沪教版九年级上册数学专题训练专题04二次函数系数、对称和最值重难点专练(原卷版+解析)

这是一份沪教版九年级上册数学专题训练专题04二次函数系数、对称和最值重难点专练(原卷版+解析)，共42页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．(2023·上海九年级一模）如图所示是二次函数图像的一部分，那么下列说法中不正确的是（ ）．
A．B．抛物线的对称轴为直线
C．D．点和在拋物线上，则
2．(2023·上海九年级专题练习）己知二次函数的图象如图所示，那么a、c满足（ ）
A．a＞0，c＞0B．a＞0，c＜0C．a＜0，c＞0D．a＜0，c＜0
3．(2023·上海市曹杨二中附属江桥实验中学九年级期中）如果二次函数的图像如图所示，那么（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·上海九年级一模）如果抛物线开口向下，那么的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·上海市民办新北郊初级中学九年级期中）在同一直角坐标系中，函数和的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·上海民办华二浦东实验学校九年级期中）如果二次函数的图像如图所示，那么下列判断正确的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
7．(2023·上海九年级专题练习）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象如图所示，则下列结论：
①b2﹣4ac＞0；
②2a＝b；
③t（at+b）≤a﹣b（t为任意实数）；
④3b+2c＜0；
⑤点（﹣，y1），（，y2），（，y3）是该抛物线上的点，且y1＜y3＜y2，
其中正确结论的个数是（ ）
A．5B．4C．3D．2
8．(2023·上海九年级月考）已知点，，是抛物线上的三点，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．(2023·上海市民办新竹园中学九年级月考）已知抛物线经过点、，那么此抛物线的对称轴是___________．
10．(2023·上海九年级专题练习）如果一条抛物线经过点A（2，5），B（﹣3，5），那么它的对称轴是直线_____．
11．(2023·上海九年级一模）如果抛物线经过点和点，那么这条抛物线的对称轴是直线___________．
12．(2023·上海）已知二次函数（a是常数，a≠0），当自变量x分别取-6、-4时，对应的函数值分别为y1、y2，那么y1、y2的大小关系是：y1__ y2（填“>”、“”、“
分析：
先求出抛物线的对称轴为，由，则当，y随x的增大而减小，即可判断两个函数值的大小.
【详解】
解：∵二次函数（a是常数，a≠0），
∴抛物线的对称轴为：，
∵，
∴当，y随x的增大而减小，
∵，
∴；
故答案为：.
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质进行解题.
13．若点A（﹣1，7）、B（5，7）、C（﹣2，﹣3）、D（k，﹣3）在同一条抛物线上，则k的值等于_____．
【来源】【区级联考】上海市长宁区2019届九年级上学期期末（一模）数学试题
答案:6．
解析：
分析：
由抛物线的对称性解答即可．
【详解】
∵抛物线经过A（﹣1，7）、B（5，7），∴点A、B为抛物线上的对称点，∴抛物线对称轴为直线x==2．
∵C（﹣2，﹣3）、D（k，﹣3）为抛物线上的对称点，即C（﹣2，﹣3）与D（k，﹣3）关于直线x=2对称，∴ ，解得：k=6．
故答案为6．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质．熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．
14．如果抛物线经过点 A2,5 和点 B 4,5 ，那么这条抛物线的对称轴是直线_____．
【来源】专题08 函数之填空题《备战2020年中考真题分类汇编》（上海）
答案:x  1
解析：
分析：
根据抛物线对称轴的性质分析进行计算.
【详解】
抛物线经过点 A2,5 和点 B 4,5，可得出这两点为抛物线上关于对称轴对称的两点，所以抛物线对称轴为x=（2+（-4））÷2=-1，
故对称轴直线为x  1.
【点睛】
本题考查的是抛物线对称轴的性质，熟练掌握性质是本题的解题关键.
15．如果点A（2，﹣4）与点B（6，﹣4）在抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上，那么该抛物线的对称轴为直线_____．
【来源】2018年上海市虹口区中考数学一模试卷
答案:x=4
解析：
根据函数值相等的点到抛物线对称轴的距离相等，可由点A（2，-4）和点B（6，-4）都在抛物线y=ax²+bx+c的图象上，得到其对称轴为x==2．故答案为x=4.
16．如果抛物线经过点和，那么该抛物线的对称轴是直线________．
【来源】上海市虹口区2020-2021学年九年级上学期一模数学试题
答案:
分析：
根据抛物线的对称性得对称轴为直线．
【详解】
∵抛物线经过点和，
∴该抛物线的对称轴是直线，
故答案为：．
【点睛】
此题考查抛物线的对称性，掌握抛物线的性质是解题的关键．
17．二次函数（）中，函数与自变量的部分对应值如下表，则的值为 _________．
【来源】第三章函数与分析（4）函数的图像和性质-备战2021年中考数学考点一遍过（上海专用）
答案:
分析：
由二次函数上的图像上的两点：求解二次函数图像的对称轴，再根据关于对称，从而可得答案．
【详解】
解：由二次函数上的图像上有两点：
由坐标特点可得：关于对称轴对称，
所以二次函数图像的对称轴为：
所以：关于对称，
所以：
故答案为：
【点睛】
本题考查的是二次函数的图像的性质，二次函数的表示法，掌握以上知识是解题的关键．
18．方程的两根为-5和3，那么抛物线的对称轴是直线________．
【来源】专题18 二次函数（一）（考点专练）-备战2021年中考数学考点微专题（上海专用）
答案:
分析：
根据题意，解得抛物线与x轴的两个交点坐标，由抛物线的对称性解题即可．
【详解】
由题意可知，时，y的值都等于0，
故抛物线与x轴的两个交点为，
由抛物线的对称性可知
图像的对称轴为
故答案为：
【点睛】
本题考查二次函数的性质、抛物线与坐标轴的交点等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
19．二次函数图像的顶点坐标是__________________．
【来源】上海市静安区实验中学九年级上学期沪教版五四制第二十六章26.3二次函数的图像
答案:
分析：
由二次函数的交点式：可得对称轴为： 从而可得函数的顶点坐标．
【详解】
解：由得：
图像与x轴的交点是（-2，0）（4，0），
对称轴是直线
当x=1时，，
所以：函数的顶点坐标为：
故答案为：
【点睛】
本题考查的是二次函数的顶点坐标，掌握求解二次函数的顶点坐标是解题的关键．
20．如图，正方形的边长为1，点E为边上的一动点（不与B，C重合），过点E作，交于F．则线段长度的最大值为__________．
【来源】专题14 动态几何（考点专练）-备战2021年中考数学考点微专题（上海专用）
答案:
分析：
由三角形相似，得出比例关系，构建二次函数，把函数式变换成顶点式，根据抛物线的性质得出答案．
【详解】
由题意知，是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
设，正方形的边长为1，
则，
∴，
∴．
∴，
∴可知抛物线的顶点为开口向下，
∴时，函数有最大值，最大值为：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，结合了三角形相似的性质，解题关键是通过相似三角形的性质列出二次函数解析式．
21．抛物线的最低点坐标是__________．
【来源】上海市民办华二浦东实验中学2020-2021学年九年级上学期期中数学试题
答案:
分析：
直接用顶点公式求顶点坐标即为最低点坐标．
【详解】
∵ 抛物线中，
∴ 抛物线开口向上，顶点为最低点
∵ ，
∴ 顶点坐标为：
∴ 最低点坐标为：
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了抛物线的顶点坐标，对称轴的方法，是基础知识要熟练掌握．
22．二次函数图像上的最低点的横坐标为_________________．
【来源】上海市青浦区2020-2021学年初三上学期数学一模
答案:
分析：
将二次函数用顶点式表示出来，再根据函数图像开口向上，即可求得最低点的横坐标．
【详解】
解：二次函数可化为，因为二次项系数为1，大于零，所以函数图像开口向上，所以最低点为顶点，横坐标为，故答案为．
【点睛】
本题考查函数的最值问题，用配方法将二次函数的一般式转化为顶点式是解决本题的关键．
23．关于的代数式有最大值2，则______，取得最大值时______．
【来源】上海同济大学第一附属中学2019--2020学年八年级上学期12月月考数学题
答案:-2 2
分析：
先对原代数式配方、然后利用二次函数求最值的方法列式求出m和x即可．
【详解】
解：∵
∴当x-2=0，即x=2时，代数式有最大值4+m
∵关于的代数式有最大值2
∴4+m=2，即m=-2．
故答案为-2、2．
【点睛】
本题考查了运用二次函数求最值，掌握根据二次函数求最值的方法成为解答本题的关键．
24．在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，0)，点B的坐标为(m，5﹣m)，当AB的长最小时，m的值为_____
【来源】2020年江苏省徐州市铜山区等六区县（市）中考数学一模试题
答案:3
分析：
先根据两点间的距离公式求出AB2＝2m2﹣12m+26，利用配方法得到AB2＝2（m﹣3）2+8，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】
解：∵点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（m，5﹣m），
∴AB2＝（m﹣1）2+（5﹣m﹣0）2
＝m2﹣2m+1+25﹣10m+m2
＝2m2﹣12m+26
＝2（m﹣3）2+8，
∵2＞0，
∴当m＝3时，AB2最小，
∵当AB2最小时，AB的长最小．
故答案为：3．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数求最值，利用配方法求最值是解题的关键．
25．已知实数、满足，则的最大值为______
【来源】沪教版（上海）八年级上17.3一元二次方程根的判别式
答案:
分析：
先把转化成，再代入，利用二次函数的性质求值．
【详解】
解：∵，
∴，
则
即：
将化简后得：
∴当时，有最大值是；
故答案为．
【点睛】
本题考查了因式的转换和完全平方公式，懂得将y转化为：是解题的关键
26．如果抛物线y＝（3﹣m）x2﹣3有最高点，那么m的取值范围是_____．
【来源】【区级联考】上海市长宁区2019届九年级上学期期末（一模）数学试题
答案:m＞3
分析：
根据二次函数y＝（3﹣m）x2﹣3的顶点是此抛物线的最高点，得出抛物线开口向下，即3﹣m＜0，即可得出答案．
【详解】
∵抛物线y＝（3﹣m）x2﹣3的顶点是此抛物线的最高点，
∴抛物线开口向下，
∴3﹣m＜0，
∴m＞3，
故答案为m＞3.
【点睛】
此题主要考查了利用二次函数顶点坐标位置确定图象开口方向，此题型是中考中考查重点，同学们应熟练掌握．
27．沿着轴正方向看，如果抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，那么的取值范围是__________．
【来源】上海市普陀区2020-2021学年九年级上学期质量调研数学试题
答案:
分析：
利用二次函数的性质得到抛物线开口向上，则，然后解不等式即可．
【详解】
∵抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，
∴抛物线开口向上，
∴，解得．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口．
28．如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是_________ ．
【来源】第三章 函数与分析（4）函数的图像和性质-备战2021年中考数学考点 核心考点清单（上海专用）
答案:
分析：
根据抛物线的开口向下，得到，从而求得的取值范围．
【详解】
∵抛物线的开口向下，
∴，
解得：，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质和定义，解题的关键是明确二次函数的开口向下，则二次项系数就小于0．
29．二次函数+k的大致图像如图，那么a_____0，m____0（填“＞”或“＜”）．
【来源】上海市静安区实验中学九年级上学期沪教版五四制第二十六章26.2特殊的二次函数图像
答案:＞ ＜
分析：
根据抛物线开口向上及顶点在第四象限，得出a>0，m＜0．
【详解】
解：∵抛物线的开口向上，∴a>0，
∵抛物线的顶点（-m，k）在第四象限，
∴-m＞0，
∴m＜0，
故答案是：>，