安徽省合肥市百花中学等六校2022-2023学年高一下学期期末联考数学试卷（含答案）

这是一份安徽省合肥市百花中学等六校2022-2023学年高一下学期期末联考数学试卷（含答案），共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

安徽省合肥市百花中学等六校2022-2023学年高一下学期期末联考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题
1、复数，则( )
A. B. C. D.
2、若,且，则( )
A.-2 B. C. D.10
3、如图是一组数据的频率分布直方图，设这组数据的平均数为M，中位数为N，则关于M与N的大小关系，下面说法正确的是( )

A. B. C. D.不确定
4、若一个球的表面积和体积的数值相等，则该球的半径为( )
A. B. C. D.3
5、在中，若，，，则B等于( )
A. B.或 C. D.或
6、如图，在长方体中，，，且E为的中点，则直线与AE所成角的大小为( )

A. B. C. D.
7、已知平行四边形ABCD中，若，，，则等于( )
A. B. C.1 D.
8、“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更.最多相差一两天.”中国农历的“二十四节气”，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如五月有立夏、小满，六月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑.现从五月、六月、七月这六个节气中任选两个节气，则这两个节气恰在同一个月的概率为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9、已知，表示平面，m，n表示直线，则( )
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，则 D.若，，则
10、二十大报告中提出加强青少年体育工作，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快体育强国建设步伐，某校进行50米短跑比赛，甲、乙两班分别选出6名选手，分成6组进行比赛，每组甲、乙每班各派出一名选手，且每名选手只能参加一个组的比赛.下面是甲、乙两班6个小组50米短跑比赛成绩（单位：秒）的折线圈，则下列说法正确的是( )

A.甲班成绩的极差小于乙班成绩的极差
B.甲班成绩的众数小于于乙班成绩的众数
C.甲班成绩的平均数大于乙班成绩的平均数
D.甲班成绩的方差大于乙班成绩的方差
11、三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列条件能判断是钝角三角形的有( )
A.，，
B.
C.
D.
12、设A，B为两个随机事件，以下命题正确的为( )
A.若A，B是互斥事件，，则
B.若A，B是对立事件，则
C.若A，B是独立事件，，则
D.若，且，则A，B是独立事件
三、填空题
13、常言道：国以民为本，民以食为天.食品安全问题是人类生存的第一需要.学校为了解学生对食堂满意情况组织了一次座谈会，并利用分层抽样的方法从高中3个年级中随机抽取了150人参加，其中高一、高二年级各抽取了40人，50人，若高三年级有学生1200人，则该高中共有学生___________人.
14、在复平面内，复数z对应的点的坐标为，则___________.
15、已知，与的夹角为，是与同向的单位向量，则在方向上的投影向量为________.
16、方山双塔位于台州市黄岩区九峰公园内紫云峰之巅.南宋宝章阁直学士章雄飞《游九峰寺》诗中赞道：“九峰突地三千丈，双塔攒空十二层”.为了测量南塔高度，某同学设计了如下测量方法：先在塔底平台点处测得塔底中心O在北偏西方向，塔顶仰角的正切值为，再走到距离A点25米的点B处，测得点O在北偏东方向，塔顶仰角为，则该塔的高度为____________米.

四、解答题
17、已知向量，，
（1）当实数k为何值时，向量与共线
（2）当实数k为何值时，向量与垂直
18、如图，在正四棱柱中，底面ABCD的边长为2，侧棱，E是棱BC的中点，F是与的交点.

（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积.
19、在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c已知.
（1）求角B的大小；
（2）若，的面积为，求的周长.
20、某校对100名高一学生的某次数学测试成绩进行统计，分成，，，，五组，得到如图所示频率分布直方图.

（1）求图中a的值；
（2）估计该校学生数学成绩的平均数；
（3）估计该校学生数学成绩的第75百分位数.
21、甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.记事件“甲第一轮猜对”，“乙第一轮猜对”，“甲第二轮猜对”，“乙第二轮猜对”.
（1）求“星队”在两轮活动中至少猜对3个成语的概率；
（2）求“星队”在两轮活动中，甲、乙猜对成语的个数相等且至少为1的概率.
22、如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，，平面ABCD，且M是PD的中点.

（1）求证：平面PCD；
（2）求直线CD与平面ACM所成角的正弦值.
参考答案
1、答案：D
解析：复数，
.
故选：D.
2、答案：A
解析：根据题意，若，
则，解可得.
故选：A.
3、答案：B
解析：由题意，平均数是反映一组数据的平均水平，与这组数据中的每一个数据都有关系；
将一组数据按大小顺序排列，处在中间位置的一个数，叫做这组数据的中位数.
平均数和中位数的大小关系与数据的分布的形态有关，和中位数相比，平均数总是在“长尾巴”的那边，
如图（1）中位数与平均数相等；如图（2）中位数小平均数；如图（3）中位数大于平均数，
结合给定的频率分布直方图，可知数据的中位数N更大一些，即.
故选：B.

4、答案：D
解析：设球的半径为R，由题意可得，
解得.
故选：D.
5、答案：D
解析：，，，
由正弦定理得：.
，
或.
故选：D.
6、答案：C
解析：如图，取的中点F，连接EF，BF，，

在长方体中，，，
因为E，F分别为，的中点，
所以，，即四边形ABFE为平行四边形，
所以，所以（或其补角）为直线与AE所成角，
因为，，
所以，，
所以，
，
，
在等腰三角形中，，
所以，
故直线与所成角的大小是.
故选：C.
7、答案：D
解析：四边形ABCD是平行四边形，
，
，，
，，
，
，
与不共线，
，得，
则，
故选：D.
8、答案：C
解析：由题意，基本事件由（立夏，小满），（立夏，芒种），（立夏，夏至），（立夏，小暑），（立夏，大暑），（小满，芒种），（小满，夏至），（小满，小暑），（小满，大暑），（芒种，夏至），（芒种，小暑），（芒种，大暑），（夏至，小暑），（夏至，大暑），（小暑，大暑）共15个，
其中任取两个在同一个月的有3个，
所以.
故选：C.
9、答案：CD.
解析：A选项，若，，则m，n可能平行，相交或异面，故A错误；
B选项，若，，则，可能相交或平行，故错误；
C选项，若，，由线面垂直性质可知，故正确；
D选项，若，，则，互相平行，故D正确.
故选：CD.
10、答案：AB
解析：甲班成绩的极差为秒，乙班成绩的极差为秒，A项正确；
甲班成绩的众数为8.6秒，乙班成绩的众数为8.9秒，B项正确；
甲班成绩的平均数为，
乙班成绩的平均数为.所以，C项错误；
甲班成绩波动小，相对于甲班的平均值比较集中，乙班成绩波动大，且相对于乙班的平均值比较分散，
所以甲班成绩的方差小于乙班成绩的方差，D项错误.
故选：AB.
11、答案：ABC
解析：对于A，，
，且，故A为钝角，故A正确；
对于B，，
，则B为钝角，故B正确；
对于C，，
由正弦定理可得，，即，解得，，故正确；
对于D，，
由正弦定理可得，，
则，即，
故，则，故D错误.
故选：ABC.
12、答案：BC
解析：对于A：若A，B是互斥事件，，，则，故A错误；
对于C：若A，B是独立事件，，，则A，也是独立事件，
则，故C正确；
对于B：若A，B是对立事件，则，故B正确；
对于D：若，则，则，B不是独立事件，故A，B也不是独立事件，故D错误.
故选：BC.
13、答案：3000
解析：由题意可知，高三年级抽取了，
故该高中共有学生：人.
故答案为：3000.
14、答案：
解析：因为复数z对应的点的坐标为，则，
则.
故答案为：.
15、答案：
解析：因为，与的夹角为，是与同向的单位向量，
所以在方向上的投影向量为.
故答案为：.
16、答案：
解析：作出图形如图所示，OC为塔高，
由题意得，，
设塔高，由题意可得，，
在中，由余弦定理可得，
，
整理得，解得或（舍去）.
该塔的高度为米.

故答案为：.
17、答案：(1)
(2)
解析：（1），，
向量与共线，
所以，
所以.
（2），，
向量与垂直，
所以，解得.
18、答案：(1)见解析
(2)
解析：（1）证明：在正四棱柱中，四边形为矩形，则F为的中点，
又E为BC的中点，则有，而平面，平面，
所以平面.
（2）在正四棱柱中，，，
的面积，
所以求三棱锥的体积.
19、答案：(1)
(2)
解析：（1）因为.
由正弦定理可得：，
则，由余弦定理可得：，
又，所以；
（2）由三角形的面积可得：，
所以，
由余弦定理可得：，
解得，
所以三角形ABC的周长为.
20、答案：(1)0.01
(2)75.5
(3)84
解析：（1）由频率分布直方图得：
，
解得.
（2）估计该校学生数学成绩的平均数为：
（分.
（3）第75百分位数为：
（分.
21、答案：(1)
(2)
解析：（1）设“‘星队’至少猜对3个成语”，
则，
则
，
故“星队”在两轮活动中至少猜对3个成语的概率为.
（2）甲两轮猜对1个成语的概率为，甲两轮猜对2个成语的概率为，
乙两轮猜对1个成语的概率为，乙两轮猜对2个成语的概率为，
所以“星队”在两轮活动中，甲、乙猜对成语的个数相等的概率为.
22、答案：(1)见解析
(2)
解析：（1）证明：平面ABCD，平面ABCD，，
又四边形ABCD是矩形，，
，平面PAD，
平面PAD，，
又M是PD的中点，，，
，所以平面PCD；
（2）取AD中点为N，连接MN，AC，

在中，M，N分别为线段PD，AD的中点，故，，
平面ABCD，平面ABCD，
，
由（1）得平面，平面，，
，，又，，
，
设点D到平面AMC的距离为h，直线CD与平面ACM所成角为，
则，解得：，
故，所以直线CD与平面ACM所成角的正弦值为.