人教A版普通高中数学一轮复习第五章第四节数系的扩充与复数的引入学案

这是一份人教A版普通高中数学一轮复习第五章第四节数系的扩充与复数的引入学案，共18页。学案主要包含了常用结论等内容，欢迎下载使用。

2．理解复数相等的充要条件．
3．了解复数的代数表示法及其几何意义．
4．会进行复数代数形式的四则运算．
5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．
自查自测
知识点一 复数的有关概念
1．判断下列说法的正误，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)复数z＝a－bi(a，b∈R)中，虚部为b.( × )
(2)复数可以比较大小．( × )
(3)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数．( × )
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( √ )
核心回扣
1.定义：我们把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}(i为虚数单位)中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部．
2．分类：
2．(教材改编题)若复数z＝m2+m-6m＋(m2－2m)i为纯虚数，则实数m的值为( )
A．2B．－3
C．2或－3D．1或－3
B 解析：因为复数z＝m2+m-6m＋(m2－2m)i为纯虚数，
所以m≠0， m2+m-6m=0， m2-2m≠0，解得m＝－3.
3.复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
4．共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)．
5．模：向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝a2+b2．
知识点二 复数的几何意义
在复平面内，向量AB对应的复数是2＋i，向量CB对应的复数是－1－3i，则向量CA对应的复数是( )
A．1－2iB．－1＋2i
C．3＋4iD．－3－4i
D 解析：由CA＝CB+BA知，CA对应的复数是－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i.
1．复数z＝a＋bi(a，b∈R) 一一对应 复平面内的点Z(a，b)．
2．复数z＝a＋bi(a，b∈R) 一一对应 平面向量OZ.
知识点三 复数的运算法则
1．(教材改编题)复数5i-2的共轭复数是 ．
－2＋i 解析：5i-2＝5-2-i-2+i-2-i＝－2－i，故其共轭复数是－2＋i.
2．已知复数z满足(3＋4i)·z＝5(1－i)，则z的虚部是 ．
－75 解析：因为(3＋4i)·z＝5(1－i)，
所以z＝51-i3+4i＝51-i3-4i3+4i3-4i＝53-7i+4i232-4i2＝5-1-7i25＝－15－75i.
所以z的虚部为－75．
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
【常用结论】
1．(1±i)2＝±2i，1+i1-i＝i，1-i1+i＝－i.
2．若ω＝－12＋32i，则有ω3＝1，1＋ω＋ω2＝0，1＋ω+ω2＝0，ω2＝ω.
3．i4n＝1，i4n+1＝i，i4n+2＝－1，i4n+3＝－i(n∈N*)，i4n＋i4n+1＋i4n+2＋i4n+3＝0(n∈N*)．
4．z·z＝|z|2＝|z|2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，z1z2＝z1z2，|zn|＝|z|n.
应用1 复数z＝1-i1+i，则ω＝z2＋z4＋z6＋z8＋z10的值为( )
A．1B．－1
C．iD．－i
B 解析：因为z2＝1-i1+i2＝－1，所以ω＝－1＋1－1＋1－1＝－1.
应用2 1-i216＋(1＋2i)2＝ ．
－2＋4i 解析：原式＝1-i228＋(－3＋4i)＝-2i28－3＋4i＝(－i)8－3＋4i＝－2＋4i.
复数的有关概念
1．若z＝3＋4i，则|z|＝( )
A．5B．5
C．7D．25
B 解析：因为z＝3＋4i，所以|z|＝32+42＝25＝5.
2．(2024·泰安模拟)已知复数z与(z＋2)2＋8i都是纯虚数，则z＝( )
A．2B．－2
C．2iD．－2i
C 解析：设z＝bi(b≠0)．因为(z＋2)2＋8i＝(bi＋2)2＋8i＝4－b2＋(4b＋8)i为纯虚数，
所以4-b2=0，4b+8≠0，解得b＝2.
所以z＝2i.
3．(2022·全国乙卷)已知z＝1－2i，且z＋az＋b＝0，其中a，b为实数，则( )
A．a＝1，b＝－2B．a＝－1，b＝2
C．a＝1，b＝2D．a＝－1，b＝－2
A 解析：由题可得z＝1＋2i，则z＋az＋b＝1－2i＋a(1＋2i)＋b＝(1＋a＋b)＋(2a－2)i.
由z＋az＋b＝0，
得1+a+b=0，2a-2=0， 解得a=1，b=-2.
解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.
(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为原来的相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
复数的几何意义
【例1】(1)(2024·武汉模拟)已知i是虚数单位，复数m＋1＋(2－m)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－1)
B．(－1，2)
C．(2，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
A 解析：因为复数m＋1＋(2－m)i在复平面内对应的点在第二象限，所以m+1＜0，2-m＞0，解得m＜－1，所以实数m的取值范围为(－∞，－1)．
(2)(2023·新高考全国Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)·(3－i)对应的点位于( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
A 解析：因为(1＋3i)(3－i)＝3＋8i－3i2＝6＋8i，则所求复数对应的点为(6，8)，位于第一象限．
(3)设复数z满足|z＋1|＝|z－i|，z在复平面内对应的点为(x，y)，则( )
A．x＝0B．y＝0
C．x－y＝0D．x＋y＝0
D 解析：由题可得z＝x＋yi.因为复数z满足|z＋1|＝|z－i|，所以x+12+y2＝x2+y-12，化简，得x＋y＝0.
复数几何意义问题的解题策略
(1)复数z、复平面上的点Z及向量OZ间的相互联系：z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔OZ＝(a，b)．
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题简单化．
1．(2024·岳阳模拟)已知复数z满足z(1＋i)＝2i，则复数z在复平面内对应点所在象限是( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
A 解析：因为z(1＋i)＝2i，
所以z＝2i1+i＝2i1-i1+i1-i＝1＋i，所以复数z在复平面内对应点(1，1)所在象限是第一象限．
2．设复数z满足|z－1|＝2，z在复平面内对应的点为(x，y)，则( )
A．(x－1)2＋y2＝4B．(x＋1)2＋y2＝4
C．2x2＋(y－1)2＝4D．x2＋(y＋1)2＝4
A 解析：|z－1|＝x-12+y2＝2，
所以(x－1)2＋y2＝4.
复数的运算
考向1 复数的乘法运算
【例2】(1)(2022·新高考全国Ⅱ卷)(2＋2i)(1－2i)等于( )
A．－2＋4iB．－2－4i
C．6＋2iD．6－2i
D 解析：(2＋2i)(1－2i)＝2－4i＋2i＋4＝6－2i.
(2)计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)等于( )
A．2i－13B．13＋2i
C．13－2iD．－13－2i
D 解析：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.
(3)若z＋z＝6，z·z＝10，则z等于( )
A．1±3iB．3±i
C．3＋iD．3－i
B 解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，由题意得2a=6， a2+b2=10，解得a=3，b=1 或a=3， b=-1，所以z＝3±i.
复数乘法运算的要点
(1)复数的乘法类似于多项式的乘法，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i2换成－1.
(2)常用公式
①(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R)．
②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)．
③(1±i)2＝±2i.
考向2 复数的除法运算
【例3】(1)(2023·新高考全国Ⅰ卷)已知z＝1-i2+2i，则z－z＝( )
A．－iB．i
C．0D．1
A 解析：因为z＝1-i2+2i＝1-i1-i21+i1-i＝-2i4＝－12i，所以z＝12i，即z－z＝－i.
(2)(2023·全国乙卷)设z＝2+i1+i2+i5，则z＝( )
A．1－2iB．1＋2i
C．2－iD．2＋i
B 解析： 由题意可得z＝2+i1+i2+i5＝2+i1-1+i＝i2+ii2＝2i-1-1＝1－2i，则z＝1＋2i.
复数的除法运算法则的应用
复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用分母“实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算．
考向3 复数运算的综合应用
【例4】(1)(多选题)若复数z1＝1＋2i，z2＝7－3i，则下列说法正确的是( )
A．z1＝5
B．在复平面内，复数z2所对应的点位于第四象限
C．z1·z2的实部为13
D．z1·z2的虚部为－11
ABC 解析：由题意得，z1＝12+22＝5，故A正确；在复平面内，复数z2所对应的点为(7，－3)，位于第四象限，故B正确；因为z1·z2＝(1＋2i)(7－3i)＝7－3i＋14i＋6＝13＋11i，所以z1·z2的实部为13，虚部为11，故C正确，D错误．
(2)已知复数z满足|z－1＋i|＝22，z为z的共轭复数，则z·z的最大值为 ．
18 解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则|z－1＋i|＝|a－1＋(b＋1)i|＝a-12+b+12＝22的几何意义为z在复平面内所对应的点(a，b)到点(1，－1)的距离为22，
所以z所对应的点(a，b)的轨迹是以(1，－1)为圆心，22为半径的圆．
而zz＝a2＋b2可看作该圆上的点(a，b)到原点的距离的平方，
所以(z·z)max＝(2＋22)2＝18.
(1)研究复数模的问题，可利用数形结合法，考虑模的几何意义求解．
(2)若复数z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝r，点Z在以(0，0)为圆心，r为半径的圆上．
1．已知a∈R，若a-ia-2i(i为虚数单位)是实数，则a＝( )
A．－1B．0
C．1D．2
B 解析：因为a-ia-2i＝a-iia-2i2＝12-a＋a2-ai为实数，所以a2-a＝0，解得a＝0.
2．(多选题)若复数z＝21+i，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是( )
A．z的虚部为－1
B．|z|＝2
C．z2为纯虚数
D．z的共轭复数为－1－i
ABC 解析：z＝21+i＝21-i1+i1-i＝2-2i2＝1－i.对于A，z的虚部为－1，正确；对于B，模长|z|＝2，正确；对于C，因为z2＝(1－i)2＝－2i，故z2为纯虚数，正确；对于D，z的共轭复数为1＋i，错误．
3．若复数z满足(1＋2i)z＝1－i，则|z|＝( )
A．25B．35
C．105D．10
C 解析：(方法一)由(1＋2i)z＝1－i，可得z＝1-i1+2i＝1-i1-2i1+2i1-2i＝1-2i-i-25＝－15－35i，所以|z|＝1+925＝105．
(方法二)由(1＋2i)z＝1－i，可得|(1＋2i)z|＝|1－i|，即|1＋2i|·|z|＝|1－i|，得到5|z|＝2，故|z|＝105．
4．如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是( )
A．1B．2
C．2D．5
A 解析：因为|z＋i|＋|z－i|＝2，
所以点Z到点A(0，－1)与到点B(0，1)的距离之和为2，所以点Z的轨迹为线段AB.
而|z＋i＋1|表示点Z到点(－1，－1)的距离，
由数形结合，得最小距离为1.
5．(多选题)(2024·湛江模拟)下列命题中，真命题是( )
A．若z为实数，则z＝z
B．若z＝z，则z为实数
C．若z为实数，则z·z为实数
D．若z·z为实数，则z为实数
ABC 解析：不妨设z＝a＋bi，a，b∈R，故可得z＝a－bi.
若z为实数，则z＝a，所以z＝a，故A正确；
若z＝z，则a＋bi＝a－bi，故可得b＝0，所以z＝a∈R，故B正确；
若z为实数，故可得z＝a，z＝a，显然z·z＝a2∈R，故C正确；
若z·z∈R，即a2＋b2∈R，无法得到b＝0，故D错误．
课时质量评价(三十一)
1．在复平面内，复数z所对应的点A的坐标为(1，－1)，则z的实部与虚部的和是( )
A．2 B．0
C．1＋iD．1－i
B 解析：由题意可知z＝1－i，所以复数z的实部是1，虚部是－1，其和为0.
2．(2024·烟台模拟)若复数z满足(1＋2i)z＝4＋3i，则z等于( )
A．－2＋iB．－2－i
C．2＋iD．2－i
C 解析：由(1＋2i)z＝4＋3i得z＝4+3i1+2i＝4+3i1-2i1+2i1-2i＝2－i，所以z＝2＋i.
3．已知i为虚数单位，则2+i3-4i2-i＝( A )
A．5B．5i
C．－75－125iD．－75＋125i
4．(数学与文化)欧拉公式eiθ＝cs θ＋isin θ(其中e＝2.718…，i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式，下列结论中正确的是( )
A．eiπ的实部为0
B．e2i在复平面内对应的点在第一象限
C．|eiθ|＝1
D．eiπ的共轭复数为1
C 解析：对于A，eiπ＝cs π＋isin π＝－1，则实部为－1，A错误；
对于B，e2i＝cs 2＋isin 2在复平面内对应的点为(cs 2，sin 2)，因为cs 2＜0，sin 2＞0，所以e2i在复平面内对应的点位于第二象限，B错误；
对于C，|eiθ|＝|cs θ＋isin θ|＝cs2θ+sin2θ＝1，C正确；
对于D，eiπ＝csπ＋isin π，则其共轭复数为cs π－isin π＝－1，D错误．
5．已知i为虚数单位，复数z满足z(1－i)＝2i，则z＝ ．
－1＋i 解析：由题意可得z＝2i1-i＝2i1+i1-i1+i＝2i-22＝－1＋i.
6．(2024·石家庄模拟)设O是坐标原点，向量OA，OB对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量BA对应的复数是 ．
5－5i 解析：因为向量OA，OB对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，
所以OA＝(2，－3)，OB＝(－3，2)，
所以BA＝OA-OB＝(5，－5)，
其对应的复数是5－5i.
7．已知复数z满足1≤|z－(1－i)|≤2，则复数z在复平面内对应的点Z所在区域的面积为 ．
3π 解析：令z＝a＋bi且a，b∈R，则1≤|(a－1)＋(b＋1)i|≤2，
所以1≤(a－1)2＋(b＋1)2≤4，
即对应区域的面积是圆心为(1，－1)，半径分别为1，2的两个同心圆的面积的差，
所以点Z所在区域的面积为4π－π＝3π.
8．已知复数z＝1-i2+31+i2-i．
(1)求复数z；
(2)若z2＋az＋b＝1－i，求实数a，b的值．
解：(1)z＝-2i+3+3i2-i＝3+i2-i＝3+i2+i5＝1＋i.
(2)把z＝1＋i代入z2＋az＋b＝1－i，
得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，
整理得a＋b＋(2＋a)i＝1－i，
所以a+b=1， 2+a=-1，解得a=-3，b=4.
9．在复平面内，满足条件|z＋4i|＝2|z＋i|的复数z对应的点的轨迹是( )
A．直线B．圆
C．椭圆D．双曲线
B 解析：设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，
则|z＋4i|＝|x＋(y＋4)i|＝x2+y+42，
|z＋i|＝|x＋(y＋1)i|＝x2+y+12.
结合题意有x2＋(y＋4)2＝4x2＋4(y＋1)2，
整理可得x2＋y2＝4.
故复数z对应的点的轨迹是圆．
10．(多选题)设z1，z2是复数，则下列说法中正确的是( )
A．z1－z2＝z1－z2
B．z1z2＝z1·z2
C．若z1z2∈R，则z1＝z2
D．若z1-z2＝0，则z1＝z2
ABD 解析：设z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，
z1－z2＝(a－c)－(b－d)i，z1－z2＝a－bi－(c－di)＝(a－c)－(b－d)i，A正确；
z1z2＝ac-bd+ad+bci＝ac-bd2+ad+bc2＝a2+b2c2+d2，
z1·z2＝a2+b2·c2+d2＝a2+b2c2+d2，B正确；
当z1＝i，z2＝－4i时，z1z2＝4∈R，但是z1≠z2，C错误；
若z1-z2＝0，则a-c+b-di＝a-c2+b-d2＝0，所以a＝c，b＝d，z1＝z2，z1＝z2，D正确．
11．(多选题)已知复数z1＝－2＋i(i为虚数单位)，复数z2满足|z2－1＋2i|＝2，z2在复平面内对应的点为M(x，y)，则下列说法正确的是( )
A．复数z1在复平面内对应的点位于第二象限
B．1z1＝－25－15i
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝4
D．|z2－z1|的最大值为32＋2
ABD 解析：对于A，复数z1在复平面内对应的点的坐标为(－2，1)，该点位于第二象限，故A正确；
对于B，1z1＝1-2+i＝-2-i-2+i-2-i＝－25－15i，故B正确；
对于C，z2－1＋2i＝(x－1)＋(y＋2)i，
又因为|z2－1＋2i|＝2，
所以(x－1)2＋(y＋2)2＝4，故C错误；
对于D，z1－1＋2i＝－3＋3i，
则|z1－1＋2i|＝-32+32＝32，
|z2－z1|＝|(z2－1＋2i)－(z1－1＋2i)|≤|z2－1＋2i|＋|z1－1＋2i|＝2＋32，故D正确．
12．(2024·邹城模拟)一般地，任何一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)都可以表示成r(cs θ＋isin θ)的形式，其中r是复数z的模，θ是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，r(cs θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．为了与“三角形式”区分开来，a＋bi(a，b∈R)叫做复数的代数表示式，简称“代数形式”．已知z1＝cs θ1＋isin θ1，z2＝cs θ2＋isin θ2，cs (π＋θ1＋θ2)＝35，其中θ1∈0，π2，θ2∈0，π2，则z1z2＝ ．(结果表示代数形式)
－35＋45i 解析：因为cs (π＋θ1＋θ2)＝－cs (θ1＋θ2)＝35，所以cs (θ1＋θ2)＝－35＜0.
又θ1∈0，π2，θ2∈0，π2，所以θ1＋θ2∈π2，π，
所以sin (θ1＋θ2)＝1-cs2θ1+θ2＝1--352＝45，
所以z1z2＝(csθ1＋isin θ1)(cs θ2＋isin θ2)＝(cs θ1cs θ2－sin θ1sin θ2)＋i(cs θ1sin θ2＋sin θ1cs θ2)＝cs (θ1＋θ2)＋isin (θ1＋θ2)＝－35＋45i.
13．在数学中，记表达式ad－bc是由a bc d所确定的二阶行列式．若在复数域内，z1＝1＋i，z2＝2+i1-i，z3＝z2，则当z1 z2z3 z4＝12－i时，z4的虚部为 ．
－2 解析：依题意知，z1 z2z3 z4＝z1z4－z2z3.
因为z3＝z2，
且z2＝2+i1-i＝2+i1+i2＝1+3i2，
所以z2z3＝|z2|2＝52．
因此有(1＋i)z4－52＝12－i，
即(1＋i)z4＝3－i，
故z4＝3-i1+i＝3-i1-i2＝1－2i，
所以z4的虚部是－2.
14．若虚数z同时满足下列两个条件：
①z＋5z是实数；
②z＋3的实部与虚部互为相反数．
这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由．
解：这样的虚数存在，z＝－1－2i或z＝－2－i.
设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，
z＋5z＝a＋bi＋5a+bi＝a＋bi＋5a-bia2+b2
＝a+5aa2+b2＋b-5ba2+b2i.
因为z＋5z是实数，所以b－5ba2+b2＝0.
又因为b≠0，所以a2＋b2＝5.
又z＋3＝(a＋3)＋bi的实部与虚部互为相反数，
所以a＋3＋b＝0.
由a+b+3=0，a2+b2=5，
解得a=-1，b=-2 或a=-2，b=-1.
故存在虚数z，z＝－1－2i或z＝－2－i.
满足条件(a，b为实数)
复数的分类
a＋bi为实数⇔b＝0
a＋bi为虚数⇔b≠0
a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0