2022年湖南省永州市宁远县中考数学模拟试卷（二）（含解析）

2022年湖南省永州市宁远县中考数学模拟试卷（二）

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1. 的相反数的倒数是

A.  B.  C.  D.

2. 年北京将举办冬奥会和冬残奥会．下列冬奥元素中是轴对称图形的是

A.  B.
C.  D.

3. 李明同学在“百度搜索引擎中输入“冬奥会”，能搜索到与之相关的结果的条数约万，这个数用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

4. 下列运算一定正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，常被视为数学界的诺贝尔奖，每四年颁发一次，最近一届获奖者获奖时的年龄单位：岁分别为：，，，，则这组数据的中位数是

A.  B.  C.  D.

6. 下列命题正确的是

A. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
B. 有一个角是直角的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

7. 如图所示几何体的主视图是

A.
B.
C.
D.
 

8. 如图，正方形四个顶点都在上，点是在弧上的一点点与点不重合，则的度数是

A.
B.
C.
D.

9. 一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，且往返速度的大小不变，两车离甲地的距离单位：与慢车行驶时间单位：的函数关系如图，则两车先后两次相遇的间隔时间是

A.  B.  C.  D.

10. 定义新运算“”：对于实数，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是

A. 且 B.  C. 且 D.

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

11. 计算： ______ ．
12. 因式分解：______．
13. 一个不透明的袋子中装有个小球，其中个白球，个黑球，这些小球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是白球的概率为______ ．
14. 如图，是的直径，点、在上，且在异侧，连接、、若，则的大小是______．
    
     

15. 如图，直线，一块含有角的直角三角尺顶点位于直线上，平分，则的度数为______

16. 在物理课中，同学们曾学过小孔成像：在较暗的屋子里，把一只点燃的蜡烛放在一块半透明的塑料薄膜前面，在它们之间放一块钻有小孔的纸板，由于光沿直线传播，塑料薄膜上就出现了蜡烛火焰倒立的像，这种现象就是小孔成像如图如图，如果火焰的高度是，倒立的像的高度为，
    蜡烛火焰根到小孔的距离为，则火焰根的像到的距离是______．

17. 如图，过反比例函数图象上的四点，，，分别作轴的垂线，垂足分别为，，，，再过，，，分别作轴，，，的垂线，构造了四个相邻的矩形若这四个矩形的面积从左到右依次为，，，，，则与的数量关系为______ ．

18. 如图，将正整数按此规律排列成数表，则是表中第______行第______列．

三、解答题（本大题共8小题，共78.0分）

19. 解不等式组请按下列步骤完成解答．
    解不等式，得______ ；
    解不等式，得______ ；
    把不等式和的解集在数轴上表示出来；
    
    原不等式组的解集是______ ．
20. 先化简，再求值：，其中．
21. 为了解落实国家关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见的实施情况，某校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间单位：，按劳动时间分为四组：组“”，组“”，组“”，组“”将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．
    
    根据以上信息，解答下列问题：
    这次抽样调查的样本容量是______ ，组所在扇形的圆心角的大小是______ ；
    将条形统计图补充完整；
    该校共有名学生，请你估计该校平均每周劳动时间不少于的学生人数．
22. 越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度如图，已知测倾器的高度为米，在测点处安置测倾器，测得点的仰角，在与点相距米的测点处安置测倾器，测得点的仰角点，与在一条直线上，求电池板离地面的高度的长结果精确到米；参考数据，，

23. 沃柑是零陵区最近几年引进种植的水果品种，它以色泽亮丽，口味甜美而迅速占领了零陵区的水果市场．今年恰逢沃柑大丰收，一水果商以每斤元的价格购进了大量的沃柑，然后以每斤元的价格进行销售，平均每天可以销售斤．经调查发现，如果沃柑的售价每降价元，那么平均每天的销售量会增加斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售．
    若将沃柑每斤降低元，则每天的销售量是多少斤．用含的代数式表示
    如果该水果商销售的沃柑要每天保证盈利元，每斤沃柑应降至多少元？
24. 如图，直线经过上的点，直线与交于点和点，与交于点，与交于点，，．
    求证：是的切线；
    若，，求图中阴影部分面积．

25. 如图，抛物线与轴交于，两点，其中点的坐标为，与轴交于点，点在抛物线上．
    求抛物线的解析式；
    抛物线的对称轴上有一动点，求出的最小值；
    若抛物线上有一动点，使的面积为，求点的坐标．
    
     

德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”．
如图，点把线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点．
特例感知：在图中，若，求的长；
知识探究：如图，作的内接正五边形；
作两条相互垂直的直径、；
作的中点，以为圆心，为半径画弧交于点；
以点为圆心，为半径，在上连续截取等弧，使弦，连接；
则五边形为正五边形．
在该正五边形作法中，点是否为线段的黄金分割点？请说明理由；
拓展应用：国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，是一个非常优美的几何图形，与黄金分割有着密切的联系．
延长题中的正五边形的每条边，相交可得到五角星，摆正后如图，点是线段的黄金分割点，请利用题中的条件，求的值．
答案和解析

1.【答案】

【解析】解：的相反数是，的倒数是，
故选：．
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数，根据乘积为的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．
本题考查了倒数，先求相反数，再求倒数．
 

2.【答案】

【解析】解：不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B.不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C.不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D.是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

3.【答案】

【解析】解：万．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】

【解析】解：、，原计算正确，故此选项符合题意；
B、，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、与不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：．
根据同底数幂的乘法、幂的乘方的运算法则，完全平方公式、合并同类项法则解答即可．
本题考查了整式的运算．解题的关键是熟练运用整式的运算法则和乘法公式．
 

5.【答案】

【解析】解：把已知数据按照由小到大的顺序重新排序后为，，，，
中位数为．
故选：．
把所给数据按照由小到大的顺序排序，再求出中间两个数的平均数即可．
本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两个数的平均数．
 

6.【答案】

【解析】解：、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，本选项说法正确，符合题意；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故本选项说法完成，不符合题意；
C、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故本选项说法完成，不符合题意；
D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，故本选项说法完成，不符合题意；
故选：．
根据矩形、菱形、正方形、平行四边形的判定定理判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 

7.【答案】

【解析】解：从正面看，可得如下图形：

故选：．
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握简单组合体三视图的形状是正确判断的前提．
 

8.【答案】

【解析】解：连接，
四边形为正方形，
，
由圆周角定理得：，
故选：．
连接，根据正方形的性质求出，根据圆周角定理解答即可．
本题考查的是正方形的性质、圆周角定理，根据正方形的性质求出是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：根据图象可知，慢车的速度为．
对于快车，由于往返速度大小不变，总共行驶时间是，
因此单程所花时间为，故其速度为．
所以对于慢车，与的函数表达式为．
对于快车，与的函数表达式为
联立，可解得交点横坐标为，
联立，可解得交点横坐标为，
因此，两车先后两次相遇的间隔时间是，
故选：．
根据图象得出，慢车的速度为，快车的速度为从而得出快车和慢车对应的与的函数关系式．联立两个函数关系式，求解出图象对应两个交点的坐标，即可得出间隔时间．
本题主要考查根据函数图象求一次函数表达式，以及求两个一次函数的交点坐标．解题的关键是利用图象信息得出快车和慢车的速度，进而写出与的关系．
 

10.【答案】

【解析】解：根据题意得，
整理得，
因为方程有两个实数解，
所以且，
解得且．
故选：．
先根据新定义得到，再整理为一般式，接着根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．把有新定义运算的方程化为一元二次方程的一般式是解决问题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：

．
故答案为：．
利用绝对值和零指数幂的性质进行求解即可．
本题主要考查了绝对值的性质和零指数幂的性质，准确把握绝对值的性质正数和零的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数和零指数幂零除外任何数的零次幂都等于是解答问题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：．
故答案为：．
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
 

13.【答案】

【解析】解：从袋子中随机摸出一个小球共有种等可能结果，摸出的小球是白球的结果数为，
摸出的小球是白球的概率为，
故答案为：．
用白球的个数除以球的总个数即可．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
 

14.【答案】

【解析】解：，
，
，
故答案为：．
根据平角定义求出，再利用圆周角定理可得，进行计算即可解答．
本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：，
，
平分，，
，
，
故答案为．
根据两直线平行，可以得出内错角相等，，由平分，角平分线的性质得，，故可以得出的度数．
本题考查平行线的性质和角平分线，解本题要熟练掌握平行线的性质和角平分线．
 

16.【答案】

【解析】解：如图，

，
∽，
则，即，
解得：，
故答案为：．
由知∽，据此可得，解之即可得出答案．
本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．
 

17.【答案】

【解析】解：过双曲线上任意一点、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积是个定值，，
，，，，
．
故答案为：．
过双曲线上任意一点、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积是个定值，，由，得出，，，，即可得出．
此题考查反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义．
 

18.【答案】 

【解析】解：由图可知，
第一行个数字，
第二行个数字，
第三行个数字，
，
则第行个数字，
前行一共有个数字，
，，
是表中第行第列，
故答案为：，．
根据表格中的数据，可以写出前几行的数字个数，然后即可写出前行的数字个数，从而可以得到在图中的位置．
本题考查数字的变化类，解答本题的关键是发现数字的变化特点，写出前行的数字个数．
 

19.【答案】
 
把不等式和的解集在数轴上表示出来；

 

【解析】解：
解不等式，得；
解不等式，得；

原不等式组的解集是．
故答案为：；；．
先解出两个不等式，然后在数轴上表示出它们的解集，即可写出不等式组的解集．
本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．
 

20.【答案】解：


，
当时，原式．

【解析】先算括号内的减法．再算括号外的除法，最后将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式减法和除法的运算法则．
 

21.【答案】  ，
组的人数名，
条形统计图如图所示，


名．
答：估计该校平均每周劳动时间不少于的学生人数为．

【解析】解：这次抽样调查的样本容量是，
组所在扇形的圆心角的大小是，
故答案为：，；


用组的人数所占百分比计算即可，计算组的百分比，用组的百分数乘以即可得出组所在扇形的圆心角的大小；
求出组人数，画出条形图即可；
用，两组的百分数之和乘以即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：延长交于点，米，
设米，

，故EH米，
在中，，解得，
则米，
电池板离地面的高度的长约为米。

【解析】设，，故EH，则，进而求解。
本题是解直角三角形的应用仰角俯角问题，解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
 

23.【答案】解：若将沃柑每斤降低元，则每天的销售量是斤；
根据题意，得：，
整理，得：，
解得，，
又因为需要尽快减少库存，
，
答：每斤沃柑应降至元．

【解析】根据“原销售量平均每天增加的销售量降的价格”求解即可；
根据“每斤的利润销售量每天利润”列出关于的方程，解之即可．
此题考查一元二次方程的应用；得到可卖出商品数量是解决本题的易错点；得到总盈利元的等量关系是解决本题的关键．
 

24.【答案】证明：连接，
，，
，
是的半径，
是的切线；
解：是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
在中，
，，
，
，
．

【解析】连接，由等腰三角形的性质证得，根据切线的判定得到是的切线；
由圆周角定理结合平行线的性质得到，由垂径定理求得，根据等腰三角形的性质结合平角的定义求得，在中，根据三角函数的定义求得，，根据即可求出阴影部分面积．
本题主要考查了切线的性质和判定，扇形和三角形的面积公式，三角函数的定义，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质等知识，根据由垂径定理和等腰三角形的性质结合平角的定义求出，是解决问题的关键．
 

25.【答案】解：二次函数的图象经过，，
，
解得：．
二次函数解析式为；

抛物线的对称轴，，，
、关于抛物线的对称轴对称，
连接与对称轴的交点就是点，

此时．
的最小值为；

设点坐标，
令，，
或，
点坐标，
，
，
，
，，
或或或，
点的坐标为或或或．

【解析】把、两点坐标代入二次函数，解方程组即可解决．
利用轴对称找到点，用勾股定理即可解决．
根据三角形面积公式，列出方程即可解决．
本题是二次函数综合题，考查待定系数法确定二次函数解析式、轴对称最短问题，解题关键是熟练掌握待定系数法求抛物线解析式，学会利用对称解决最短问题，用方程的思想去思考问题，属于中考常考题型．
 

26.【答案】解：根据黄金分割点的意义，
得，
，
；
是线段的黄金分割点，理由如下：
设的半径为，则，
，
，，
，
即是线段的黄金分割点；
如图，作于，
由题可知，，
正五边形的每个内角都为，
，
即，
点是线段的黄金分割点，
，
又，，
．

【解析】根据黄金分割的定义直接求出的长度即可；
设的半径为，则，，，得出，即可得证点是线段的黄金分割点；
作于，由正五边形可知，，，．
本题主要考查黄金分割点的几何意义，正多边形内角和，解直角三角形等知识点，正确理解并熟练应用黄金分割点的比例关系是解题的关键．