安徽省合肥市百花中学、八一学校等四校2023-2024学年高二下学期7月期末联考数学试卷（Word版附解析）

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本试卷共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知函数，则（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复合函数求导可得，代入运算求解即可.
【详解】由题意可知：，
所以.
故选：A.
2. 已知等比数列的公比为q，且是与的等差中项，则（ ）
A. B. 1C. 2D. 或1
【答案】D
【解析】
【分析】根据等差中项可得，结合等比数列的通项公式运算求解.
【详解】因为是与的等差中项，则，即，
且，整理可得，解得或.
故选：D.
3. 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是
A. 0.8B. 0.75C. 0.6D. 0.45
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：记“一天的空气质量为优良”，“第二天空气质量也为优良”，由题意可知,所以，故选A.
考点：条件概率．
4. 已知随机变量服从正态分布，且，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正态分布曲线的对称性进行求解即可.
【详解】，，
.
故选：C.
5. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A. 60种B. 120种C. 240种D. 480种
【答案】C
【解析】
【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.
【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，
故选：C.
【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.
6. 若函数与在处有相同的切线，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
分析】对，求导，根据题意得到，再解方程组即可得到答案.
【详解】因为，，则，，
可得，，，，
因为，在处有相同的切线，即切点为，切线斜率，
所以，解得，所以.
故选：D.
7. 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则
A. 0.7B. 0.6C. 0.4D. 0.3
【答案】B
【解析】
【详解】分析：判断出为二项分布，利用公式进行计算即可．
或
，
,可知
故答案选B.
点睛：本题主要考查二项分布相关知识，属于中档题．
8. 函数的定义域为，，对任意，，则的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】构造函数，利用导数判断出函数在上的单调性，将不等式转化为，利用函数的单调性即可求解.
【详解】依题意可设，所以.
所以函数在上单调递增，又因为.
所以要使，即，只需要，故选B.
【点睛】本题考查利用函数的单调性解不等式，解题的关键就是利用导数不等式的结构构造新函数来解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设离散型随机变量 X的分布列为：
若离散型随机变量Y 满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据分布列的性质求得参数，结合分布列求得，再结合期望和方差的性质，即可判断和选择.
【详解】对于选项A：因为，解得，故A正确；
对于选项B：可得，
，故B正确；
对于选项CD：因为，则有：
，故C错误；
，故D错误.
故选：AB.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若回归方程为，则变量x与y负相关
B. 运用最小二乘法求得的经验回归直线方程一定经过样本点的中心
C. 若散点图中所有点都在直线上，则相关系数
D. 若决定系数的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用正负相关的意义判断A；利用回归直线的性质判断B；利用相关系数、决定系数意义判断CD.
【详解】对于A，回归方程为的斜率为负，则变量x与y负相关，A正确；
对于B，回归直线方程一定经过样本点的中心，B正确；
对于C，散点图中所有点都在直线上，则相关系数，C错误；
对于D，决定系数的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好，D正确.
故选：ABD
11. 已知数列满足，则（ ）
A. 数列是等比数列
B.
C. 数列的前n项和
D. 数列的前n项和
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据等比数列的定义即可求解A，由公比和首项写出等比数列的通项即可求解B，根据分组求和，裂项相消法求和即可求解CD.
【详解】对于AB，由可得又，
故为等比数列，且首项为2，公比为2，
则，故，AB正确，
对于C，数列的前n项和，故C错误，
对于D，，
故
，D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分．
12. 若函数在处取极值，则___________
【答案】3
【解析】
【详解】试题分析：=．因为f（x）在1处取极值，所以1是f′（x）=0的根，将x=1代入得a=3．故答案为3 .
考点：利用导数研究函数的极值．
13. 的展开式中的系数为________________（用数字作答）．
【答案】-28
【解析】
【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解.
【详解】因为，
所以的展开式中含的项为，
的展开式中的系数为-28
故答案为：-28
14. 现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则__________，_________．
【答案】 ①. ， ②. ##
【解析】
【分析】利用古典概型概率公式求，由条件求分布列，再由期望公式求其期望.
【详解】从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有种，所以，
由已知可得的取值有1，2，3，4，
，，
，
所以,
故答案为：，.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值.
【答案】（1）
（2）；的最小值为
【解析】
【分析】（1）根据题意结合等差数列求和公式求得，即可得结果；
（2）根据等差数列求和公式可得，结合二次函数性质分析求解.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，
因为，，
可得，解得：，
所以．
【小问2详解】
由（1）可得：，
可知：时，取得最小值，
所以的最小值为．
16. 已知展开式中的第二项、第三项、第四项的二项式系数成等差数列.
（1）求n的值；
（2）将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率.
【答案】（1）7 （2）
【解析】
【分析】（1）利用第二项、第三项、第四项的二项式系数为等差数列可求；
（2）根据二项展开式的通项可得展开式中共有3项有理项，利用插空法和古典概型的概率计算公式可求概率.
【小问1详解】
因为第二项、第三项、第四项的二项式系数分别为、、，
由题意可知：，即，
显然，整理可得，
解得或（舍去），所以．
【小问2详解】
由（1）可知展开式的通项为，
可知展开式共8项，当为有理项，共3项，
所以由插空法可得有理项不相邻的概率．
17. 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．

将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．
【答案】(1)0.108.(2) 1.8，0.72.
【解析】
【详解】试题分析：（1）设表示事件“日销售量不低于100个”，表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此
可求出，，利用事件的独立性即可求出；（2）由题意可知X~B(3,0.6),所以即可列出分布列，求出期望为E(X)和方差D（X）的值.
（1）设表示事件“日销售量不低于100个”，表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此
.
.
.
（2）X的可能取值为0,1,2,3.相应的概率为
,
,
,
,
分布列为

因为X~B(3,0.6),所以期望为E(X)=3×0.6=1.8，方差D（X）=3×0.6×（1-0.6）=0.72
考点：1.频率分布直方图；2.二项分布.
18. 某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”与“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的成绩，统计结果及对应的频率分布直方图如图所示.
（1）若测试的同学中，分数在，，， 内女生的人数分别为2人，8人，16人，4 人，完成下面列联表，依据的独立性检验，能否认为性别与安全意识有关?
（2）按比例分配的分层抽样方法从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中，共选取10人进行座谈，再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为X，求 X 的分布列及数学期望E(X).
附:
【答案】（1）列联表见解析，不能
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）利用频率分布直方图求出样本容量，再由数据表求出，列出列联表，计算并比对作答；
（2）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望.
【小问1详解】
由频率分布直方图可知得分在的频率为，
所以抽取的学生答卷总数为，则，，
可得列联表为：
零假设：性别与安全意识无关，
于是，
依据的独立性检验可知：零假设成立，
所以不能认为性别与安全意识有关．
【小问2详解】
“不合格”和“合格”的人数比例为，因此抽取的10人中“不合格”有4人，“合格”有6人，
可知X的可能取值为0，5，10，15，20，则有：
，
，
所以X的分布列为：
期望．
19. 设函数
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围；
（Ⅲ）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件.
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）;（Ⅲ）见解析.
【解析】
【详解】试题分析：（Ⅰ）求函数f（x）导数，根据，求切线方程；
（Ⅱ）根据导函数判断函数f（x）的单调性，由函数有三个不同零点，求c的取值范围；
（Ⅲ）从两方面必要性和不充分性证明，根据函数的单调性判断零点个数.
试题解析：（Ⅰ）由，得．
因为，，
所以曲线在点处的切线方程为．
（Ⅱ）当时，，
所以．
令，得，解得或．
与在区间上的情况如下：
所以，当且时，存在，，
，使得．
由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点．
（Ⅲ）当时，，，
此时函数在区间上单调递增，所以不可能有三个不同零点．
当时，只有一个零点，记作．
当时，，区间上单调递增；
当时，，在区间上单调递增．
所以不可能有三个不同零点．
综上所述，若函数有三个不同零点，则必有．
故是有三个不同零点的必要条件．
当，时，，只有两个不同零点，所以不是有三个不同零点的充分条件．
因此是有三个不同零点的必要而不充分条件．
【考点】利用导数研究曲线的切线；函数的零点
【名师点睛】
1.证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明．
2.求参数范围问题的常用方法：（1）分离变量；（2）运用最值．
3.方程根的问题可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论．
4.高考中一些不等式证明需要通过构造函数，转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键．
X
0
1
2
3
4
P
q
0.4
0.1
02
0.2
X
0
1
2
3
P
0.064
0.288
0.432
0.216
等级
不合格
合格
得分
频数
6
x
24
y
等级
性别
不合格
合格
总计
男生
女生
总计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
等级
性别
不合格
合格
总计
男生
14
16
30
女生
10
20
30
总计
24
36
60
X
0
5
10
15
20
P