即，
，
，
数列是首项为1，公差为2的等差数列，
故；
（2）由（1）得，则，
③，④，
由③-④得，
，
对任意的，均有恒成立，，即恒成立，
令，
，
当时，，即；
当时，，即，
的最大值为，
，
故实数的取值范围是．
【点评】本题考查数量的求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
26．【分析】（1）用待定系数法设出圆的一般方程，再根据已知条件列方程组可解得；
（2）根据点到直线的距离以及勾股定理列式可得；
（3）将化成关于的坐标的方程得：，与点位置无关，根据的系数为0，常数项为0，列方程组可解得．
【解答】解：（1）因为圆经过两点，且圆心在直线上，
设圆，
所以，
所以．
所以圆．
（2）当斜率不存在的时候，，弦长为，满足题意；
当斜率存在的时候，设，即，
，
所以直线的方程为：或．
（3）设，且．
，
因为为定值，设，
化简得：，与点位置无关，
所以，
解得或．
所以定点为．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属难题．