沪教版九年级上册数学专题训练专题01锐角三角函数之正弦重难点专练(原卷版+解析)

这是一份沪教版九年级上册数学专题训练专题01锐角三角函数之正弦重难点专练(原卷版+解析)，共65页。试卷主要包含了单选题，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、单选题
1．(2023·上海崇明区·九年级一模）在中，，如果，，那么的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·上海九年级专题练习）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin∠A的值为（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·上海市川沙中学南校九年级期中）在中，分别是的对边，如果，那么下列等式中正确的是( )
A．B．C．D．
第II卷（非选择题）
二、解答题
4．(2023·上海青浦区·九年级二模）已知：如图，在正方形ABCD中，联结BD，E是边AB上一点，BF⊥DE，垂足为点F，且EF•BD＝BE•BF．
（1）求证：∠ADE＝∠BDE；
（2）延长DF与CB的延长线交于点G，求证：BG＝BC＋AE．
5．(2023·上海九年级专题练习）已知∠MAN是锐角，点B、C在边AM上，点D在边AN上，∠EBD=∠MAN，且CE∥BD，sin∠MAN=， AB=5，AC=9．
（1）如图1，当CE与边AN相交于点F时，求证：DF·CE=BC·BE；
（2）当点E在边AN上时，求AD的长；
（3）当点E在∠MAN外部时，设AD=x，△BCE的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域．
6．(2023·上海九年级专题练习）如图，在△中，，，是边的中点，于.
（1）试求的值；
（2）求证：；
（3）若是边上的点，且使△为等腰三角形，请求的长.
7．(2023·上海）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，A（﹣2，0）
（1）直接写出：a＝
（2）如图1，点P在第一象限内抛物线上的一点，过点P作x轴的垂线交CB的延长线于点D，交AC的延长线于点Q，当△QAP与△QCD相似时，求P点的坐标；
（3）如图2，抛物线的对称轴交x轴于点M，N为第二象限内抛物线上的一点，直线NA，NB分别交y轴于D，E两点，分别交抛物线的对称轴于F，G两点．
①求tan∠FAM﹣tan∠GAM的值；
②若，求N点的坐标．
8．(2023·上海九年级专题练习）已知：如图，在半径为2的扇形中，°，点C在半径OB上，AC的垂直平分线交OA于点D，交弧AB于点E，联结．
（1）若C是半径OB中点，求的正弦值；
（2）若E是弧AB的中点，求证：；
（3）联结CE，当△DCE是以CD为腰的等腰三角形时，求CD的长．
9．(2023·上海市静安区实验中学八年级期中）如图，直线图像与y轴、x轴分别交于A、B两点
（1）求点A、B坐标和∠BAO度数
（2）点C、D分别是线段OA、AB上一动点（不与端点重合），且CD=DA，设线段OC的长度为x ,,请求出y关于x的函数关系式以及定义域
（3）点C、D分别是射线OA、射线BA上一动点，且CD=DA，当ΔODB为等腰三角形时，求C的坐标（第（3）小题直接写出分类情况和答案，不用过程）
10．(2023·上海市民办新竹园中学）如图①，点P为∠MON的平分线上一点，以P点为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足OA·OB＝OP2，我们就把∠APB叫作∠MON的智慧角．
(1)如图②，已知∠MON＝90°，点P为∠MON的平分线上一点，以点P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB＝135°，求证：∠APB是∠MON的智慧角；
(2)如图①，已知∠MON＝α(0°＜α＜90°)，OP＝2，若∠APB是∠MON的智慧角，连接AB，用含α的式子分别表示∠APB的度数和△AOB的面积．
11．（2017·上海嘉定区·九年级一模）如图在平面直角坐标系中，已知点的坐标为（,），点的坐标为（，），点的坐标为（,）；某二次函数的图像经过点、点与点.
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）假如点在该函数图像的对称轴上，且△ACQ是等腰三角形，直接写出点的坐标；
（3）如果第一象限内的点在（1）中求出的二次函数的图像上，且，求的正弦值.
12．(2023·上海奉贤区·九年级三模）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C．
（1）请完成如下操作：
①以点O为原点、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；
②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D，并连接AD、CD．
（2）请在（1）的基础上，完成下列填空：
①写出点的坐标：C 、D ；
②⊙D的半径＝ ；
（3）求∠ACO的正弦值．
13．(2023·上海崇明区·九年级二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝5，BC＝8，sinB＝．
（1）求边AC的长；
（2）求⊙O的半径长．
14．(2023·上海九年级专题练习）如图，在菱形中，于，且∶3∶2．
（1）试求的值；
（2）若菱形的面积为100，试求其两条对角线与的长．
15．(2023·上海九年级专题练习）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，把△沿着过点的某条直线折叠，使点落在轴负半轴上的点处，折痕与轴交于点．
（1）试求点、、的坐标；
（2）求的值．
16．(2023·上海九年级专题练习）如图，已知的半径为，在中，、都是圆的半径，且．点在钱段的延长钱上，且．
（1）求线段的长；
（2）求的正弦值．
17．(2023·上海市育才初级中学九年级月考）已知：如图所示，中，CD⊥AB，，BD=1，AD=4，求AC的长．
18．(2023·上海浦东新区·九年级二模）已知：如图，在中，，，，点为斜边的中点，以为圆心，5为半径的圆与相交于、两点，连结、．
（1）求的长；
（2）求的正弦值．
三、填空题
19．(2023·上海金山区·九年级一模）在中，，，，那么______．
20．(2023·上海徐汇区·）如图，已知是边长为的等边三角形，正方形的顶点分别在边 上，点在边上，那么的长是_____．
21．(2023·上海九年级一模）如图，、、是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长相同，那么的正弦值为_________________．
22．(2023·上海松江区·九年级一模）如图，在边长为1个单位的方格纸中，的顶点在小正方形顶点位置，那么的正弦值为_____．
23．(2023·上海交大附中九年级期中）如图，已知在梯形中，平行于，，延长到点，使，垂直于，垂足为，且平分，，______．
24．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）在Rt△ABC中，∠C=60°，斜边BC=14cm，则BC边上的高为__________cm；
答案:
25．(2023·上海市位育初级中学九年级期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，如果tan∠A=，那么cs∠B=_____．
专题01 锐角三角函数之正弦重难点专练（解析版）
第I卷（选择题）
一、单选题
1．(2023·上海崇明区·九年级一模）在中，，如果，，那么的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
答案:A
分析：
利用勾股定理可求出AB的长，根据正弦函数的定义即可得答案．
【详解】
∵，，，
∴AB==10，
∴sinA==，
故选：A．
【点睛】
本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握各三角函数的定义，属于中考常考题型．
2．(2023·上海九年级专题练习）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin∠A的值为（ ）
A．B．C．D．
答案:C
分析：
连接格点CD，设1个网格的边长为x，根据格点的长度求出BD，CD边的长度，根据勾股定理证明∠BDC＝∠ADC＝90°，再计算sin∠A= 计算即可．
【详解】
解：如图，连接格点CD，设1个网格的边长为x，
则 ，
∴
∴∠BDC＝∠ADC＝90°，
∴sin∠A=
又
∴sin∠A= ＝
故选：C
【点睛】
本题考查了网格中解直角三角形、勾股定理及其逆定理、锐角的三角函数，根据网格特点构造直角三角形是关键．
3．(2023·上海市川沙中学南校九年级期中）在中，分别是的对边，如果，那么下列等式中正确的是( )
A．B．C．D．
答案:D
分析：
分别算出∠A的各个三角函数值即可得到正确选项．
【详解】
解：由题意可得：，
∴
∴正确答案应该是D，
故选D ．
【点睛】
本题考查锐角三角函数的定义，正确理解锐角三角函数的定义是解题关键．
第II卷（非选择题）
二、解答题
4．(2023·上海青浦区·九年级二模）已知：如图，在正方形ABCD中，联结BD，E是边AB上一点，BF⊥DE，垂足为点F，且EF•BD＝BE•BF．
（1）求证：∠ADE＝∠BDE；
（2）延长DF与CB的延长线交于点G，求证：BG＝BC＋AE．
答案:（1）见解析；（2）见解析
分析：
（1）先根据三角函数定义得出sin∠EBF＝，sin∠BDE＝，再由EF•BD＝BE•BF，可得＝，即可得∠EBF＝∠BDE，再根据正方形性质即可证明结论；
（2）延长BF交DA的延长线于H，先证明△DFH≌△DFB，再结合正方形性质证明△GBF≌△DHF，可得BG＝DH＝AD＋AH＝BC＋AH，再证明△DAE≌△BAH，可得AH＝AE，结论得证．
【详解】
（1）∵BF⊥DE，
∴∠BFD＝90°，
在Rt△BEF中，sin∠EBF＝，
在Rt△DBF中，sin∠BDE＝，
∵EF•BD＝BE•BF，
∴＝，
∴sin∠EBF＝sin∠BDE，
∴∠EBF＝∠BDE，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DAE＝90°＝∠BFD，
∴∠EBF＋∠BEF＝∠ADE＋∠AED＝90°，
∵∠BEF＝∠AED，
∴∠EBF＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠BDE；
（2）如图，延长BF交DA的延长线于H，
∵∠ADE＝∠BDE，∠DFH＝∠DFB＝90°，DF＝DF，
∴△DFH≌△DFB（ASA），
∴HF＝BF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD∥BC，AD＝AB＝BC，
∴∠G＝∠ADE，∠GBF＝∠H，
在△GBF和△DHF中，
，
∴△GBF≌△DHF（AAS），
∴BG＝DH＝AD＋AH＝BC＋AH，
在△DAE和△BAH中，
，
∴△DAE≌△BAH（ASA），
∴AH＝AE，
∴BG＝BC＋AE．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、三角函数的定义，关键是添加辅助线构造全等三角形．
5．(2023·上海九年级专题练习）已知∠MAN是锐角，点B、C在边AM上，点D在边AN上，∠EBD=∠MAN，且CE∥BD，sin∠MAN=， AB=5，AC=9．
（1）如图1，当CE与边AN相交于点F时，求证：DF·CE=BC·BE；
（2）当点E在边AN上时，求AD的长；
（3）当点E在∠MAN外部时，设AD=x，△BCE的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域．
答案:（1）证明见解析；（2）AD=；（3）．定义域为：．
分析：
（1）根据CE∥BD，得出∠CEB=∠DBE，∠DBA=∠BCE结合题干证明出△ABD∽△ECB，进而得到，再等量代换即可得到DF·CE=BC·BE．
（2）过点B作BH⊥AN，垂足为H．根据条件先证明出△CEB∽△CAE，得到，代入求出CE，再根据求出BD，利用三角函数求出BH，根据勾股定理即可求出AD．
（3）过点B作BH⊥AN，垂足为H．BH=4，AH=3，DH=根据△ECB∽△ABD得到，代入化简为即可求解．
【详解】
解：（1）∵CE∥BD，
∴∠CEB=∠DBE，∠DBA=∠BCE．
∵∠A=∠DBE，
∴∠A=∠BEC．
∴△ABD∽△ECB，
∴．
∵，
∴，
∴DF·CE=BC·BE．
（2）过点B作BH⊥AN，垂足为H．
∵CE∥BD，
∴∠CEB=∠EBD=∠A，
又∵∠BCE=∠ECA，
∴△CEB∽△CAE，
∴，
∴．
∵AB=5，AC=9，
∴BC=4，
∴，
∴CE=6．
∵，
∴．
在Rt△ABH中，，
∴AH=．
DH=．
AD=．
（3）过点B作BH⊥AN，垂足为H．BH=4，AH=3，DH=．
．
∵△ECB∽△ABD，
∴．
∵，
∴，
∴．
定义域为．
【点睛】
此题属于平面几何的综合应用，主要利用三角形相似，找到相似比，根据相似比求值，计算量较大，有一定难度．
6．(2023·上海九年级专题练习）如图，在△中，，，是边的中点，于.
（1）试求的值；
（2）求证：；
（3）若是边上的点，且使△为等腰三角形，请求的长.
答案:（1）；（2）详见解析；（3）的长为或或
分析：
（1）先根据勾股定理求出MB的长度，然后通过等量代换得出∠MCH=∠MBC，进而利用求解即可；
（2）通过，得出，进而有，从而可证△AMH∽△BMA，则结论可证；
（3）当△为等腰三角形时，分三个情况讨论：①当时，过点作于点E，利用求解；②当时，可直接得的长；③当时，过点作于点Q，利用求解．
【详解】
（1）在△MBC中，∠MCB=，BC=2，
又∵M是边AC的中点，
∴AM=MC=AC=1，
∴MB=．
又CH⊥BM于H，则∠MHC=，
，
∴∠MCH=∠MBC，
∴；
（2）∵，
∴，
∴AM2=MC2=，
即，
又∵∠AMH=∠BMA，
∴△AMH∽△BMA，
∴∠ABM=∠CAH；
（3）在△MHC中，．
，
．
∵ ,
∴，
∴．
∵，
∴．
当△为等腰三角形时，分以下三个情况讨论：
①当时,过点作于点E，
∵， ，
∴，
∴；
∴，
即，
∴；
②当时,
；
③当时,过点作于点Q，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
∴；
综上所述，当△为等腰三角形时，的长为或或．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的定义，相似三角形的判定及性质，锐角三角函数的应用，掌握等腰三角形的定义，相似三角形的判定及性质，锐角三角函数的定义并分情况讨论是解题的关键．
7．(2023·上海）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，A（﹣2，0）
（1）直接写出：a＝
（2）如图1，点P在第一象限内抛物线上的一点，过点P作x轴的垂线交CB的延长线于点D，交AC的延长线于点Q，当△QAP与△QCD相似时，求P点的坐标；
（3）如图2，抛物线的对称轴交x轴于点M，N为第二象限内抛物线上的一点，直线NA，NB分别交y轴于D，E两点，分别交抛物线的对称轴于F，G两点．
①求tan∠FAM﹣tan∠GAM的值；
②若，求N点的坐标．
答案:（1）；
（2）点P的坐标为（6，4）或（，）；
（3）①tan∠FAM﹣tan∠GAM＝；②点N的坐标为（﹣4，4）．
分析：
（1）将点A代入抛物线即可．
（2）相似分两种情况，一种是AP∥CD，根据两直线平行k相等，再代入点A就可以求出此时直线AP的解析式，和抛物线联立就可以求出点P的坐标；另一种根据相似三角形对应边成比例，列方程求解即可．
（3）①设点N的坐标，表示线段长度，列比值算出数值即可．②转换题干中的比值，把斜线的比值转换为水平线的比值，表示线段长度，列式求解即可．
【详解】
解：（1）将A（﹣2，0）代入抛物线中，得
0＝4a+4a﹣2，解得．
故答案为．
（2）抛物线的解析式为，
令y＝0，解得x1＝﹣2，x2＝4，
∴B（4，0），
令x＝0，y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，代入点A、C，得：
解得
∴y＝﹣x﹣2，
设直线BC的解析式为y＝k1 x+b1，代入点点B、C，得：
解得
∴y＝x﹣2，
设点P的横坐标为m，则纵坐标为，
则点D（m， m﹣2），Q（m，﹣m﹣2），
PQ＝，
DQ＝，
AQ＝，
CQ＝，
①当AP∥CD时，△APQ∽△CDQ，
设直线AP的解析式为y＝x+b3，
代入点A，0＝×（﹣2）+b3，解得b3＝1，
∴y＝x+1，
令x+1＝x2﹣﹣2，
解得x1＝﹣2，x2＝6，
当x＝6时，y＝4，
∴P（6，4）．
②当∠APQ＝∠QCD时，△APQ∽△DCQ，
∴，
∴＝
解得m1＝﹣2（舍），m2＝，
当x＝时，y＝，
∴P（，）．
综上所述，点P的坐标为（6，4）或（，）．
（3）①过点N作NK垂直x轴于点K，
设点N的坐标为（n，n2﹣n﹣2），
则NK＝n2﹣n﹣2，AK＝﹣2﹣n，BK＝4﹣n，
tan∠FAM＝tan∠NAK=＝，
tan∠GAM＝tan∠GBK=＝，
∴tan∠FAM﹣tan∠GAM＝-=．
②∵，△NED∽△NGF，
∴，
过点N向抛物线的对称轴作垂线，分别交y轴和对称轴于点J、H，
∴△NJE∽△NHG，
∴，
NJ＝﹣n，NH＝1﹣n，
∴4（1﹣n）＝﹣5n，
解得n＝﹣4，
当x＝﹣4时，y＝4，
∴点N的坐标为（﹣4，4）．
【点睛】
本题为二次函数综合题，比较考查逻辑分析能力以及计算能力，需对知识熟练掌握.
8．(2023·上海九年级专题练习）已知：如图，在半径为2的扇形中，°，点C在半径OB上，AC的垂直平分线交OA于点D，交弧AB于点E，联结．
（1）若C是半径OB中点，求的正弦值；
（2）若E是弧AB的中点，求证：；
（3）联结CE，当△DCE是以CD为腰的等腰三角形时，求CD的长．
答案:（1）；（2）详见解析；（2）当是以CD为腰的等腰三角形时，CD的长为2或．
分析：
（1）先求出OCOB=1，设OD=x，得出CD=AD=OA﹣OD=2﹣x，根据勾股定理得：（2﹣x）2﹣x2=1求出x，即可得出结论；
（2）先判断出，进而得出∠CBE=∠BCE，再判断出△OBE∽△EBC，即可得出结论；
（3）分两种情况：①当CD=CE时，判断出四边形ADCE是菱形，得出∠OCE=90°．在Rt△OCE中，OC2=OE2﹣CE2=4﹣a2．在Rt△COD中，OC2=CD2﹣OD2=a2﹣（2﹣a）2，建立方程求解即可；
②当CD=DE时，判断出∠DAE=∠DEA，再判断出∠OAE=OEA，进而得出∠DEA=∠OEA，即：点D和点O重合，即可得出结论．
【详解】
（1）∵C是半径OB中点，∴OCOB=1．
∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=CD．设OD=x，∴CD=AD=OA﹣OD=2﹣x．
在Rt△OCD中，根据勾股定理得：（2﹣x）2﹣x2=1，∴x，∴CD，∴sin∠OCD；
（2）如图1，连接AE，CE．
∵DE是AC垂直平分线，∴AE=CE．
∵E是弧AB的中点，∴，∴AE=BE，∴BE=CE，∴∠CBE=∠BCE．
连接OE，∴OE=OB，∴∠OBE=∠OEB，∴∠CBE=∠BCE=∠OEB．
∵∠B=∠B，∴△OBE∽△EBC，∴，∴BE2=BO•BC；
（3）△DCE是以CD为腰的等腰三角形，分两种情况讨论：
①当CD=CE时．
∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=CD，AE=CE，∴AD=CD=CE=AE，∴四边形ADCE是菱形，∴CE∥AD，∴∠OCE=90°，设菱形的边长为a，∴OD=OA﹣AD=2﹣a．在Rt△OCE中，OC2=OE2﹣CE2=4﹣a2．在Rt△COD中，OC2=CD2﹣OD2=a2﹣（2﹣a）2，∴4﹣a2=a2﹣（2﹣a）2，∴a=﹣22（舍）或a=；∴CD=；
②当CD=DE时．
∵DE是AC垂直平分线，∴AD=CD，∴AD=DE，∴∠DAE=∠DEA．
连接OE，∴OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，∴∠DEA=∠OEA，∴点D和点O重合，此时，点C和点B重合，∴CD=2．
综上所述：当△DCE是以CD为腰的等腰三角形时，CD的长为2或．
【点睛】
本题是圆的综合题，主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，菱形的判定和性质，锐角三角函数，作出辅助线是解答本题的关键．
9．(2023·上海市静安区实验中学八年级期中）如图，直线图像与y轴、x轴分别交于A、B两点
（1）求点A、B坐标和∠BAO度数
（2）点C、D分别是线段OA、AB上一动点（不与端点重合），且CD=DA，设线段OC的长度为x ,,请求出y关于x的函数关系式以及定义域
（3）点C、D分别是射线OA、射线BA上一动点，且CD=DA，当ΔODB为等腰三角形时，求C的坐标（第（3）小题直接写出分类情况和答案，不用过程）
答案:（1）A(0,3),B(),60°（2）（0＜x＜3）（3）（0，0），，（0，6）
分析：
(1)对于一次函数解析式，分别令x与y为0求出对应的y与x的值，得到A、B两点坐标，然后再根据三角函数求出∠BAO的度数即可；
(2)先证明△ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得AD=CD=AC=3-x，作DH⊥y轴于点H，用含x的式子表示出DH的长，然后根据三角形面积公式进行求解即可；
(3)当△ODB为等腰三角形时，分三种情况讨论：当OD=DB时；当BD=BO时；当OD=OB时，利用等边三角形的性质分别求出C点坐标即可.
【详解】
(1)一次函数，
令，则有，解得：，，
令，得， ，
，
在 ， ，
∵sin∠ABO=，
，
；
(2)过点D作DH⊥y轴，垂足为点H，
，
，
，
∴ΔADC是等边三角形，
，，
== ，
∵S△OCD=，
；
(3)由(1)知，在Rt△OAB中，OA=3，OB=3，∠BAO=60°，AB=6，∠ABO=30°，
当△ODB为等腰三角形时，分三种情况进行讨论：
①如图1，当OD=DB时，D在OB的垂直平分线上，则D为AB的中点，AD=AB=3，
∵CD=DA，∠CAD=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AC=AD=3，
∴C与原点重合，
∴C点坐标为(0，0)；
②如图2，当BD=BO=3时，AD=AB-BD=6-3，
∵CD=DA，∠CAD=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AC=AD=6-3，
∴OC=OA-AC=3-(6-3)=3-3，
∴C点坐标为(0，3-3)；
③如图3，当OD=OB=3时，∠ODB=∠OBD=30°，
∵∠AOD=∠BAO-∠ODB=60°-30°，
∴∠ODB=∠AOD=30°，
∴AD=OA=3，
∵CD=DA，∠CAD=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AC=AD=3，
∴OC=OA+AC=3+3=6，
∴C点坐标为(0，6)，
综上，点C的坐标为(0，0)，，(0，6).
【点睛】
本题是一次函数综合题，涉及了一次函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数定义，三角形的面积，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质等，有一定的难度，利用分类讨论、数形结合是解题的关键.
10．(2023·上海市民办新竹园中学）如图①，点P为∠MON的平分线上一点，以P点为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足OA·OB＝OP2，我们就把∠APB叫作∠MON的智慧角．
(1)如图②，已知∠MON＝90°，点P为∠MON的平分线上一点，以点P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB＝135°，求证：∠APB是∠MON的智慧角；
(2)如图①，已知∠MON＝α(0°＜α＜90°)，OP＝2，若∠APB是∠MON的智慧角，连接AB，用含α的式子分别表示∠APB的度数和△AOB的面积．
答案:（1）详见解析；（2）∠APB＝180°－,S△AOB＝2sinα..
解析：
试题分析：
(1) 在△OAP中利用三角形内角和可以求得∠OAP+∠APO为135°，再根据已知条件容易得到∠OAP=∠OPB. 由“两组内角对应相等”不难证明△AOP∽△POB. 利用相似三角形的性质可以证明OA·OB=OP2. 由于上述证明过程中所用到的几何关系不随旋转而改变，所以可以证明本小题的结论.
(2) 利用已知条件不难通过“两组对应边的比相等且夹角相等”证明△AOP∽△POB. 通过∠OAP=∠OPB可以将∠APB转化为△OAP的两个内角之和，从而利用三角形内角和获得∠APB与α的关系. 至于△AOB的面积，可以作出OB边上的高，利用锐角三角函数将这条高的长度用含有OA和α的式子表示出来. 通过三角形面积公式和OA·OB=OP2的关系可以得到△AOB的面积与α的关系.
试题解析：
(1) 证明：∵∠MON=90°，点P为∠MON平分线上的一点，
∴，
∵在△OAP中，∠AOP+∠OAP+∠APO=180°，
∴∠OAP+∠APO=180°-∠AOP=180°-45°=135°.
∵∠APB=135°，
∴∠APO+∠OPB=135°，
∴∠OAP=∠OPB，
∵∠OAP=∠OPB，∠AOP=∠POB=45°，
∴△AOP∽△POB，
∴，
∴OP2=OA·OB，
∴∠APB是∠MON的智慧角.
(2) 下面求解∠APB的度数.
∵∠APB是∠MON的智慧角，
∴OA·OB=OP2，
∴，
∵点P为∠MON平分线上的一点，∠MON=α (0°<α<90°)，
∴.
∵，∠AOP=∠POB，
∴△AOP∽△POB，
∴∠OAP=∠OPB，
∵在△OAP中，∠AOP+∠OAP+∠APO=180°，
∴∠OAP+∠APO=180°-∠AOP=，
∵∠APB=∠OPB+∠APO=∠OAP+∠APO，
∴.
下面求解△AOB的面积.
如图，过点A作AH⊥OB，垂足为H. (以下用符号S△AOB代指△AOB的面积)
∵∠MON=α (0°<α<90°)，即∠AOH=α，
∴在Rt△OHA中，，
∴，
∵∠APB是∠MON的智慧角，
∴OA·OB=OP2，
∴，
∵OP=2，
∴，即△AOB的面积为.
点睛：
本题综合考查了相似三角形的判定和性质以及锐角三角函数的相关知识. 正确理解题意，充分利用所谓“智慧角”所包含的条件是解决该题的重要前提；避免对条件中“旋转”之类字眼的过分解读也是在解决本题的过程中需要特别注意的. 另外，利用“两组对应边的比相等且夹角相等”判定三角形相似的方法容易被忽略，从而造成不必要的困难.
11．（2017·上海嘉定区·九年级一模）如图在平面直角坐标系中，已知点的坐标为（,），点的坐标为（，），点的坐标为（,）；某二次函数的图像经过点、点与点.
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）假如点在该函数图像的对称轴上，且△ACQ是等腰三角形，直接写出点的坐标；
（3）如果第一象限内的点在（1）中求出的二次函数的图像上，且，求的正弦值.
答案:（1）二次函数的解析式为.；（2），，，；（3）.
解析：
分析：
（1）设所求二次函数的解析式为将已知三点坐标代入即可解决问题；（2）由点在该函数图像的对称轴上，且△ACQ是等腰三角形，可得出点Q的坐标；
（3）利用三角函数和勾股定理即求的正弦值.
【详解】
解：（1）设所求二次函数的解析式为，将（,）、（，）、（,）代入，得 解得 ，，.
所以，这个二次函数的解析式为.
（2）
如图1，
∵点B与点C为抛物线上的对应点，
∴抛物线的对称轴为直线x=3，点A为抛物线的顶点，
∵C(0,5),A(3,1)，
∴AC==5，
当AQ=AC=5时,点Q的坐标为(3,6)或(3,−4)；
当CQ=CA=5时,点Q与点A关于直线BC对称,则Q点的坐标为(3,9)；
当QA=QC时,设Q(3,t),则(t−1)2=32+(t−5)2,解得t=,则Q点坐标为(3, )；
综上所述,满足条件的Q点的坐标为(3,6)或(3,−4)或(3,9)或(3,);
（3）由题意得，该二次函数图像的对称轴为直线.
联结交直线于点，过点作，垂足为 (图2) .
将直线与的交点记为，易得，，.
∴
故可设，则，.又∵，则.
由题意得方程：.解得，，
∴.∴.
“点睛”本题考查二次函数与x轴的交点、待定系数法、三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用三角函数解决问题，属于中考常考题型．
12．(2023·上海奉贤区·九年级三模）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C．
（1）请完成如下操作：
①以点O为原点、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；
②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D，并连接AD、CD．
（2）请在（1）的基础上，完成下列填空：
①写出点的坐标：C 、D ；
②⊙D的半径＝ ；
（3）求∠ACO的正弦值．
答案:（1）答案见解析；（2）①，，②；（3）．
分析：
（1）根据点的坐标表示，C的坐标即可得到，首先作出弦AB与BC的中垂线，中垂线的交点就是D，即可确定点D的坐标；
（2）①根据（1）中的平面直角坐标系直接填空；
②在直角中，利用勾股定理即可求解；
（3）连接AC、OC．过C作CH⊥AO于点H，过点A作AM⊥CO于点M，利用的面积等积转换求得AM的长度，然后在中利用正弦函数的定义求得的正弦值．
【详解】
解：（1）作弦AB与BC的中垂线，中垂线的交点就是D，
在直角坐标系中，点D的在该坐标系中的位置如图所示：
（2）解：①根据图示知，C（6，2），D（2，0），
故答案为：（6，2），（2，0）；
②解：在直角△AOD中，根据勾股定理知⊙D的半径AD＝，
故答案为：；
（3）解：连接AC、OC．过C作CH⊥AO于点H，过点A作AM⊥CO于点M．
则OA•CH＝OC•AM，即×4×6＝וAM，
解得，AM＝；
在Rt△AMC中，sin∠ACO＝．
【点睛】
本题考查了圆的综合题，涉及的知识点有：坐标与图形性质，垂径定理，勾股定理，三角函数；利用了数形结合的思想，根据题意画出相应的图形是解本题的关键．
13．(2023·上海崇明区·九年级二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝5，BC＝8，sinB＝．
（1）求边AC的长；
（2）求⊙O的半径长．
答案:（1）AC＝5；（2）
分析：
（1）过点A作AH⊥BC于H，由锐角三角函数和勾股定理可求BH的长，由勾股定理可求AC的长；
（2）利用勾股定理列出方程，可求解．
【详解】
解：（1）如图，过点A作AH⊥BC于H，
∵sinB＝＝，AB＝5，
∴AH＝3，
∴BH＝＝＝4，
∵CH＝BC﹣BH，
∴CH＝4，
∴AC＝＝＝5；
（2）如图2，连接OB，OC，AO，AO交BC于点E，
∵AB＝AC＝5，OC＝OB，
∴AO是BC的垂直平分线，
∴BE＝EC＝4，
∴AE＝＝＝3，
∵BO2＝BE2+OE2，
∴BO2＝16+（OB﹣3）2，
∴BO＝ ．
【点睛】
本题考查了三角形外接圆和外心，圆的有关知识，勾股定理，锐角三角函数，利用勾股定理列出方程是本题的关键．
14．(2023·上海九年级专题练习）如图，在菱形中，于，且∶3∶2．
（1）试求的值；
（2）若菱形的面积为100，试求其两条对角线与的长．
答案:（1）；（2），
分析：
（1）令AH=3k，DH=2k，根据勾股定理求得BH的值，再根据三角函数公式求得sin∠BAD的值；
（2）根据面积公式求得k的值，再根据勾股定理求得BD的值，最后根据面积公式求得AC的值．
【详解】
解：（1）令 ，，
由四边形为菱形得．
在△中，，，．
∴，
∴．
（2）∵，
又∵，
∴ ，
解得．
又在△中，，，，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了综合应用解直角三角形、直角三角形性质，进行逻辑推理能力和运算能力．
15．(2023·上海九年级专题练习）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，把△沿着过点的某条直线折叠，使点落在轴负半轴上的点处，折痕与轴交于点．
（1）试求点、、的坐标；
（2）求的值．
答案:（1）（4，0），（0，3），（，0）；（2）=．
分析：
（1）由直线解析式及可得出A、B点坐标，根据题意翻折后能求出D点坐标，设出C点坐标，在Rt△DCO中可通过解直角三角形得出C点坐标．
（2）由题意得∠ABC=∠DBC，根据点C和点B的坐标，通过Rt△BOC可得出sin∠ABC的值．
【详解】
解：（1）∵直线与轴交于点，与轴交于点
当x=0时，y=3；
当y=0时，，解得：x=4
∴（4，0），（0，3）．
∴，，．
由翻折得：，，．
∴（0，－2）
设点（，0），则．
则在△中，，，．
∴，解得．
∴（，0）．
（2）∵
∴==．
∵
∴．
∴=．
【点睛】
本题考查一次函数的知识，结合了几何图形，综合性较强，考查的知识点也较多，同学们要注意掌握此类问题的解法．
16．(2023·上海九年级专题练习）如图，已知的半径为，在中，、都是圆的半径，且．点在钱段的延长钱上，且．
（1）求线段的长；
（2）求的正弦值．
答案:（1）；（2）
分析：
（1）过点作交于点，先利用勾股定理求解，从而可得，再利用勾股定理求解，从而可得答案；
（2）过点作交于点，由，求解的长，再利用，从而可得答案．
【详解】
解：（1）过点作交于点，
∵，，，，
∴，
，
∵在中，
∴，
∴，
∴．
（2）过点作交于点，
，
，
∴
【点睛】
本题考查的是等腰直角三角形的性质，垂径定理，含的直角三角形的性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．
17．(2023·上海市育才初级中学九年级月考）已知：如图所示，中，CD⊥AB，，BD=1，AD=4，求AC的长．
答案:
分析：
根据题意由锐角三角函数可求∠A=∠BCD，可证△ACD∽△CBD，即可求CD的长，由勾股定理即可求出AC的长．
【详解】
解：∵CD⊥AB，
∴且，
∴sin∠A=sin∠BCD，
∴∠A=∠BCD，且∠ADC=∠BDC=90°，
∴△ACD∽△CBD
∴，
∴CD2=BD•AD=4
∴CD=2，
∴．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质以及锐角三角函数的定义，根据题意求出CD的长是解答本题的关键．
18．(2023·上海浦东新区·九年级二模）已知：如图，在中，，，，点为斜边的中点，以为圆心，5为半径的圆与相交于、两点，连结、．
（1）求的长；
（2）求的正弦值．
答案:（1）6；（2）．
分析：
（1）过点O作OG⊥EF于点G，根据垂径定理得出EG=FG，然后由O为AB的中点，OG∥AC可推出OG为△ABC的中位线，从而可求出OG的长，在Rt△OEG中，由勾股定理可求出EG的长，从而可得出EF的长；
（2）首先由直角三角形斜边中线的性质可得出CO=BO，然后根据等腰三角形的性质可得出CG=BG，由（1）中EG=3可得，CE=5=OE，所以∠COE=∠OCE，在Rt△OCG中，求出sin∠OCG的值即可得出结果．
【详解】
解：（1）过点O作OG⊥EF于点G，
∴EG=FG，OG∥AC，
又O为AB的中点，∴G为BC的中点，即OG为△ABC的中位线，
∴OG=AC=4，
在Rt△OEG中，由勾股定理得，EG=，
∴EF=2EG=6；
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB=，
又O为AB的中点，
∴CO=BO=4，又OG⊥BC，
∴CG=BG=BC=8，
∴CE=CG-EG=8-3=5，
∴CE=EO，
∴∠COE=∠OCE，
∴sin∠OCE=．
∴∠COE的正弦值为．
【点睛】
本题是圆的综合题，考查了垂径定理，中位线的性质，直角三角形斜边中线的性质，三角函数，等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，作出辅助线，综合运算基本性质进行推理是解题的关键．
三、填空题
19．(2023·上海金山区·九年级一模）在中，，，，那么______．
答案:
分析：
直接利用正弦的定义列式求解即可．
【详解】
解：∵，，
∴
∵
∴，解得：BC=12．
故填：12．
【点睛】
本题主要考查了正弦的定义，正确理解正弦的定义是解答本题的关键．
20．(2023·上海徐汇区·）如图，已知是边长为的等边三角形，正方形的顶点分别在边 上，点在边上，那么的长是_____．
答案:
分析：
根据等边三角形以及正方形的性质，在Rt△CDG中运用正弦的定义建立方程求解即可．
【详解】
根据题可知，△ADE为等边三角形，即：AD=DE，
根据正方形的性质可知DE=DG，DG⊥BC，∠C=60°，
设AD=x，则DG=x，DC=AC-AD=2-x，
∴在Rt△CDG中，，
即：，
解得：，
经检验是上述分式方程的解，
故答案为：．
【点睛】
本题考查正方形和等边三角形的性质，以及利用锐角三角函数解直角三角形，灵活根据题意找准合适的直角三角形是解题关键．
21．(2023·上海九年级一模）如图，、、是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长相同，那么的正弦值为_________________．
答案:
分析：
连接BC，根据网格求出AB,BC,AC，得到△ABC是直角三角形，再进行求解.
【详解】
∵每个小正方形的边长均为1，
∴AB＝，BC＝，AC＝，
∴AB2＝BC2＋AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴sin∠BAC＝，
故答案为．
【点睛】
此题主要考查正弦的求解，解题的关键熟知勾股定理的运用.
22．(2023·上海松江区·九年级一模）如图，在边长为1个单位的方格纸中，的顶点在小正方形顶点位置，那么的正弦值为_____．
答案:
分析：
利用勾股定理可求出AC、BC、AB的值，利用勾股定理逆定理可得∠ACB=90°，根据正弦的等于即可得答案．
【详解】
∵在边长为1个单位的方格纸中，的顶点在小正方形顶点位置，
∴AB==，BC=，AC=，
∵（）2+（）2=（）2，
∴∠ACB=90°，
∴sin∠ABC===，
故答案为：
【点睛】
本题考查网格的特征、勾股定理及正弦的定义，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边与斜边的比；熟练掌握三角函数的定义是解题关键．
23．(2023·上海交大附中九年级期中）如图，已知在梯形中，平行于，，延长到点，使，垂直于，垂足为，且平分，，______．
答案:
分析：
先证明四边形DBEC为平行四边形，再证CE=CA，延长EC交AD的延长线于G，利用平行线分线段成比例定理，设GC=3a，则GE=8a，故CE=5a，求得CF：AC即可．
【详解】
∵BE∥CD，BE=CD，
∴四边形DBEC为平行四边形．
∴CE=DB，
在梯形中，平行于，，
∴梯形是等腰梯形，
∴DB=AC，
∴CE= AC，
延长EC交AD的延长线于G，
∵CD∥AE，
∴，
设GC=3a，则GE=8a，故CE=5a，
∵AF⊥CE，AF平分∠DAE，
∴∠AFG=∠AFE=90，
∠GAF=∠EAF，
AF=AF，
∴△AFG≌△AFE(ASA)，
∴AE=AG，
∴△AEG为等腰三角形，
∴GF=EF=4a，于是CF=GF-GC=a，
则CA=CE=5a，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了等腰梯形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，锐角三角函数的定义等，关键是充分利用已知条件进行解题．
24．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）在Rt△ABC中，∠C=60°，斜边BC=14cm，则BC边上的高为__________cm；
答案:
分析：
根据含30°角的直角三角形的性质求得AC=7，再利用锐角三角函数的定义以及特殊角的三角函数值即可得到结论．
【详解】
如图，作AD⊥BC于D，
∵∠C=60°，∠BAC=90°，
∴∠B=30°，
∴AC=BC=7，
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠C=60°，
SinC==，
∴AD=．
则BC边上的高为 cm．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了含30°角的直角三角形的性质，锐角三角函数的定义以及特殊角的三角函数值，熟练掌握锐角三角函数的定义以及特殊角的三角函数值是解题的关键．
25．(2023·上海市位育初级中学九年级期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，如果tan∠A=，那么cs∠B=_____．
答案:
分析：
直接利用特殊角的三角函数值得出∠A=30°，进而得出∠B的度数，进而得出答案．
【详解】
∵tan∠A=，
∴∠A=30°，
∵∠C=90°，
∴∠B=180°﹣30°﹣90°=60°，
∴cs∠B=．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确理解三角函数的计算公式是解题关键．