沪教版九年级上册数学专题训练专题19母子型相似解题方法专练(原卷版+解析)

这是一份沪教版九年级上册数学专题训练专题19母子型相似解题方法专练(原卷版+解析)，共144页。试卷主要包含了单选题，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、单选题
1．如图，在矩形中，，，为矩形对角线的交点，以为圆心，1为半径作，为上的一个动点，连接，，则面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在等边中，，点是以为圆心，半径为3的圆上一动点，连接，为上一点，，连接，则线段的最大值与最小值之积为（ ）
A．27B．26C．25D．24
3．如图， 正方形ABCD中，△绕点A逆时针转到，，分别交对角线BD于点E，F，若AE=4，则的值为（ ）
A．8B．12C．16D．20
4．如图，四边形ABCD中，对角线，且，，各边中点分别为、、、，顺次连接得到四边形，再取各边中点、、、，顺次连接得到四边形，……，依此类推，这样得到四边形，则四边形的面积为（ ）
A．B．C．D．不确定
5．如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为4和2，∠B＝120°，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．3B．2C．4D．3
6．古希腊数学家发现“黄金三角形”很美。顶角为的等腰三角形，称为“黄金三角形”，如图所示，中，，，其中，又称为黄金比率，是著名的数学常数。作的平分线，交于，得到黄金三角形；作交于，交于，得到黄金三角形；作交于，交于，得到黄金三角形；依此类推，我们可以得到无穷无尽的黄金三角形。若的长为1，那么的长为（ ）．
A．B．C．D．
7．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AB上一点，以AE为直径作⊙O与BC相切于点D，若AE＝5，AC＝4，则BE的长为
A．B．C．3D．1
第II卷（非选择题）
二、解答题
8．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB上一点．
（1）如图1，若CD⊥AB，求证：AC2=AD·AB；
（2）如图2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且，求的值；
（3）如图3，若AC=BC，点H在CD上，CH=3DH，则tan∠ACH的值为________．
9．如图，在中，的平分线AD交BC于点E，交的外接圆于点D．过点D作的切线DF，连接BD．
（1）求证：．
（2）若，．
①当时，求线段的长为_____________．
②当四边形OCDB为平行四边形时，的半径等于_____________．
10．在平面直角坐标系中，抛物线的最高点为点，将左移1个单位，上移1个单位得到拋物线，点P为的顶点．
（1）求抛物线C的解析式；
（2）若过点D的直线l与抛物线只有一个交点，求直线l的解析式；
（3）直线与抛物线交于D、B两点，交y轴于点A，连接，过点B作于点C，点Q为上之间的一个动点，连接交于点E，连接并延长交于点F，试说明：为定值．
11．如图，延长的直径，交直线于点，且，．射线自出发绕点逆时针旋转，旋转角为；同时，线段从出发绕点逆时针旋转，旋转角为，直线与射线交于点，与直线交于点，其中，且．
（1）当时，的长为__________；
（2）当时，求旋转角，并证明射线是的切线；
（3）当时，求线段的长度；
（4）直接写出线段的最大值．
12．在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝120°，点E是AB的中点，点F在边BC上，连接DE，EF．
（1）取AD中点G，连接EF，EG．DE与FG交于点H．
①如图1，当点F与点B重合时，求证：△EGH∽△DBH．
②如图2，当∠EDF＝2∠GED时，求线段EF的长．
（2）连接AF，如图3，当∠DEF＝∠BAF时，求BF的长．
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴正半轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），点C在该抛物线上且在第一象限．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）将该抛物线向下平移m个单位，使得点C落在线段AB上的点D处，当AD＝3BD时，求m的值；
（3）联结BC，当∠CBA＝2∠BAO时，求点C的坐标．
14．问题背景
在中，，，，点、分别是边、上的动点，设，两点之间的距离为，、两点之间的距离为．
初步思考
（1）如图1，过点作的垂线，垂足为，连结、．当时，________；
深入探究
（2）如图2，若于，以，为邻边作平行四边形，当时，是否存在，使得平行四边形的顶点恰好落在的边上？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
拓展延伸
（3）如图3，连接、交于点，若，且满足，判断是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由．
15．在平面直角坐标系xOy中，如果抛物线上存在一点A，使点A关于坐标原点O的对称点也在这条抛物线上，那么我们把这条抛物线叫做回归抛物线，点A叫做这条抛物线的回归点．
（1）已知点M在抛物线上，且点M的横坐标为2，试判断抛物线是否为回归抛物线，并说明理由；
（2）已知点C为回归抛物线的顶点，如果点C是这条抛物线的回归点，求这条抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，所求得的抛物线的对称轴与x轴交于点D．连接CO并延长，交该抛物线于点E．点F是射线CD上一点，如果，求点F的坐标．
16．如图，点是正方形中延长线上一点，对角线相交于点，连接，分别交于点，过点作的垂线，垂足为点，交线段于．
（1）若 ，求的大小．
（2）求证：．
（3）若正方形的边长为1，，求的长．
17．如图，在△ABC中，BD、CE是△ABC的高，连接DE．
（1）求证：△ADB∽△AEC；
（2）若sin∠BAC=，BC=，求DE的长．
18．已知：正方形，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点处，使三角板绕点旋转．
（1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想与的数量关系，并加以证明；
（2）在（1）的条件下，若，求的度数；
（3）若，点是边的中点，连结，与交于点，当三角板的边与边重合时（如图2），若，求的长．
19．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M．
（1）求证：△MFC∽△MCA；
（2）求证△ACF∽△ABE；
（3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的边长．
20．如图，在△ABC中，∠ACB =90°，AB=10， AC=8，CD是边AB的中线．动点P从点C出发，以每秒5个单位长度的速度沿折线CD-DB向终点B运动．过点P作PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作矩形PQMN，使点C、N始终在PQ的异侧，且．设矩形PQMN与△ACD重叠部分图形的面积是S，点P的运动时间为（t>0）．
（1）当点P在边CD上时，用含的代数式表示PQ的长．
（2）当点N落在边AD上时，求t的值．
（3）当点P在CD上时，求S与t之间的函数关系式．
（4）连结DQ，当直线DQ将矩形PQMN分成面积比为1：2的两部分时，直接写出的值．
21．如图，中，点分别是的中点，与点．
（1）求证：；
（2）求的大小；
（3）若，求的面积．
22．如图，抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求直线的解析式及抛物线顶点坐标；
（2）如图1，点P为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作轴，垂足为C，交于点D，求的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线向右平移得到抛物线，直线与抛物线交于M，N两点，若点A是线段的中点，求抛物线的解析式．
23．（阅读理解）小白同学遇到这样一个问题：△ABC中，D是BC的中点，E是AB上一点，延长DE、AC交于点F，DE=EF，AB=5，求AE的长．小白的想法是：过点E作EH∥BC交AC于H，再通过相似三角形的性质得到AE、BE的比，从而得出AE的长，请你按照小白的思路完成解答．
（解决问题）请借助小白的解题经验，完成下面问题：△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，E为AB边上一点，AE=AD，H、Q为BC上两点，CQ=DH，DQ=mDH，G为AC上一点，连接EQ交HG、AD于F、P，∠EFG+∠EAD=180°，猜想并验证EP与GH的数量关系．
24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．
（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？
（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．
25．如图，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，OA＝OB，点C的坐标为（﹣1，0），OA：OC＝3：1，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A、B、C，顶点为D．
（1）求a、b、c的值；
（2）若直线y＝x+n与x轴交于点E，与y轴交于点F．
①当n＝﹣1时，求∠BAF﹣∠BAD的值；
②若直线EF上有点H，使∠AHC＝90°，求n的取值范围．
26．如图，点A在线段EB上，且EA＝AB，以AB直径作⊙O，过点E作射线EM交⊙O于D、C两点，且．过点B作BF⊥EM，垂足为点F．
（1）求证：CD•CB＝2CF•EA；
（2）求tan∠CBF的值．
27．已知二次函数与轴交于，两点，且在的左边，．
（1）若．
①求，两点的坐标（用含的代数式表示）；
②连接，，若在，，所围成区域内（含边界），横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为个，求的取值范围．
（2）若抛物线过点，以为圆心，为半径作圆，请判断直线与⊙A的位置关系，并说明理由．
28．我们定义：对角线垂直的凸四边形叫做“准筝形”．如图 1，四边形 ABCD 中，AC⊥BD，则四边形 ABCD 是“准筝形”．
（1）“三条边相等的准筝形是菱形”是 命题；（填“真” 或“假”）
（2）如图 1，在准筝形 ABCD 中，AD＝3，AB＝2，BC＝4，求 CD的长．
（3）如图 2， 在准筝形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，点 P 在线段 AD 上，AP＝2，且 AD＝3， AO =，在 BD 上存在移动的线段EF，E 在 F 的左侧，且 EF＝1，使四边形 AEFP 周长最小，求此时OE 的长度．
29．已知为直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，点A、C在x轴上，点B坐标为(3，m)（m>0），线段AB与y轴相交于点D，以P(1，0)为顶点的抛物线过点B、D．
（1）求点A的坐标（用m表示）；
（2）求抛物线的解析式；
（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连结PQ并延长交BC于点E，连结BQ并延长交AC于点F，试证明：FC(AC+EC)为定值．
30．已知在▱ABCD，AB＝2，BC＝10，∠B＝60°，E是边BC上的动点，以AE为一边作▱AEFG，且使得直线FG经过点D．
（1）如图1，EF与AD相交于H，若H是EF的中点．
①求证：GF＝DF；
②若GF⊥CD，求GD的长；
（2）如图2，设AE＝x，AG＝y，当点E在边BC上移动时，始终保持∠AEF＝45°，
①求y关于x的函数关系式，并求函数y的取值范围；
②连接ED，当△AED是直角三角形时，求DF的值．
31．如图，AB，CD为的两条平行弦，过点A作的切线，交DC的延长线于点H，若H，O，B在同一条直线上，OH交于点M，过点O作AM的平行线，与AB，CD分别相交于点E，F．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
32．如图，已知一次函数y＝3x＋3与y轴交于A，与x轴交于点B，直线AC与正半轴交于点C，且AC＝BC，
（1）求直线AC的解析式；
（2）点D为线段AC上一点，点E为线段CD的中点，过点E作x轴的平行线交直线AB于点F，连接DF并延长交x轴于点G，求证；AD＝BG；
（3）在（2）的条件下，若∠AFD＝2∠BAO，求点D坐标．
33．如图，在矩形中，，，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，连接，设运动时间为比，请解答下列问题：
（1）当为何值时，？
（2）设四边形的面积为，求与的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻，使，，三点在同一直线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
34．如图，在中，．点从点出发，沿以每秒个单位的速度运动．点从点出发，沿以每秒个单位的速度运动，点到达点时，两点同时停止运动．点不与点重合时，以为邻边作．设点的运动时间为秒．
（1）用含的代数式表示的长；
（2）当点落在边上时，求的值；
（3）当点在边上时，设与重叠部分图形面积为求与之间的函数关系式.
（4）连结，当射线平分面积时，直接写出的值．
35．在中，，OA平分交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作圆交BC于点D．
（1）如图1，求证：AB为的切线；
（2）如图2，AB与相切于点E，连接CE交OA于点F．
①试判断线段OA与CE的关系，并说明理由．
②若，求的值．
36．如图，在ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线 BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交 AB于点F．
（1）求证：AE为⊙O的切线．
（2）若BC=8，AC=12时，求⊙O的半径和线段BG的长．
37．如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，交于．
（1）若，，求的度数；
（2）求证：；
（3）若，，，求的长．
38．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，P为BA延长线上一点，连接CA、CD、AD，且∠PCA＝∠ADC，CE⊥AB于E，并延长交AD于F．
（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）求证：；
（3）若，，求PA的长．
三、填空题
39．如图，在中，平分在延长线上，且，若，，则的长为_____．
40．如图，在中，，正方形的顶点分别在的边上，在边上，则正方形的边长等于_______．
41．如图，正方形ABCD的边长为4，点E 、F在边BC，CD上运动，且满足BE=CF，连接AE，BF交于点G，连接CG，则CG的最小值为 ________ ；当CG取最小值时，CE的长为 _________
42．如图，在中，，点在边上，，点在上，，垂足为，若，，则线段的长为__________．
43．如图，在等边三角形的边上各取一点P，Q，使，相交于点O，若，，则的长为_______，的长为_______．
44．如图，正方形ABCD中，BC=2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点F为DM中点，点E为DC上的动点．当∠DFE=45°时，则DE= _____ ．
45．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在BC，CD上．若BE＝2，∠EAF＝45°，则DF的长是______．
46．如图，点A与点B关于原点对称，点C在第四象限，∠ACB＝90°，点D是x轴正半轴上一点，AC平分∠BAD，E是AD的中点，反比例函数(k0)的图象经过点A，E．若△ACE的面积为6，则k的值为______．
47．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AC的中点，点E在BC上，分别连接BD、AE交于点F．若∠BFE＝45°，则CE＝_____．
48．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，BC＝，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B'DE的位置，B'D交AB于点F．若△AB'F为直角三角形，则AE的长为_____．
49．如图，在中，，，，，垂足为，为的中点，与交于点，则的长为_______．
50．如图，在中，依次取的中点的中点的中点的中点，．．．．．．，并连接，．．．．若的面积是则的面积是____________．
专题19 母子型相似解题方法专练
第I卷（选择题）
一、单选题
1．如图，在矩形中，，，为矩形对角线的交点，以为圆心，1为半径作，为上的一个动点，连接，，则面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在等边中，，点是以为圆心，半径为3的圆上一动点，连接，为上一点，，连接，则线段的最大值与最小值之积为（ ）
A．27B．26C．25D．24
3．如图， 正方形ABCD中，△绕点A逆时针转到，，分别交对角线BD于点E，F，若AE=4，则的值为（ ）
A．8B．12C．16D．20
4．如图，四边形ABCD中，对角线，且，，各边中点分别为、、、，顺次连接得到四边形，再取各边中点、、、，顺次连接得到四边形，……，依此类推，这样得到四边形，则四边形的面积为（ ）
A．B．C．D．不确定
5．如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为4和2，∠B＝120°，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．3B．2C．4D．3
6．古希腊数学家发现“黄金三角形”很美。顶角为的等腰三角形，称为“黄金三角形”，如图所示，中，，，其中，又称为黄金比率，是著名的数学常数。作的平分线，交于，得到黄金三角形；作交于，交于，得到黄金三角形；作交于，交于，得到黄金三角形；依此类推，我们可以得到无穷无尽的黄金三角形。若的长为1，那么的长为（ ）．
A．B．C．D．
7．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AB上一点，以AE为直径作⊙O与BC相切于点D，若AE＝5，AC＝4，则BE的长为
A．B．C．3D．1
第II卷（非选择题）
二、解答题
8．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB上一点．
（1）如图1，若CD⊥AB，求证：AC2=AD·AB；
（2）如图2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且，求的值；
（3）如图3，若AC=BC，点H在CD上，CH=3DH，则tan∠ACH的值为________．
9．如图，在中，的平分线AD交BC于点E，交的外接圆于点D．过点D作的切线DF，连接BD．
（1）求证：．
（2）若，．
①当时，求线段的长为_____________．
②当四边形OCDB为平行四边形时，的半径等于_____________．
10．在平面直角坐标系中，抛物线的最高点为点，将左移1个单位，上移1个单位得到拋物线，点P为的顶点．
（1）求抛物线C的解析式；
（2）若过点D的直线l与抛物线只有一个交点，求直线l的解析式；
（3）直线与抛物线交于D、B两点，交y轴于点A，连接，过点B作于点C，点Q为上之间的一个动点，连接交于点E，连接并延长交于点F，试说明：为定值．
11．如图，延长的直径，交直线于点，且，．射线自出发绕点逆时针旋转，旋转角为；同时，线段从出发绕点逆时针旋转，旋转角为，直线与射线交于点，与直线交于点，其中，且．
（1）当时，的长为__________；
（2）当时，求旋转角，并证明射线是的切线；
（3）当时，求线段的长度；
（4）直接写出线段的最大值．
12．在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝120°，点E是AB的中点，点F在边BC上，连接DE，EF．
（1）取AD中点G，连接EF，EG．DE与FG交于点H．
①如图1，当点F与点B重合时，求证：△EGH∽△DBH．
②如图2，当∠EDF＝2∠GED时，求线段EF的长．
（2）连接AF，如图3，当∠DEF＝∠BAF时，求BF的长．
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴正半轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），点C在该抛物线上且在第一象限．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）将该抛物线向下平移m个单位，使得点C落在线段AB上的点D处，当AD＝3BD时，求m的值；
（3）联结BC，当∠CBA＝2∠BAO时，求点C的坐标．
14．问题背景
在中，，，，点、分别是边、上的动点，设，两点之间的距离为，、两点之间的距离为．
初步思考
（1）如图1，过点作的垂线，垂足为，连结、．当时，________；
深入探究
（2）如图2，若于，以，为邻边作平行四边形，当时，是否存在，使得平行四边形的顶点恰好落在的边上？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
拓展延伸
（3）如图3，连接、交于点，若，且满足，判断是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由．
15．在平面直角坐标系xOy中，如果抛物线上存在一点A，使点A关于坐标原点O的对称点也在这条抛物线上，那么我们把这条抛物线叫做回归抛物线，点A叫做这条抛物线的回归点．
（1）已知点M在抛物线上，且点M的横坐标为2，试判断抛物线是否为回归抛物线，并说明理由；
（2）已知点C为回归抛物线的顶点，如果点C是这条抛物线的回归点，求这条抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，所求得的抛物线的对称轴与x轴交于点D．连接CO并延长，交该抛物线于点E．点F是射线CD上一点，如果，求点F的坐标．
16．如图，点是正方形中延长线上一点，对角线相交于点，连接，分别交于点，过点作的垂线，垂足为点，交线段于．
（1）若 ，求的大小．
（2）求证：．
（3）若正方形的边长为1，，求的长．
17．如图，在△ABC中，BD、CE是△ABC的高，连接DE．
（1）求证：△ADB∽△AEC；
（2）若sin∠BAC=，BC=，求DE的长．
18．已知：正方形，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点处，使三角板绕点旋转．
（1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想与的数量关系，并加以证明；
（2）在（1）的条件下，若，求的度数；
（3）若，点是边的中点，连结，与交于点，当三角板的边与边重合时（如图2），若，求的长．
19．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M．
（1）求证：△MFC∽△MCA；
（2）求证△ACF∽△ABE；
（3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的边长．
20．如图，在△ABC中，∠ACB =90°，AB=10， AC=8，CD是边AB的中线．动点P从点C出发，以每秒5个单位长度的速度沿折线CD-DB向终点B运动．过点P作PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作矩形PQMN，使点C、N始终在PQ的异侧，且．设矩形PQMN与△ACD重叠部分图形的面积是S，点P的运动时间为（t>0）．
（1）当点P在边CD上时，用含的代数式表示PQ的长．
（2）当点N落在边AD上时，求t的值．
（3）当点P在CD上时，求S与t之间的函数关系式．
（4）连结DQ，当直线DQ将矩形PQMN分成面积比为1：2的两部分时，直接写出的值．
21．如图，中，点分别是的中点，与点．
（1）求证：；
（2）求的大小；
（3）若，求的面积．
22．如图，抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求直线的解析式及抛物线顶点坐标；
（2）如图1，点P为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作轴，垂足为C，交于点D，求的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线向右平移得到抛物线，直线与抛物线交于M，N两点，若点A是线段的中点，求抛物线的解析式．
23．（阅读理解）小白同学遇到这样一个问题：△ABC中，D是BC的中点，E是AB上一点，延长DE、AC交于点F，DE=EF，AB=5，求AE的长．小白的想法是：过点E作EH∥BC交AC于H，再通过相似三角形的性质得到AE、BE的比，从而得出AE的长，请你按照小白的思路完成解答．
（解决问题）请借助小白的解题经验，完成下面问题：△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，E为AB边上一点，AE=AD，H、Q为BC上两点，CQ=DH，DQ=mDH，G为AC上一点，连接EQ交HG、AD于F、P，∠EFG+∠EAD=180°，猜想并验证EP与GH的数量关系．
24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．
（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？
（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．
25．如图，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，OA＝OB，点C的坐标为（﹣1，0），OA：OC＝3：1，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A、B、C，顶点为D．
（1）求a、b、c的值；
（2）若直线y＝x+n与x轴交于点E，与y轴交于点F．
①当n＝﹣1时，求∠BAF﹣∠BAD的值；
②若直线EF上有点H，使∠AHC＝90°，求n的取值范围．
26．如图，点A在线段EB上，且EA＝AB，以AB直径作⊙O，过点E作射线EM交⊙O于D、C两点，且．过点B作BF⊥EM，垂足为点F．
（1）求证：CD•CB＝2CF•EA；
（2）求tan∠CBF的值．
27．已知二次函数与轴交于，两点，且在的左边，．
（1）若．
①求，两点的坐标（用含的代数式表示）；
②连接，，若在，，所围成区域内（含边界），横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为个，求的取值范围．
（2）若抛物线过点，以为圆心，为半径作圆，请判断直线与⊙A的位置关系，并说明理由．
28．我们定义：对角线垂直的凸四边形叫做“准筝形”．如图 1，四边形 ABCD 中，AC⊥BD，则四边形 ABCD 是“准筝形”．
（1）“三条边相等的准筝形是菱形”是 命题；（填“真” 或“假”）
（2）如图 1，在准筝形 ABCD 中，AD＝3，AB＝2，BC＝4，求 CD的长．
（3）如图 2， 在准筝形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，点 P 在线段 AD 上，AP＝2，且 AD＝3， AO =，在 BD 上存在移动的线段EF，E 在 F 的左侧，且 EF＝1，使四边形 AEFP 周长最小，求此时OE 的长度．
29．已知为直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，点A、C在x轴上，点B坐标为(3，m)（m>0），线段AB与y轴相交于点D，以P(1，0)为顶点的抛物线过点B、D．
（1）求点A的坐标（用m表示）；
（2）求抛物线的解析式；
（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连结PQ并延长交BC于点E，连结BQ并延长交AC于点F，试证明：FC(AC+EC)为定值．
30．已知在▱ABCD，AB＝2，BC＝10，∠B＝60°，E是边BC上的动点，以AE为一边作▱AEFG，且使得直线FG经过点D．
（1）如图1，EF与AD相交于H，若H是EF的中点．
①求证：GF＝DF；
②若GF⊥CD，求GD的长；
（2）如图2，设AE＝x，AG＝y，当点E在边BC上移动时，始终保持∠AEF＝45°，
①求y关于x的函数关系式，并求函数y的取值范围；
②连接ED，当△AED是直角三角形时，求DF的值．
31．如图，AB，CD为的两条平行弦，过点A作的切线，交DC的延长线于点H，若H，O，B在同一条直线上，OH交于点M，过点O作AM的平行线，与AB，CD分别相交于点E，F．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
32．如图，已知一次函数y＝3x＋3与y轴交于A，与x轴交于点B，直线AC与正半轴交于点C，且AC＝BC，
（1）求直线AC的解析式；
（2）点D为线段AC上一点，点E为线段CD的中点，过点E作x轴的平行线交直线AB于点F，连接DF并延长交x轴于点G，求证；AD＝BG；
（3）在（2）的条件下，若∠AFD＝2∠BAO，求点D坐标．
33．如图，在矩形中，，，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，连接，设运动时间为比，请解答下列问题：
（1）当为何值时，？
（2）设四边形的面积为，求与的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻，使，，三点在同一直线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
34．如图，在中，．点从点出发，沿以每秒个单位的速度运动．点从点出发，沿以每秒个单位的速度运动，点到达点时，两点同时停止运动．点不与点重合时，以为邻边作．设点的运动时间为秒．
（1）用含的代数式表示的长；
（2）当点落在边上时，求的值；
（3）当点在边上时，设与重叠部分图形面积为求与之间的函数关系式.
（4）连结，当射线平分面积时，直接写出的值．
35．在中，，OA平分交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作圆交BC于点D．
（1）如图1，求证：AB为的切线；
（2）如图2，AB与相切于点E，连接CE交OA于点F．
①试判断线段OA与CE的关系，并说明理由．
②若，求的值．
36．如图，在ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线 BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交 AB于点F．
（1）求证：AE为⊙O的切线．
（2）若BC=8，AC=12时，求⊙O的半径和线段BG的长．
37．如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，交于．
（1）若，，求的度数；
（2）求证：；
（3）若，，，求的长．
38．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，P为BA延长线上一点，连接CA、CD、AD，且∠PCA＝∠ADC，CE⊥AB于E，并延长交AD于F．
（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）求证：；
（3）若，，求PA的长．
三、填空题
39．如图，在中，平分在延长线上，且，若，，则的长为_____．
40．如图，在中，，正方形的顶点分别在的边上，在边上，则正方形的边长等于_______．
41．如图，正方形ABCD的边长为4，点E 、F在边BC，CD上运动，且满足BE=CF，连接AE，BF交于点G，连接CG，则CG的最小值为 ________ ；当CG取最小值时，CE的长为 _________
42．如图，在中，，点在边上，，点在上，，垂足为，若，，则线段的长为__________．
43．如图，在等边三角形的边上各取一点P，Q，使，相交于点O，若，，则的长为_______，的长为_______．
44．如图，正方形ABCD中，BC=2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点F为DM中点，点E为DC上的动点．当∠DFE=45°时，则DE= _____ ．
45．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在BC，CD上．若BE＝2，∠EAF＝45°，则DF的长是______．
46．如图，点A与点B关于原点对称，点C在第四象限，∠ACB＝90°，点D是x轴正半轴上一点，AC平分∠BAD，E是AD的中点，反比例函数(k0)的图象经过点A，E．若△ACE的面积为6，则k的值为______．
47．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AC的中点，点E在BC上，分别连接BD、AE交于点F．若∠BFE＝45°，则CE＝_____．
48．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，BC＝，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B'DE的位置，B'D交AB于点F．若△AB'F为直角三角形，则AE的长为_____．
49．如图，在中，，，，，垂足为，为的中点，与交于点，则的长为_______．
50．如图，在中，依次取的中点的中点的中点的中点，．．．．．．，并连接，．．．．若的面积是则的面积是____________．
参考答案
1．C
分析：
当点移动到过点的直线平行于且与相切时，面积的最大，由于为切点，得出垂直于切线，进而得出，根据勾股定理先求得的长，进而求得的长，根据，求得的长，从而求得的长，最后根据三角形的面积公式即可求得．
【详解】
解：当点移动到过点的直线平行于且与相切时，面积的最大，如图，
过的直线是的切线，
垂直于切线，
延长交于，则，
在矩形中，，，
，
，
，，
，
，
，，，
，
，
的最大面积，
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆的切线的性质，矩形的性质，平行线的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，本题的关键是判断出处于什么位置时面积最大．
2．A
分析：
过作于，在上截取，连结，；先证明，然后运用相似三角形的性质和已知条件得到；再根据图形得到，即当且仅当，，三点共线时，取得最大值为最小值；然后求得最大值和最小值并相乘即可．
【详解】
解：如图：过作于，在上截取，连结，，
是等边三角形，，，
，，
，．
，，
．
，
，
，
，
，
，
，
．
∴当且仅当，，三点共线时，取得最大值为最小值，
∴的最大值为，的最小值为，
∴的最大值与最小值之积为．
故答案为A．
【点睛】
本题主要考查了点与圆的位置关系、等边三角形的性质、勾股定理的应用以及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线并灵活应用相关知识成为解答本题的关键．
3．C
分析：
根据正方形性质和旋转性质得到∠BAC和∠EAF和∠ADB都等于45°，再加上公共角得到△AEF与△DEA相似，得到对应边成比例即可得到结果．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠ADB=45°，
∵把△ABC绕点A逆时针旋转到，
∴∠EAF=∠BAC=45°，
∴∠EAF=∠ADB=45°，
∵∠AEF=∠DEA，
∴△AEF∽△DEA，
∴，
∴EF·ED=AE2，
∵AE=4，
∴EF·ED=16，
故选：C．
【点睛】
本题考查旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，找出相关的相似三角形是解题的关键．
4．B
分析：
根据三角形的面积公式，可以求得四边形ABCD的面积是16；根据三角形的中位线定理，得A1B1∥AC，A1B1AC，则△BA1B1∽△BAC，得△BA1B1和△BAC的面积比是相似比的平方，即 ，因此四边形A1B1C1D1的面积是四边形ABCD的面积的 ，依此类推可得四边形AnBn∁nDn的面积．
【详解】
解：∵四边形A1B1C1D1的四个顶点A1、B1、C1、D1分别为AB、BC、CD、DA的中点，
∴A1B1∥AC，A1B1AC，
∴△BA1B1∽△BAC．
∴△BA1B1和△BAC的面积比是相似比的平方，即．
即S△ABC，同理可证：S△ADC，
S△ABD，S△CB1C1S△BDC，
∴S四边形ABCD，
同法可证，
又四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝4，AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积是16．
∴四边形AnBn∁nDn的面积．
故选：B．
【点睛】
此题综合运用了三角形的中位线定理、相似三角形的判定及性质．注意：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．
5．D
分析：
设AG交CE于点H，通过得出，即可得出EH的长，将阴影部分的面积分为和的和，分别求出两个菱形的高即可．
【详解】
如图，设AG交CE于点H，
∵菱形ABCD的边AB∥CD，
∴，
∴CH：AB＝GC：GB，
即，
解得，
所以，EH＝CE﹣CH＝
∵∠B＝120°，
∴∠BCD＝∠FEC＝180°﹣120°＝60°，
∴点B到CD的距离为，
点F到CE的距离为，
∴阴影部分的面积＝S△AEH+S△GEH
＝
故选：D．
【点睛】
本题考查菱形与相似三角形的性质，将阴影部分的面积拆分成两部分来解是解题的关键，属于中考常考题型．
6．B
分析：
根据平分，结合题意，通过证明并利用相似比关系计算得到，再由平行线性质，推导得，，计算得到，同理得，根据规律推导，即可得到答案．
【详解】
∵中，，
∴
∵平分
∴
∴，
设，
∴
∵的长为1
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
又∵
∴,
∴
∴，
∴，
∵
∴
∴
同理得：
……
∴
故选B．
【点睛】
本题考查了相似三角形、分式方程、角平分线、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形、分式方程、角平分线、等腰三角形的性质，从而完成求解．
7．A
分析：
连接ED并延长交AC的延长线于点F，连接OD，如图，利用切线的性质得OD⊥BC，则OD∥AC，根据相似三角形的判定方法得到△BOD∽△BAC，然后利用相似比计算BE的长．
【详解】
连接ED并延长交AC的延长线于点F，连接OD，如图，
∵⊙O与BC相切于点D，
∴OD⊥BC，
∵∠ACB＝90°，
∴OD∥AC，
∴△BOD∽△BAC，
∴，即，
∴BE＝．
故选：A．
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．灵活运用相似比进行几何运算．
8．（1）见解析；（2）；（3）
分析：
（1）证出，证明∽，得出，即可得出结论；
（2）设，则（），同（1）得，则，在中，，过作于，易证，求出，再由平行线分线段成比例定理即可得出答案；
（3）过点作于，设，则（），，证明∽，得出，，求出，证明是等腰直角三角形，得出，由勾股定理得出，由三角函数定义即可得出答案．
【详解】
（1）证明：∵，∴，
∵，
∴，
∴，
∴∽，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴设，则（），
∵，，
同（1）得：，
∴，
在中，，
过作于，如图2所示：
则，
在中，，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：过点作于，如图3所示：
∵，
∴设，则（），
∴，
∵，，
∴，
∴
又∵，
∴∽，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】
本题是相似形综合题,主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角函数定义、平行线分线段成比例定理等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质,证明三角形相似是解题的关键。
9．（1）证明见解析；（2）①；②．
分析：
（1）根据题目已知信息，连接连接DO并延长交于点G，连接BG，那么可以得到，再根据同弧所对的圆周角相等，得到，从而得证．（2）①根据同弧以及题目所给信息可得，那么说明是等腰三角形，再根据，从而证明和都为等腰三角形，以及，再依据线段的相等关系，可得BD的长度．②首先根据题意可得，那么证明和是等边三角形，从而得到，也就得到，，由于半径与BC的倍数的关系，就对BC构造直角三角形，所以过点C作AB的垂线交于点M，再利用边角关系以及勾股定理列出式子，从而得到半径的长度．
【详解】
解：（1）连接DO并延长交于点G，连接BG，
∴根据圆的性质：，
由题意可得：FD是的切线，
∴，
∴，即，
∵与所对的弧都为，
∴，
∴．
（2）①由题意得：，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，
∵AD是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形且，
∴，得，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
②由第一问可知，，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
∴和是等边三角形，
∴，
∴，
∴，，
过点C作AB的垂线交于点M，
则，
∴，，
∴
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查切线的性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定和性质，特殊三角形的判定及性质以及勾股定理的应用，掌握圆的相关性质以及对题目已知条件的利用再融合计算线段长度的方法是做题关键．
10．（1）；（2）；（3）见解析
分析：
（1）利用抛物线的顶点坐标公式，求出a、b；
（2）利用抛物线的平移性质得出抛物线C2的解析式，设出直线AB的解析式，联立两函数解析式得出一元二次方程，用△=0求出k的值，即可得到结论；
（3）由QM∥CE，得△PQM∽△PEC，利用相似比得FC，已知AC=4，再计算FC•（AC+EC）为定值．
【详解】
解：（1）∵抛物线的最高点为点，
∴，
∴，
∴抛物线，
（2）由（1）知，抛物线，
∵将向左移1个单位，上移1一个单位得到抛物线，
∴①，
设过点的直线的解析式为，
∴，
∴，
∴过点的直线的解析式为：②，
∵抛物线与过点D的直线只有一个交点，
∴联立①②解得，
，
∴，
∴，
∴过点D的直线的解析式为，
（3）如图，
∵直线与抛物线交于点D、B两点，且，
∴，
∴直线的解析式为③，
∴，
∵抛物线，
∴顶点，
∴轴，
∵④，
联立③④得，，
过点Q作于点M，过点Q作于点N，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
设点Q的坐标为，
则，
，
，
，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即为定值8．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；理解坐标与图形的性质，会解一元二次方程；相似三角形的判定与性质解决数学问题．
11．（1）；（2）30°；见解析；（3）或；（4）．
分析：
（1）先求出圆的半径，再根据弧长公式计算即可．
（2）先利用直角三角形两锐角互余计算∠BAC的度数，再利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半计算即可．作垂直，证明OQ是半径，则射线是的切线
（3）分类讨论，当点在右侧时，当点在左侧时，利用锐角三角函数表示出AT、AF计算出DF．再利用角角相似得得出的长．
（4）根据圆外一点到圆上的最远距离是、、点三点共线时得出的最大值．
【详解】
解：（1）∵∠BOC=2，
∴∠BOC=40°
；
（2）①解：当时，，
∵，∴，
∵，即，
∴．
②证明：过点作于点（如图2），
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线．
（3）情况1：当点在右侧时：
过点作于点（如图2），
设，由可得，，
又∵，即，∴．
∴，∴，
∴，
，
又，
∴，
∴，即，
∴．
情况2：当点在左侧时：
过点作的延长线于点（如图3），
设，由，
同理可得，，
∴，
∴．
类比情况1，
得，
，
又，
即，
∴．
（4）∵当点在右侧时，，
当点在左侧时，，
∴点在以为弦，圆心角为的上运动
∴当、、三点共线，且点在线段上时，最大，
此时，，，
∴最大值为．
【点睛】
本题考查圆周角定理、切线的证明、锐角三角函数、相似三角形、利用分类讨论思想是难点．圆外一点到圆上的最值问题是中考的常考模型．
12．（1）见解析；（2）2；（3）．
分析：
（1）利用三角形中位线定理，得到平行线，得到∠GEH=∠BDH，∠EGH=∠DBH，得证△EGH∽△DBH；
（2）连接BD，根据EG是中位线，∠EDF＝2∠GED，可证明∠ADE=∠CDF，根据菱形的性质，可得△ADE≌△CDF，得AE=CF=2,得BE=BF，再根据∠B=60°证明△BEF是等边三角形，即可得EF=BE=2；
（3）延长线段DE交BC延长线于N，过E点作EK⊥BC，垂足为K，根据△EFM∽△AFE，设相似比，继而得出，再由列方程求出k和BF即可．
【详解】
解：（1）∵点E是AB的中点，AD中点G，
∴EG//BD，
∴∠GEH=∠BDH，∠EGH=∠DBH，
∴△EGH∽△DBH；
（2）如解（2）图，连接BD，
由（1）EG//BD，
∴∠GED=∠EDB，
∵∠EDF=2∠GED，
∴∠EDF=2∠EDB=∠EDB+∠FDB，
∴∠EDB=∠FDB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADB=∠CDB，∠DAE=∠DCF，AD=DC，
∴∠ADB-∠EDB =∠CDB-∠FDB，即∠ADE=∠CDF，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF=2,
∴BE=BF=2，
∵四边形ABCD是菱形，∠A＝120°，
∴∠B＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴EF=BE=2；
（3）如解（3）图，延长线段DE交BC延长线于N，过E点作EK⊥BC，垂足为K，
∵在四边形ABCD是菱形中，，
∴△ADE∽△BNE，
∴，
∴，，
∵,,
∴在中，，
∵∠DEF＝∠BAF，∠AFE＝∠EFM,
∴△EFM∽△AFE，
设相似比，，
则 ，，，
∴，
∵，
∴，，
∵
∴
∴，
∴，
整理得，
∴，（舍去），
将代入并整理得：，
解得．
【点睛】
本题综合考查了全等三角形、相似三角形的性质和判定、菱形的性质、三角形中位线等知识，解题关键是利用全等三角形或相似三角形求出线段之间的关系，本题设参数解方程是难点，要求有较强的计算能力．
13．（1）y＝﹣x2+x+2；（2）；（3）C（2，3）
分析：
（1）利用待定系数法求抛物线的解析式即可；
（2）如图1，过点D作DG⊥x轴于G，利用平行证明△ADG∽△ABO，列比例式可以计算OG和DG的长，从而得D（1，），最后由平移的性质可得m的值；
（3）如图2，作辅助线，构建等腰△ABF，确定点F的坐标，计算BF的解析式，联立抛物线和BF的解析式，方程组的一个解就是点C的坐标．
【详解】
解：（1）把点A（4，0）和点B（0，2）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2；
（2）如图1，过点D作DG⊥x轴于G，
∴DG∥OB，
∴△ADG∽△ABO，
∴，
∵AD＝3BD，
∴AG＝3OG，
∵A（4，0），B（0，2），
∴OA＝4，OB＝2，
∴OG＝1，DG＝，
∵D（1，），
由平移得：点C的横坐标为1，
当x＝1时，y＝﹣×1+×1+2＝3，
∴m＝3﹣＝；
（3）∵∠CBA＝2∠BAO，点C在该抛物线上且在第一象限，
∴点C在AB的上方，
如图2，过A作AF⊥x轴于A，交BC的延长线于点F，过B作BE⊥AF于点E，
∴BE∥OA，
∴∠BAO＝∠ABE，
∵∠CBA＝2∠BAO＝∠ABE+∠EBF，
∴∠FBE＝∠ABE，
∵∠BEF＝∠AEB＝90°，
∴∠F＝∠BAF，
∴AB＝BF，
∴AE＝EF＝OB＝2，
∴F（4，4），
设BF的解析式为：y＝kx+n，
则，
解得：，
∴BF的解析式为：y＝x+2，
∴，
解得或，
∴C（2，3）．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合题，包括二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质；解题关键是会利用待定系数法求抛物线和一次函数的解析式；灵活应用相似比表示线段之间的关系；理解坐标与图形的性质；会利用数形结合的思想解决数学问题．
14．（1）；（2）存在，或；（3）a的值为定值，a=．
分析：
（1）利用勾股定理可求出AB长，再由题意易证明，得出，代入数据，解出x即可．
（2）分两种情况讨论①当G点落在AC边上时，作交AC于点H，由（1）结论，可求出DE长度，进而求出AE长度，利用三角形等面积法即可求出EH长度，即为y的值．②当G点在AB上时，显而易见A点与G点重合，由题意可知，由平行线分线段成比例即可求出CF的长，即为y的值．
（3）作且，连接GF、AG．所以四边形为平行四边形，题干等式即为，则，从而证明，继而证明．由，得，结合勾股定理所以，即求出a的值为．
【详解】
（1）在中，，
由题意可知，，．
∴，
∴，
又∵AD=AC-CD=16-x，
∴，
解得．
故答案为：．
（2）假设存在y，使平行四边形EFDG的顶点落在的边上．
①当G点落在AC边上时．如图，作交AC于点H，
由（1）可知，
∵x=6，AD=16-6=10,
∴，
∴，
在中,
∵，
∴．
∵点G在AC上
∴
∴
∴四边形EFCH为矩形，
∴FC=EH=，
即y=．
②当G点在AB上时，可知G点与A点重合才能使平行四边形EFDG成立．如图，
∵，
∴，即，
解得y=．
所以存在y，y的值为或．
（3）作，且，所以四边形为平行四边形，
，
即，
则，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
根据勾股定理可知．
∴．
【点睛】
本题考查三角形相似的判定和性质、直角三角形的性质、平行线的判定和性质、矩形的判定和性质以及解直角三角形，综合性强，比较难．画出辅助线是解题的关键．
15．（1）抛物线是回归抛物线；理由见解析；（2）；（3）
分析：
（1）先求出点M的坐标，再求出点M关于原点对称的点的坐标，最后代入二次函数，根据回归抛物线的定义即可得出答案；
（2）先求出点C关于原点对称的点的坐标，再将的坐标代入二次函数解析式，即可求出的值，从而得出抛物线的表达式；
（3）先求出抛物线的对称轴，再根据题意求出点C和点D的坐标；根据直线OC与抛物线的交点为E求出点E的坐标；从而求出CD、CE的值；然后根据相似三角形的判定和性质求出CF的值，即可求出点F的坐标．
【详解】
解：（1）M横坐标为2，
M纵坐标为4，
则．
关于原点O的对称点为；
当时，．
所以在抛物线上；
因此抛物线是回归抛物线；
（2）关于原点O的对称点为，
又因为点C是这条抛物线的回归点，
因此在抛物线上；
∴，解得
∴
（3）由（2）可知，对称轴为，
抛物线的对称轴与x轴交于点D，
点D的坐标为（-1,0），
由（2）知，，
点C的坐标为（-1,2），
设OC所在直线解析式为：，
将，代入得
，
解得：，
OC所在直线解析式为，
，
解得或，
点E的坐标为（1，-2），
即，，，
在和中：
，
，
．
，
，
，
∴．
【点睛】
本题考查了新定义函数、求一次函数解析式、二次函数的性质、相似三角形的判定及性质，将新定义的函数与一次函数及二次函数相结合是解题的关键．
16．（1）25°；（2）证明见详解；（3）
分析：
（1）由正方形性质得到∠DBP的度数，利用外角性质得到∠GEB的度数，再由直角三角形两锐角互余，即可得到∠GBE的度数；
（2）连接CE，证△ECF与△EPC，可得EC的平方与EF和EP的关系，再根据正方形性质得到EA=EC，即可得到结论；
（3）利用三角函数值求出DM的长，再利用△ABG和△ABP相似求出AG长，证明四边形ACPD是平行四边形可得∠DPA与∠GAH相等，则它们的三角函数值相等，通过∠GAH的正切值即可得到HG的长；
【详解】
（1）∵四边形是正方形，是正方形的对角线，
∴，
∵中，
∴，
∵，
∴；
（2）如图所示，连接，
∵四边形是正方形，
∴关于对称，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）∵正方形的边长为1，
∴，又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
连接，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，过点作于，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即的长为．
【点睛】
本题考查正方形的性质，相似三角形的性质和判定、三角函数值、平行四边形的性质和判定等知识点，正确添加辅助线，确定相似三角形是解题的关键．
17．（1）详见解析；（2）6
分析：
（1）证明∠ADB=∠AEC=即可证得结论；
（2）依据相似三角形的对应边成比例，即可得到，再根据∠DAE=∠BAC，推出△ADE∽△ABC，再根据相似三角形的性质即可得到DE的长.
【详解】
（1）∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠ADB=∠AEC=，
∵∠A=∠A，
∴△ADB∽△AEC；
（2）∵△ADB∽△AEC，
∴，即，
又∵∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵sin∠BAC=，
∴，
∴Rt△ACE中，，
∴，
∴DE=6.
【点睛】
此题考查相似三角形的判定及性质，特殊角的三角函数值，解此类问题中通过相似三角形的对应边的比值的变化得出其他两个三角形相似是解题的关键.
18．（1）；证明见详解 （2）135° （3）
分析：
（1）由正方形性质和等腰直角三角形的性质即可判定△ADF和△CDE全等，即可得到结果；
（2）先设DE，再通过勾股定理逆定理判定三角形是直角三角形，即可得到结论；
（3）证明△MAO和△DCO全等，得到对应边成比例即可得到OD和OM的比，再求出DM的长，再求出OD的长，再求出DF的长，证明△DFN和△DCO相似，即可得到DN长．
【详解】
解：（1），
在正方形和等腰直角三角形中，
，，，
∴，∴，
∴
（2）设，∵
∴，，∴，
∵，，即
∴为直角三角形，∴
∴
（3）∵是的中点，∴，
∵，∴，∴，
在中，，，
∴，∴，
∵，∴，
∵，，∴，
∴，即，
∴．
【点睛】
本题考查正方形，等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定、勾股定理和勾股定理逆定理，判定三角形是直角三角形是解题的关键．
19．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
分析：
（1）由正方形的性质得，进而根据对顶角的性质得，再结合公共角，根据相似三角形的判定得结论；
（2）根据正方形的性质得，再证明其夹角相等，便可证明；
（3）由已知条件求得正方形的边长，进而由勾股定理求得的长度，再由，求得，进而求得正方形的对角线长，便可求得其边长．
【详解】
解：（1）四边形是正方形，四边形是正方形，
，
，
，
，
；
（2）四边形是正方形，
，，
，
同理可得，
，
，
，
；
（3），，
，
，
，
，即，
，
，
，
即正方形的边长为．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键是掌握相似模型及证明方法和正方形性质．
20．（1）；（2）；（3）；（4）或或或
分析：
（1）证明△ABC∽△CPQ，利用相似三角形的性质解决问题即可．
（2）如图2，当点N落在边AD上时，根据AM+MQ+CQ=8，构建方程即可解决问题．
（3）分三种情形：①如图1中，当0＜t≤时，重叠部分是矩形PQMN．②如图3-1，当＜t≤1时，重叠部分是五边形PQMKJ，根据S=S矩形PQMN-S△NKJ，求解即可．③如图3-2中，当1＜t≤2时，重叠部分是五边形KQMJD，根据S=S△ADC-S△CQK-S△AMJ，求解即可．
（4）分四种情形：①如图4-1中，设DQ交MN于J，当MJ=2JN时，直线DQ将矩形PQMN分成面积比为1：2的两部分．
②如图4-2中，设DQ交PN于J，当PJ=2JN时，直线DQ将矩形PQMN分成面积比为1：2的两部分．
③如图4-3中，设DQ交PN于J，当PJ=2JN时，直线DQ将矩形PQMN分成面积比为1：2的两部分．
④如图4-4中，设DQ交MN于J，当MJ=2JN时，直线DQ将矩形PQMN分成面积比为1：2的两部分．
【详解】
解：（1）如图1中，
在△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=10，AC=8，
由勾股定理，得AB2=AC2+BC2．
∴BC=6．
∵CD是边AB的中线，
∴CD=AD=5．
∴∠ACD=∠CAD．
∵∠CQP=∠ACB，
∴△ABC∽△CPQ．
∴，
∴
∴PQ=3t．
（2）如图2，当点N落在边AD上时，
∵AM+MQ+CQ=8
∴4t+2t+4t=8．
解得t=．
（3）如图1中，当0＜t≤时，重叠部分是矩形PQMN，S=6t2．
如图3-1，当＜t≤1时，重叠部分是五边形PQMKJ，S=S矩形PQMN-S△NKJ=6t2-×（10t-8）（10t-8）=-t2+60t-24．
如图3-2中，当1＜t≤2时，重叠部分是五边形KQMJD，S=S△ADC-S△CQK-S△AMJ=12-•（6-3t）（8-4t）-×2t×2t×=-t2+24t-12，
综上所述，．
（4）①如图4-1中，设DQ交MN于J，当MJ=2JN时，直线DQ将矩形PQMN分成面积比为1：2的两部分．
作DK⊥AC于K．
∵PQ=MN=3t，MJ=2JM，
∴MJ=MQ=2t，
∴∠DQK=45°，
∵DK∥BC，AD=DB，
∴AK=KC，
∴DK=KQ=BC=3，
∴CQ=1，
∴4t=1，
∴t=．
②如图4-2中，设DQ交PN于J，当PJ=2JN时，直线DQ将矩形PQMN分成面积比为1：2的两部分．
∵PJ∥CQ，
∴，
∴，
∴t=
③如图4-3中，设DQ交PN于J，当PJ=2JN时，直线DQ将矩形PQMN分成面积比为1：2的两部分．
∵PJ∥AQ，
∴，
∴ ，
∴t=
④如图4-4中，设DQ交MN于J，当MJ=2JN时，直线DQ将矩形PQMN分成面积比为1：2的两部分．
同法可证MQ=MJ=2t，
∴∠AQD=45°，由①可知CQ=1，
∴8-4t=1，
∴t=，
综上所述，满足条件的t的值为，，，．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，解直角三角形，平行线分线段成比例定理，多边形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
21．（1）证明见解析；（2）；（3）2．
分析：
（1）先根据相似三角形的判定可得，再根据相似三角形的性质即可得证；
（2）先根据等腰直角三角形的判定与性质可得，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质可得，最后根据角的和差即可得；
（3）设，从而可得，再根据相似三角形的性质、勾股定理可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定与性质可得，从而可求出a的值，最后根据直角三角形的面积公式即可得．
【详解】
（1），
，
在和中，，
，
，
；
（2），
是等腰直角三角形，
，
由（1）可知，，
，
点E是AC的中点，
，
，
在和中，，
，
，
又，
，
；
（3）设，
是等腰直角三角形，
，
点分别是的中点，
，
在中，，
，
由（1）知，，
，即，
解得，
在中，，
，
在和中，，
，
，即，
解得，
又，
，
解得，
，
则的面积为．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
22．（1）直线的解析式为，抛物线顶点坐标为；（2）当时，的最大值为； ；（3）．
分析：
（1）先根据函数关系式求出A、B两点的坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法求出AB的解析式，将二次函数解析式配方为顶点式即可求得顶点坐标；
（2）过点D作轴于E，则．求得AB=5，设点P的坐标为，则点D的坐标为，ED=x，证明，由相似三角形的性质求出，用含x的式子表示PD，配方求得最大值，即可求得点P的坐标；
（3）设平移后抛物线的解析式，将L′的解析式和直线AB联立，得到关于x的方程，设，则是方程的两根，得到，点A为的中点，，可求得m的值，即可求得L′的函数解析式．
【详解】
（1）在中，
令，则，解得，
∴．
令，则，∴．
设直线的解析式为，则，解得：，
∴直线的解析式为．
，
∴抛物线顶点坐标为
（2）如图，过点D作轴于E，则．
∵，
∴，
设点P的坐标为，
则点D的坐标为，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
而，
∴，
∵，，由二次函数的性质可知：
当时，的最大值为．
，
∴．
（3）设平移后抛物线的解析式，
联立，
∴，
整理，得：，
设，则是方程的两根，
∴．
而A为的中点，∴，
∴，解得：．
∴抛物线的解析式．
【点睛】
本题考查二次函数的图象和性质、相似三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
23．；=．
分析：
阅读理解：作平行线，证明△FEH∽△FDC和△AEH∽△ABC，列比例式并根据DE=EF、BD=DC，可得结论；
解决问题：如图2，作平行线，证明△CDM∽△CHG，得，设DH=CQ=x，则DQ=mx，再证明△AEP≌△ADM，得EP=DM，代入可得结论．
【详解】
解：【阅读理解】
如图1，过点E作EH∥BC交AC于H，
∴∠FEH=∠FDC，∠FHE=∠C，
∴△FEH∽△FDC，
∴，
∵DE=EF，
∴，
∵BD=DC，
∴，
同理得：△AEH∽△ABC，
∴，
∵AB=5，
∴AE=；
【解决问题】
猜想：，
理由是：如图2，过D作DM∥GH，交AC于M，
∴∠CMD=∠CGH，∠CDM=∠CHG，
∴△CDM∽△CHG，
∴，
设DH=CQ=x，则DQ=mx，
∴=，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAP=∠DAM，
∵∠EFG+∠EAD=180°，
∴∠AEP+∠ANF=180°，
∵GH∥DM，
∴∠ADM+∠DNG=∠ADM+∠ANF=180°，
∴∠ADM=∠AFP，
∵AE=AD，
∴△AEP≌△ADM，
∴EP=DM，
∴．
【点睛】
本题考查了三角形综合题，涉及到了相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
24．（1）；（2）当时，四边形APNC的面积S有最小值，其最小值是．
分析：
根据勾股定理求得AB=5cm．
（1）分△AMP∽△ABC和△APM∽△ABC两种情况讨论：利用相似三角形的对应边成比例来求t的值．
（2）如图，过点P作PH⊥BC于点H，构造平行线PH∥AC，由平行线分线段成比例求得以t表示的PH的值；然后根据“S=S△ABC﹣S△BPH”列出S与t的关系式，则由二次函数最值的求法即可得到S的最小值．
【详解】
解：∵如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．
∴根据勾股定理，得．
（1）以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况：
①当△AMP∽△ABC时，，即，解得；
②当△APM∽△ABC时，，即，解得t=0（不合题意，舍去）．
综上所述，当时，以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似．
（2）存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．理由如下：
假设存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．
如图，过点P作PH⊥BC于点H．则PH∥AC，
∴，
即．
∴．
∴
．
∵，
∴S有最小值．
当时，S最小值=．
答：当时，四边形APNC的面积S有最小值，其最小值是．
25．（1）a=-1，b=2，c=3；（2）①∠BAF﹣∠BAD＝45°；②n的取值范围≤n≤．
分析：
（1）根据已知条件得到点A、B、C的坐标，代入抛物线y＝ax2+bx+c中即可求解；
（2）①根据已知条件求得点F、点D坐标，进而求得AB、BD、AD的长，由勾股定理可知为直角三角形，然后证明△OAF∽△BAD，即∠OAF＝∠BAD，根据等角转换即可求解；
②根据已知条件直线EF上有点H，使∠AHC＝90°，则以AC为直径的圆⊙G与直线EF有公共点，当直线EF在x下方与⊙G相切时，△EGK∽△EFO，即，设E（﹣3n，0），F（0，n），n＜0，根据相似比可求出n的值，当直线EF在x下方与⊙G相切时，△EGK∽△EFO，同理可得n的值，综上即可得到n的取值范围．
【详解】
（1）∵点C的坐标为（﹣1，0），OA：OC＝3：1，
∴A（（3，0），
∵OA＝OB，
∴B（0，3），
把A、B、C三点都代入二次函数的解析式得，
，
解得， ；
（2）∵n＝﹣1，
∴y＝x+n＝x﹣1，
∴F（0，﹣1）
∴OF＝1，
由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4），
∵A（3，0），B（0，3），
∴OA＝3，AB＝，BD＝，AD＝，
∴BD2+AB2＝AD2，
∴∠ABD＝∠AOF＝90°，
∵，，
∴，
∴△OAF∽△BAD，
∴∠OAF＝∠BAD，
∵OA＝OB＝3，∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝45°，
∴∠BAF﹣∠BAD＝∠OAB+∠OAF﹣∠BAD＝45°；
②直线EF上有点H，使∠AHC＝90°，则以AC为直径的圆⊙G与直线EF有公共点，
如图，当直线EF在x下方与⊙G相切时，则△EGK∽△EFO，
∴，
∵A（3，0），C（﹣1，0），
∴GK＝AC＝2，G（1，0），
∵直线y＝x+n与x轴交于点E，与y轴交于点F．
∴E（﹣3n，0），F（0，n），n＜0，
∴OF＝﹣n，EF＝n，
∴ ，
解得，n＝或0（舍）；
经检验，n＝是该方程的根，
如图，当直线EF在x下方与⊙G相切时，则△EGK∽△EFO，
∴，
∵A（3，0），C（﹣1，0），
∴GK＝AC＝2，G（1，0），
∵直线y＝x+n与x轴交于点E，与y轴交于点F．
∴E（-3n，0），F（0，n），n>0，
∴OF＝n，EF＝n，
，
解得，n＝或0（舍）；
经检验，n＝是该方程的根，
∴若直线EF上有点H，使∠AHC＝90°，则n的取值范围≤n≤．
【点睛】
本题主要考查了二次函数与图形的综合应用，涉及求二次函数解析式、相似三角形的性质与判定、图形运动问题等，根据题意找到相似三角形并灵活运用相似比是解题关键．
26．（1）见解析；（2）tan∠CBF＝．
分析：
（1）连接BD，根据圆周角定理，由AB为直径得到∠ADB＝90°，再根据题意即可证明△ABD∽△CBF，根据相似三角形的性质即可得出AD•CB＝CF•AB，最后根据等量代换即可得证；
（2）连接OD，过O作OH⊥CD于点H，设⊙O的半径为r，CD＝x，则CH＝DH＝x，根据易证△EOD∽△EBC，根据相似三角形的性质得出，再根据题意及等量代换即可求得ED＝2CD＝2x，根据勾股定理可表示出OH，根据BF⊥EM得出平行，即可HF、CF，再根据勾股定理求得BF，最后根据an∠CBF＝代入即可得出答案．
【详解】
（1）连接BD，如图1，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵BF⊥EM，
∴∠BFC＝90°，
∴∠ADB＝∠CFB＝90°，
∵∠BCF＝∠BAD，
∴△ABD∽△CBF，
∴，
∴AD•CB＝CF•AB，
∵AD＝CD，AE＝AB，
∴CD•CB＝CF•2AE，
即CD•CB＝2CF•EA；
（2）连接OD，过O作OH⊥CD于点H，设⊙O的半径为r，CD＝x，如图2，则CH＝DH＝x，
∵，
∴∠AOD＝∠ABC，
∴OD∥BC，
∴△EOD∽△EBC，
∴，
∵EA＝AB＝OA＝OB＝r，
∴，
∴，
∴BC＝，
ED＝EC，
∴ED＝2CD＝2x，
∴OH＝，
∵BF⊥EM，
∴OH∥BF，
∴，
∴HF＝EH＝，
∴CF＝HF﹣CH＝，
∴BF＝，
∵EF2+BF2＝EB2，
∴，
∴r2＝2x2，
∴BF＝，
∴tan∠CBF＝．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定及性质、勾股定理、求角的正切，添加合适的辅助线是解题的关键．
27．（1）①，，②；（2）相交，理由见解析
分析：
(1)①令中即可求出A、B两点的坐标；
②先判断横坐标和纵坐标都为整数的点只能在区域的边界上，并且线段AB上有三个，然后再根据条件列出不等式，进而求得m的取值范围；
(2) 设对称轴与坐标轴交点为点，则且轴，过作，交直线于点，将AB、BP分别用a的代数式表示，证明，进而求出AN的长与圆的半径2比较大小即可求解．
【详解】
解：(1)①，，
令，则，
，
，，
，，
又在的左边，
，，
故答案为，；
②记，，所围成的区域（含边界）为区域，落在区域的横坐标和纵坐标都为整数的个数有个，如下图所示：
，，
区域的内部（不含边界）没有横坐标和纵坐标都为整数的点
个横坐标和纵坐标都为整数的点都在区域的边界上
的横坐标和纵坐标都为整数
其余个点都在线段上，
又，
线段上有一个横坐标和纵坐标都为整数的点，
线段上还有个整点且，两点要么同为整数，要么不同为整数，
，
解得，
故答案为；
(2)直线与相交，理由如下：
抛物线对称轴为
又抛物线过点
点为该抛物线的顶点，
，，
得即，
，
令，则，，
，，
，，
设对称轴与坐标轴交点为点，则且轴，
过作，交直线于点，如下图所示：
，
又，
，
，
，
直线与相交，
故答案为：相交．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的性质和判定，直线与圆的位置关系等知识点，题目综合性比较强，具有一定的难度，其中第(2)求直线与圆的位置关系时，只需要求出圆心到该直线的距离，然后与圆的半径比较大小即可．
28．（1）真；（2）；（3）
分析：
（1）先根据在准筝形ABCD中，AC⊥BD，BC=CD=AD，设AC与BD交于点O，得出OA=OC，OB=OD，推出四边形ABCD是平行四边形，再根据AD=CD，即可证明四边形ABCD是菱形，即可得出结论；
（2）设AC与BD交于点O，根据AC⊥BD，得到AB2=AO2+BO2，AD2=AO2+DO2，CD2=CO2+DO2，BC2=OB2+OC2，可得AB2+CD2=AD2+BC2=OA2+OB2+OC2+OD2，根据AD=3，АВ=2，BC=4，即可求出CD；
（3）过P作PG⊥AO于G，过A作AM//EF且AM=EF，作M点关于OD的对称点N，连接MN交OD于H，交PG于R，连接PN交OD于F，先证明四边形AEFM是平行四边形，得到AE=MF，根据M、N关于OD对称，得出MF=NF，推出当且仅当N、F、P三点共线时，AE+PF取得最小值，根据AP=2，EF=1，得出当AE+PE取得最小值时，四边形AEFP周长取得最小值，然后证明四边形AOHM是矩形，得出АМ=ОН=EF=1，OA=MН=HN=，根据在Rt△AOD中，OA=，AD=3，PG⊥OA，求出AG=AP=1，PG=AG=，PR=PG-GR=PG-AM=-1，RN=HN+HR=2，证明△NHF∽△NRP，得出==，求出HF=PR==，根据OF=ОН+HF=OE+EF，ОН=EF=1，即可得出OЕ．
【详解】
解：（1）三条边相等的准筝形是菱形是真命题，
，
在准筝形ABCD中，AC⊥BD，BC=CD=AD，
设AC与BD交于点O，
∴OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD=CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴三边相等的准筝形是菱形，
故答案为：真；
（2）设AC与BD交于点O，
∵AC⊥BD，
∴AB2=AO2+BO2，
AD2=AO2+DO2，
CD2=CO2+DO2，
BC2=OB2+OC2，
∴AB2+CD2=AD2+BC2=OA2+OB2+OC2+OD2，
∵AD=3，АВ=2，BC=4，
∴22+CD2=32+42，
∴CD=，
∴CD的长为；
（3）过P作PG⊥AO于G，
过A作AM//EF且AM=EF，
作M点关于OD的对称点N，连接MN交OD于H，
交PG于R，连接PN交OD于F，
∵AM//EF，AM=EF，
∴四边形AEFM是平行四边形，
∴AE=MF，
∵M、N关于OD对称，
∴MF=NF，
∴AE+PF=MF+PF=NF+PF≥PN，
∴当且仅当N、F、P三点共线时，AE+PF取得最小值，
∵AP=2，EF=1，
∴当AE+PE取得最小值时，四边形AEFP周长取得最小值，
∵AM//OD，ОA//MН，∠AOD=90°，
∴四边形AOHM是矩形，
∴АМ=ОН=EF=1，OA=MН=HN=，
在Rt△AOD中，OA=，AD=3，
∴∠ADO=30°，
∵PG⊥OA，
∴PG∥OD，
∴∠APG=∠ADO=30°，
∴AG=AP=1，PG=AG=，
∴PR=PG-GR=PG-AM=-1，
∵HR=-1=，
∴RN=HN+HR=2，
∵PG//OD，
∴△NHF∽△NRP，
∴==，
∴HF=PR==，
∵OF=ОН+HF=OE+EF，ОН=EF=1，
∴OЕ=HF=，
故四边形AEFP周长最小时，OE的长度为．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握这些知识点灵活运用是解题关键．
29．（1）(3﹣m，0)；（2）；（3）见解析
分析：
（1）AO=AC−OC=m−3，用线段的长度表示点A的坐标；
（2）是等腰直角三角形，因此也是等腰直角三角形，即可得到OD=OA，则D(0，m−3)，又由P(1，0)为抛物线顶点，用待定系数法设顶点式，计算求解即可；
（3）过点Q作QM⊥AC与点M，过点Q作QN⊥BC与点N，设点Q的坐标为，运用相似比求出FC，EC长的表达式，而AC=m，代入即可．
【详解】
解：（1）由B (3，m)可知OC=3，BC=m，
∴AC=BC=m，OA=m﹣3，
∴点A的坐标为(3﹣m，0)
（2）∵∠ODA=∠OAD=45°
∴OD=OA= m﹣3，则点D的坐标是(0，m﹣3)
又抛物线的顶点为P(1，0)，且过B、D两点，所以可设抛物线的解析式为：
得：

∴抛物线的解析式为：
（3）证明：过点Q作QM⊥AC与点M，过点Q作QN⊥BC与点N，设点Q的坐标为，则
∵QM∥CE
∴△PQM∽△PEC
则
∵QN∥FC
∴△BQN∽△BFC则

又∵AC=m=4
∴
即为定值8
【点睛】
本题主要考查了点的坐标，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，合理做出辅助线，运用相似三角形的性质求出线段的长度是解题的关键．
30．（1）①见解析；②12；（2）① ；②7或
分析：
（1）①根据四边形AEFG是平行四边形以及H是EF的中点，可以得出HF是△DAG的中位线，进而可得GF＝DF；
②通过证明AB⊥AE，解Rt△ABE求得AE，便可进一步求得结果；
（2）①如图2中，过点A作AK⊥DG于K，过点E作EJ⊥AD于J，过点A作AH⊥BC于H．构造相似三角形解决问题即可；
②分当∠EAD＝90°和∠AED＝90°两种情形分别求解即可．
【详解】
（1）①证明：如图1中，
∵四边形AEFG是平行四边形，
∴AG∥EF，AG=EF，
∵H是EF的中点，
∴HF=EF=AG，
∴HF是△DAG的中位线，
∴GF＝DF．
②如图1中，
∵四边形ABCD是平行四边形，四边形AEFG是平行四边形，
∴AB∥CD，AE∥GF，
∵GF⊥CD，
∴AB⊥AE，
∴∠B＝60°，AB＝，
∴GF＝AE＝AB•tanB＝＝6，
∴GD＝2GF＝12；
（2）①如图2中，过点A作AK⊥DG于K，过点E作EJ⊥AD于J，过点A作AH⊥BC于H．
∵四边形AGFE是平行四边形，
∴AE∥DG，∠G＝∠AEF＝45°，
∵AK⊥DG，
∴AK⊥AE，
∵EJ⊥AD，
∴∠AKD＝∠AJE＝∠EAK＝90°，
∴∠EAJ+∠KAD＝90°，∠KAD+∠ADK＝90°，
∴∠EAJ＝∠ADK，
∴△EJA∽△AKD，
∴，
在Rt△ABH中，∵∠AHB＝90°，AB＝，∠B＝60°，
∴AH＝AB•sin60°＝3，
在Rt△AGK中，∵∠AKG＝90°，∠G＝45°，AG＝y，
∴AK＝KG＝y，
∴，
∴，
如图2﹣1中，
∵∠G＝45°，AD＝BC＝10，
∴点G的运动轨迹的弧，当∠ADG最小时，AG的值最小，
当点E与C重合时，∠ADG＝∠DAC最小，AG的值最小，
在Rt△ACH中，∵∠AHC＝90°，AH＝3，CH＝10﹣，
∴，
∴
∵AE的最小值为3，
∴AG 的最大值为，
∴．
②如图3﹣1中，当∠EAD＝90°时，可知AE＝FG＝3，DG＝AD＝10，DF＝DG﹣FG＝7．
如图3﹣2中，当∠AED＝90°时，过点E作EJ⊥AD于J，设AJ＝x，则DJ＝10﹣x，
∵EJ⊥AD，∠AED＝90°，
∴∠AJE＝∠EJD＝90°，
∴∠EAJ+∠AEJ＝90°，∠AEJ+∠DEJ＝90°，
∴∠EAJ＝∠DEJ，
∴△EJA∽△DJE，可得EJ2＝AJ•DJ，
∴x（10﹣x）＝9，
解得x＝1或9（舍弃），
∴AJ＝1，DJ＝9，
∴，
∵AE∥DG，
∴∠EDG＝180°﹣90°＝90°，
∵∠AEF＝∠DEF＝45°，
∴DF＝DE＝，
综上所述，满足条件的DF的值为7或．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、求反比例函数解析式、相似三角形等知识，综合性较强，难度较大.解题时需注意根据不同情况进行分类讨论，避免漏解.
31．（1）见解析；（2）
分析：
（1）证明EF⊥CD即可得到结论；
（2）证明得，由得到可求出，再由与可求得，结合条件可求得结论．
【详解】
（1）证明：是的直径，
，
，
，
，
，即
过圆心O，是的弦，
；
（2）连接AO，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
由①②解得，，，
，，
在中，
解③④得，
，且EF过圆心O，是弦，
，
，
．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．
32．（1）y＝﹣x＋3；（2）证明见解析；（3）D(1，)
分析：
（1）先求得A、B两点的坐标，设OC=x，则AC=BC=x+1，在Rt△AOC中，依据勾股定理可求得x的值，从而可求得点C的坐标，最后，利用待定系数法求解即可；
（2）过点D作DH∥x轴，则∠HDF=∠BGF．由平行线分线段成比例定理可得到FG=DF，接下来，再证明△BGF≌△HDF，从而可得到HD=BG，然后再证明△ADH为等腰三角形，最后，通过等量代换可得到问题的答案；
（3）作辅助线，先求得AB、AH、CN的长，从而可证明△FAD∽△CAB，则△GAD为直角三角形，然后可求得OG的长，从而得到点G的坐标，然后，再求得点D的坐标即可．
【详解】
解：（1）当x＝0时，y＝3，
∴A(0，3)．
令y＝0得：3x＋3＝0，解得：x＝﹣1，
∴B(﹣1，0)．
设OC＝x，则AC＝BC＝x＋1．
在Rt△AOC中，由勾股定理可知：OA2＋OC2＝AC2，
即32＋x2＝（x＋1）2，
解得：x＝4，
∴C(4，0)．
设直线AC的解析式为y＝kx＋b，则 ，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x＋3．
（2）如图1所示：过点D作DH∥x轴，则∠HDF＝∠BGF．
∵HD∥EF∥CG，E为CD的中点，
∴F为DG的中点．
∴FG＝DF．
∵在△BGF和△HDF中，
，
∴△BGF≌△HDF（ASA）．
∴HD＝BG．
∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠ABC．
∵HD∥CG，
∴∠AHD＝∠ABC，
∴∠HAD＝∠AHD．
∴AD＝DH，
∴AD＝BG．
（3）如图2所示：连接AG，过点C作CH⊥AB，垂足为H，过D作DM⊥x轴于M，
在Rt△ABO中，依据勾股定理可知AB＝＝，
∵CB＝CA，CH⊥AB，
∴AH＝AB＝，∠BCA＝2∠ACH．
Rt△BCH中，依据勾股定理可知CH＝＝＝，
∵∠BAO＋∠ABO＝∠ABO＋∠BCH，
∴∠BAO＝∠BCH＝∠ACH，
∴∠BCA＝2∠BAO．
又∵∠AFD＝2∠BAO，
∴∠AFD＝∠BCA．
又∵∠FAD＝∠BAC，
∴△FAD∽△CAB，
∴AF＝DF．
又∵GF＝FD，
∴△GAD为直角三角形．
∴OG•OC＝OA2，
∴OG＝．
∴G(﹣，0)．
∴AD＝BG＝．
Rt△AOC中，OA＝3，OC＝4，
∴AC＝5，
∵DM∥OA，
∴，即，
OM＝1，
当x＝1时，y＝﹣x＋3＝﹣＋3＝，
∴D(1，)．
【点睛】
本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．
33．（1）；（2）；（3）存在，
分析：
（1）利用矩形的性质先求解，再利用平行线分线段成比例列方程求解即可；
（2）如图②所示，过点作于点，先利用相似三角形的性质得出BF，PF，再利用面积的和即可得出结论；
（3）如图③所示，过点作于点，判断出，得出PG=t，EG=t，再判断出得出比例式建立方程求解即可得出结论．
【详解】
解：（1）如图①所示．
∵四边形是矩形，∴．
∴，．
在中，，，
根据勾股定理，得：．
由题意，得，，
∴，．
∵，，，
∴．
∴．
∴．
∴．
（2）如图②所示，过点作于点，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴，．
∴．
∴
．
（3）存在．理由如下：
如图③所示，过点作于点，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴，．
∴．
∵．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴或（舍去）．
∴当时，，，三点在同一直线上．
【点睛】
本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，几何图形面积的求法，同时考查一元二次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键．
34．（1）当时，；当时，；（2）；（3）当时，；当时，；当时，；（4）或．
分析：
（1）点从点出发，沿运动，所以的长有两种情况，分别表示即可；
（2）根据已知得到，所以，再利用得到关于t的方程求解即可；
（3）根据题意画出图形，求解即可；
（4）若射线平分面积，则线段AR的延长线经过AB的中点，或者线段AR经过AB的中点，画出图形即可求解．
【详解】
（1）当时，；
当时，.
（2）此时状态如图：
∵四边形APRQ是平行四边形，
∴，且，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
当时，，无解；
当时，，解得．
（3）当时，与重叠部分图形为，过点Q作于点M，如图：
∴，即
∴当时， ，
当时，；
当时，与重叠部分图形如图，
∴当时， ；
（4）若射线平分面积，则线段AR的延长线经过AB的中点，或者线段AR经过AB的中点，
①当线段AR的延长线经过AB的中点时，
可得，
②当线段AR经过AB的中点时，
可得，
综上，或．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质等内容，解题的关键是根据题意画出每个状态的图形．
35．（1）见解析；（2）①OA垂直平分CE，理由见解析；②
分析：
（1）过点O作OG⊥AB，垂足为G，利用角平分线的性质定理可得OG=OC，即可证明；
（2）①利用切线长定理，证明OE=OC，结合OE=OC，再利用垂直平分线的判定定理可得结论；
②根据求出OF和CF，再证明△OCF∽△OAC，求出AC，再证明△BEO∽△BCA，得到，设BO=x，BE=y，可得关于x和y的二元一次方程组，求解可得BO和BE，从而可得结果.
【详解】
解：（1）如图，过点O作OG⊥AB，垂足为G，
∵OA平分交BC于点O，
∴OG=OC，
∴点G在上，
即AB与相切；
（2）①OA垂直平分CE，理由是：
连接OE，
∵AB与相切于点E，AC与相切于点C，
∴AE=AC，
∵OE=OC，
∴OA垂直平分CE；
②∵，
则FC=2OF，在△OCF中，
，
解得：OF=，则CF=，
由①得：OA⊥CE，
则∠OCF+∠COF=90°，又∠OCF+∠ACF=90°，
∴∠COF=∠ACF，而∠CFO=∠ACO=90°，
∴△OCF∽△OAC，
∴，即，
解得：AC=6，
∵AB与圆O切于点E，
∴∠BEO=90°，AC=AE=6，而∠B=∠B，
∴△BEO∽△BCA，
∴，设BO=x，BE=y，
则，
可得：，
解得：，即BO=5，BE=4，
∴tanB==.
【点睛】
本题考查了圆的综合，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二元一次方程组的应用，有一定难度，解题要合理选择相似三角形得出结论.
36．（1）证明见解析；（2）半径为3，BG=2
分析：
（1）连接OM，由AB=AC、AE平分∠BAC，得到AE⊥BC；利用角平分线的性质和等腰三角形的性质，得到OM∥BC；再利用平行线的性质得到AE⊥OM，即可证得AE为⊙O的切线．
（2）设 ⊙O的半径为R，根据OM∥BE，得到△OMA∽△BEA，利用相似三角形的性质得到，即，解得R=3，从而求得 ⊙O的半径；过点O作OH⊥BG于点H，则BG=2BH，根据∠OME=∠MEH=∠EHO=90°，得到四边形OMEH是矩形，从而得到HE=OM=3和BH=1，证得结论BG=2BH=2．
【详解】
（1）证明：如图，连接OM，
∵AB=AC，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC，
∵OB=OM，
∴∠OBM=∠OMB，
∵BM平分∠ABC，
∴∠OBM=∠CBM，
∴∠OMB=∠CBM，
∴OM∥BC，
又∵AE⊥BC，
∴AE⊥OM，
∴AE是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为R，
∵BC=8，
∴BE=BC=4，
∵OM∥BE，
∴△OMA∽△BEA，
∴，
即，
解得：R=3，
∴⊙O的半径为3；
如图，过点O作OH⊥BG于点H，
则BG＝2BH，
∵∠OME＝∠MEH＝∠EHO＝90°，
∴四边形OMEH是矩形，
∴HE＝OM＝3，
∴BH＝BE-HE=BC - HE =4-3=1，
∴BG＝2BH＝2.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、平行线的判定和性质、圆的切线的判定、相似三角形的判定和性质、矩形的性质与判定等知识，综合的知识较多，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．
37．（1）30°；（2）见解析；（3）
分析：
（1）由三角形的内心定义和同弧所对的圆周角相等即可解答；
（2）连接BE，根据三角形的内心定义和同弧所对的圆周角相等证得∠DBE＝∠BED，从而依据等角对等边即可证得；
（3）利用已知和角平分线的性质得，进而求得BF、CF的值，再证明△BDF∽△ACF和△DBF∽△DAB，利用相似三角形的性质得到关于BD的方程，解之即可解答﹒
【详解】
（1）∵，，
∴∠BAC=180º-∠ABC-∠C=60º，
∵E是内心，
∴∠BAD＝∠CAD=∠BAC=30º，
由同弧所对的圆周角相等得：
∠CBD=∠CAD=30º；
（2）证明：连接BE，
∵E是内心，
∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD．
∵∠CBD＝∠CAD，
∴∠CBD＝∠BAD，
∵∠BAD+∠ABE＝∠BED，∠CBE+∠CBD＝∠DBE，
∴∠DBE＝∠BED，
∴ DE＝DB；
（3）∵∠BAD＝∠CAD，AB=6，AC=4，BC=5
∴
∴ BF=3，CF=2
∵∠DBC＝∠DAC，∠BFD=∠AFC
∴ △BDF∽△ACF
∴，
∴，
∵∠BAD＝∠CAD=∠DBC，∠BDF=∠ADB
∴ △DBF∽△DAB
∴，
∴，
∴，又BD=DE，
∴．
【点睛】
本题考查了三角形的内心定义、圆的外接圆、同弧所对的圆周角相等、相似三角形的判定与性质，解答的关键是正确理解三角形的内心定义，熟练掌握同弧所对的圆周角相等，进而创造三角形相似的条件，进行相关的证明或计算．
38．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
分析：
（1）如图（见解析），先根据圆周角定理可得，再根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理可得，然后根据角的和差可得，最后根据圆的切线的判定即可得证；
（2）如图（见解析），先根据圆周角定理可得，从而可得，再根据相似三角形的判定与性质即可得证；
（3）先根据圆周角定理、直角三角形的性质可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，又根据圆周角定理、正切三角函数可得，然后设，由题（2）的结论可得，最后根据相似三角形的性质可得，由此即可得出答案．
【详解】
（1）如图，连接OC
由圆周角定理得：，即
，即
又是⊙O的半径
PC是⊙O的切线；
（2）如图，连接BC
由圆周角定理得：
在和中，
即；
（3），即
由圆周角定理得：
又
在和中，
，即
或（不符题意，舍去）
，即
解得
，
设，则
由（2）可知，，即
又由（2）可知，
，即
解得或
经检验，是所列方程的根，是所列方程的增根
故PA的长为．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、圆的切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正切三角函数等知识点，较难的是题（3），利用圆周角定理找出两个相似三角形，从而求出AC的长是解题关键．
39．
分析：
通过证 ，得到求出BF=2，，，进而求出CF的长，进而得到∠BAD=∠DFC，从而证CFD∽CAB，得到，将证得边的关系CA=6+CD以及其他各值代入即可得到答案．
【详解】
解：∵BD平分∠ABC， DE=BD
∴∠ABD=∠DBC，∠AED=∠ABD
∴∠DBC=∠AED
如图，在BC上取点，使BF=AE
则在与中，

∴
∴AE=BF=2，，
∴CF=BC-BF=8-2=6
∵∠BAD=，∠DFC=
∴∠BAD=∠DFC
又∵∠C=∠C
∴CFD∽CAB
∴
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB
∠BAD=∠DFC
∴
∵
∴
∴DF=FC=6，则AD=DF =6
∴CA=6+CD
又∵CF=6，BC=8
∴
解得．
故答案为：．
【点睛】
本题考查的全等三角形判定和性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识点，是中考综合性题目，而且还要会解一元二次方程，用方程法解几何问题．解答此题的关键是利用性质找到边与边之间的关系．
40．
分析：
根据勾股定理求出BC长，再根据相似，设出BE，DE，FC长，列方程即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∵四边形DEFG是正方形，
∴∠DEB=∠A=90°，
∠B=∠B，
∴△ABC∽△EBD，
∴，
即，
同理，，
设BE为3x，则DE为4x，FC为，
解得，，
DE=4×=，
故答案为：
【点睛】
本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题关键是根据相似三角形建立正方形边长与其他线段的关系，根据斜边长设未知数列方程．
41．2-2； ；
分析：
在正方形中，易证，可得，则点的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆弧，因此当、、在同一条直线上时，取最小值，根据勾股定理可得的最小值为，根据，则有可得，得到：，则，设，则，可得，又∵，，得，得到，解之得：，（不合题意，舍去），从而得到的长为．
【详解】
解：如图示：
在正方形中，
在和中，
，
，
∴
∵
∴
即有：
点的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆弧，
因此当、、在同一条直线上时，取最小值，
∵,
∴
∴，
∴的最小值为，
∵
∴
∴
∴
∴,
设，则，
∴，
∴
又∵，，
∴
∴,
即：
解之得：，（不合题意，舍去），
∴，
故答案是：，．
【点睛】
本题考查了正方形的性质， 全等三角形的判定与性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
42．
分析：
过A作AH⊥BC于H，根据已知条件得到∠ABE=∠ACB，求得∠ABE=∠DBE，根据全等三角形的性质得到AE=DE，AB=BD，设AB=BD=AC=x，根据相似三角形的性质得到AH=8，过C作CG⊥AD交AD的延长线于G，再根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：过A作AH⊥BC于H，
∵BF⊥AD，
∴∠ABE+∠BAD=90°，
∴∠BAD=90°-∠ABE，
∵∠BAD=90°-∠ACB，
∴∠ABE=∠ACB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABE=∠ABD，
∴∠ABE=∠DBE，
∵∠AEB=∠DEB=90°，BE=BE，
∴△ABE≌△DBE（ASA），
∴AE=DE，AB=BD，
设AB=BD=AC=x，
∴BC=x+2，BH=CH=，DH=-2，
∵∠AHD=∠BED=90°，∠ADH=∠BDE，
∴△ADH∽△BDE，
∴，
∴，
∴x=10或x=-8（不符题意，舍去）,
∴AB=BD=AC=10，DH=4，
∴AH=8，
过C作CG⊥AD交AD的延长线于G，
∴∠G=∠AHD=90°，
∵∠ADH=∠CDG，
∴△ADH∽△CDG，
∴，
∴，
∴，，
∵EF⊥AD，DG⊥AD，
∴EF∥CG，
∴△AEF∽△AGC，
∴，
∴，
解得：EF=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
43．4
分析：
证明△ABP和△ACQ全等，得到∠CAQ和∠ABP相等，即可得到∠AOP为60° 角，再证△AOP相似于△BAP，通过对应边成比例即可求得AP长；过A作AG⊥OP，在Rt△AOG和Rt△APG中，通过勾股定理得到等式，求出OG长，即可得到结论．
【详解】
∵在△AQC和△BAP中，
∴
∵
∴
过作的垂线与OP交于点G，在△中，
设OG=x，则AO=2x，
在Rt△AOG中，由勾股定理得AG2=AO2-OG2，即AG2=（2x）2-x2=3x2，
在Rt△APG中，由勾股定理得AG2=AP2-PG2，即AG2=42-（x-2）2，
∴3x2=42-（x-2）2解得x=，又x>0，∴x=，
，
故答案为：4，．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键．
44．．
分析：
如图，连接．首先求出、的长，证明，可得，即求出．
【详解】
解：四边形是正方形，
，，，
∵点M是边AB的中点，
，
在中，，
，
，
∴，
，
∵点F为DM中点，
∴，
∵，
∴
∴
即有．
故答案是：．
【点睛】
本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
45．
分析：
取AD，BC的中点M，N，连接MN，交AF于H，延长CB至G，使BG＝MH，连接AG，先证出四边形ABNM是正方形，利用SAS证出ABG≌AMH，再利用SAS证出AEG≌AEH，利用勾股定理求出MH，然后利用平行证出AHM∽AFD，列出比例式即可求出结论．
【详解】
解：取AD，BC的中点M，N，连接MN，交AF于H，延长CB至G，使BG＝MH，连接AG，
∵点M，点N是AD，BC的中点，
∴AM＝MD＝BN＝NC＝4，
∵AD∥BC，
∴四边形ABNM是平行四边形，
∵AB＝AM＝4，
∴四边形ABNM是菱形，
∵∠BAD＝90°，
∴四边形ABNM是正方形，
∴MN＝AB＝BN＝4，∠AMH＝90°，
∵AB＝AM，∠ABG＝∠AMH＝90°，BG＝MH，
∴ABG≌AMH（SAS），
∴∠BAG＝∠MAH，AG＝AH，
∵∠EAF＝45°，
∴∠MAH+∠BAE＝45°，
∴∠GAB+∠BAE＝∠GAE＝∠EAH＝45°，
又∵AG＝AH，AE＝AE
∴AEG≌AEH（SAS）
∴EH＝GE，
∴EH＝2+MH，
在Rt HEN中，EH2＝NH2+NE2，
∴（2+MH）2＝（4﹣MH）2+4，
∴MH＝
∵MN∥CD，
∴AHM∽AFD，
∴
∴DF＝×＝，
故答案为：．
【点睛】
此题考查的是相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定及性质、正方形的判定及性质和矩形的性质，此题难度较大，掌握相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定及性质、正方形的判定及性质和矩形的性质是解决此题的关键．
46．8
分析：
连接OC，在RtABC中，点O是AB的中点，得到OC＝AB＝OA，根据角平分线的定义得到∠OAC＝∠EAC，得到∠OCA＝∠EAC，过A作AM⊥x轴于M，过D作DN⊥x轴于N，易得S梯形AMNC＝S△AOC，DAM∽DEN，得到S梯形AMNC＝S△AOC＝S△AEC＝6，求得S△AOD＝9，延长DA交y轴于P，易得DAM∽DPO，设EN＝a，则AM＝2a，推出S△DAM：S△AOM＝2：1，于是得到结论．
【详解】
解：连接OC，在RtABC中，点O是AB的中点，
∴OC＝AB＝OA，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC是∠BAD的角平分线，
∴∠OAC＝∠EAC，
∴∠OCA＝∠EAC，
∴AE∥OC
∴S△AEC＝S△AOE，
过A作AM⊥x轴于M，过E作EN⊥x轴于N，
∵A、E都在反比例函数y＝的图象上，
∴S△AOM＝S△EON，
∴S梯形AMNE＝S△AOE，
∵AM∥EN，
∴DAM∽DEN，
∵AE＝DE，S梯形AMNE＝S△AOE＝S△AEC＝6，
∴S△AOD＝12，
延长DA交y轴于P，易得DAM∽DPO，
设EN＝a，则AM＝2a，
∴ON＝，OM＝，
∴MN＝，DN＝，
∴DM：OM＝2：1，
∴S△DAM：S△AOM＝2：1，
∴S△AOM＝4，
∴k＝8．
故答案为：8．
【点睛】
本题考查反比例函数k的意义；借助直角三角形和角平分线，将ACE的面积转化为AOC的面积是解题的关键．
47．．
分析：
过点A，B分别作BC，AC的平行线交于点K，则四边形ACBK为矩形，过点A作AM∥DB交KB于点M，过点M作MN⊥AM交AE的延长线于点N，过点N作BC的平行线分别交AC，KB的延长线于点H，Q，则四边形CHBQ为矩形，证明△AKM≌△MQN（AAS），得出KM＝NQ，MQ＝AK＝8，证明△ACE∽△AHN，可求出CE的长．
【详解】
解：过点A，B分别作BC，AC的平行线交于点K，则四边形ACBK为矩形，
过点A作AM∥DB交KB于点M，过点M作MN⊥AM交AE的延长线于点N，
过点N作BC的平行线分别交AC，KB的延长线于点H，Q，
则四边形CHBQ为矩形，
∵∠BFE＝45°，AM∥BD，
∴∠BFE＝∠MAN＝45°，
∴△AMN为等腰直角三角形，
∴AM＝MN，
∵∠AMK+∠NMQ＝∠AMK+∠MAK＝90°，
∴∠NMQ＝∠MAK，
又∵∠AKM＝∠MQN＝90°，
∴△AKM≌△MQN（AAS），
∴KM＝NQ，MQ＝AK＝8，
∵D为AC的中点，AC＝6，
∴AD＝DC＝BM＝3，
∴MK＝NQ＝3，
∴BQ＝CH＝5，
∴HN＝HQ﹣NQ＝8﹣3＝5，
∵CE∥HN，
∴△ACE∽△AHN，
∴，
即，
∴CE＝，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
48．6或 ．
分析：
当∠AFB′＝90°时，证明△BDF∽△BAC，得到，即 ，求得BF＝3，设BE＝DE＝x，在Rt△EDF中，DE＝2EF，x＝2（ 3﹣x），解得x＝2，得到AE＝8﹣2＝6；当∠AB′F＝90°时，作EH⊥AB′交AB′的延长线于H，设AE＝x，证明Rt△ADC≌Rt△ADB′（HL），求得∠EB′H＝60°，利用EH2+AH2＝AE2，得到[（8﹣x）]2+[4+（8﹣x）]2＝x2， 解得x＝.
【详解】
解：①如图1中，当∠AFB′＝90°时，
在Rt△ABC中，∵∠B＝30°，AC＝4，
∴AB＝2AC＝8，
∵BD＝CD，
∴BD＝CD＝BC＝2，
由折叠的性质得：∠BFD＝90°，B'E＝BE，
∴∠BDF＝60°，
∴∠EDB＝∠EDF＝30°，
∴∠B＝∠EDB＝30°，
∴BE＝DE＝B'E，
∵∠C＝∠BFD＝90°，∠DBF＝∠ABC＝90°，
∴△BDF∽△BAC，
∴，即 ，
解得：BF＝3，
设BE＝DE＝x，
在Rt△EDF中，DE＝2EF，
∴x＝2（ 3﹣x），
解得：x＝2，
∴AE＝8﹣2＝6；
②如图2中，当∠AB′F＝90°时，
作EH⊥AB′交AB′的延长线于H，设AE＝x，
∵AD＝AD，CD＝DB′，
∴Rt△ADC≌Rt△ADB′（HL），
∴AC＝AB′＝4，
∵∠AB′E＝∠AB′F+∠EB′F＝90°+30°＝120°，
∴∠EB′H＝60°，
在Rt△EHB′中，B′H＝B′E＝（8﹣x），EH＝B′H＝（8﹣x），
在Rt△AEH中，∵EH2+AH2＝AE2，
∴[（8﹣x）]2+[4+（8﹣x）]2＝x2，
解得：x＝，
综上所述，满足条件的AE的值为6或.
故答案为：6或 .
【点睛】
此题考查折叠的性质，直角三角形30度角的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，利用分类讨论是思想解答问题.
49．
分析：
过点F作FH⊥AC于H，则∽，设FH为x，由已知条件可得，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等即可得到关于x的方程，解方程求出x的值，利用即可得到DF的长．
【详解】
如解图，过点作于，
∵，
∴，
∴，
∵，点是的中点，
∴，
∵，
∴∽
∴
∴，
设为，则，由勾股定理得，
又∵，
∴，
则，
∵且，
∴∽，
∴，
即，
解得，
∴．
∵
∴
∴
∴
故答案为：
【点睛】
本题考查了相似的判定和性质、以及勾股定理的运用，解题的关键是作垂直，构造相似三角形．
50．
分析：
由三角形中位线定理可知，D1D2是△ABC的中位线，且△BD1D2∽△BCA，其相似比为1:2，故△BD1D2面积是△BAC面积的；△BD2D3与△BD1D2高相等，△BD2D3的底是△BD1D2底的一半，故△BD2D3面积是△BD1D2面积的，以此类推，即可找出规律．
【详解】
解：∵是的中点，是的中点，
∴D1D2是△ABC的中位线，
∴D1D2AC，
∴△BD1D2∽△BCA，其相似比为1:2，
故△BD1D2面积是△BAC面积的，且△ABC面积为1，故△BD1D2面积是，
又△BD2D3与△BD1D2高相等，△BD2D3的底是△BD1D2底的一半，
∴△BD2D3面积是△BD1D2面积的，即△BD2D3面积是，
……
由此可知，△BDnDn+1面积是△BDn-1Dn面积的，
∴的面积是．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理、相似三角形的性质、找规律等知识点，熟练掌握相似三角形的性质及中位线的性质是解决此类题的关键．