沪教版九年级上册数学专题训练专题01锐角三角函数之正弦重难点专练(原卷版+解析)

这是一份沪教版九年级上册数学专题训练专题01锐角三角函数之正弦重难点专练(原卷版+解析)，共65页。试卷主要包含了单选题，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、单选题
1．(2023·上海崇明区·九年级一模）在中，，如果，，那么的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·上海九年级专题练习）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin∠A的值为（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·上海市川沙中学南校九年级期中）在中，分别是的对边，如果，那么下列等式中正确的是( )
A．B．C．D．
第II卷（非选择题）
二、解答题
4．(2023·上海青浦区·九年级二模）已知：如图，在正方形ABCD中，联结BD，E是边AB上一点，BF⊥DE，垂足为点F，且EF•BD＝BE•BF．
（1）求证：∠ADE＝∠BDE；
（2）延长DF与CB的延长线交于点G，求证：BG＝BC＋AE．
5．(2023·上海九年级专题练习）已知∠MAN是锐角，点B、C在边AM上，点D在边AN上，∠EBD=∠MAN，且CE∥BD，sin∠MAN=， AB=5，AC=9．
（1）如图1，当CE与边AN相交于点F时，求证：DF·CE=BC·BE；
（2）当点E在边AN上时，求AD的长；
（3）当点E在∠MAN外部时，设AD=x，△BCE的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域．
6．(2023·上海九年级专题练习）如图，在△中，，，是边的中点，于.
（1）试求的值；
（2）求证：；
（3）若是边上的点，且使△为等腰三角形，请求的长.
7．(2023·上海）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，A（﹣2，0）
（1）直接写出：a＝
（2）如图1，点P在第一象限内抛物线上的一点，过点P作x轴的垂线交CB的延长线于点D，交AC的延长线于点Q，当△QAP与△QCD相似时，求P点的坐标；
（3）如图2，抛物线的对称轴交x轴于点M，N为第二象限内抛物线上的一点，直线NA，NB分别交y轴于D，E两点，分别交抛物线的对称轴于F，G两点．
①求tan∠FAM﹣tan∠GAM的值；
②若，求N点的坐标．
8．(2023·上海九年级专题练习）已知：如图，在半径为2的扇形中，°，点C在半径OB上，AC的垂直平分线交OA于点D，交弧AB于点E，联结．
（1）若C是半径OB中点，求的正弦值；
（2）若E是弧AB的中点，求证：；
（3）联结CE，当△DCE是以CD为腰的等腰三角形时，求CD的长．
9．(2023·上海市静安区实验中学八年级期中）如图，直线图像与y轴、x轴分别交于A、B两点
（1）求点A、B坐标和∠BAO度数
（2）点C、D分别是线段OA、AB上一动点（不与端点重合），且CD=DA，设线段OC的长度为x ,,请求出y关于x的函数关系式以及定义域
（3）点C、D分别是射线OA、射线BA上一动点，且CD=DA，当ΔODB为等腰三角形时，求C的坐标（第（3）小题直接写出分类情况和答案，不用过程）
10．(2023·上海市民办新竹园中学）如图①，点P为∠MON的平分线上一点，以P点为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足OA·OB＝OP2，我们就把∠APB叫作∠MON的智慧角．
(1)如图②，已知∠MON＝90°，点P为∠MON的平分线上一点，以点P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB＝135°，求证：∠APB是∠MON的智慧角；
(2)如图①，已知∠MON＝α(0°＜α＜90°)，OP＝2，若∠APB是∠MON的智慧角，连接AB，用含α的式子分别表示∠APB的度数和△AOB的面积．
11．（2017·上海嘉定区·九年级一模）如图在平面直角坐标系中，已知点的坐标为（,），点的坐标为（，），点的坐标为（,）；某二次函数的图像经过点、点与点.
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）假如点在该函数图像的对称轴上，且△ACQ是等腰三角形，直接写出点的坐标；
（3）如果第一象限内的点在（1）中求出的二次函数的图像上，且，求的正弦值.
12．(2023·上海奉贤区·九年级三模）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C．
（1）请完成如下操作：
①以点O为原点、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；
②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D，并连接AD、CD．
（2）请在（1）的基础上，完成下列填空：
①写出点的坐标：C 、D ；
②⊙D的半径＝ ；
（3）求∠ACO的正弦值．
13．(2023·上海崇明区·九年级二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝5，BC＝8，sinB＝．
（1）求边AC的长；
（2）求⊙O的半径长．
14．(2023·上海九年级专题练习）如图，在菱形中，于，且∶3∶2．
（1）试求的值；
（2）若菱形的面积为100，试求其两条对角线与的长．
15．(2023·上海九年级专题练习）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，把△沿着过点的某条直线折叠，使点落在轴负半轴上的点处，折痕与轴交于点．
（1）试求点、、的坐标；
（2）求的值．
16．(2023·上海九年级专题练习）如图，已知的半径为，在中，、都是圆的半径，且．点在钱段的延长钱上，且．
（1）求线段的长；
（2）求的正弦值．
17．(2023·上海市育才初级中学九年级月考）已知：如图所示，中，CD⊥AB，，BD=1，AD=4，求AC的长．
18．(2023·上海浦东新区·九年级二模）已知：如图，在中，，，，点为斜边的中点，以为圆心，5为半径的圆与相交于、两点，连结、．
（1）求的长；
（2）求的正弦值．
三、填空题
19．(2023·上海金山区·九年级一模）在中，，，，那么______．
20．(2023·上海徐汇区·）如图，已知是边长为的等边三角形，正方形的顶点分别在边 上，点在边上，那么的长是_____．
21．(2023·上海九年级一模）如图，、、是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长相同，那么的正弦值为_________________．
22．(2023·上海松江区·九年级一模）如图，在边长为1个单位的方格纸中，的顶点在小正方形顶点位置，那么的正弦值为_____．
23．(2023·上海交大附中九年级期中）如图，已知在梯形中，平行于，，延长到点，使，垂直于，垂足为，且平分，，______．
24．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）在Rt△ABC中，∠C=60°，斜边BC=14cm，则BC边上的高为__________cm；
答案:
25．(2023·上海市位育初级中学九年级期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，如果tan∠A=，那么cs∠B=_____．
专题01 锐角三角函数之正弦重难点专练（解析版）
第I卷（选择题）
一、单选题
1．(2023·上海崇明区·九年级一模）在中，，如果，，那么的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
答案:A
分析：
利用勾股定理可求出AB的长，根据正弦函数的定义即可得答案．
【详解】
∵，，，
∴AB==10，
∴sinA==，
故选：A．
【点睛】
本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握各三角函数的定义，属于中考常考题型．
2．(2023·上海九年级专题练习）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin∠A的值为（ ）
A．B．C．D．
答案:C
分析：
连接格点CD，设1个网格的边长为x，根据格点的长度求出BD，CD边的长度，根据勾股定理证明∠BDC＝∠ADC＝90°，再计算sin∠A= 计算即可．
【详解】
解：如图，连接格点CD，设1个网格的边长为x，
则 ，
∴
∴∠BDC＝∠ADC＝90°，
∴sin∠A=
又
∴sin∠A= ＝
故选：C
【点睛】
本题考查了网格中解直角三角形、勾股定理及其逆定理、锐角的三角函数，根据网格特点构造直角三角形是关键．
3．(2023·上海市川沙中学南校九年级期中）在中，分别是的对边，如果，那么下列等式中正确的是( )
A．B．C．D．
答案:D
分析：
分别算出∠A的各个三角函数值即可得到正确选项．
【详解】
解：由题意可得：，
∴
∴正确答案应该是D，
故选D ．
【点睛】
本题考查锐角三角函数的定义，正确理解锐角三角函数的定义是解题关键．
第II卷（非选择题）
二、解答题
4．(2023·上海青浦区·九年级二模）已知：如图，在正方形ABCD中，联结BD，E是边AB上一点，BF⊥DE，垂足为点F，且EF•BD＝BE•BF．
（1）求证：∠ADE＝∠BDE；
（2）延长DF与CB的延长线交于点G，求证：BG＝BC＋AE．
答案:（1）见解析；（2）见解析
分析：
（1）先根据三角函数定义得出sin∠EBF＝，sin∠BDE＝，再由EF•BD＝BE•BF，可得＝，即可得∠EBF＝∠BDE，再根据正方形性质即可证明结论；
（2）延长BF交DA的延长线于H，先证明△DFH≌△DFB，再结合正方形性质证明△GBF≌△DHF，可得BG＝DH＝AD＋AH＝BC＋AH，再证明△DAE≌△BAH，可得AH＝AE，结论得证．
【详解】
（1）∵BF⊥DE，
∴∠BFD＝90°，
在Rt△BEF中，sin∠EBF＝，
在Rt△DBF中，sin∠BDE＝，
∵EF•BD＝BE•BF，
∴＝，
∴sin∠EBF＝sin∠BDE，
∴∠EBF＝∠BDE，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DAE＝90°＝∠BFD，
∴∠EBF＋∠BEF＝∠ADE＋∠AED＝90°，
∵∠BEF＝∠AED，
∴∠EBF＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠BDE；
（2）如图，延长BF交DA的延长线于H，
∵∠ADE＝∠BDE，∠DFH＝∠DFB＝90°，DF＝DF，
∴△DFH≌△DFB（ASA），
∴HF＝BF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD∥BC，AD＝AB＝BC，
∴∠G＝∠ADE，∠GBF＝∠H，
在△GBF和△DHF中，
，
∴△GBF≌△DHF（AAS），
∴BG＝DH＝AD＋AH＝BC＋AH，
在△DAE和△BAH中，
，
∴△DAE≌△BAH（ASA），
∴AH＝AE，
∴BG＝BC＋AE．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、三角函数的定义，关键是添加辅助线构造全等三角形．
5．(2023·上海九年级专题练习）已知∠MAN是锐角，点B、C在边AM上，点D在边AN上，∠EBD=∠MAN，且CE∥BD，sin∠MAN=， AB=5，AC=9．
（1）如图1，当CE与边AN相交于点F时，求证：DF·CE=BC·BE；
（2）当点E在边AN上时，求AD的长；
（3）当点E在∠MAN外部时，设AD=x，△BCE的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域．
答案:（1）证明见解析；（2）AD=；（3）．定义域为：．
分析：
（1）根据CE∥BD，得出∠CEB=∠DBE，∠DBA=∠BCE结合题干证明出△ABD∽△ECB，进而得到，再等量代换即可得到DF·CE=BC·BE．
（2）过点B作BH⊥AN，垂足为H．根据条件先证明出△CEB∽△CAE，得到，代入求出CE，再根据求出BD，利用三角函数求出BH，根据勾股定理即可求出AD．
（3）过点B作BH⊥AN，垂足为H．BH=4，AH=3，DH=根据△ECB∽△ABD得到，代入化简为即可求解．
【详解】
解：（1）∵CE∥BD，
∴∠CEB=∠DBE，∠DBA=∠BCE．
∵∠A=∠DBE，
∴∠A=∠BEC．
∴△ABD∽△ECB，
∴．
∵，
∴，
∴DF·CE=BC·BE．
（2）过点B作BH⊥AN，垂足为H．
∵CE∥BD，
∴∠CEB=∠EBD=∠A，
又∵∠BCE=∠ECA，
∴△CEB∽△CAE，
∴，
∴．
∵AB=5，AC=9，
∴BC=4，
∴，
∴CE=6．
∵，
∴．
在Rt△ABH中，，
∴AH=．
DH=．
AD=．
（3）过点B作BH⊥AN，垂足为H．BH=4，AH=3，DH=．
．
∵△ECB∽△ABD，
∴．
∵，
∴，
∴．
定义域为．
【点睛】
此题属于平面几何的综合应用，主要利用三角形相似，找到相似比，根据相似比求值，计算量较大，有一定难度．
6．(2023·上海九年级专题练习）如图，在△中，，，是边的中点，于.
（1）试求的值；
（2）求证：；
（3）若是边上的点，且使△为等腰三角形，请求的长.
答案:（1）；（2）详见解析；（3）的长为或或
分析：
（1）先根据勾股定理求出MB的长度，然后通过等量代换得出∠MCH=∠MBC，进而利用求解即可；
（2）通过，得出，进而有，从而可证△AMH∽△BMA，则结论可证；
（3）当△为等腰三角形时，分三个情况讨论：①当时，过点作于点E，利用求解；②当时，可直接得的长；③当时，过点作于点Q，利用求解．
【详解】
（1）在△MBC中，∠MCB=，BC=2，
又∵M是边AC的中点，
∴AM=MC=AC=1，
∴MB=．
又CH⊥BM于H，则∠MHC=，
，
∴∠MCH=∠MBC，
∴；
（2）∵，
∴，
∴AM2=MC2=，
即，
又∵∠AMH=∠BMA，
∴△AMH∽△BMA，
∴∠ABM=∠CAH；
（3）在△MHC中，．
，
．
∵ ,
∴，
∴．
∵，
∴．
当△为等腰三角形时，分以下三个情况讨论：
①当时,过点作于点E，
∵， ，
∴，
∴；
∴，
即，
∴；
②当时,
；
③当时,过点作于点Q，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
∴；
综上所述，当△为等腰三角形时，的长为或或．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的定义，相似三角形的判定及性质，锐角三角函数的应用，掌握等腰三角形的定义，相似三角形的判定及性质，锐角三角函数的定义并分情况讨论是解题的关键．
7．(2023·上海）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，A（﹣2，0）
（1）直接写出：a＝
（2）如图1，点P在第一象限内抛物线上的一点，过点P作x轴的垂线交CB的延长线于点D，交AC的延长线于点Q，当△QAP与△QCD相似时，求P点的坐标；
（3）如图2，抛物线的对称轴交x轴于点M，N为第二象限内抛物线上的一点，直线NA，NB分别交y轴于D，E两点，分别交抛物线的对称轴于F，G两点．
①求tan∠FAM﹣tan∠GAM的值；
②若，求N点的坐标．
答案:（1）；
（2）点P的坐标为（6，4）或（，）；
（3）①tan∠FAM﹣tan∠GAM＝；②点N的坐标为（﹣4，4）．
分析：
（1）将点A代入抛物线即可．
（2）相似分两种情况，一种是AP∥CD，根据两直线平行k相等，再代入点A就可以求出此时直线AP的解析式，和抛物线联立就可以求出点P的坐标；另一种根据相似三角形对应边成比例，列方程求解即可．
（3）①设点N的坐标，表示线段长度，列比值算出数值即可．②转换题干中的比值，把斜线的比值转换为水平线的比值，表示线段长度，列式求解即可．
【详解】
解：（1）将A（﹣2，0）代入抛物线中，得
0＝4a+4a﹣2，解得．
故答案为．
（2）抛物线的解析式为，
令y＝0，解得x1＝﹣2，x2＝4，
∴B（4，0），
令x＝0，y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，代入点A、C，得：
解得
∴y＝﹣x﹣2，
设直线BC的解析式为y＝k1 x+b1，代入点点B、C，得：
解得
∴y＝x﹣2，
设点P的横坐标为m，则纵坐标为，
则点D（m， m﹣2），Q（m，﹣m﹣2），
PQ＝，
DQ＝，
AQ＝，
CQ＝，
①当AP∥CD时，△APQ∽△CDQ，
设直线AP的解析式为y＝x+b3，
代入点A，0＝×（﹣2）+b3，解得b3＝1，
∴y＝x+1，
令x+1＝x2﹣﹣2，
解得x1＝﹣2，x2＝6，
当x＝6时，y＝4，
∴P（6，4）．
②当∠APQ＝∠QCD时，△APQ∽△DCQ，
∴，
∴＝
解得m1＝﹣2（舍），m2＝，
当x＝时，y＝，
∴P（，）．
综上所述，点P的坐标为（6，4）或（，）．
（3）①过点N作NK垂直x轴于点K，
设点N的坐标为（n，n2﹣n﹣2），
则NK＝n2﹣n﹣2，AK＝﹣2﹣n，BK＝4﹣n，
tan∠FAM＝tan∠NAK=＝，
tan∠GAM＝tan∠GBK=＝，
∴tan∠FAM﹣tan∠GAM＝-=．
②∵，△NED∽△NGF，
∴，
过点N向抛物线的对称轴作垂线，分别交y轴和对称轴于点J、H，
∴△NJE∽△NHG，
∴，
NJ＝﹣n，NH＝1﹣n，
∴4（1﹣n）＝﹣5n，
解得n＝﹣4，
当x＝﹣4时，y＝4，
∴点N的坐标为（﹣4，4）．
【点睛】
本题为二次函数综合题，比较考查逻辑分析能力以及计算能力，需对知识熟练掌握.
8．(2023·上海九年级专题练习）已知：如图，在半径为2的扇形中，°，点C在半径OB上，AC的垂直平分线交OA于点D，交弧AB于点E，联结．
（1）若C是半径OB中点，求的正弦值；
（2）若E是弧AB的中点，求证：；
（3）联结CE，当△DCE是以CD为腰的等腰三角形时，求CD的长．
答案:（1）；（2）详见解析；（2）当是以CD为腰的等腰三角形时，CD的长为2或．
分析：
（1）先求出OCOB=1，设OD=x，得出CD=AD=OA﹣OD=2﹣x，根据勾股定理得：（2﹣x）2﹣x2=1求出x，即可得出结论；
（2）先判断出，进而得出∠CBE=∠BCE，再判断出△OBE∽△EBC，即可得出结论；
（3）分两种情况：①当CD=CE时，判断出四边形ADCE是菱形，得出∠OCE=90°．在Rt△OCE中，OC2=OE2﹣CE2=4﹣a2．在Rt△COD中，OC2=CD2﹣OD2=a2﹣（2﹣a）2，建立方程求解即可；
②当CD=DE时，判断出∠DAE=∠DEA，再判断出∠OAE=OEA，进而得出∠DEA=∠OEA，即：点D和点O重合，即可得出结论．
【详解】
（1）∵C是半径OB中点，∴OCOB=1．
∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=CD．设OD=x，∴CD=AD=OA﹣OD=2﹣x．
在Rt△OCD中，根据勾股定理得：（2﹣x）2﹣x2=1，∴x，∴CD，∴sin∠OCD；
（2）如图1，连接AE，CE．
∵DE是AC垂直平分线，∴AE=CE．
∵E是弧AB的中点，∴，∴AE=BE，∴BE=CE，∴∠CBE=∠BCE．
连接OE，∴OE=OB，∴∠OBE=∠OEB，∴∠CBE=∠BCE=∠OEB．
∵∠B=∠B，∴△OBE∽△EBC，∴，∴BE2=BO•BC；
（3）△DCE是以CD为腰的等腰三角形，分两种情况讨论：
①当CD=CE时．
∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=CD，AE=CE，∴AD=CD=CE=AE，∴四边形ADCE是菱形，∴CE∥AD，∴∠OCE=90°，设菱形的边长为a，∴OD=OA﹣AD=2﹣a．在Rt△OCE中，OC2=OE2﹣CE2=4﹣a2．在Rt△COD中，OC2=CD2﹣OD2=a2﹣（2﹣a）2，∴4﹣a2=a2﹣（2﹣a）2，∴a=﹣22（舍）或a=；∴CD=；
②当CD=DE时．
∵DE是AC垂直平分线，∴AD=CD，∴AD=DE，∴∠DAE=∠DEA．
连接OE，∴OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，∴∠DEA=∠OEA，∴点D和点O重合，此时，点C和点B重合，∴CD=2．
综上所述：当△DCE是以CD为腰的等腰三角形时，CD的长为2或．
【点睛】
本题是圆的综合题，主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，菱形的判定和性质，锐角三角函数，作出辅助线是解答本题的关键．
9．(2023·上海市静安区实验中学八年级期中）如图，直线图像与y轴、x轴分别交于A、B两点
（1）求点A、B坐标和∠BAO度数
（2）点C、D分别是线段OA、AB上一动点（不与端点重合），且CD=DA，设线段OC的长度为x ,,请求出y关于x的函数关系式以及定义域
（3）点C、D分别是射线OA、射线BA上一动点，且CD=DA，当ΔODB为等腰三角形时，求C的坐标（第（3）小题直接写出分类情况和答案，不用过程）
答案:（1）A(0,3),B(),60°（2）（0＜x＜3）（3）（0，0），，（0，6）
分析：
(1)对于一次函数解析式，分别令x与y为0求出对应的y与x的值，得到A、B两点坐标，然后再根据三角函数求出∠BAO的度数即可；
(2)先证明△ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得AD=CD=AC=3-x，作DH⊥y轴于点H，用含x的式子表示出DH的长，然后根据三角形面积公式进行求解即可；
(3)当△ODB为等腰三角形时，分三种情况讨论：当OD=DB时；当BD=BO时；当OD=OB时，利用等边三角形的性质分别求出C点坐标即可.
【详解】
(1)一次函数，
令，则有，解得：，，
令，得， ，
，
在 ， ，
∵sin∠ABO=，
，
；
(2)过点D作DH⊥y轴，垂足为点H，
，
，
，
∴ΔADC是等边三角形，
，，
== ，
∵S△OCD=，
；
(3)由(1)知，在Rt△OAB中，OA=3，OB=3，∠BAO=60°，AB=6，∠ABO=30°，
当△ODB为等腰三角形时，分三种情况进行讨论：
①如图1，当OD=DB时，D在OB的垂直平分线上，则D为AB的中点，AD=AB=3，
∵CD=DA，∠CAD=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AC=AD=3，
∴C与原点重合，
∴C点坐标为(0，0)；
②如图2，当BD=BO=3时，AD=AB-BD=6-3，
∵CD=DA，∠CAD=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AC=AD=6-3，
∴OC=OA-AC=3-(6-3)=3-3，
∴C点坐标为(0，3-3)；
③如图3，当OD=OB=3时，∠ODB=∠OBD=30°，
∵∠AOD=∠BAO-∠ODB=60°-30°，
∴∠ODB=∠AOD=30°，
∴AD=OA=3，
∵CD=DA，∠CAD=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AC=AD=3，
∴OC=OA+AC=3+3=6，
∴C点坐标为(0，6)，
综上，点C的坐标为(0，0)，，(0，6).
【点睛】
本题是一次函数综合题，涉及了一次函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数定义，三角形的面积，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质等，有一定的难度，利用分类讨论、数形结合是解题的关键.
10．(2023·上海市民办新竹园中学）如图①，点P为∠MON的平分线上一点，以P点为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足OA·OB＝OP2，我们就把∠APB叫作∠MON的智慧角．
(1)如图②，已知∠MON＝90°，点P为∠MON的平分线上一点，以点P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB＝135°，求证：∠APB是∠MON的智慧角；
(2)如图①，已知∠MON＝α(0°＜α＜90°)，OP＝2，若∠APB是∠MON的智慧角，连接AB，用含α的式子分别表示∠APB的度数和△AOB的面积．
答案:（1）详见解析；（2）∠APB＝180°－,S△AOB＝2sinα..
解析：
试题分析：
(1) 在△OAP中利用三角形内角和可以求得∠OAP+∠APO为135°，再根据已知条件容易得到∠OAP=∠OPB. 由“两组内角对应相等”不难证明△AOP∽△POB. 利用相似三角形的性质可以证明OA·OB=OP2. 由于上述证明过程中所用到的几何关系不随旋转而改变，所以可以证明本小题的结论.
(2) 利用已知条件不难通过“两组对应边的比相等且夹角相等”证明△AOP∽△POB. 通过∠OAP=∠OPB可以将∠APB转化为△OAP的两个内角之和，从而利用三角形内角和获得∠APB与α的关系. 至于△AOB的面积，可以作出OB边上的高，利用锐角三角函数将这条高的长度用含有OA和α的式子表示出来. 通过三角形面积公式和OA·OB=OP2的关系可以得到△AOB的面积与α的关系.
试题解析：
(1) 证明：∵∠MON=90°，点P为∠MON平分线上的一点，
∴，
∵在△OAP中，∠AOP+∠OAP+∠APO=180°，
∴∠OAP+∠APO=180°-∠AOP=180°-45°=135°.
∵∠APB=135°，
∴∠APO+∠OPB=135°，
∴∠OAP=∠OPB，
∵∠OAP=∠OPB，∠AOP=∠POB=45°，
∴△AOP∽△POB，
∴，
∴OP2=OA·OB，
∴∠APB是∠MON的智慧角.
(2) 下面求解∠APB的度数.
∵∠APB是∠MON的智慧角，
∴OA·OB=OP2，
∴，
∵点P为∠MON平分线上的一点，∠MON=α (0°