人教A版普通高中数学一轮复习第四章第四节三角函数的图象与性质学案

这是一份人教A版普通高中数学一轮复习第四章第四节三角函数的图象与性质学案，共29页。

3．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在-π2，π2上的性质．
自查自测
知识点一 用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
1．判断下列说法的正误，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)y＝sin x，x∈[0，2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称．( √ )
(2)y＝cs x，x∈[0，2π]的图象关于直线x＝π2成轴对称．( × )
(3)正弦、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围．( × )
(4)函数y＝cs (－x)与y＝cs |x|的图象相同．( √ )
2．函数y＝cs x＋4，x∈[0，2π]的图象与直线y＝4的交点的坐标为
π2，4，3π2，4 解析：由y=csx+4，y=4 得cs x＝0，当x∈[0，2π]时，x＝π2或3π2，
所以交点的坐标为π2，4，3π2，4．
核心回扣
1．在正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：(0，0)，π2，1，(π，0)，3π2，-1，(2π，0)．
2．在余弦函数y＝cs x，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：(0，1)，π2，0，(π，－1)，3π2，0，(2π，1)．
注意点：
“五点法”作图时要注意五点的选取，一般令ωx＋φ分别取0，π2，π，3π2，2π，算出相应的x值，再列表、描点、连线．
自查自测
知识点二 正弦、余弦函数的图象与性质
1．判断下列说法的正误，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)已知y＝cs x在第一、二象限内单调递减．( × )
(2)若非零常数T是函数f (x)的周期，则kT(k是非零整数)也是函数f (x)的周期．( √ )
(3)函数y＝sin x的图象的对称轴方程为x＝2kπ＋π2(k∈Z)．( × )
(4)若y＝k sin x＋1，x∈R，则y的最大值是 k＋1.( × )
2．(教材改编题)函数f (x)＝12sin 2x-π3(x∈R)的单调递减区间是 ．
5π12+kπ，11π12+kπ(k∈Z) 解析：由π2＋2kπ≤2x－π3≤3π2＋2kπ，k∈Z，解得5π12＋kπ≤x≤11π12＋kπ，k∈Z，故函数f (x)的单调递减区间是5π12+kπ，11π12+kπ(k∈Z)．
核心回扣
正弦、余弦函数的图象与性质
知识点三 正切函数的图象与性质
1．(多选题)已知函数f (x)＝tan 2x+π3，则( )
A．函数f (x)的最小正周期为π
B．函数f (x)的图象关于点π12，0中心对称
C．函数f (x)在定义域上单调递增
D．若－π24≤x≤π12，则f (x)≥1
BD 解析：f (x)的最小正周期为T＝π2，A选项错误；令2x＋π3＝kπ2，k∈Z，解得x＝－π6＋kπ4，k∈Z，当k＝1时，x＝π12，所以π12，0是函数f (x)的对称中心，B选项正确；因为0＜π，f (0)＝f (π)，所以函数f (x)在定义域上不是单调递增的，C选项错误；若－π24≤x≤π12，则π4≤2x＋π3＜π2，可得tan 2x+π3≥1，D选项正确．
2．(教材改编题)函数y＝tan 2x-3π4的单调递增区间为 ．
π8+kπ2，5π8+kπ2(k∈Z) 解析：由－π2＋kπ＜2x－3π4＜π2＋kπ(k∈Z)，得π8＋kπ2＜x＜5π8＋kπ2(k∈Z)．
正切函数的图象与性质
【常用结论】
1．对称性与周期性
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是12个周期．
2．奇偶性
(1)f (x)＝A sin (ωx＋φ)(A，ω≠0)
若f (x)为偶函数，则φ＝π2＋kπ(k∈Z)；若f (x)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)．
(2)f (x)＝A cs (ωx＋φ)(A，ω≠0)
若f (x)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)；若f (x)为奇函数，则φ＝π2＋kπ(k∈Z)．
(3)若 f (x)＝A tan (ωx＋φ)(A，ω≠0)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)．
应用1 若函数f (x)＝tan ωx(ω＞0)的图象上的相邻两支曲线截直线y＝1所得的线段长为π4，则f π12的值是 ．
3 解析：由题意可得f (x)的周期为π4，则πω＝π4，所以ω＝4，则f π12＝tan 4×π12＝tan π3＝3.
应用2 若函数f (x)＝3sin 2x-π3+φ＋1，φ∈(0，π)，且f (x)为偶函数，则φ＝ ．
5π6 解析：若函数f (x)＝3sin 2x-π3+φ＋1为偶函数，则－π3＋φ＝π2＋kπ，k∈Z，则φ＝5π6＋kπ，k∈Z.又因为φ∈(0，π)，所以φ＝5π6．
三角函数的定义域
1．函数f (x)＝－2tan 2x+π6的定义域是( )
A．{x|x≠π6}
B．{x|x≠-π12}
C．{x|x≠kπ+π6，k∈Z}
D．{x|x≠kπ2+π6，k∈Z}
D 解析：由2x＋π6≠kπ＋π2(k∈Z)，得x≠kπ2＋π6(k∈Z)．
2．函数y＝csx-32的定义域为( )
A．-π6，π6
B．kπ-π6，kπ+π6(k∈Z)
C．2kπ-π6，2kπ+π6(k∈Z)
D．R
C 解析：由cs x－32≥0，得cs x≥32，
所以2kπ－π6≤x≤2kπ＋π6，k∈Z.
3．函数y＝sinx-csx的定义域为 ．
x2kπ+π4≤x≤2kπ+5π4，k∈Z
解析：(方法一)要使函数有意义，必须使sin x－cs x≥0.利用图象，在同一直角坐标系中画出[0，2π]上y＝sin x和y＝cs x的图象，如图所示．
在[0，2π]内，当sin x＝cs x时，x＝π4或5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为x2kπ+π4≤x≤2kπ+5π4，k∈Z．
(方法二)sin x－cs x＝2sin x-π4≥0，
将x－π4视为一个整体，由正弦函数y＝sin x的图象和性质可知2kπ≤x－π4≤π＋2kπ(k∈Z)，
解得2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4(k∈Z)，
所以原函数的定义域为x2kπ+π4≤2kπ+5π4，k∈Z．
三角函数的定义域的求法
根据函数解析式的特征列出与三角函数有关的不等式，借助三角函数的图象及性质求解．
提醒：涉及与正切函数有关的定义域，要注意正切函数本身的定义域．
三角函数的值域或最值
【例1】(1)(2024·武汉模拟)已知函数f (x)＝2sin x cs x+π3＋32，x∈0，π2，则函数f (x)的值域是( )
A．-32，32B．-32，1
C．-1，12D．-12，12
B 解析：f (x)＝2sin x cs x+π3＋32＝sin x cs x－3sin2x＋32＝12sin2x＋32cs 2x＝sin 2x+π3．当x∈0，π2时，2x＋π3∈π3，4π3，所以sin 2x+π3∈-32，1．
(2)函数f (x)＝sin 2x+3π2－3cs x的最小值为 ．
－4 解析：因为f (x)＝sin 2x+3π2－3cs x＝－cs 2x－3cs x＝－2cs2x－3csx＋1＝－2csx+342＋178，－1≤cs x≤1，所以当cs x＝1时，f (x)有最小值－4.
(3)函数 f (x)＝sin x＋cs x＋2sin x cs x＋2的值域为 ．
34，3+2 解析：设sin x＋cs x＝2sin x+π4＝t，t∈[－2，2]，
则2sin x cs x＝t2－1.
由函数f (x)＝sin x＋cs x＋2sin x cs x＋2可知，y＝f (x)＝t2＋t＋1＝t+122＋34，t∈[－2，2]，
当t＝－12时，ymin＝34；当t＝2时，ymax＝3＋2.
因此函数f (x)的值域为34，3+2．
三角函数值域的不同求法
(1)把所给的三角函数式变换成y＝A sin (ωx＋φ)的形式求值域．
(2)化为形如y＝a sin2x＋b sinx＋c(或y＝a cs2x＋b csx＋c)的三角函数，可设sin x＝t(或设cs x＝t)转化为关于t的二次函数求值域(或最值)．
(3)利用sin x±cs x和sin x cs x的关系转换成二次函数求值域．
1．函数y＝tan π2-xx∈-π4，π4且x≠0的值域为( )
A．[－1，1]
B．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
C．(－∞，1]
D．[－1，＋∞)
B 解析：因为－π4≤x≤π4且x≠0，
所以π4≤π2－x≤3π4且π2－x≠π2，
所以函数y＝tan π2-x的值域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
2．(2024·青岛质检)已知x∈(0，π)，则f (x)＝cs 2x＋sin x的值域为( )
A．0，98B．[0，1)
C．(0，1)D．0，98
D 解析：由f (x)＝cs 2x＋sin x＝1－2sin2x＋sinx，设sin x＝t，因为x∈(0，π)，所以t∈(0，1].令g(t)＝f (x)＝－2t-142＋98，所以g(t)∈0，98，即f (x)＝cs 2x＋sin x的值域为0，98．
三角函数的单调性
考向1 求三角函数的单调区间
【例2】(1)函数f (x)＝tan x2-π6的单调递增区间是( )
A．2kπ-2π3，2kπ+4π3，k∈Z
B．2kπ-2π3，2kπ+4π3，k∈Z
C．4kπ-2π3，4kπ+4π3，k∈Z
D．4kπ-2π3，4kπ+4π3，k∈Z
B 解析：(1)由kπ－π2＜x2－π6＜kπ＋π2，k∈Z，得2kπ－2π3＜x＜2kπ＋4π3，k∈Z，所以函数f (x)＝tan x2-π6的单调递增区间是2kπ-2π3，2kπ+4π3，k∈Z.
(2)函数f (x)＝sin π3-2x的单调递减区间为 ．
kπ-π12，kπ+5π12，k∈Z 解析：函数f (x)＝sin π3-2x的单调递减区间是函数g(x)＝sin 2x-π3的单调递增区间．
由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，
得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k∈Z.
故函数f (x)的单调递减区间为kπ-π12，kπ+5π12，k∈Z.
[变式] 本例(2)中函数不变，求f (x)在[0，π]上的单调递减区间．
解：令A＝kπ-π12，kπ+5π12，k∈Z，B＝[0，π]，
所以A∩B＝0，5π12∪11π12，π，
所以f (x)在[0，π]上的单调递减区间为0，5π12，11π12，π．
已知三角函数解析式求单调区间
求形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cs (ωx＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，可先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
考向2 已知三角函数的单调性求参数
【例3】(1)(2024·淄博模拟)若函数f (x)＝cs x-π3在区间[－a，a]上单调递增，则实数a的最大值为( )
A．π3 B．π2
C．2π3D．π
A 解析：函数f (x)＝cs x-π3的单调递增区间为-2π3+2kπ，π3+2kπ(k∈Z)，又函数f (x)在[－a，a]上单调递增，所以-a≥-2π3，a≤π3， 得a≤π3，于是0＜a≤π3，即a的最大值为π3．
(2)已知函数f (x)＝sin ωx＋3cs ωx(ω＞0)，且在π3，π2上单调递增，则满足条件的ω的最大值为 ．
133 解析：f (x)＝sin ωx＋3cs ωx＝2sin ωx+π3(ω＞0)．
由2kπ－π2≤ωx＋π3≤2kπ＋π2，k∈Z，得2kπω－5π6ω≤x≤2kπω＋π6ω，k∈Z，
所以f (x)的单调递增区间为2kπω-5π6ω，2kπω+π6ω(k∈Z)．
由题知，π3，π2⊆2kπω-5π6ω，2kπω+π6ω，
即2kπω-5π6ω≤π3，π2≤2kπω+π6ω，k∈Z，
所以6k－52≤ω≤4k＋13，k∈Z.
因为ω＞0，所以当k＝0时，－52≤ω≤13，即0＜ω≤13；当k＝1时，72≤ω≤133；当k≥2，k∈Z时，ω∈∅，所以ωmax＝133．
已知单调区间求参数范围的两种方法
(1)求出原函数相应的单调区间，由已知区间是该单调区间的子集，列不等式(组)求解．
(2)由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正弦、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解．
考向3 利用三角函数的图象确定其单调区间
【例4】求函数y＝－sinx+π4的单调区间．
解：设x＋π4＝u，则y＝－|sin u|的图象如图，
函数的周期为π.
当u∈-π2+kπ，kπ(k∈Z)时，y＝－|sin u|单调递增；
当u∈kπ，π2+kπ(k∈Z)时，y＝－|sin u|单调递减．
所以函数y＝－sinx+π4的单调递增区间为-3π4+kπ，-π4+kπ(k∈Z)，单调递减区间为-π4+kπ，π4+kπ(k∈Z)．
一般含绝对值的函数式可以先画出函数图象，再结合图象确定单调区间，一般地，函数y＝|sin (ωx＋φ)|(或y＝|cs (ωx＋φ)|)的最小正周期是y＝sin (ωx＋φ)(或y＝cs (ωx＋φ))最小正周期的一半．
1．(2022·北京卷)已知函数f (x)＝cs2x－sin2x，则( )
A．f (x)在-π2，-π6上单调递减
B．f (x)在-π4，π12上单调递增
C．f (x)在0，π3上单调递减
D．f (x)在π4，7π12上单调递增
C 解析：f (x)＝cs2x－sin2x＝cs2x，周期T＝π，所以f (x)的单调递减区间为kπ，π2+kπ(k∈Z)，单调递增区间为π2+kπ，π+kπ(k∈Z)．
对于A，f (x)在-π2，-π6上单调递增，故A错误；
对于B，f (x)在-π4，0上单调递增，在0，π12上单调递减，故B错误；
对于C，f (x)在0，π3上单调递减，故C正确；
对于D，f (x)在π4，π2上单调递减，在π2，7π12上单调递增，故D错误．
2．(2024·石家庄模拟)已知ω＞0，函数f (x)＝sin ωx+π4在π2，π上单调递减，则ω的取值范围是 ．
12，54 解析：由π2＜x＜π，ω＞0，得ωπ2＋π4＜ωx＋π4＜ωπ＋π4．
因为y＝sin x的单调递减区间为
2kπ+π2，2kπ+3π2，k∈Z，
所以ωπ2+π4≥2kπ+π2，ωπ+π4≤2kπ+3π2，k∈Z，
解得4k＋12≤ω≤2k＋54，k∈Z.
又由4k＋12－2k+54≤0，k∈Z，且4k＋12＞0，k∈Z，解得k＝0，所以ω∈12，54．
三角函数的周期性、奇偶性、对称性的应用
考向1 三角函数的周期性和奇偶性
【例5】(1)函数f (x)＝2cs2x-π4－1是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为π2的奇函数
D．最小正周期为π2的偶函数
A 解析：因为f (x)＝2cs2x-π4－1＝cs2x-π4＝cs 2x-π2＝sin 2x，
所以T＝2π2＝π，f (x)＝sin 2x是奇函数．
故函数f (x)是最小正周期为π的奇函数．
(2)设函数f (x)＝cs ωx+π6在[－π，π]的图象大致如图，则f (x)的最小正周期为( )
A．10π9 B．7π6
C．4π3D．3π2
C 解析：(方法一)由题图知，函数f (x)的最小正周期T满足0－(－π)＜T＜π－-4π9，即π＜T＜13π9，即π＜2πω＜13π9，即1813＜|ω|＜2.因为函数f (x)的图象过点-4π9，0，所以cs -4π9ω+π6＝0，所以－4π9ω＋π6＝kπ＋π2(k∈Z)，解得ω＝－94k－34(k∈Z)．又1813＜|ω|＜2，所以k＝－1，ω＝32，所以T＝2πω＝4π3．故选C.
(方法二)由题图知，函数f (x)的最小正周期T满足0－(－π)＜T＜π－-4π9，即π＜T＜13π9，即π＜2πω＜13π9，即1813＜|ω|＜2.因为x＝－4π9是函数f (x)的一个上升零点，故－4π9ω＋π6＝－π2＋2kπ(k∈Z)，解得ω＝32－92k(k∈Z)，则k＝0，ω＝32，所以T＝2πω＝4π3．符合题意．故选C.
1．奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝A sin ωx或y＝A tan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝A cs ωx＋b的形式．
2．周期的计算方法：利用函数y＝A sin (ωx＋φ)(ω＞0)，y＝A cs (ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为2πω，函数y＝A tan (ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为πω求解．
考向2 三角函数的对称性
【例6】(1)已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)A＞0，ω＞0，φ＜π2的图象关于直线x＝π3对称，它的最小正周期为π，则函数f (x)图象的一个对称中心是( )
A．π3，1B．π12，0
C．5π12，0D．-π12，0
B 解析：(1)由题意可得2πω＝π，所以ω＝2，
可得f (x)＝A sin (2x＋φ)．
再由函数图象关于直线x＝π3对称，
故2π3＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，得φ＝kπ－π6，k∈Z，又|φ|＜π2，故φ＝－π6，
所以函数f (x)＝A sin 2x-π6．
令2x－π6＝kπ，k∈Z，
可得x＝kπ2＋π12，k∈Z，故函数f (x)图象的对称中心为kπ2+π12，0，k∈Z.
所以函数f (x)图象的一个对称中心是π12，0．
(2)(2022·新高考全国Ⅰ卷)记函数f (x)＝sin ωx+π4＋b(ω＞0)的最小正周期为T.若2π3＜T＜π，且y＝f (x)的图象关于点3π2，2中心对称，则f π2＝( )
A．1B．32
C．52D．3
A 解析：函数f (x)＝sin ωx+π4＋b(ω＞0)的最小正周期为T，则T＝2πω．
由2π3＜T＜π，得2π3＜2πω＜π，所以2＜ω＜3.
因为y＝f (x)的图象关于点3π2，2中心对称，所以b＝2，且sin 3π2ω+π4＝0，
则3π2ω＋π4＝kπ，k∈Z，
所以ω＝23k-14，k∈Z.
因为2＜ω＜3，所以取k＝4，可得ω＝52．
所以f (x)＝sin 52x+π4＋2，
则f π2＝sin 52×π2+π4＋2＝－1＋2＝1.
[变式] 将本例(2)中的函数变为g(x)＝cs ωx+π4＋b(ω＞0)，4π5＜T＜π，其余条件不变，求g(0)．
解：由函数的最小正周期T满足4π5＜T＜π，得4π5＜2πω＜π，解得2＜ω＜52．
又因为函数g(x)的图象关于点3π2，2中心对称，
所以3π2ω＋π4＝kπ＋π2(k∈Z)，且b＝2，所以ω＝2k3＋16，k∈Z.
由2＜ω＜52，得k＝3，所以ω＝136，
所以g(x)＝cs 136x+π4＋2，则g(0)＝2＋22．
求三角函数对称轴方程(对称
中心坐标)的方法
(1)求f (x)＝A sin (ωx＋φ)图象的对称轴方程，只需对ωx＋φ＝π2＋kπ(k∈Z)整理，求对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x.
(2)求f (x)＝A cs (ωx＋φ)图象的对称轴方程，只需对ωx＋φ＝kπ(k∈Z)整理，求对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝π2＋kπ(k∈Z)，求x.
(3)求f (x)＝A tan (ωx＋φ)图象的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ2(k∈Z)，求x.
考向3 与不等式的综合运用
【例7】已知函数f (x)的定义域为R，且f (x＋π)＝2f (x)，当x∈[0，π)时，f (x)＝sin x．若存在x0∈(－∞，m]使f (x0)≥43，则m的取值范围为 ．
10π3，+∞ 解析：因为f (x＋π)＝2f (x)，所以f (x)＝2f (x－π)．因为当x∈[0，π)时，f (x)＝sin x，所以当x∈[π，2π)时，f (x)＝2sin (x－π)时，当x∈[2π，3π)时f (x)＝4sin (x－2π)，当x∈[3π，4π)时，f (x)＝8sin (x－3π)．作出函数y＝f (x)的图象，如图所示．
令8sin (x－3π)＝43，解得x＝10π3或x＝11π3．若存在x0∈(－∞，m]，使得f (x0)≥43，则m≥10π3．
(1)不等式f (x)＜k在x∈I时恒成立⇔f (x)max＜k，x∈I或f (x)的上界小于k.
(2)不等式f (x)＜k在x∈I时有解⇔f (x)min＜k，x∈I或f (x)的下界小于k.
(3)不等式f (x)＞k在x∈I时恒成立⇔f (x)min＞k，x∈I或f (x)的下界大于k.
(4)不等式f (x)＞k在x∈I时有解⇔f (x)min＞k，x∈I或f (x)的上界大于k.
解决恒成立和有解问题的基本策略常常是构造辅助函数，利用函数的单调性，最值(或上、下界)，图象求解，基本方法包括：分类讨论，数形结合，参数分离，变换主元等．
1．(多选题)(2024·1月九省适应性测试)已知函数f (x)＝sin 2x+3π4＋cs 2x+3π4，则( )
A．函数f x-π4为偶函数
B．曲线y＝f (x)的对称轴为x＝kπ，k∈Z
C．f (x)在区间π3，π2上单调递增
D．f (x)的最小值为－2
AC 解析：f (x)＝sin 2x+3π4＋cs 2x+3π4
＝sin 2x cs 3π4＋sin 3π4cs 2x＋cs 2x cs 3π4－sin 2x sin 3π4
＝－22sin 2x＋22cs 2x－22cs 2x－22sin 2x＝－2sin 2x，
即f (x)＝－2sin 2x.
对于A，f x-π4＝－2sin 2x-π2＝2cs 2x，易知为偶函数，故A正确；
对于B，曲线f (x)＝－2sin 2x的对称轴为2x＝π2＋kπ，k∈Z，解得x＝π4＋kπ2，k∈Z，故B错误；
对于C，x∈π3，π2，则2x∈2π3，π，此时y＝sin 2x单调递减，则f (x)＝－2sin 2x单调递增，故C正确；
对于D，因为f (x)＝－2sin 2x，又sin 2x∈[－1，1]，所以f (x)∈[－2，2]，故D错误．
故选AC.
2．(2023·全国乙卷)已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)在区间π6，2π3上单调递增，直线x＝π6和x＝2π3为函数y＝f (x)的图象的两条对称轴，则f -5π12＝( )
A．－32B．－12
C．12 D．32
D 解析：因为f (x)＝sin (ωx＋φ)在区间π6，2π3上单调递增，且直线x＝π6和x＝2π3为函数f (x)的图象的两条对称轴，设函数f (x)的最小正周期为T，所以T2＝2π3－π6＝π2，则T＝π，取ω＞0，ω＝2πT＝2.
当x＝π6时，f (x)取得最小值，则2×π6＋φ＝2kπ－π2，k∈Z，则φ＝2kπ－5π6，k∈Z.
不妨取k＝0，则f (x)＝sin 2x-5π6，
则f -5π12＝sin -5π3＝32．
课时质量评价(二十四)
1．(2024·广州模拟)如果函数y＝3cs (2x＋φ)的图象关于点4π3，0对称，那么|φ|的最小值为( )
A．π6 B．π4
C．π3 D．π2
A 解析：由题意得3cs 2×4π3+φ＝3cs 2π3+φ+2π＝3cs 2π3+φ＝0，
所以2π3＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，
所以φ＝kπ－π6(k∈Z)．
取k＝0，得|φ|的最小值为π6．
2．已知函数f (x)的图象的一条对称轴为直线x＝2，f (x)的一个周期为4，则f (x)的解析式可能为( )
A．f (x)＝sin π2xB．f (x)＝cs π2x
C．f (x)＝sin π4xD．f (x)＝cs π4x
B 解析：对于A，f (x)＝sin π2x，最小正周期为2ππ2＝4，因为f (2)＝sin π＝0，所以函数f (x)＝sin π2x的图象不关于直线x＝2对称，故排除A；对于B，f (x)＝cs π2x，最小正周期为2ππ2＝4，因为f (2)＝cs π＝－1，所以函数f (x)＝cs π2x的图象关于直线x＝2对称，故选项B符合题意；对于C，D，函数f (x)＝sin π4x和f (x)＝cs π4x的最小正周期均为2ππ4＝8，均不符合题意，故排除C，D.
3．(多选题)已知函数f (x)＝3sin 2x-π3，则下列结论正确的是( )
A．f (x)的最大值为3
B．f (x)的最小正周期为π
C．f x-π12为奇函数
D．f (x)的图象关于直线x＝11π12对称
ABD 解析：因为函数f (x)＝3sin 2x-π3，
所以f (x)的最大值为3，故A正确；
最小正周期为2π2＝π，故B正确；
f x-π12＝3sin 2x-π12-π3＝3sin 2x-π2＝－3cs 2x为偶函数，故C错误；
f (x)的图象的对称轴满足2x－π3＝π2＋kπ，k∈Z，当k＝1时，x＝11π12，故D正确．
4．函数y＝sin2x＋22csx的定义域为-3π4，α，值域为-32，22，则α的取值范围是( )
A．0，3π4B．[0，π]
C．-π4，0D．π2，π
A 解析：由y＝sin2x＋22csx＝1－cs2x＋22csx＝－(cs x－2)2＋3，
令t＝cs x，得y＝－(t－2)2＋3，
显然当t＝cs -3π4＝－22时，y＝－32，
令－(t－2)2＋3＝22，得t＝1.
可知cs x∈-22，1．
又x∈-3π4，α，要使函数的值域为-32，22，
所以有0≤α≤3π4，
所以α的取值范围是0，3π4．
5．(2024·泸州诊断)写出一个具有下列性质①②③的函数f (x)＝ ．
①定义域为R；②函数f (x)是奇函数；③f (x＋π)＝f (x)．
解析：由③f (x＋π)＝f (x)知所求函数的周期为π，再结合性质①②，故所求的函数可以是f (x)＝sin 2x，答案不唯一．
6．设函数f (x)＝cs ωx-π6(ω＞0)，若f (x)≤f π4对任意的实数x都成立，则ω的最小值为 ．
23 解析：因为f (x)≤f π4对任意的实数x都成立，所以f π4为f (x)的最大值，
所以π4ω－π6＝2kπ(k∈Z)，
所以ω＝8k＋23(k∈Z)．
因为ω＞0，所以当k＝0时，ω取得最小值为23．
7．已知函数f (x)＝sin 12x+φ(0≤φ≤π)在π2，π上单调递减，则φ的取值范围是 ．
π4≤φ≤π 解析：当x∈π2，π时，12x＋φ
∈φ+π4，φ+π2，
又因为函数f (x)＝sin 12x+φ(0≤φ≤π)在π2，π上单调递减，
所以φ+π4，φ+π2⊆π2，3π2，
所以φ+π4≥π2，φ+π2≤3π2，解得π4≤φ≤π.
8．(2024·海淀模拟)已知函数f (x)＝2sin (ωx＋φ)ω＞0，φ＜π2的最小正周期为π，再从下列两个条件中选择一个：
条件①：f (x)的图象关于点π3，0对称；
条件②：f (x)的图象关于直线x＝π12对称．
(1)请写出你选择的条件，并求f (x)的解析式；
(2)当x∈-π4，m时，若(1)中所求函数f (x)的值域为[－1，2]，求出m的一个合适数值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解：(1)因为f (x)＝2sin (ωx＋φ)ω＞0，φ＜π2的最小正周期为π，
所以T＝2πω＝π，得ω＝2，所以f (x)＝2sin (2x＋φ)．
若选条件①，因为f (x)的图象关于点π3，0对称，则f π3＝0，
即f π3＝2sin 2π3+φ＝0，所以2π3＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝kπ－2π3，k∈Z.
因为|φ|＜π2，所以φ＝π3，
所以f (x)＝2sin 2x+π3．
若选条件②，因为f (x)的图象关于直线x＝π12对称，
所以f π12＝±2，即f π12＝2sin π6+φ＝±2，
所以π6＋φ＝π2＋kπ，k∈Z，得φ＝π3＋kπ，k∈Z.
因为|φ|＜π2，所以φ＝π3，
所以f (x)＝2sin 2x+π3．
(2)因为x∈-π4，m，所以－π6≤2x＋π3≤2m＋π3．
因为当x∈-π4，m时，函数f (x)的值域为[－1，2]，
所以π2≤2m＋π3≤7π6，得π12≤m≤5π12，
所以m的一个值可以为π3(答案不唯一)．
9．(2024·昆明模拟)已知函数f (x)＝sin ωx-π4(ω＞0)，x∈0，π2的值域是-22，1，则ω的取值范围是( )
A．0，32B．32，3
C．3，72D．52，72
B 解析：因为ω＞0，所以当x∈0，π2时，ωx－π4∈-π4，ωπ2-π4．
因为函数f (x)＝sin ωx-π4(ω＞0)，x∈0，π2的值域是-22，1，所以π2≤ωπ2－π4≤5π4，解得32≤ω≤3.
10．(多选题)(2024·青岛模拟)设函数f (x)＝sin ωx＋3cs ωx，x∈R，其中ω＞0，在曲线y＝f (x)与直线y＝3的所有交点中，相邻交点距离的最小值为π6，则( )
A．f (x)的最大值为1
B．ω＝2
C．f (x)图象的对称轴方程为x＝kπ2＋π12，k∈Z
D．f (x)的一个单调递增区间为-5π12，π12
BCD 解析：由题意可得f (x)＝sin ωx＋3cs ωx＝212sinωx+32csωx＝2sin ωx+π3，易知f (x)的最大值为2，A错误；由2sin ωx+π3＝3，可得sin ωx+π3＝32，得到ωx＋π3＝2kπ＋π3或ωx＋π3＝2kπ＋2π3(k∈Z)，令k＝0，可得x1＝0，x2＝π3ω，由|x1－x2|＝π6，可得π3ω＝π6，解得ω＝2，B正确；易得f (x)＝2sin 2x+π3，令2x＋π3＝kπ＋π2，k∈Z，得x＝kπ2＋π12，k∈Z，C正确；令2kπ－π2≤2x＋π3≤2kπ＋π2，可得kπ－5π12≤x≤kπ＋π12，k∈Z，令k＝0，得－5π12≤x≤π12，D正确．
11．已知函数f (x)＝1x-1＋3sin πx，则函数f (x)在[－1，3]上的所有零点的和为( )
A．2B．4
C．2πD．4π
B 解析：令f (x)＝1x-1＋3sin πx＝0，
则1x-1＝－3sin πx，
所以函数f (x)的零点就是函数y＝1x-1与函数y＝－3sin πx的图象交点的横坐标．
因为y＝1x-1的图象关于点(1，0)对称，函数y＝－3sin πx的周期为2，其图象关于点(1，0)对称，画出两函数在区间[－1，3]上的图象如图所示．
由图象可知，两函数图象在[－1，3]上共有4个交点，且这4个点关于点(1，0)对称，
所以其横坐标的和为4，
所以函数f (x)在[－1，3]上的所有零点的和为4.
12．(多选题)(数学与生活)声音中包含着正弦函数，声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波．每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是y＝A sin ωt，其中响度与振幅有关，振幅越大，响度越大，音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖锐．我们平时听到的音乐函数是y＝sin x ＋12sin 2x ＋13sin 3x ＋14sin 4x ＋…，某声音函数f (x)＝sin x ＋12sin 2x ＋13sin 3x，下列说法正确的是( )
A．函数f (x)在区间-π6，π6单调递增
B．函数f (x)的最小正周期为2π
C．函数f (x)的声音比纯音g(x) ＝sin 2x的尖锐
D．函数f (x)的响度比纯音g(x) ＝sin 2x的响度大
ABD 解析：对于A，当x∈-π6，π6时，函数y＝sin x，y＝sin 2x，y＝sin 3x均单调递增，
所以当x∈-π6，π6时， f (x)＝sin x ＋12sin 2x＋13sin 3x单调递增，故A正确；
对于B，y＝sin x，y＝sin 2x，y＝sin 3x的最小正周期分别为2π，π，2π3， 则函数f (x)的最小正周期为2π，故B正确；
对于C，函数f (x)的周期为2π，频率为12π，
函数g(x)的周期为π，频率为1π，
由12π＜1π，可得函数f (x)的声音比纯音g(x)＝sin 2x的低沉，故C错误；
对于D，g(x) ＝sin 2x的振幅为1，
f π3＝sin π3＋12sin 2×π3＋13sin 3×π3＝32＋34＝334＞1，
则函数f (x)的振幅大于g(x)的振幅，
则函数f (x)的响度比纯音g(x) ＝sin 2x的响度大，故D正确．故选ABD.
13．已知函数f (x)＝2sin x+π3，且函数y＝g(x)的图象与函数y＝f (x)的图象关于直线x＝π4对称．
(1)求函数g(x)的解析式；
(2)若存在x∈0，π2，使[g(x)]2－mg(x)＋2＝0成立，求实数m的取值范围；
(3)若当x∈-π3，2π3时，不等式12f (x)－ag(－x)＞a－2恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)因为函数y＝g(x)的图象与函数y＝f (x)的图象关于直线x＝π4对称，则g(x)＝f π2-x，所以g(x)＝2sin π2-x+π3＝2sin π-x+π6＝2sin x+π6．
(2)由(1)知，g(x)＝2sin x+π6，当x∈0，π2时，x＋π6∈π6，2π3，则1≤g(x)≤2.
令g(x)＝t，则1≤t≤2.
若存在x∈0，π2，使[g(x)]2－mg(x)＋2＝0成立，
即存在t∈[1，2]，使t2－mt＋2＝0成立，
即存在t∈[1，2]，使m＝t＋2t成立．
而函数m＝t＋2t在[1，2]上单调递减，在[2，2]上单调递增，
当t＝2时，mmin＝22，当t＝1或t＝2时，mmax＝3，
所以实数m的取值范围为[22，3].
(3)由(1)知，不等式12f (x)－ag(－x)＞a－2等价于sin x+π3＋2a sin x-π6＞a－2，
当x∈-π3，2π3时，0≤x＋π3≤π，－π2≤x－π6≤π2．
若a＝0，因为0≤sin x+π3≤1，
即sin x+π3＞－2恒成立；
若a＞0，因为函数y＝sin x-π6在-π3，2π3上单调递增，则当x＝－π3时，sin x+π3＋2a sin x-π6 取得最小值，
原不等式恒成立可转化为sin -π3+π3＋2a sin -π3-π6＞a－2恒成立，
即－2a＞a－2，因此0＜a＜23；
若a＜0，由上可知，当x＝2π3时，
sin x+π3＋2a sin x-π6取得最小值，
原不等式恒成立可转化为sin 2π3+π3＋2a sin 2π3-π6＞a－2恒成立，
即a＞－2，因此－2＜a＜0.
综上所述，a的取值范围是-2，23．
正弦函数
余弦函数
图象
定义域
R
值域
[－1，1]
周期
2π
奇偶性
奇函数
偶函数
单调递
增区间
2kπ-π2，2kπ+π2
(k∈Z)
[2kπ－π，2kπ](k∈Z)
单调递
减区间
2kπ+π2，2kπ+3π2
(k∈Z)
[2kπ，2kπ＋π]
(k∈Z)
对称轴
x＝kπ＋π2(k∈Z)
x＝kπ(k∈Z)
对称
中心
(kπ，0)(k∈Z)
kπ+π2，0(k∈Z)
图象
定义域
xx∈R，且x≠π2＋kπ，k∈Z
值域
R
周期
π
奇偶性
奇函数
单调递
增区间
-π2+kπ，π2+kπ(k∈Z)
对称中心
kπ2，0(k∈Z)