（山东专用）2021版高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第五讲数系的扩充与复数的引入学案（含解析）

第五讲　数系的扩充与复数的引入

ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE

知识梳理·双基自测

知识点一　复数的有关概念

(1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数．其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．i是虚数单位．规定i2＝－1.由此可知：

i4k＝1.i4k＋1＝i，i4k＋2＝－1，i4k＋3＝－i，＝－i，全体复数所成的集合C叫复数集．

(2)复数相等：a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)⇔a＝c且b＝d.

(3)共轭复数：若z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝__a－bi__.

(4)复数的模：在复平面内，若点Z的坐标为(a，b)，则向量的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作__|z|__或__|a＋bi|__，即|z|＝|a＋bi|＝r＝____(r≥0，r∈R)．

知识点二　复数的几何意义

(1)复平面的概念：建立平面直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面，x轴叫做__实轴__，y轴叫做__虚轴__.

(2)实轴上的点都表示__实数__；除了原点外，虚轴上的点都表示__纯虚数__.

(3)复数的几何表示：复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)向量.

知识点三　复数的运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝__(a＋c)＋(b＋d)i__；

②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝__(a－c)＋(b－d)i__；

③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝__(ac－bd)＋(ad＋bc)i__；

④除法：＝＝＝；(c＋di≠0)．

(2)复数的运算律：复数加法满足交换律、结合律，即

①交换律：z1＋z2＝__z2＋z1__；

②结合律：(z1＋z2)＋z3＝__z1＋(z2＋x3)__.

1．两个虚数不能比较大小，但虚数的模可以比较大小．

2．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.

3．z·＝|z|2＝||2.

题组一　走出误区

1．(多选题)下列命题不正确的是(　ABCD　)

A．方程x2－x＋1＝0没有解

B．复数z＝3－2i中，虚部为－2i

C．原点是实轴与虚轴的交点

D．若a∈C，则|a|2＝a2

题组二　走进教材

2．(必修1－2P106A组T2改编)若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为(　B　)

A．1　　 B．2　　

C．1或2　　 D．－1

[解析]　依题意，有解得a＝2.故选B．

3．(选修1－2P112A组T5改编)设i为虚数单位，若复数z满足z＝，则z＝(　D　)

A．1＋i　　 B．1－i　　

C．－1＋i　　 D．－1－i

[解析]　由题意，得z＝＝＝＝－1－i.

4．(选修1－2P105T3改编)若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是(　D　)

A．E　　 B．F　　

C．G　　 D．H

[解析]　由图知复数z＝3＋i，则＝＝＝2－i，所以复数所对应的点是H，故选D．

题组三　考题再现

5．(2019·全国卷Ⅱ)设z＝－3＋2i，则在复平面内对应的点位于(　C　)

A．第一象限　　 B．第二象限

C．第三象限　　 D．第四象限

[解析]　由题意，得＝－3－2i，其在复平面内对应的点为(－3，－2)，位于第三象限，故选C．

6．(2019·全国卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则z＝(　D　)

A．－1－i　　 B．－1＋i

C．1－i　　 D．1＋i

[解析]　方法一：z＝＝＝＝1＋i.故选D．

方法二：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由z(1＋i)＝2i，得(a＋bi)(1＋i)＝2i，即(a－b)＋(a＋b)i＝2i，所以由复数相等得解得所以z＝1＋i.故选D．

7．(2019·全国卷Ⅰ，5分)设z＝，则|z|＝(　C　)

A．2　　 B．　　

C．　　 D．1

[解析]　方法一：＝＝，故|z|＝||＝＝.故选C．

方法二：|z|＝||＝＝＝.

KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU

考点突破·互动探究

考点一　复数的基本概念——自主练透

例1　(1)(2020·山东滨州模考)若复数(1－ai)2－2i是纯虚数，则实数a＝(　C　)

A．0　　 B．±1　　

C．1　　 D．－1

(2)(2020·河南郑州一测)若复数z满足(3＋4i)z＝25i，其中i为虚数单位，则z的虚部是(　C　)

A．3i　　 B．－3i　　

C．3　　 D．－3

(3)(2019·辽宁鞍山一中模拟)在复平面内，复数所对应的点位于(　B　)

A．第一象限　　 B．第二象限

C．第三象限　　 D．第四象限

[解析]　(1)(1－ai)2－2i＝1－a2－2ai－2i＝1－a2－(2a＋2)i.∵(1－ai)2－2i是纯虚数，∴解得a＝1，故选C．

(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝3a－4b＋(3b＋4a)i，由复数相等的充要条件得到3a－4b＝0，3b＋4a＝25，解得b＝3，故选C．

(3)设z＝，则z＝－＋i，所以复数在复平面内所对应的点位于第二象限．故选B．

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求解与复数概念相关问题的技巧

复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意求解．

注意共轭复数与模的运算性质：

(1)＝±；

(2)＝·；

(3)z·＝|z|2＝||2；

(4)|z1·z2|＝|z1|·|z2|；

(5)||＝；

(6)||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.

易错点：复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件为做题时容易忽略b≠0，从而造成错误．

考点二　复数的运算——多维探究

角度1　复数的乘法运算

例2　(1)(2019·北京)已知复数z＝2＋i，则z·＝(　D　)

A．　　 B．　　

C．3　　 D．5

(2)(2020·长春质检)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2等于(　A　)

A．－5　　 B．5　　

C．－4＋i　　 D．－4－i

(3)若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a等于(　B　)

A．－1　　 B．0　　

C．1　　 D．2

[解析]　(1)方法一：因为z＝2＋i，所以＝2－i，所以z·＝(2＋i)(2－i)＝4－2i＋2i－i2＝4－(－1)＝5，故选D．

方法二：z·＝|z|2＝22＋12＝5，故选D．

(2)z2＝－2＋i，z1·z2＝(2＋i)(－2＋i)＝－5，故选A．

(3)(2＋ai)(a－2i)＝2a－4i＋a2i＋2a＝4a＋(a2－4)i，∴∴a＝0，故选B．

角度2　复数的除法运算

例3　(1)(2018·天津)i是虚数单位，复数＝__4－i__.

(2)(2017·天津)已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为__－2__.

[解析]　(1)由复数的运算法则得：＝＝＝4－i.故填4－i.

(2)＝＝＝－i为实数，则＝0，a＝－2.故填－2.

角度3　复数的综合运算

例4　(2020·河南洛阳期中)(1)设复数z满足z(1－i)＝4i(i为虚数单位)，则z的共轭复数＝(　A　)

A．－2－2i　　 B．－2＋2i　　

C．2＋2i　　 D．2－2i

(2)(2018·课标全国Ⅰ，2)设z＝＋2i，则|z|＝(　C　)

A．0　　 B．　　

C．1　　 D．

(3)(2020·浙江期末联考)已知i是虚数单位，若复数z满足＝1－i，则z·＝(　B　)

A．4　　 B．5　　

C．6　　 D．8

[解析]　(1)∵z(1－i)＝4i，∴z＝＝＝2i(1＋i)＝2i－2，∴z的共轭复数是－2－2i，故选A．

(2)∵z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i，∴|z|＝|i|＝1，故选C．

(3)由＝1－i，得z＝－1＝1＋2i，则z·＝|z|2＝5，故选B．

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复数运算的技巧

(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式．

(2)记住以下结论，可提高运算速度．

①(1±i)2＝±2i；　　　　②＝i；

③＝－i；　　　　④＝b－ai；

简单的复数方程的解法

(1)利用复数的四则运算求解即可．

(2)待定系数法：设z＝a＋bi(a、b∈R)代入方程，利用复数相等的条件、列出关于a、b的方程组(复数问题实数化)求解．

〔变式训练1〕

(1)(角度2)(2020·山东师大附中模拟)计算：＝(　A　)

A．2　　 B．－2　　

C．2i　　 D．－2i

(2)(角度3)(2020·云南玉溪一中月考)已知i为虚数单位，z(2i－1)＝1＋i，则复数z的共轭复数为(　B　)

A．－－i　　 B．＋i

C．－＋i　　 D．－i

(3)(角度3)设复数z满足z＋||＝2＋i，则z＝(　B　)

A．－＋i　　 B．＋i

C．－－i　　 D．－i

(4)(角度1)(2020·安徽毛坦厂中学模拟)设复数z的共轭复数是，若复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·是实数，则实数t等于____.

[解析]　(1)＝＝＝2.

(2)∵z(2i－1)＝1＋i，∴z＝，

＝＝＝－i，

∴＝＋i.故选B．

(3)设z＝a＋bi(a，b∈R)，由已知得a＋bi＋＝2＋i，由复数相等可得∴故z＝＋i，∴选B．

(4)z1·＝(3＋4i)(t－i)＝(3t＋4)＋(4t－3)i是实数，则4t－3＝0，∴t＝.

考点三　复数的几何意义——师生共研

例5　(1)(2019·全国卷Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)则(　C　)

A．(x＋1)2＋y2＝1　　 B．(x－1)2＋y2＝1

C．x2＋(y－1)2＝1　　 D．x2＋(y＋1)2＝1

(2)在复平面内，复数z与对应的点关于实轴对称，则复数＝(　C　)

A．2i　　 B．－3i

C．2i或－3i　　 D．－2i或－3i

[解析]　(1)方法一：∵z在复平面内对应的点为(x，y)，∴z＝x＋yi(x，y∈R)．∵|z－i|＝1，∴|x＋(y－1)i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C．

方法二：∵|z－i|＝1表示复数z在复平面内对应的点(x，y)到点(0,1)的距离为1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C．

方法三：在复平面内，点(1,1)所对应的复数z＝1＋i满足|z－i|＝1，但点(1,1)不在选项A，D的圆上，∴排除A，D；在复平面内，点(0,2)所对应的复数z＝2i满足|z－i|＝1，但点(0,2)不在选项B的圆上，∴排除B．故选C．

(2)设z＝a＋bi，a，b∈R，

＝＝－i，

由已知得，解得，

∴z＝－2i或3i，＝2i或－3i，故选C．

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复数几何意义及应用

(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔.

(2)|z|表示复平面内复数z对应的点到原点的距离；|z1－z2|表示复平面内复数z1、z2对应的两点间的距离．

(3)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．

〔变式训练2〕

(1)(2020·广西柳州摸底)已知复数z在复平面内对应点是(1，－2)，i为虚数单位，则＝(　D　)

A．－1－i　　 B．1＋i

C．1－i　　 D．1＋i

(2)设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为(　D　)

A．＋　　 B．＋

C．－　　 D．－

[解析]　(1)由题知z＝1－2i，

∴＝＝＝＝1＋i.

(2)由|z|≤1知复数z在复平面内对应的点构成的区域是以(1,0)为圆心，1为半径的圆及其内部，如图中阴影部分表示在圆内(包括边界)且满足y≥x的区域，该区域的面积为π－×1×1＝π－，故满足y≥x的概率为＝－.故选D．

MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG

名师讲坛·素养提升

与复数模有关问题的解法

例6　(1)若复数z满足|z|＝1，则|z－3＋4i|的最大值为__6__.

(2)若复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，则|z1－z2|＝____.

(3)若复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝4，则点z的轨迹方程为__＋＝1__.

[分析]　利用复数模的几何意义求解．

[解析]　(1)令z＝x＋yi(x，y∈R)，∵|z|＝1，∴x2＋y2＝1，|z－3＋4i|表示圆x2＋y2＝1上的点到Z(3，－4)的距离，

∵|OZ|＝5，∴|z－3＋4i|的最大值为6.

(2)由题意知||＝||＝1，|＋|＝，

即||2＋2|·|＋||2＝2，

∴·＝0，即⊥，

∴|－|2＝2，∴|－|＝，

∴|z1－z2|＝.

(3)|z＋i|＋|z－i|＝4表示复平面内复数z对应的点Z到(0，－1)、(0,1)距离的和为4，故其轨迹是以(0，－1)、(0、1)为焦点的椭圆．又a＝2，c＝1，∴b2＝a2－c2＝3，故点Z的轨迹方程为＋＝1.

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|z|＝||；|z1＋z2|＝|＋|；|z1－z2|＝|－|＝||.

〔变式训练3〕

(1)已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别为A，B，C，若＝x＋y，则x＋y＝__5__.

(2)复数z满足|z＋3－i|＝，则|z|的最大值和最小值分别是__3、__

[解析]　(1)由＝x＋y，得3－2i＝x(－1＋2i)＋y(1－i)＝(－x＋y)＋(2x－y)i，∴解得故x＋y＝5.

(2)由题意可知复平面内复数z对应的点在以C(－3，)为圆心，以为半径的圆上，由|CO|＝2知，圆上的点Z到原点距离的最大值、最小值分别为3，，故|z|的最大值为3，最小值为.