沪教版九年级上册数学专题训练专题08解非直角三角形重难点专练(原卷版+解析)

这是一份沪教版九年级上册数学专题训练专题08解非直角三角形重难点专练(原卷版+解析)，共31页。试卷主要包含了单选题，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、单选题
1．已知直角梯形的一腰长为18cm，另一腰长为9cm，则较长的腰与底所成角为（ ）
A．120°和60°B．45°和135°C．30°和150°D．90°
2．如图，一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物P的俯角为α，水平飞行m千米后到达点B处，又测得标志物P的俯角为β，那么此时飞机离地面的高度为( )
千米 B．千米
C．千米 D．千米
第II卷（非选择题）
二、解答题
3．已知：如图，在△中，，，．求的长．
4．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点D与点B分别位于直线AC的两侧，且AD=AC, 联结BD、CD，BD交直线AC于点E.
（1）当∠CAD=90°时，求线段AE的长.
（2）过点A作AH⊥CD，垂足为点H，直线AH交BD于点F，
①当∠CAD<120°时，设，（其中表示△BCE的面积，表示△AEF的面积），求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
②当时，请直接写出线段AE的长.
5．如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点C在轴上，OC=4，直线经过点A，交轴于点D，点E在线段BC上，ED⊥AD.
（1）求点E的坐标；
（2）联结BD，求ct∠BDE的值；
（3）点G在直线BC，且∠EDG=45°，求点G的坐标.
6．一条渔船距对岸4km，以2km/h速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8km，求河水的流速.
7．△ABC中，∠ACB＝90°，tanB＝，AB＝5，点O为边AB上一动点，以O为圆心，OB为半径的圆交射线BC于点E，以A为圆心，OB为半径的圆交射线AC于点G．
(1)如图1，当点E、G分别在边BC、AC上，且CE＝CG时，请判断圆A与圆O的位置关系，并证明你的结论；
(2)当圆O与圆A存在公共弦MN时(如图2)，设OB＝x，MN＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
(3)设圆A与边AB的交点为F，联结OE、EF，当△OEF为以OE为腰的等腰三角形时，求圆O的半径长．
8．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中点，CE=CB，CD=5，.
求：（1）BC的长．
（2）tanE的值．
9．如图，已知中，，，．
（1）求边AC的长；
（2）将沿直线l翻折后点B与点A重合，直线l分别与边AB、BC相交于点D、E，求的值．
10．如图，某小区A栋楼在B栋楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为MN．春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为DM；冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为30°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为CM．已知CD＝44.5m．
(1)求楼间距MN；
(2)若B号楼共30层，每层高均为3m，则点C位于第几层？(参考数据：tan30°≈0.58，sin55.7°≈0.83，cs55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47)
11．如图，已知△ABC中，AB=BC=5，tan∠ABC=．
（1）求边AC的长；
（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．
12．如图，在△ABC中，sinB=，点F在BC上，AB=AF=5，过点F作EF⊥CB交AC于点E，且AE∶EC=3∶5，求BF的长与sinC的值．
三、填空题
13．在△ABC中，AB＝5，BC＝8，∠B＝60°，则S△ABC＝_____（结果保留根号）
14．如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离为________海里．
15．等腰三角形的周长为，腰长为1，则底角等于____________
16．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，它恰好能按图示方式被分割成四个全等的直角梯形，则AB：BC＝_____．
17．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝，CD＝5，那么∠D的度数是_____．
18．如图，在△中，，,.则边的长为___________.
19．如图，飞机于空中A处观测其正前方地面控制点C的俯角为30°，若飞机航向不变，继续向前飞行1000米至B处时，观测到其正前方地面控制点C的俯角为45°，那么该飞机与地面的高度是___米（保留根号）．
20．如图，在一条东西方向笔直的沿湖道路l上有A、B两个游船码头，观光岛屿C在码头A的北偏东60°方向、在码头B的北偏西45°方向，AC＝4千米．那么码头A、B之间的距离等于_____千米．（结果保留根号）
专题08解非直角三角形重难点专练（解析版）
第I卷（选择题）
一、单选题
1．已知直角梯形的一腰长为18cm，另一腰长为9cm，则较长的腰与底所成角为（ ）
A．120°和60°B．45°和135°C．30°和150°D．90°
答案:C
分析：
作梯形的另一高，得到一个矩形和一个直角三角形，根据矩形的对边相等得该高等于9，则直角三角形中，斜边是18，一条直角边是9，所以较长的腰与一底所成的角是30度．根据平行线的性质，得与另一底所成的角是150°．
【详解】
作DE⊥BC，
∵AD∥BC，AB⊥BC
∴四边形ABED为平行四边形
∴AB=DE=9
∴sinC
∴∠C=30°
∴∠ADC=150°
∴较长的腰与底所成的角为30°或150°
故选C．
【点睛】
考查了三角函数，解题关键是作直角梯形的另一高，组成了一个矩形和一个30°的直角三角形．
2．如图，一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物P的俯角为α，水平飞行m千米后到达点B处，又测得标志物P的俯角为β，那么此时飞机离地面的高度为( )
A．千米B．千米C．千米D．千米
答案:A
分析：
根据锐角三角函数的概念进行作答.
【详解】
在P点做一条直线垂直于直线AB且交于点O，由锐角三角函数知，AO=PO，BO=PO，又AB=m=AO-BO= PO- PO= . 所以答案选A.
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数是本题解题关键.
第II卷（非选择题）
二、解答题
3．已知：如图，在△中，，，．求的长．
答案:．
分析：
过A作AD⊥BC于D，在直角△ABD与直角△ACD中，设，BD与CD都可以用含有k的式子表示出来，根据BD＋CD＝BC即可得到一个关于k的方程，即可求得AC．
【详解】
解：过点作于．
在△中，，，
设，则．
在△中，，，
∴，．
∴，．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
【点睛】
本题考查了解非直角三角形，解题的关键是利用辅助线构造直角三角形，将一般三角形的问题转化为直角三角形来解决．
4．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点D与点B分别位于直线AC的两侧，且AD=AC, 联结BD、CD，BD交直线AC于点E.
（1）当∠CAD=90°时，求线段AE的长.
（2）过点A作AH⊥CD，垂足为点H，直线AH交BD于点F，
①当∠CAD<120°时，设，（其中表示△BCE的面积，表示△AEF的面积），求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
②当时，请直接写出线段AE的长.
答案:（1）（2） ()；（3）或
分析：
（1）过点作，垂足为点．，则．根据构建方程求出即可解决问题．
（2）①证明，可得，由此构建关系式即可解决问题．
②分两种情形：当时，当时，分别求解即可解决问题．
【详解】
解：（1）是等边三角形，
，．
，
，
，
，，，
．
过点作，垂足为点．
设，则．
在中，，
，，
，
在中，，
，
解得．
所以线段的长是．
（2）①设，则，．
，，
，
又，
，
，
又，
，
，
由（1）得在中，，，
，
．
②当时，
，则有，
整理得，
解得或（舍弃），
．
当时，同法可得
当时，，
整理得，
解得（舍弃）或1，
．
综上所述：当∠CAD<120°时，； 当120°<∠CAD<180°时，.
【点睛】
本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
5．如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点C在轴上，OC=4，直线经过点A，交轴于点D，点E在线段BC上，ED⊥AD.
（1）求点E的坐标；
（2）联结BD，求ct∠BDE的值；
（3）点G在直线BC，且∠EDG=45°，求点G的坐标.
答案:（1）（4,1）；（2）2；（3）（4，）或（4,6）.
分析：
（1）先求出OA、OD、DC的长度，再证明△AOD≌△DCE，从而得出EC=OD，即可求出E点坐标；（2）作EQ⊥BD，根据等腰三角形的性质可求DQ和EQ的长度，即可求出ct∠BDE；（3）分G在C点下方和B点上方两种情况讨论，借助三角形的相似即可求出相应线段的长，从而求出点的坐标.
【详解】
（1）∵经过点A，点A在y轴上，
∴A(0,3)，即OA=3
当y=0时，，解得x=1
∴D(1,0)，即OD=1
∵矩形OABC中OC=4，
∴OB=OA=3,DC=OC-OD=3
∠AOC=∠BCD=90°.
∴∠OAD+∠ADO=90°
∵ED⊥AD
∴∠EDC+∠ADO=90°
∴∠EDC=∠OAD
又∵OA=CD=3
∴△AOD≌△DCE（ASA）
∴CE=OD=1
∴E（4,1）.
（2）过点E作EQ⊥BD，与BD相交于Q.
∵DC=BC=3，∠BCD=90°，
∴△BCD为等腰直角三角形，
∴BD=，∠DBC=45°
∵EQ⊥BD
∴△EBQ为等腰直角三角形
∵CE=1
∴BE=BC-CE=2
∴BQ=QE=
∴QD=
∴
(3)如图①当G点在C点上方时
∵∠EDG=45°=∠EDC+∠GDC
∠BDC=45°= ∠BDE +∠EDC
∴∠GDC=∠BDE
∴Rt△GCD∽Rt△EQD
∴
即
解得GC=
故G（4，）；
②当G‘点在B点上方时
∵∠DG‘C+∠G‘DB=∠DBC=45°
∠G‘DB+∠BDE=∠EDG‘=45°
∴∠DG‘C=∠BDE
∵∠DBC=∠EDG‘ =45°
∴△DEG‘∽△BED
∴
∵,BE=2,
∴EG‘=5
∴CG‘=6即G‘（4,6）
故G点坐标为（4，）或（4,6）.
【点睛】
本题考查矩形的性质定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形，平面直角坐标系，解直角三角形等，熟练掌握相关定理，并能借助定理求出线段的长度，是解决此题的关键.
6．一条渔船距对岸4km，以2km/h速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8km，求河水的流速.
答案:
解析：
分析：
由题意知，由勾股定理求出水流的距离，然后求解河水的流速.
【详解】
解：如图，设表示船垂直于对岸的速度，表示水流的速度，
则由，就是渔船实际航行的速度，
航行的时间为
在中，，
【点睛】
本题主要考查了向量在物理中的应用，直角三角形以及勾股定理模型的应用，数形结合是解答本题的关键.
7．△ABC中，∠ACB＝90°，tanB＝，AB＝5，点O为边AB上一动点，以O为圆心，OB为半径的圆交射线BC于点E，以A为圆心，OB为半径的圆交射线AC于点G．
(1)如图1，当点E、G分别在边BC、AC上，且CE＝CG时，请判断圆A与圆O的位置关系，并证明你的结论；
(2)当圆O与圆A存在公共弦MN时(如图2)，设OB＝x，MN＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
(3)设圆A与边AB的交点为F，联结OE、EF，当△OEF为以OE为腰的等腰三角形时，求圆O的半径长．
答案:(1)圆A与圆O外切，理由见解析；(2)y＝(＜x＜5)；(3)当△OEF为以OE为腰的等腰三角形时，圆O的半径长为或或5．
分析：
（1）由三角函数得出AC＝3，BC＝4，作OP⊥BE于P，则PB＝PE，OP∥AC，得出＝，设PB＝PE＝x，则CG＝CE＝4﹣2x，得出OB＝x，AG＝AC﹣CG＝2x﹣1，得出方程，得出x＝，OB═，求出OA＝AB﹣OB＝2OB，即可得出结论；
（2）连接OM，由相交两圆的性质得出OA与MN垂直平分，∠ODM＝90°，DM＝MN＝y，AD＝OD＝（5﹣x），由勾股定理得出方程，整理即可；
（3）分三种情况：①当圆O与圆A外切，OE＝OF时，圆O与圆A外切，圆O的半径长OB＝；
②当OE＝FE时，圆O与圆A相交，作EH⊥OF于H，则OF＝OH＝﹣OB，证明△BEH∽△BAC，得出EH＝，在Rt△OEH中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
③当O与A重合时，OE＝OF，OE＝AB＝5；即可得出结论．
【详解】
(1)圆A与圆O外切，理由如下：
∵∠ACB＝90°，tanB＝，AB＝5，∴AC＝3，BC＝4，
作OP⊥BE于P，如图1所示：
则PB＝PE，OP∥AC，
，
设PB＝PE＝x，则CG＝CE＝4﹣2x，
解得：x＝，
∴OB═，
∴OA＝AB﹣OB＝5＝2OB，
∴圆A与圆O外切；
(2)连接OM，如图2所示：
∵圆O与圆A存在公共弦MN，
∴OA与MN垂直平分，
∴∠ODM＝90°，DM＝
由勾股定理得：DM2＝OM2﹣OD2，即
整理得：y2＝3x2+10x﹣25，
∴y＝；
(3)分三种情况：
①当圆O与圆A外切，OE＝OF时，圆O与圆A外切，圆O的半径长OB＝；
②当OE＝FE时，圆O与圆A相交，如图3所示：
作EH⊥OF于H，则OF＝OH＝﹣OB，
∵∠B＝∠B，∠EHB＝90°＝∠C，
∴△BEH∽△BAC，
∴，
∴EH＝，
在Rt△OEH中，由勾股定理得：＝OE2＝OB2，
解得：OB＝；
③当O与A重合时，OE＝OF，F与B重合，OE＝AB＝5；
综上所述，当△OEF为以OE为腰的等腰三角形时，圆O的半径长为或或5．
【点睛】
本题是圆的综合题目，考查了两圆的位置关系、相交两圆的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似是解题的关键．
8．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中点，CE=CB，CD=5，.
求：（1）BC的长．
（2）tanE的值．
答案:（1）BC =8; （2）tanE=3.
解析：
分析：
（1）先利用直角三角形斜边的性质求出AC，再利用即可求出AB。再利用勾股定理即可求出BC的长；（2）作EH⊥BC垂足为，求得△EHC∽△ACB，利用相似三角形的性质求出EH,CH，BH，再利用三角函数的定义即可求解.
【详解】
（1） ∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，是边的中点;
∴,
∵;∴;
∵sin∠ABC=;
由解得;
∵ ∴.
（2）作EH⊥BC垂足为；
∴；
∵D是边AB的中点；
∴BD=CD=AB； ∴∠DCB=∠ABC;
∵∠ACB=90°； ∴∠EHC=∠ACB ； ∴△EHC∽△ACB
∴；
由BC=8，CE=CB,得CE=8，∠CBE=∠CEB，；
∴解得EH=,CH=；;
∴，即tanE=3.
【点睛】
此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质.
9．如图，已知中，，，．
（1）求边AC的长；
（2）将沿直线l翻折后点B与点A重合，直线l分别与边AB、BC相交于点D、E，求的值．
答案:（1）;（2）
分析：
（1）过A作AH⊥BC，垂足为H，根据角所对的直角边等于斜边的一半得到AH=3，根据，求出CH,根据勾股定理即可求出边AC的长.
（2）由翻折得：，AE=BE，，根据，即可求出, AH=3,根据勾股定理即可求出，即可求出的值．
【详解】
（1）过A作AH⊥BC，垂足为H
∵AB=6，，AH⊥BC
∴AH=3
∵
∴CH=2
∴
（2）连接AE,如图所示：
由翻折得：，AE=BE，
∵ ∴ ∴
∴，AH=3
∴
∴
【点睛】
考查解三角形，勾股定理等，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键.
10．如图，某小区A栋楼在B栋楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为MN．春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为DM；冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为30°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为CM．已知CD＝44.5m．
(1)求楼间距MN；
(2)若B号楼共30层，每层高均为3m，则点C位于第几层？(参考数据：tan30°≈0.58，sin55.7°≈0.83，cs55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47)
答案:(1)50；(2)21层
分析：
（1）根据三角函数的性质,设PE=x,在直角三角形PCE中表示出CE,利用CE=DF=MN,在直角三角形PDF中用三角函数即可求出结论,（2）根据上一问求出PE的长,进而求出CM的长,利用每层楼高3米即可解题.
【详解】
解：（1）过点C作CE⊥AN与E, 过点D作DF⊥AN与F,
设AE=x,
∵∠C=30°,
∴CE=1.72x,EF=44.5,
在△PDF中,DF==50,
（2）由（1）知,CE=50,PE=CEtan30°=500.58=29,
∴CM=61,
∵每层高均为3m，
∴点C位于第21层.
【点睛】
本题考查了三角函数的实际应用,中等难度,作辅助线构造直角三角形是解题关键.
11．如图，已知△ABC中，AB=BC=5，tan∠ABC=．
（1）求边AC的长；
（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．
答案:（1）AC=；（2）．
【详解】
分析：（1）过A作AE⊥BC，在直角三角形ABE中，利用锐角三角函数定义求出AC的长即可；
（2）由DF垂直平分BC，求出BF的长，利用锐角三角函数定义求出DF的长，利用勾股定理求出BD的长，进而求出AD的长，即可求出所求．
【详解】（1）如图，过点A作AE⊥BC，
在Rt△ABE中，tan∠ABC=，AB=5，
∴AE=3，BE=4，
∴CE=BC﹣BE=5﹣4=1，
在Rt△AEC中，根据勾股定理得：AC==；
（2）∵DF垂直平分BC，
∴BD=CD，BF=CF=，
∵tan∠DBF=，
∴DF=，
在Rt△BFD中，根据勾股定理得：BD==，
∴AD=5﹣=，
则．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线、根据边角关系熟练应用三角函数进行解答是解题的关键.
12．如图，在△ABC中，sinB=，点F在BC上，AB=AF=5，过点F作EF⊥CB交AC于点E，且AE∶EC=3∶5，求BF的长与sinC的值．
答案:6，
【详解】
分析：过点A作AD⊥CB，垂足为点D，根据解直角三角形的计算解答即可．
详解：过点A作AD⊥CB，垂足为点D，
∵sinB＝，
∴csB＝，
在Rt△ABD中，BD＝AB•csB＝5×＝3，
∵AB=AF AD⊥CB，
∴BF=2BD=6，
∵EF⊥CB AD⊥CB，
∴EF∥AD，
∴，
∵AE：EC=3：5DF=BD=3，
∴CF=5，
∴CD=8，
在Rt△ABD中，AD＝AB•sinB＝5×＝4，
在Rt△ACD中，AC＝＝4，
∴sinC＝．
点睛：此题考查解直角三角形问题，关键是根据解直角三角形的计算解答．
三、填空题
13．在△ABC中，AB＝5，BC＝8，∠B＝60°，则S△ABC＝_____（结果保留根号）
答案:
分析：
先根据AB＝5，∠B＝60°，求出△ABC中BC边上的高，再根据三角形的面积公式代入计算即可．
【详解】
解：∵AB＝5，∠B＝60°，
∴△ABC中，BC边上的高＝sin60°×AB＝×5＝，
∵BC＝8，
∴S△ABC＝×8×＝10；
故答案为：10．
【点睛】
此题考查了解直角三角形，关键是利用解直角三角形求出BC边上的高，用到的知识点是解直角三角形、三角形的面积公式，难度不大．
14．如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离为________海里．
答案:20
分析：
过点A作AC⊥BD，根据方位角及三角函数即可求解．
【详解】
如图，过点A作AC⊥BD，
依题意可得∠ABC=45°
∴△ABC是等腰直角三角形，AB=20(海里)
∴AC=BC=ABsin45°=10(海里)
在Rt△ACD中，∠ADC=90°-60°=30°
∴AD=2AC=20 (海里)
故答案为：20．
【点睛】
此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值．
15．等腰三角形的周长为，腰长为1，则底角等于____________
答案:30°
分析：
作底边上的高，根据底和腰的关系可求得底角的余弦值，可求得底角．
【详解】
如图
∵△ABC的周长为，腰长为1，
∴AB=AC=1,BC=，
∴过A作AD⊥BC于点D,则BD=，
在Rt△ABD中, ，
∴∠B=30°，
故填30°.
【点睛】
本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质.解决此题时需注意①根据已知题意构造图形可以更加直观的观察线段与角之间的关系；②题中边BD，边AB和∠B满足邻边与斜边的关系，故用余弦解直角三角形.
16．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，它恰好能按图示方式被分割成四个全等的直角梯形，则AB：BC＝_____．
答案:
分析：
如图连接EC，设AB＝a，BC＝b则CD＝2b．只要证明∠D＝60°，根据，即可解决问题．
【详解】
解：如图连接EC，设AB＝a，BC＝b则CD＝2b．
由题意四边形ABCE是矩形，
∴CE＝AB＝a，∠A＝∠AEC＝∠CED＝90°，
∵∠BCF＝∠DCF＝∠D，
又∵∠BCF+∠DCF+∠D＝180°，
∴∠D＝60°，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为．
【点睛】
本题考查直角梯形的性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是理解题意，利用角相等这个信息解决问题，发现特殊角是解题的突破口，属于中考常考题型．
17．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝，CD＝5，那么∠D的度数是_____．
答案:60°或120°
解析：
分析：
该题根据题意分为两种情况，首先正确画出图形，根据已知易得直角三角形DEC的直角边和斜边的长，然后利用三角函数，即可求解.
【详解】
①如图1，
过D作DE⊥BC于E，则∠DEC＝∠DEB＝90°，
∵AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠B＝90°，
∴四边形ABED是矩形，
∴∠ADE＝90°，AB＝DE＝，
∵CD＝5，
∴sinC＝＝，
∴∠C＝60°，
∴∠EDC＝30°，
∴∠ADC＝90°+30°＝120°；
②如图2，
此时∠D＝60°，
即∠D的度数是60°或120°，
故答案为：60°或120°．
【点睛】
该题重点考查了三角函数的相关知识，解决该题的关键一是：能根据题意画出两种情况，二是：把该题转化为三角函数问题，从而即可求解.
18．如图，在△中，，,.则边的长为___________.
答案:
分析：
过A作AD⊥BC于D点，根据，可求得CD，在Rt△ACD中由勾股定理可求得AD，再利用Rt△ADB中，可知AB=2AD，即可解题
【详解】
过A作AD⊥BC于D点，
∵，AC=2
∴CD=
在Rt△ACD中由勾股定理得：AD=
又∵∠B=30°
∴AB=2AD=.
【点睛】
本题考查了锐角三角函数，勾股定理求线段长度，30°所对的直角边是斜边的一半，灵活联合运用即可解题.
19．如图，飞机于空中A处观测其正前方地面控制点C的俯角为30°，若飞机航向不变，继续向前飞行1000米至B处时，观测到其正前方地面控制点C的俯角为45°，那么该飞机与地面的高度是___米（保留根号）．
答案:
解析：
分析：
作CD⊥AD，根据解直角三角形的性质即可求解.
【详解】
作CD⊥AD，设该飞机与地面的高度CD=a,
∵∠CBD=45°，∴BD=CD=a,
∴AB=1000，∴AD=1000+a，
∵tan30°=,即
求得a=
故该飞机与地面的高度为m

【点睛】
此题主要考查解直角三角形的应用，熟知三角函数的定义.
20．如图，在一条东西方向笔直的沿湖道路l上有A、B两个游船码头，观光岛屿C在码头A的北偏东60°方向、在码头B的北偏西45°方向，AC＝4千米．那么码头A、B之间的距离等于_____千米．（结果保留根号）
答案:（23+2）
解析：
分析：
作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中利用三角函数求得CD、AD的长，然后在Rt△BCD中求得BD的长，即可得到码头A、B之间的距离．
【详解】
如图，作CD⊥AB于点D．
∵在Rt△ACD中，∠CAD＝90°﹣60°＝30°，
∴CD＝AC•sin∠CAD＝4×12＝2（km），AD＝AC•cs30°＝4×32＝23（km），
∵Rt△BCD中，∠CDB＝90°，∠CBD＝45°，
∴BD＝CD＝2（km），
∴AB＝AD+BD＝23+2（km），
故答案是：（23+2）．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，作出辅助线，转化为直角三角形的计算，求得CD的长是关键．