高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第5讲数系的扩充与复数的引入学案

这是一份高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第5讲数系的扩充与复数的引入学案，共9页。

知识梳理·双基自测
eq \x(知)eq \x(识)eq \x(梳)eq \x(理)
知识点一 复数的有关概念
(1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数．其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．i是虚数单位．规定i2＝－1.由此可知：
i4k＝1，i4k＋1＝i，i4k＋2＝－1，i4k＋3＝－i，eq \f(1,i)＝－i，全体复数所成的集合C叫复数集．
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)⇔a＝c且b＝d.
(3)共轭复数：若z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq \x\t(z)＝ a－bi .
(4)复数的模：在复平面内，若点Z的坐标为(a，b)，则向量eq \(OZ,\s\up6(→))的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作 |z| 或 |a＋bi| ，即|z|＝|a＋bi|＝r＝ eq \r(a2＋b2) (r≥0，r∈R)．
知识点二 复数的几何意义
(1)复平面的概念：建立平面直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面，x轴叫做 实轴 ，y轴叫做 虚轴 .
(2)实轴上的点都表示 实数 ；除了原点外，虚轴上的点都表示 纯虚数 .
(3)复数的几何表示：复数z＝a＋bi(a，b∈R)eq \(,\s\up7(一一),\s\d5(对应))复平面内的点Z(a，b)eq \(,\s\up7(一一),\s\d5(对应))向量eq \(OZ,\s\up6(→)).
知识点三 复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ (a＋c)＋(b＋d)i ；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ (a－c)＋(b－d)i ；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝ (ac－bd)＋(ad＋bc)i ；
④除法：eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq \f(ac＋bd＋bc－adi,c2＋d2)；(c＋di≠0)．
(2)复数的运算律：复数加法满足交换律、结合律，即
①交换律：z1＋z2＝ z2＋z1 ；
②结合律：(z1＋z2)＋z3＝ z1＋(z2＋x3) .
eq \x(重)eq \x(要)eq \x(结)eq \x(论)
1．两个虚数不能比较大小，但虚数的模可以比较大小．
2．(1±i)2＝±2i；eq \f(1＋i,1－i)＝i；eq \f(1－i,1＋i)＝－i.
3．z·eq \x\t(z)＝|z|2＝|eq \x\t(z)|2.
eq \x(双)eq \x(基)eq \x(自)eq \x(测)
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)方程x2－x＋1＝0没有解．( × )
(2)复数z＝3－2i中，虚部为－2i.( × )
(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小，如4＋3i>3＋3i,3＋4i>3＋3i等．( × )
(4)原点是实轴与虚轴的交点．( × )
(5)若a∈C，则|a|2＝a2.( × )
题组二 走进教材
2．(必修1－2P106A组T2改编)若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为( B )
A．1 B．2
C．1或2 D．－1
[解析] 依题意，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－3a＋2＝0，,a－1≠0，))解得a＝2.故选B.
3．(选修1－2P112A组T5改编)设i为虚数单位，若复数z满足z＝eq \f(1－i2,1＋i)，则z＝( D )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
[解析] 由题意，得z＝eq \f(1－i2,1＋i)＝eq \f(－2i1－i,1＋i1－i)＝eq \f(－2－2i,2)＝－1－i.
4．(选修1－2P105T3改编)若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数eq \f(z,1＋i)的点是( D )
A．E B．F
C．G D．H
[解析] 由图知复数z＝3＋i，则eq \f(z,1＋i)＝eq \f(3＋i,1＋i)＝eq \f(3＋i1－i,1＋i1－i)＝2－i，所以复数eq \f(z,1＋i)所对应的点是H，故选D.
题组三 走向高考
5．(2019·全国卷Ⅱ)设z＝－3＋2i，则在复平面内eq \(z,\s\up6(－))对应的点位于( C )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] 由题意，得eq \(z,\s\up6(－))＝－3－2i，其在复平面内对应的点为(－3，－2)，位于第三象限，故选C.
6．(2020·课标Ⅲ，2,5分)复数eq \f(1,1－3i)的虚部是( D )
A．－eq \f(3,10) B．－eq \f(1,10)
C．eq \f(1,10) D．eq \f(3,10)
[解析] 利用复数除法法则得eq \f(1,1－3i)＝eq \f(1＋3i,1－3i1＋3i)＝eq \f(1＋3i,10)，所以虚部为eq \f(3,10)，选D.
7．(2020·课标Ⅰ，2 ,5分)若z＝1＋2i＋i3，则|z|＝( C )
A．0 B．1
C．eq \r(2) D．2
[解析] ∵z＝1＋2i＋i3＝1＋2i－i＝1＋i，∴|z|＝|1＋i|＝eq \r(12＋12)＝eq \r(2)，故选C.
考点突破·互动探究
考点一 复数的基本概念——自主练透
例1 (1)(2020·浙江，2,4分)已知a∈R，若a－1＋(a－2)i(i为虚数单位)是实数，则a＝( C )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
(2)(2020·江苏，2,5分)已知i是虚数单位，则复数z＝(1＋i)(2－i)的实部是 3 .
(3)(2021·辽宁鞍山一中模拟)在复平面内，复数eq \f(－2＋3i,3－4i)所对应的点位于( B )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(4)(2020·课标Ⅰ，1,5分)若z＝1＋i，则|z2－2z|＝( D )
A．0 B．1
C．eq \r(2) D．2
[解析] (1)因为a－1＋(a－2)i为实数，a∈R，所以a－2＝0.解得a＝2，故选C.
(2)z＝(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i＋1＝3＋i，∴z的实部为3.
(3)设z＝eq \f(－2＋3i,3－4i)，则z＝－eq \f(18,25)＋eq \f(1,25)i，所以复数eq \f(－2＋3i,3－4i)在复平面内所对应的点位于第二象限．故选B.
(4)∵z＝1＋i，
∴z2－2z＝(1＋i)2－2(1＋i)＝1＋2i＋i2－2－2i＝－2，
∴|z2－2z|＝|－2|＝2.故选D.
[易错点] (4)复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝0，,b≠0，))做题时容易忽略b≠0，从而造成错误.
考点二 复数的运算——多维探究
角度1 复数的乘法运算
例2 (1)(2020·课标Ⅱ，2,5分)(1－i)4＝( A )
A．－4 B．4
C．－4i D．4i
(2)(2019·北京)已知复数z＝2＋i，则z·eq \(z,\s\up6(－))＝( D )
A.eq \r(3) B．eq \r(5)
C．3 D．5
(3)(2021·长春质检)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2等于( A )
A．－5 B．5
C．－4＋i D．－4－i
[解析] (1)(1－i)4＝[(1－i)2]2＝(－2i)2＝4i2＝－4，故选A.
(2)解法一：因为z＝2＋i，所以eq \(z,\s\up6(－))＝2－i，所以z·eq \(z,\s\up6(－))＝(2＋i)(2－i)＝4－2i＋2i－i2＝4－(－1)＝5，故选D.
解法二：z·eq \(z,\s\up6(－))＝|z|2＝22＋12＝5，故选D.
(3)z2＝－2＋i，z1·z2＝(2＋i)(－2＋i)＝－5，故选A.
角度2 复数的除法运算
例3 (1)(2020·新高考Ⅰ，2,5分)eq \f(2－i,1＋2i)＝( D )
A．1 B．－1
C．i D．－i
(2)(2017·天津)已知a∈R，i为虚数单位，若eq \f(a－i,2＋i)为实数，则a的值为 －2 .
[解析] (1)eq \f(2－i,1＋2i)＝eq \f(2－i1－2i,1＋2i1－2i)＝eq \f(－5i,5)＝－i.故选D.
(2)eq \f(a－i,2＋i)＝eq \f(a－i2－i,2＋i2－i)＝eq \f(2a－1－a＋2i,5)＝eq \f(2a－1,5)－eq \f(a＋2,5)i为实数，则eq \f(a＋2,5)＝0，a＝－2.故填－2.
角度3 复数的综合运算
例4 (1)(2020·课标Ⅲ，2,5分)若eq \(z,\s\up6(－))(1＋i)＝1－i，则z＝( D )
A．1－i B．1＋i
C．－i D．i
(2)(2020·浙江期末联考)已知i是虚数单位，若复数z满足eq \f(4,1＋z)＝1－i，则z·eq \(z,\s\up6(－))＝( B )
A．4 B．5
C．6 D．8
(3)(2020·课标Ⅱ，15,5分)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝eq \r(3)＋i，则|z1－z2|＝ 2eq \r(3) .
[解析] (1)∵eq \(z,\s\up6(－))(1＋i)＝1－i，∴eq \(z,\s\up6(－))＝eq \f(1－i,1＋i)＝eq \f(1－i2,1＋i1－i)＝eq \f(－2i,2)＝－i，∴z＝i，故选D.
(2)由eq \f(4,1＋z)＝1－i，得z＝eq \f(4,1－i)－1＝1＋2i，则z·eq \(z,\s\up6(－))＝|z|2＝5，故选B.
(3)设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则a2＋b2＝4，c2＋d2＝4，又z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i＝eq \r(3)＋i，∴a＋c＝eq \r(3)，b＋d＝1，则(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋c2＋b2＋d2＋2ac＋2bd＝4，
∴8＋2ac＋2bd＝4，即2ac＋2bd＝－4，
∴|z1－z2|＝eq \r(a－c2＋b－d2)＝
eq \r(a2＋b2＋c2＋d2－2ac＋2bd)＝eq \r(8－－4)＝2eq \r(3).
名师点拨
复数运算的技巧
(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式．
(2)记住以下结论，可提高运算速度．
①(1±i)2＝±2i; ②eq \f(1＋i,1－i)＝i；
③eq \f(1－i,1＋i)＝－i; ④eq \f(a＋bi,i)＝b－ai；
简单的复数方程的解法
(1)利用复数的四则运算求解即可．
(2)待定系数法：设z＝a＋bi(a、b∈R)代入方程，利用复数相等的条件、列出关于a、b的方程组(复数问题实数化)求解．
〔变式训练1〕
(1)(角度1)(2020·新高考Ⅱ，2,5分)(1＋2i)(2＋i)＝( B )
A．－5i B．5i
C．－5 D．5
(2)(角度2)(2020·天津，10,5分)i是虚数单位，复数eq \f(8－i,2＋i)＝ 3－2i .
(3)(角度3)(2020·北京，2,4分)在复平面内，复数z对应的坐标是(1,2)，则i·z＝( B )
A．1＋2i B．－2＋i
C．1－2i D．－2－i
(4)(角度1)(2020·安徽毛坦厂中学模拟)设复数z的共轭复数是eq \(z,\s\up6(－))，若复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·eq \x\t(z2)是实数，则实数t等于 eq \f(3,4) .
[解析] (1)(1＋2i)(2＋i)＝2＋4i＋i－2＝5i，故选B.
(2)eq \f(8－i,2＋i)＝eq \f(8－i2－i,2＋i2－i)＝eq \f(16－10i－1,5)＝eq \f(15－10i,5)＝3－2i.
(3)由复数的几何意义可知，z＝1＋2i，所以i·z＝i·(1＋2i)＝－2＋i，故选B.
(4)z1·eq \x\t(z2)＝(3＋4i)(t－i)＝(3t＋4)＋(4t－3)i是实数，则4t－3＝0，∴t＝eq \f(3,4).
考点三 复数的几何意义——师生共研
例5 (1)(2019·全国卷Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)则( C )
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1
(2)在复平面内，复数z与eq \f(6,z－i)对应的点关于实轴对称，则复数eq \(z,\s\up6(－))＝( C )
A．2i B．－3i
C．2i或－3i D．－2i或－3i
[解析] (1)解法一：∵z在复平面内对应的点为(x，y)，∴z＝x＋yi(x，y∈R)．∵|z－i|＝1，∴|x＋(y－1)i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.
解法二：∵|z－i|＝1表示复数z在复平面内对应的点(x，y)到点(0,1)的距离为1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.
解法三：在复平面内，点(1,1)所对应的复数z＝1＋i满足|z－i|＝1，但点(1,1)不在选项A，D的圆上，∴排除A，D；在复平面内，点(0,2)所对应的复数z＝2i满足|z－i|＝1，但点(0,2)不在选项B的圆上，∴排除B.故选C.
(2)设z＝a＋bi，a，b∈R，
eq \f(6,z－i)＝eq \f(6,a＋b－1i)＝eq \f(6a,a2＋b－12)－eq \f(6b－1,a2＋b－12)i，
由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(6a,a2＋b－12),b＝\f(6b－1,a2＋b－12)))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝0,b＝3或－2))，
∴z＝－2i或3i，eq \(z,\s\up6(－))＝2i或－3i，故选C.
名师点拨
复数几何意义及应用
(1)复数z、复平面上的点Z及向量eq \(OZ,\s\up6(→))相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔eq \(OZ,\s\up6(→)).
(2)|z|表示复平面内复数z对应的点到原点的距离；|z1－z2|表示复平面内复数z1、z2对应的两点间的距离．
(3)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
〔变式训练2〕
(1)(2021·广西柳州摸底)已知复数z在复平面内对应点是(1，－2)，i为虚数单位，则eq \f(z＋2,z－1)＝( D )
A．－1－i B．1＋i
C．1－eq \f(3,2)i D．1＋eq \f(3,2)i
(2)设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为( D )
A.eq \f(3,4)＋eq \f(1,2π) B．eq \f(1,2)＋eq \f(1,π)
C．eq \f(1,2)－eq \f(1,π) D．eq \f(1,4)－eq \f(1,2π)
[解析] (1)由题知z＝1－2i，
∴eq \f(z＋2,z－1)＝eq \f(1－2i＋2,1－2i－1)＝eq \f(3－2i,－2i)＝eq \f(3－2i2i,4)＝1＋eq \f(3,2)i.
(2)由|z|≤1知复数z在复平面内对应的点构成的区域是以(1,0)为圆心，1为半径的圆及其内部，如图中阴影部分表示在圆内(包括边界)且满足y≥x的区域，该区域的面积为eq \f(1,4)π－eq \f(1,2)×1×1＝eq \f(1,4)π－eq \f(1,2)，故满足y≥x的概率为eq \f(\f(1,4)π－\f(1,2),π×12)＝eq \f(1,4)－eq \f(1,2π).故选D.
名师讲坛·素养提升
与复数模有关问题的解法
例6 (1)若复数z满足|z|＝1，则|z－3＋4i|的最大值为 6 .
(2)若复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝eq \r(2)，则|z1－z2|＝ eq \r(2) .
(3)若复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝4，则点z的轨迹方程为 eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4)＝1 .
[分析] 利用复数模的几何意义求解．
[解析] (1)令z＝x＋yi(x，y∈R)，
∵|z|＝1，∴x2＋y2＝1，
|z－3＋4i|表示圆x2＋y2＝1上的点到Z(3，－4)的距离，
∵|OZ|＝5，
∴|z－3＋4i|的最大值为6.
(2)由题意知|eq \(OZ1,\s\up6(→))|＝|eq \(OZ2,\s\up6(→))|＝1，|eq \(OZ1,\s\up6(→))＋eq \(OZ2,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，
即|eq \(OZ1,\s\up6(→))|2＋2eq \(OZ1,\s\up6(→))·eq \(OZ2,\s\up6(→))＋|eq \(OZ2,\s\up6(→))|2＝2，
∴eq \(OZ1,\s\up6(→))·eq \(OZ2,\s\up6(→))＝0，即eq \(OZ1,\s\up6(→))⊥eq \(OZ2,\s\up6(→))，
∴|eq \(OZ1,\s\up6(→))－eq \(OZ2,\s\up6(→))|2＝2，∴|eq \(OZ1,\s\up6(→))－eq \(OZ2,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，
∴|z1－z2|＝eq \r(2).
(3)|z＋i|＋|z－i|＝4表示复平面内复数z对应的点Z到(0，－1)、(0,1)距离的和为4，故其轨迹是以(0，－1)、(0、1)为焦点的椭圆．又a＝2，c＝1，∴b2＝a2－c2＝3，故点Z的轨迹方程为eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4)＝1.
名师点拨
|z|＝|eq \(OZ,\s\up6(→))|；|z1＋z2|＝|eq \(OZ1,\s\up6(→))＋eq \(OZ2,\s\up6(→))|；|z1－z2|＝|eq \(OZ1,\s\up6(→))－eq \(OZ2,\s\up6(→))|＝|eq \(Z2Z1,\s\up6(→))|.
〔变式训练3〕
(1)已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别为A，B，C，若eq \(OC,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))，则x＋y＝ 5 .
(2)复数z满足|z＋3－eq \r(3)i|＝eq \r(3)，则|z|的最大值和最小值分别是 3eq \r(3)、eq \r(3)
[解析] (1)由eq \(OC,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))，得3－2i＝x(－1＋2i)＋y(1－i)＝(－x＋y)＋(2x－y)i，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋y＝3，,2x－y＝－2.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝4，))故x＋y＝5.
(2)由题意可知复平面内复数z对应的点在以C(－3，eq \r(3))为圆心，以eq \r(3)为半径的圆上，由|CO|＝2eq \r(3)知，圆上的点Z到原点距离的最大值、最小值分别为3eq \r(3)，eq \r(3)，故|z|的最大值为3eq \r(3)，最小值为eq \r(3).