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初中数学浙教版七年级下册5.5 分式方程综合训练题
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这是一份初中数学浙教版七年级下册5.5 分式方程综合训练题，共55页。
掌握分式方程的有关概念；
掌握分式方程的解法；
掌握分式方程的增根与无解的情况；
掌握分式方程的应用，注意分式方程的结果需要检验；
【知识点】
1.分式方程的有关概念
(1)分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程．
(2)分式方程的增根:分式方程化成整式方程解得的未知数的值，如果这个值令最简公分母为零则为增根．
基本方法归纳：判断分式方程时只需看分母中必须有未知数；分式方程的解只需带入方程看等式是否成立即可．
2：分式方程的解法
解分式方程的步骤：解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”．它的一般解法是：
（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母
（2）解所得的整式方程
（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根．
基本方法归纳：分式方程首要是方程两边同乘以分母最简公分母、去掉分母，转化为整式方程求解，其次注意一定要验根．
归纳：分式方程首要是方程两边同乘以分母最小公倍数、去掉分母，转化为整式方程求解，其次注意一定要验根．
3.分式方程的应用
(1)分式方程解应用题的一般步骤：
（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．
（2）设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．
（3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程．
（4）解方程．
（5）检验，看方程的解是否符合题意．
（6）写出答案．
(2)解应用题的书写格式：
设→根据题意→解这个方程→答．
基本方法归纳：解题时先理解题意找到等量关系列出方程再解方程最后检验即可．
注意问题归纳：找对等量关系最后一定要检验．
知识点01 分式方程的定义
【典型例题】
例1．（2023春·上海·八年级专题练习）已知方程：①，②，③，④．这四个方程中，分式方程的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
例2．（2021·全国·九年级专题练习）下列方程是关于x的方程，其中是分式方程的是_______（只填序号）
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨．
例3．（2023春·全国·八年级专题练习）在下列方程：①、②、③、④、⑤⑥，⑦，⑧，⑨中，哪些是分式方程，并说明理由．
【即学即练】
1．（2023春·八年级课时练习）下列是分式方程的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）给出以下方程：，，，，其中分式方程的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2023春·八年级课时练习）请写出一个只含有未知数且根是的分式方程__________．
4．（2023春·七年级单元测试）在方程中，分式方程有______个．
5．（2023春·全国·八年级专题练习）下列方程哪些是分式方程？
（1）；（2）；（3）；（4）（a是常数）．
知识点02 解分式方程
【典型例题】
例1．（2023·河南南阳·统考一模）方程解为（ ）
A． B． C． D．无解
例2．（2023年北京市通州区中考一模数学试卷）方程的解是__________．
例3．（2023秋·四川绵阳·八年级统考期末）解分式方程：
(1)
(2)
【即学即练】
1．（2023·北京门头沟·统考一模）方程的解为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·浙江·七年级专题练习）对于实数和，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·浙江·七年级专题练习）分式方程的解为______________．
4．（2023·浙江宁波·统考一模）对于实数，我们定义运算，如：．则方程的解为__________．
5．（2023春·江苏扬州·八年级校联考期中）解分式方程：
(1)
(2)
知识点03 根据分式方程解的情况求值
【典型例题】
例1．（2023·河南驻马店·校联考二模）若关于的分式方程的解是，则的值为（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023·湖北荆州·统考一模）已知关于x的分式方程的解是负数，则m的取值范围是_______．
例3．（2023春·江苏南京·八年级南京外国语学校校考期中）已知关于x的分式方程．
(1)当时，求方程的解；
(2)若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是______．
【即学即练】
1．（2023·黑龙江鸡西·校考一模）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
2．（2023春·江苏·八年级期中）已知关于x的方程的解是负数，那么m的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
3．（2023春·上海·八年级专题练习）在去分母解关于x的分式方程的过程中产生增根，则_____．
4．（2023春·江苏·八年级专题练习）若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是 ______ ．
5．（2023春·八年级课时练习）若关于的分式方程的解为正数，求正整数的值．
知识点04 分式方程的增根、无解问题
【典型例题】
例1．（2023春·河南周口·八年级统考阶段练习）若关于x的方程有增根，则m的值为（ ）
A．B．2C．D．3
例2．（2023春·海南海口·八年级海口市第十四中学校考阶段练习）若关于x的分式方程无解，则m的值为_______．
例3．（2022秋·八年级课时练习）王涵想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：
(1)她把这个数“”猜成，请你帮王涵解这个分式方程；
(2)王涵的妈妈说：“我看到标准答案是：是方程的增根，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？
【即学即练】
1．（2023春·山东济宁·九年级校考阶段练习）若关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．1B．1或C．1或或2D．1或或6
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）若分式方程有增根，则m的值是（ ）．
A．3B．C．5D．
3．（2023春·江苏无锡·八年级校联考期中）若去分母解分式方程会产生增根，则m的值为______．
4．（2023秋·四川凉山·八年级统考期末）设m，n为实数，定义如下一种新运算：，若关于x的方程无解，则a的值是______．
5．（2023春·山西临汾·八年级统考阶段练习）已知分式方程，由于印刷问题，有一个数“▲”看不清楚．
(1)若“▲”表示的数为6，求分式方程的解；
(2)小华说“我看到答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“▲”代表的数．
知识点05 分式方程的实际应用
【典型例题】
例1．（2022秋·广东潮州·八年级统考期末）某单位盖一座楼房，如果由建筑一队施工，那么180天可盖成；如果由建筑一队、二队同时施工，那么30天能完成工程总量的．现若由建筑二队单独施工，则需要天完成．根据题意列的方程是（ ）
A．B．
C．D．
例2．（2022秋·云南昆明·八年级昆明市第三中学校考阶段练习）甲、乙两船从相距的A、B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为．若甲、乙两船在静水中的速度相同，则可求得两船在静水中的速度为___________．
例3．（2023·吉林长春·统考一模）某科技公司购买了一批A、B两种型号的芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该公司用2 600元购买A型芯片的条数与用3 500元购买B型芯片的条数相等．求该公司购买B型芯片的单价．
【即学即练】
1．（2023春·浙江·九年级阶段练习）某化工厂要在规定时间内搬运1800千克化工原料，现有A，B两种机器人可供选择，已知B型机器人每小时完成的工作量是A型机器人的倍，B型机器人单独完成所需的时间比A型机器人少10小时，如果设A型机器人每小时搬运x千克化工原料，则可以列出以下哪个方程（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）甲乙两地相距420千米，新修的高速公路开通后，在甲、乙两地行驶的长途客运车平均速度是原来的1.5倍，进而从甲地到乙地的时间缩短了2小时．设原来的平均速度为x千米/时，可列方程为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）甲、乙两个服装厂加工一批校服，甲厂每天加工的数量是乙厂每天加工数量的倍，两厂各加工套校服，甲厂比乙厂少用2天，则乙厂每天加工 _____套校服．
4．（2023春·八年级课时练习）某天运动员小伟沿平路从家步行去银行办理业务，到达银行发现没有带银行卡（停留时间忽略不计），立即沿原路跑回家，已知平路上跑步的平均速度是平路上步行的平均速度的4倍，已知小伟家到银行的平路距离为2800米，小伟从离家到返回家共用50分钟．则小伟在平路上跑步的平均速度是每分钟__________米．
5．（2023·吉林·一模）某店有、两种口罩出售，其中种口罩的单价要比种口罩的单价多元，用元购进种口罩数量是用元购进种口罩数量的倍．
(1)求、两种口罩的单价；
(2)某单位从该店购进、两种口罩共个，总费用为元，求购进种口罩多少个．
题组A 基础过关练
1．（2023春·全国·八年级专题练习）解分式方程，去分母后得到（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·湖北襄阳·统考中考真题）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录了一道驿站送信的题目，大意为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列出正确的方程为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·河北沧州·八年级统考期中）如图是小明解分式方程的过程，则下列判断正确的是（ ）
A．从第一步开始出现错误B．从第二步开始出现错误
C．从第三步开始出现错误D．从第四步开始出现错误
4．（2023春·山西临汾·八年级校联考阶段练习）相机成像的原理公式为，其中表示照相机镜头的焦距，表示物体到镜头的距离，表示胶片（像）到镜头的距离．下列用，表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·吉林松原·统考一模）关于x的方程的解是________．
6．（2023春·全国·八年级专题练习）若分式的值为零，则x的值为______．
7．（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）劳动教育是全面发展教育体系的重要组成部分，是大中小学必须开展的教育活动．某校积极响应，开设校园农场．七年级学生共收获农产品，八年级学生共收获农产品，已知八年级学生比七年级学生人均多收获农产品，七年级学生人数是八年级学生人数的1.5倍．求七、八年级各有多少名学生．若设八年级有x名学生，则可列分式方程为_______．
8．（2023春·江苏·八年级专题练习）若方程有增根，则方程的增根是__________．
9．（2023春·全国·八年级专题练习）（1）解方程：；
（2）分式化简：．
10．（2023春·全国·八年级专题练习）新情境·雅万高铁2022年11月15日至16日，二十国集团领导人第十七次峰会于印尼巴厘岛正式召开，备受瞩目的雅万高铁于峰会期间测试运行．雅万高铁北起印尼首都雅加达，南联旅游名城万隆，是印尼乃至东南亚的第一条高铁，全长．已知雅万高铁的平均速度是火车的平均速度的倍，乘坐雅万高铁全程可比乘坐火车节省时间，求雅万高铁的平均速度．
题组B 能力提升练
1．（2023春·上海·八年级阶段练习）方程的根是（ ）
A．B．C．D．以上答案都不对
2．（2023春·上海·八年级期中）某厂接到加工件衣服的订单，预计每天做件，正好按时完成，后因客户要求提前天交货，设每天应多做件，则应满足的方程为( )
A．B．C．D．
3．（2023春·江苏扬州·八年级校联考期中）若关于的无实数解，则的值是（ ）
A．5B．C．1D．
4．（2023·广西南宁·广西大学附属中学校联考二模）对于实数a、b，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·吉林松原·统考一模）关于x的方程的解是________．
6．（2023春·全国·八年级专题练习）若分式的值为零，则x的值为______．
7．（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）劳动教育是全面发展教育体系的重要组成部分，是大中小学必须开展的教育活动．某校积极响应，开设校园农场．七年级学生共收获农产品，八年级学生共收获农产品，已知八年级学生比七年级学生人均多收获农产品，七年级学生人数是八年级学生人数的1.5倍．求七、八年级各有多少名学生．若设八年级有x名学生，则可列分式方程为_______．
8．（2023春·江苏·八年级专题练习）若方程有增根，则方程的增根是__________．
9．（2023春·江苏无锡·九年级校考阶段练习）无锡地铁号线一期工程全长公里，设个站点，起自渔父岛站，串联蠡湖未来城、无锡主城区、南长街、坊前、梅村等地．某站点由两个工程队一起建设了个月，剩下的部分由队单独建设，还需个月．
(1)若队单独建设需要个月，队单独建设需要多少时间？
(2)若队单独建设的时间为个月（），试分析说明两队谁的施工速度更快．
10．（2023春·山东德州·九年级校考阶段练习）若关于x的方程
(1)若，解这个分式方程；
(2)若原分式方程无解，求m的值．
题组C 培优拔尖练
1．（2023·黑龙江佳木斯·统考一模）已知关于x的分式方程无解，则m的值是（ ）
A．1B．1或2C．0或2D．0或1
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围是（ ）
A．B．且C．且D．
3．（2022秋·湖南湘西·八年级统考期末）若，则的值为（ ）．
A．2020B．2021C．2022D．2023
4．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆南开中学校考期末）若关于的一元一次不等式组的解集为，关于的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数的和为（ ）
A．5B．6C．11D．12
5．（2023·上海金山·统考二模）分式方程的解是________．
6．（2023·山东济南·统考一模）代数式的值比代数式的值大，则 ______ ．
7．（2023春·江苏扬州·八年级校联考期中）已知关于的方程的解是正整数，则正整数的值是______．
8．（2023春·福建泉州·八年级校考阶段练习）如图1所示，将形状大小完全相同的“□”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“□”的个数为，第2幅图中“□”的个数为，第3幅图中“□”的个数为，……，以此类推，若（为正整数），则的值为___________．
9．（2023·浙江杭州·统考一模）解分式方程：
小明同学是这样解答的：
解：去分母，得：．
去括号，得：．
移项，合并同类项，得：．
两边同时除以，得：．
经检验，是原方程的解．
小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
10．（2023春·江苏·八年级专题练习）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式的值为零，则解得．又因为，所以关于x的方程的解为．
(1)理解应用：方程的解为： ， ；
(2)知识迁移：若关于x的方程的解为，求的值；
(3)拓展提升：若关于x的方程的解为，求的值．
解：方程两边同时乘，得，…………第一步
即，……………第二步
解得，………………………第三步
经检查，原方程的解是．……第四步
专题5.5 分式方程
掌握分式方程的有关概念；
掌握分式方程的解法；
掌握分式方程的增根与无解的情况；
掌握分式方程的应用，注意分式方程的结果需要检验；
【知识点】
1.分式方程的有关概念
(1)分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程．
(2)分式方程的增根:分式方程化成整式方程解得的未知数的值，如果这个值令最简公分母为零则为增根．
基本方法归纳：判断分式方程时只需看分母中必须有未知数；分式方程的解只需带入方程看等式是否成立即可．
2：分式方程的解法
解分式方程的步骤：解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”．它的一般解法是：
（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母
（2）解所得的整式方程
（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根．
基本方法归纳：分式方程首要是方程两边同乘以分母最简公分母、去掉分母，转化为整式方程求解，其次注意一定要验根．
归纳：分式方程首要是方程两边同乘以分母最小公倍数、去掉分母，转化为整式方程求解，其次注意一定要验根．
3.分式方程的应用
(1)分式方程解应用题的一般步骤：
（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．
（2）设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．
（3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程．
（4）解方程．
（5）检验，看方程的解是否符合题意．
（6）写出答案．
(2)解应用题的书写格式：
设→根据题意→解这个方程→答．
基本方法归纳：解题时先理解题意找到等量关系列出方程再解方程最后检验即可．
注意问题归纳：找对等量关系最后一定要检验．
知识点01 分式方程的定义
【典型例题】
例1．（2023春·上海·八年级专题练习）已知方程：①，②，③，④．这四个方程中，分式方程的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】分母中含有未知数的方程叫分式方程，根据定义判断即可．
【详解】解：①，是分式方程；
②，是整式方程；
③，是分式方程；
④，是整式方程，
则分式方程的个数是2．
故选：C．
【点睛】此题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解本题的关键．
例2．（2021·全国·九年级专题练习）下列方程是关于x的方程，其中是分式方程的是_______（只填序号）
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨．
【答案】④⑤⑥⑦⑨
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程进行判断．
【详解】①是整式方程，故①不符合题意；
②是整式方程，故②不符合题意；
③是整式方程，故③不符合题意；
④是分式方程，故④符合题意；
⑤是分式方程，故⑤符合题意；
⑥是分式方程，故⑥符合题意；
⑦是分式方程，故⑦符合题意；
⑧是整式方程，故⑧不符合题意；
⑨是分式方程，故⑨符合题意；
故答案为：④⑤⑥⑦⑨．
【点睛】本题考查分式方程的定义，充分理解分式方程的定义是解答本题的关键．
例3．（2023春·全国·八年级专题练习）在下列方程：①、②、③、④、⑤⑥，⑦，⑧，⑨中，哪些是分式方程，并说明理由．
【答案】③④⑤⑦,详见解析
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断．
【详解】解：方程①②⑥⑧分母中不含未知数，故①②⑥⑧不是分式方程；
方程③④⑤⑦分母中含表示未知数的字母，故是分式方程；
方程⑨属于无理方程．
【点睛】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．
【即学即练】
1．（2023春·八年级课时练习）下列是分式方程的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，对每个选项进行判断，找出是等式，且分母含有未知数方程，即可得解．
【详解】解：A、是一个代数式，不是方程，所以A不是分式方程；
B、是一元一次方程，是整式方程，所以B不是分式方程；
C、是一元一次方程，是整式方程，所以C不是分式方程；
D、分母含有未知数x，所以D是分式方程．
故选：D．
【点睛】本题考查分式方程的定义，正确理解分式方程的形式是本题关键．
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）给出以下方程：，，，，其中分式方程的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】利用分式方程的定义：分母中含有未知数的方程，进行逐一判断即可．
【详解】解：中分母不含未知数，不是分式方程；
中分母含有未知数，是分式方程；
中分母含有未知数，是分式方程；
中分母不含未知数，不是分式方程，
共有两个是分式方程，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是分式方程的定义，掌握定义并进行准确判断是解题的关键．
3．（2023春·八年级课时练习）请写出一个只含有未知数且根是的分式方程__________．
【答案】
【分析】根据分式方程的定义即可得出结论．
【详解】解：根据题意，得．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了分式方程的定义，掌握分式方程的定义是解答此题的关键．
4．（2023春·七年级单元测试）在方程中，分式方程有______个．
【答案】3
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断．
【详解】解：在方程中，分式方程有，一共3个．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．
5．（2023春·全国·八年级专题练习）下列方程哪些是分式方程？
（1）；（2）；（3）；（4）（a是常数）．
【答案】（1）（2）是分式方程
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的字母的方程叫做分式方程即可判断．
【详解】解：（1）是分式方程；（2）是分式方程；（3）不是分式方程；（4）（a是常数）不是分式方程，
故（1）（2）是分式方程．
【点睛】本题考查了分式方程的定义，解题的关键是：会利用定义去判断是否为分式方程．
知识点02 解分式方程
【典型例题】
例1．（2023·河南南阳·统考一模）方程解为（ ）
A． B． C． D．无解
【答案】D
【分析】将分式方程化为整式方程，求解后，进行检验后，即可得出结论．
【详解】解：方程两边同乘，得：，
解得：，
检验：当时，，
∴是原方程的增根，
∴原方程无解；
故选D．
【点睛】本题考查解分式方程．熟练掌握解分式方程的步骤，是解题的关键．
例2．（2023年北京市通州区中考一模数学试卷）方程的解是__________．
【答案】
【分析】先去分母变为整式方程，然后解整式方程，得出x的值，最后检验即可．
【详解】解：，
去分母得：，
解整式方程得：，
经检验是原方程的解，
所以方程的解为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤准确计算，注意解分式方程要进行检验．
例3．（2023秋·四川绵阳·八年级统考期末）解分式方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程即可求解；
（2）方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程即可求解；
【详解】（1）解：
方程两边同时乘以，
得：，
解得．
检验：把代入，
是原方程的解．
（2）解：，
方程两边同时乘以，得
，
解得：，
检验：把代入，
∴是原方程的解．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
【即学即练】
1．（2023·北京门头沟·统考一模）方程的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】去分母，化为整式方程，解出方程，并进行检验，即可求解．
【详解】解：方程两边同时乘以得：
，
解得：，
检验：当时，，
原方程的根为．
故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，掌握分式方程的解法是解题的关键．
2．（2023春·浙江·七年级专题练习）对于实数和，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据新定义列出方程，然后解方程即可．
【详解】解：根据题中新定义列方程得：，
解得：，
把代入得：，
∴是方程的解，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了新定义运算，解分式方程，解题的关键是理解题意，列出关于x的方程，注意分式方程要进行检验．
3．（2023春·浙江·七年级专题练习）分式方程的解为______________．
【答案】
【分析】方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程即可求解，最后要检验．
【详解】解：
方程两边同时乘以，得
即
解得：，
经检验，是原方程的解．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
4．（2023·浙江宁波·统考一模）对于实数，我们定义运算，如：．则方程的解为__________．
【答案】
【分析】根据题目中给出的信息，列出方程，解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
经检验是原方程的根据，
∴原方程的解为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了新定义运算，解分式方程，解题的关键是理解题意，列出方程，准确计算．
5．（2023春·江苏扬州·八年级校联考期中）解分式方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)无解
【分析】（1）方程两边都乘以得，，解得，，检验后即可得到答案；
（2）方程两边都乘以得，，解得，检验后即可得到答案．
【详解】（1）
方程两边都乘以得，，
解得，，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解；
（2）
方程两边都乘以得，，
解得，，
检验：当时，，
∴是增根，
∴原分式方程无解．
【点睛】此题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
知识点03 根据分式方程解的情况求值
【典型例题】
例1．（2023·河南驻马店·校联考二模）若关于的分式方程的解是，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】把代入方程得出m的方程，然后解关于m的方程即可．
【详解】解：∵分式方程的解是，
∴，
解得，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的解，解一元一次方程等知识，把代入原方程中进行计算是解题的关键．
例2．（2023·湖北荆州·统考一模）已知关于x的分式方程的解是负数，则m的取值范围是_______．
【答案】且
【分析】直接解分式方程，然后根据分式方程的解为负数，结合求出答案．
【详解】解：，
去分母得：，
解得：，
∵分式方程的解是负数，
∴且，
即且，
解得：且．
故答案为：且
【点睛】本题考查了分式方程的解，正确解分式方程是解题的关键．
例3．（2023春·江苏南京·八年级南京外国语学校校考期中）已知关于x的分式方程．
(1)当时，求方程的解；
(2)若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是______．
【答案】(1)
(2)且．
【分析】（1）将代入分式方程，解分式方程的即可求解；
（2）先解分式方程，然后依据分式方程有解且解为非负数，建立不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：当时，
∴，
∴，
∴，
∴，
去分母得：，
解得：，
检验：当时，
故方程的解为：；
（2）解：，
∴，
∴，
∴，
去分母得：，
解得：，
由分式方程有解且解为非负数，
且，即：且，
即：且．
故答案为：且．
【点睛】此题主要考查了解分式方程及不等式的解法；掌握解分式方程要进行检验及分式方程有解且解为非负数的条件是解题关键．
【即学即练】
1．（2023·黑龙江鸡西·校考一模）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
【答案】C
【分析】用a表示出该分式方程的解，再结合该分式方程的解为非负数和分式方程有意义的条件，即得出关于a的不等式，解出a的解集即可．
【详解】解：，
方程两边同时乘以，得：，
去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
系数化为1，得：．
∵该分式方程的解为非负数，且，
∴，且，
∴，且，
∴，且 ．
故选C．
【点睛】本题考查根据分式方程解的情况求值，分式有意义的条件．能够正确把分式方程转化为整式方程是解题关键．
2．（2023春·江苏·八年级期中）已知关于x的方程的解是负数，那么m的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
【答案】D
【分析】首先去分母化分式方程为整式方程，然后求出整式方程的解，结合题目条件即可求出m的取值范围．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
∵原方程的解是负数，
∴，且，
∴且．
故选D．
【点睛】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，解题的关键在于利用分式方程的解是负数的条件，同时考虑整式方程的解不能使分式方程的分母为0．
3．（2023春·上海·八年级专题练习）在去分母解关于x的分式方程的过程中产生增根，则_____．
【答案】
【分析】根据题意可得，然后把的值代入整式方程中进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
解得：，
∵分式方程产生增根，
∴，
把代入中，
，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出x的值后代入整式方程中进行计算是解题的关键．
4．（2023春·江苏·八年级专题练习）若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是 ______ ．
【答案】且
【分析】首先求出关于的分式方程的解，然后根据解为负数，求出的取值范围即可．
【详解】
去分母得：，
去括号得：，
合并同类项得：，
解得：，
，
，
，即，
，
，
的取值范围：且．
故答案为：且
【点睛】此题主要考查了分式方程的解，要熟练掌握；解答此题的关键是正确得出分母不为0．
5．（2023春·八年级课时练习）若关于的分式方程的解为正数，求正整数的值．
【答案】1
【分析】把分式方程化为整式方程，再解出整式方程可得，再由原方程的解为正数，求出的取值范围，即可求解．
【详解】解：原方程可化为：，
．
原方程的解为正数，
，
，
，
，
，
，
∴的取值范围为且，
正整数的值为1．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤，并注意算出的答案要去除分母为0的情况．
知识点04 分式方程的增根、无解问题
【典型例题】
例1．（2023春·河南周口·八年级统考阶段练习）若关于x的方程有增根，则m的值为（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】D
【分析】将分式方程化为整式方程，根据分式方程有增根得到，得到，即可求出m的值．
【详解】解：，
去分母，得，
∵方程有增根，
∴，即，
∴，
解得，
故选：D．
【点睛】此题考查了已知分式方程的解的情况求参数，正确掌握分式方程的解法及增根的意义是解题的关键．
例2．（2023春·海南海口·八年级海口市第十四中学校考阶段练习）若关于x的分式方程无解，则m的值为_______．
【答案】或/或
【分析】分式方程无解的情况有两种：（1）原方程存在增根；（2）原方程约去分母后，整式方程无解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵原分式方程无解．
∴，即或．
解得或．
当时，；
当时，．
∴m的值为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查的是分式方程无解的知识，解答此类题目既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形．
例3．（2022秋·八年级课时练习）王涵想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：
(1)她把这个数“”猜成，请你帮王涵解这个分式方程；
(2)王涵的妈妈说：“我看到标准答案是：是方程的增根，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？
【答案】(1)；(2)原分式程中“”代表的数是.
【分析】（1）根据题意，求解分式方程即可；
（2）根据分式方程的解的情况，首先去分母，然后将增根代入即可得解．
【详解】(1)该分式方程的解为，
由题意，得
去分母，得
去括号，得
移项、合并同类项，得
经检验，当时，
是原分式方程的解；
(2)设原分式方程中“”代表的数为，
方程两边同时乘得，
由于是原分式方程的增根，
把代入上面的等式解得，
原分式程中“”代表的数是．
【点睛】此题主要考查分式方程的求解，熟练掌握，即可解题．
【即学即练】
1．（2023春·山东济宁·九年级校考阶段练习）若关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．1B．1或C．1或或2D．1或或6
【答案】D
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到最简公分母为0求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【详解】解：方程两边乘，得：
，
即
当时，方程化简为，无解，符合题意；
当时，
∵分式方程无解，
∴，
解得：，
把代入整式方程，得，
解得；
把代入整式方程，得，
解得．
故m的值为或6或1．
故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程的解，本题中分式方程无解即为最简公分母为0，将分式方程化为整式方程是解本题的关键．
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）若分式方程有增根，则m的值是（ ）．
A．3B．C．5D．
【答案】D
【分析】先去分母，把方程化为整式方程，再把方程的增根代入整式方程求解m即可.
【详解】解：，
去分母得：
∵的增根为
∴
故选D
【点睛】本题考查的是分式方程的增根问题，掌握“分式方程的增根是使最简公分母为0的未知数的值”是解本题的关键.
3．（2023春·江苏无锡·八年级校联考期中）若去分母解分式方程会产生增根，则m的值为______．
【答案】1
【分析】首先解分式方程，再根据方程产生增根，列方程，即可求解．
【详解】解：去分母，得：，
移项、合并同类项，得：，
解得：，
方程有增根，
，
解得，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了利用分式方程根的情况求参数，熟练掌握解分式方程是解决本题的关键．
4．（2023秋·四川凉山·八年级统考期末）设m，n为实数，定义如下一种新运算：，若关于x的方程无解，则a的值是______．
【答案】或/或
【分析】由新定义运算可得，再去分母化为整式方程，结合原方程无解，可得答案．
【详解】解：∵，，而，
∴，
∴，
∴，
当时，即时，方程无解，
当时，当时，原方程有增根，
∴，
解得：；
综上：或；
故答案为：或．
【点睛】本题考查的是新定义运算，分式方程的无解问题，理解题意，构建出新的分式方程是解本题的关键．
5．（2023春·山西临汾·八年级统考阶段练习）已知分式方程，由于印刷问题，有一个数“▲”看不清楚．
(1)若“▲”表示的数为6，求分式方程的解；
(2)小华说“我看到答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“▲”代表的数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把▲代入方程，进而利用解分式方程的方法解答即可；
（2）设▲为m，利用分式方程无解得到增根，解答即可．
【详解】（1）解：，
方程两边同乘，得：，
解得：，
检验：，
所以是原分式方程的解；
（2）设▲，，
方程两边同乘，得：，
把代入，得：
，
解得：．
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是转化思想，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
知识点05 分式方程的实际应用
【典型例题】
例1．（2022秋·广东潮州·八年级统考期末）某单位盖一座楼房，如果由建筑一队施工，那么180天可盖成；如果由建筑一队、二队同时施工，那么30天能完成工程总量的．现若由建筑二队单独施工，则需要天完成．根据题意列的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据一对和二队工作效率之和乘以30天等于列方程即可．
【详解】解：∵由建筑一队施工，那么180天可盖成，
∴一队的工作效率是．
∵由建筑二队单独施工，则需要天完成，
∴二队的工作效率是．
∵由建筑一队、二队同时施工，那么30天能完成工程总量的，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查了列分式方程解实际问题的应用，解答时根据条件建立方程是关键，解答时对求出的根必须检验，这是解分式方程的必要步骤．
例2．（2022秋·云南昆明·八年级昆明市第三中学校考阶段练习）甲、乙两船从相距的A、B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为．若甲、乙两船在静水中的速度相同，则可求得两船在静水中的速度为___________．
【答案】30
【分析】设甲、乙两船在静水中的速度均为，则顺流速度为，逆流速度为，根据题意可得顺流行驶千米所用时间等于逆流所用时间，根据时间关系可得方程，即可求解．
【详解】解：设甲、乙两船在静水中的速度均为，根据题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
答：两船在静水中的速度为．
故答案为：30．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
例3．（2023·吉林长春·统考一模）某科技公司购买了一批A、B两种型号的芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该公司用2 600元购买A型芯片的条数与用3 500元购买B型芯片的条数相等．求该公司购买B型芯片的单价．
【答案】该公司购买B型芯片的单价为35元
【分析】设该公司购买B型芯片的单价为x元，则A型芯片的单价为元，根据该公司用2 600元购买A型芯片的条数与用3 500元购买B型芯片的条数相等，列出方程即可得出结论．
【详解】解：设该公司购买B型芯片的单价为x元，则A型芯片的单价为元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：该公司购买B型芯片的单价为35元．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程，易错点是分式方程要验根．
【即学即练】
1．（2023春·浙江·九年级阶段练习）某化工厂要在规定时间内搬运1800千克化工原料，现有A，B两种机器人可供选择，已知B型机器人每小时完成的工作量是A型机器人的倍，B型机器人单独完成所需的时间比A型机器人少10小时，如果设A型机器人每小时搬运x千克化工原料，则可以列出以下哪个方程（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设A型机器人每小时搬运x千克化工原料，则A型机器人每小时搬运千克化工原料，根据“B型机器人单独完成所需的时间比A型机器人少10小时”列出方程，即可求解．
【详解】解：设A型机器人每小时搬运x千克化工原料，根据题意得：
．
故选：C
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）甲乙两地相距420千米，新修的高速公路开通后，在甲、乙两地行驶的长途客运车平均速度是原来的1.5倍，进而从甲地到乙地的时间缩短了2小时．设原来的平均速度为x千米/时，可列方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设原来的平均速度为千米/时，高速公路开通后的平均速度为千米/时，根据走过相同的距离时间缩短了2小时，列方程即可．
【详解】解：设原来的平均速度为千米/时，
由题意得，，
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
3．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）甲、乙两个服装厂加工一批校服，甲厂每天加工的数量是乙厂每天加工数量的倍，两厂各加工套校服，甲厂比乙厂少用2天，则乙厂每天加工 _____套校服．
【答案】
【分析】利用分式方程中的工程问题，工作量除以工作效率等于工作时间，列出方程求解即可．
【详解】解：设乙厂每天加工x套校服，则甲厂每天加工套校服，
依题意得： ，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴乙厂每天加工套校服．
故答案为：．
【点睛】本题考查的分式方程的实际应用---工程问题，熟练掌握工程问题的数量关系式是解答此题的关键．
4．（2023春·八年级课时练习）某天运动员小伟沿平路从家步行去银行办理业务，到达银行发现没有带银行卡（停留时间忽略不计），立即沿原路跑回家，已知平路上跑步的平均速度是平路上步行的平均速度的4倍，已知小伟家到银行的平路距离为2800米，小伟从离家到返回家共用50分钟．则小伟在平路上跑步的平均速度是每分钟__________米．
【答案】280
【分析】设小伟在平路上跑步的平均速度是每分钟x米，则步行的平均速度是每分钟米，根据跑步所用的时间+步行所用的时间分钟，列出方程，解方程即可．
【详解】解：设小伟在平路上跑步的平均速度是每分钟x米，则步行的平均速度是每分钟米，根据题意得：
，
解得：，
经检验是原方程的根，且符合题意，
因此小伟在平路上跑步的平均速度是每分钟280米．
故答案为：280．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系，列出方程．
5．（2023·吉林·一模）某店有、两种口罩出售，其中种口罩的单价要比种口罩的单价多元，用元购进种口罩数量是用元购进种口罩数量的倍．
(1)求、两种口罩的单价；
(2)某单位从该店购进、两种口罩共个，总费用为元，求购进种口罩多少个．
【答案】(1)种口罩的单价元，种口罩的单价为元
(2)个
【分析】（1）设种口罩的单价为元，则种口罩的单价为元，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解；
（2）设购进种口罩个，则购进种口罩个，根据题意列出一元一次不等式，解方程即可求解．
【详解】（1）解：设种口罩的单价为元，则种口罩的单价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：种口罩的单价元，种口罩的单价为元；
（2）解：设购进种口罩个，则购进种口罩个，
由题意得：，
解得：，
答：购进种口罩个．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
题组A 基础过关练
1．（2023春·全国·八年级专题练习）解分式方程，去分母后得到（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】分式方程左右两边同乘去分母得到结果，即可作出判断．
【详解】解：去分母得：．
故选：B．
【点睛】此题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．
2．（2022·湖北襄阳·统考中考真题）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录了一道驿站送信的题目，大意为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列出正确的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据快马、慢马所需时间及规定时间之间的关系，可得出慢马所需的时间为天，快马所需的时间为天，利用速度路程时间，结合快马的速度是慢马的倍，即可得出关于的分式方程，此题得解．
【详解】解：规定时间为x天，
慢马所需的时间为，快马所需时间为，
又快马的速度是慢马的倍，
可列出方程，
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
3．（2022秋·河北沧州·八年级统考期中）如图是小明解分式方程的过程，则下列判断正确的是（ ）
A．从第一步开始出现错误B．从第二步开始出现错误
C．从第三步开始出现错误D．从第四步开始出现错误
【答案】B
【分析】把分式方程转化为一元一次方程求解解题即可．
【详解】解：方程两边同时乘，
得，
即，
解得，
经检查，原方程的解是．
∴错误步骤为第二步，
故选B．
【点睛】本题考查解分式方程，掌握分式方程的解法是解题的关键，注意解分式方程需要验根．
4．（2023春·山西临汾·八年级校联考阶段练习）相机成像的原理公式为，其中表示照相机镜头的焦距，表示物体到镜头的距离，表示胶片（像）到镜头的距离．下列用，表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】解分式方程即可得到答案．
【详解】解：，
去分母得：，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用；解题的关键是正确求解分式方程．
5．（2023·吉林松原·统考一模）关于x的方程的解是________．
【答案】
【详解】按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答．
【分析】解：，
，
解得：，
检验：当时，，
∴是原方程的根，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
6．（2023春·全国·八年级专题练习）若分式的值为零，则x的值为______．
【答案】1
【分析】由题意知，，然后解分式方程即可．
【详解】解：由题意知，，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了解分式方程．解题的关键在于正确的运算．
7．（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）劳动教育是全面发展教育体系的重要组成部分，是大中小学必须开展的教育活动．某校积极响应，开设校园农场．七年级学生共收获农产品，八年级学生共收获农产品，已知八年级学生比七年级学生人均多收获农产品，七年级学生人数是八年级学生人数的1.5倍．求七、八年级各有多少名学生．若设八年级有x名学生，则可列分式方程为_______．
【答案】
【分析】根据题设，得出七年级有1.5x名学生，再表示出每个年级人均收获农产品的数量，根据八年级比七年级人均多建立方程．
【详解】解：若设八年级有x名学生，则七年级有1.5x名学生，
八年级人均收获农产品为，
七年级人均收获农产品为，
已知八年级学生比七年级学生人均多收获农产品，
则有．
故答案为：．
【点睛】此题考查了列分式方程，解题的关键是理清题目中的数量关系．
8．（2023春·江苏·八年级专题练习）若方程有增根，则方程的增根是__________．
【答案】
【分析】根据分式方程的增根是分母为0时x的值进行求解即可．
【详解】解：∵方程有增根，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求分式方程的增根，熟知分式方程的增根即为分母为0时未知数的值是解题的关键．
9．（2023春·全国·八年级专题练习）（1）解方程：；
（2）分式化简：．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先将等式两边同时乘以，将分式方程化为整式方程，然后解方程即可，最后注意一定要检验；
（2）先将括号内的分式通分，然后把除法运算转化为乘法运算，能因式分解的要先因式分解，最后约分化简即可．
【详解】（1），
去分母，得：，
去括号，得：，
整理，得：，
解得：，
检验：将代入，
∴是原方程得解；
（2）
，
，
，
【点睛】本题主要考查解分式方程，分式的化简求值，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
10．（2023春·全国·八年级专题练习）新情境·雅万高铁2022年11月15日至16日，二十国集团领导人第十七次峰会于印尼巴厘岛正式召开，备受瞩目的雅万高铁于峰会期间测试运行．雅万高铁北起印尼首都雅加达，南联旅游名城万隆，是印尼乃至东南亚的第一条高铁，全长．已知雅万高铁的平均速度是火车的平均速度的倍，乘坐雅万高铁全程可比乘坐火车节省时间，求雅万高铁的平均速度．
【答案】
【分析】设火车行全程的平均速度为，则高铁的平均速度为，根据题意列出分式方程解答即可．
【详解】解：设火车行全程的平均速度为，则高铁的平均速度为，
解得：
经检验是方程的解，
则，
答：雅万高铁的平均速度为．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，行程问题，找到合适的等量关系列出方程是解题的关键．
题组B 能力提升练
1．（2023春·上海·八年级阶段练习）方程的根是（ ）
A．B．C．D．以上答案都不对
【答案】A
【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
解得：，
检验：当时，，
∴是原方程的增根，
当时，，
∴是原方程的根，
故选：A．
【点睛】本题考查了解分式方程，一定要注意，解分式方程必须检验．
2．（2023春·上海·八年级期中）某厂接到加工件衣服的订单，预计每天做件，正好按时完成，后因客户要求提前天交货，设每天应多做件，则应满足的方程为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题的关键是要弄清因客户要求工作量提速后的工作效率和工作时间，然后根据题目给出的关键语“提前5天”找到等量关系，然后列出方程．
【详解】解：因客户的要求每天的工作效率应该为：件，所用的时间为：，
根据“因客户要求提前5天交货”，用原有完成时间减去提前完成时间，
可以列出方程：．
故选：D．
【点睛】此题考查由实际问题抽象出分式方程，这道题的等量关系比较明确，直接分析题目中的重点语句即可得知，再利用等量关系列出方程．
3．（2023春·江苏扬州·八年级校联考期中）若关于的无实数解，则的值是（ ）
A．5B．C．1D．
【答案】B
【分析】根据分式方程无解的条件：去分母后所得整式方程无解，或者解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0，进行求解即可．
【详解】解：方程去分母得：，
解得：，
当时，分母为0，方程无解，
即，
解得：，
若关于的无实数解，则的值是，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程无解的条件：去分母后所得整式方程无解，或者解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0，熟练掌握该条件是解题的关键．
4．（2023·广西南宁·广西大学附属中学校联考二模）对于实数a、b，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据新定义的运算法则列出关于x的分式方程，即可求解．
【详解】解：根据题意将变为：，
即，
∴，
解得，
经检验符合题意，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算和解分式方程，理解新定义的运算法则是解答本题的关键．
5．（2023·吉林松原·统考一模）关于x的方程的解是________．
【答案】
【详解】按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答．
【分析】解：，
，
解得：，
检验：当时，，
∴是原方程的根，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
6．（2023春·全国·八年级专题练习）若分式的值为零，则x的值为______．
【答案】1
【分析】由题意知，，然后解分式方程即可．
【详解】解：由题意知，，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了解分式方程．解题的关键在于正确的运算．
7．（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）劳动教育是全面发展教育体系的重要组成部分，是大中小学必须开展的教育活动．某校积极响应，开设校园农场．七年级学生共收获农产品，八年级学生共收获农产品，已知八年级学生比七年级学生人均多收获农产品，七年级学生人数是八年级学生人数的1.5倍．求七、八年级各有多少名学生．若设八年级有x名学生，则可列分式方程为_______．
【答案】
【分析】根据题设，得出七年级有1.5x名学生，再表示出每个年级人均收获农产品的数量，根据八年级比七年级人均多建立方程．
【详解】解：若设八年级有x名学生，则七年级有1.5x名学生，
八年级人均收获农产品为，
七年级人均收获农产品为，
已知八年级学生比七年级学生人均多收获农产品，
则有．
故答案为：．
【点睛】此题考查了列分式方程，解题的关键是理清题目中的数量关系．
8．（2023春·江苏·八年级专题练习）若方程有增根，则方程的增根是__________．
【答案】
【分析】根据分式方程的增根是分母为0时x的值进行求解即可．
【详解】解：∵方程有增根，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求分式方程的增根，熟知分式方程的增根即为分母为0时未知数的值是解题的关键．
9．（2023春·江苏无锡·九年级校考阶段练习）无锡地铁号线一期工程全长公里，设个站点，起自渔父岛站，串联蠡湖未来城、无锡主城区、南长街、坊前、梅村等地．某站点由两个工程队一起建设了个月，剩下的部分由队单独建设，还需个月．
(1)若队单独建设需要个月，队单独建设需要多少时间？
(2)若队单独建设的时间为个月（），试分析说明两队谁的施工速度更快．
【答案】(1)
(2)队的施工速度更快
【分析】（1）根据题意找出等量关系列方程即可得到方程；
（2）根据题意找出数量关系列方程解方程，再利用作差法即可得到正确结果．
【详解】（1）解：队单独建设需要个月，队单独建设需要个月，
根据题意可得方程：，
解得：，
经检验是分式方程的解，
∴原分式方程的解为，
答：若队单独建设需要个月，队单独建设需要个月．
（2）解：设队单独建设需要个月，根据题意得：，
解得：，
∴ ，
∵，
∴，即，
∴队的施工速度更快．
【点睛】本题考查了分式方程应用， 分式方程的运算法则，作差法比较大小等相关知识点，审清题意，找出等量关系是解题的关键．
10．（2023春·山东德州·九年级校考阶段练习）若关于x的方程
(1)若，解这个分式方程；
(2)若原分式方程无解，求m的值．
【答案】(1)
(2)4或0
【分析】（1）先将分式方程化为整式方程，求出解后进行检验即可；
（2）将分式方程化为，根据方程无解，可得或当时，，由此可解．
【详解】（1）解：当时，，
两边同乘，得，
整理，得，
移项、合并同类项，得，
解得，
当时，，
因此这个分式方程的解为；
（2）解：方程，
两边同乘，得，
整理，得，
移项、合并同类项，得，
方程无解，
或当时，，
即或或，
上述方程的解依次为，，无解．
m的值为4或0．
【点睛】本题考查解分式方程，分式方程无解问题，根据分式方程无解，得出关于m的方程是解题的关键．
题组C 培优拔尖练
1．（2023·黑龙江佳木斯·统考一模）已知关于x的分式方程无解，则m的值是（ ）
A．1B．1或2C．0或2D．0或1
【答案】B
【分析】去分母，化分式方程为整式方程，根据分式方程产生增根或，即可求解．
【详解】解：，
方程两边同时乘以，得，
移项、合并同类项，得，
∵方程无解，
∴或，
∴或，
∴或，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程无解问题，分两种情况：一种是把分式方程化成整式方程后，整式方程无解；一种是把分式方程化成整式方程后，整式方程有解，但这个解使分式方程的分母为0，是增根，熟练掌握理解这两种情况是解题关键．
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围是（ ）
A．B．且C．且D．
【答案】B
【分析】先化分式方程为整式方程得到，求得方程的解，根据解的属性，方程的增根两个角度去求解即可．
【详解】∵，
去分母，得，
解得．
∵分式方程的解为正数，且方程的增根为，
∴，
解得且，
故选B．
【点睛】本题考查了分式方程的解，增根，探求字母的取值范围，熟练根据解的属性，增根的意义建立不等式是解题的关键．
3．（2022秋·湖南湘西·八年级统考期末）若，则的值为（ ）．
A．2020B．2021C．2022D．2023
【答案】C
【分析】由可得，采用整体代入法，即可求解．
【详解】解：，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了代数式求值问题，采用整体代入法是解决本题的关键．
4．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆南开中学校考期末）若关于的一元一次不等式组的解集为，关于的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数的和为（ ）
A．5B．6C．11D．12
【答案】A
【分析】由一元一次不等式组的解集为，可求出m的范围，根据关于y的分式方程有整数解，可得m的值，从而得到答案．
【详解】解：由一元一次不等式组可得且，
∵一元一次不等式组的解集为，
∴，
分式方程变形为：，
∵，
∴，
∴
∴，
∵分式方程有整数解，
∴为整数，
∴或或
解得或或4或0或3或1，
∵，且
∴符合条件的所有整数m分别是：4、3、0，
∴符合条件的所有整数m的和为，
故选：A．
【点睛】本题考查解分式方程及一元一次不等式组的解，解题的关键是根据分式方程有整数解，求出m的值．
5．（2023·上海金山·统考二模）分式方程的解是________．
【答案】
【分析】根据解分式方程的基本步骤计算求解即可．
【详解】∵，
∴，
解得或．
经检验，是原方程的根，是原方程的增根；
故原方程的根为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解分式方程，正确求解，规范验根是解题的关键．
6．（2023·山东济南·统考一模）代数式的值比代数式的值大，则 ______ ．
【答案】2
【分析】根据题意可得：，然后按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
，
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
7．（2023春·江苏扬州·八年级校联考期中）已知关于的方程的解是正整数，则正整数的值是______．
【答案】或
【分析】根据解方式方程的方法解出分式的解，再根据解是正整数，判断正整数的值，由此即可求解．
【详解】解：
移项，
即，
∴，
∴且，
∵解是正整数，
∴，且，
∵正整数，
∴，即，
此时（舍去）或或，符合题意；
综上所述，正整数的值是或．
【点睛】本题主要考查解分式方程，正确理解题意、熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
8．（2023春·福建泉州·八年级校考阶段练习）如图1所示，将形状大小完全相同的“□”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“□”的个数为，第2幅图中“□”的个数为，第3幅图中“□”的个数为，……，以此类推，若（为正整数），则的值为___________．
【答案】41
【分析】根据图形得到图形的变化规律：，根据规律代入将方程变形为，解方程即可．
【详解】解：由图可得，，，……，
∴，
∵，
∴
，
解得（舍去）或，
故答案为：41．
【点睛】此题考查了规律探究，解分式方程，正确理解图形的计算规律代入方程计算是解题的关键．
9．（2023·浙江杭州·统考一模）解分式方程：
小明同学是这样解答的：
解：去分母，得：．
去括号，得：．
移项，合并同类项，得：．
两边同时除以，得：．
经检验，是原方程的解．
小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
【答案】有错误，正确过程见详解
【分析】根据解分式方程的方法逐步进行验算即可得到答案
【详解】解：有错误，理由如下：
分式方程两边同时乘以
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项，得：，
两边同时除以，得：．
经检验，是原方程的解．
【点睛】本题考查方式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法．
10．（2023春·江苏·八年级专题练习）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式的值为零，则解得．又因为，所以关于x的方程的解为．
(1)理解应用：方程的解为： ， ；
(2)知识迁移：若关于x的方程的解为，求的值；
(3)拓展提升：若关于x的方程的解为，求的值．
【答案】(1)5，
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意可得或；
（2）由题意可得，再由完全平方公式可得；
（3）方程变形为，则方程的解为或，则有，整理得，再将所求代数式化为，进而即可求解．
【详解】（1）解：∵的解为，
∴的解为或，
故答案为：5，；
（2）∵方程，
∴，
∴；
（3）方程可化为，
设，方程变形为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴或，
∴，
∴，
．
【点睛】本题考查了分式方程的解，理解题意，灵活求分式方程的解，并结合完全平方公式对代数式求值是解题的关键．
解：方程两边同时乘，得，…………第一步
即，……………第二步
解得，………………………第三步
经检查，原方程的解是．……第四步
掌握分式方程的有关概念；
掌握分式方程的解法；
掌握分式方程的增根与无解的情况；
掌握分式方程的应用，注意分式方程的结果需要检验；
【知识点】
1.分式方程的有关概念
(1)分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程．
(2)分式方程的增根:分式方程化成整式方程解得的未知数的值，如果这个值令最简公分母为零则为增根．
基本方法归纳：判断分式方程时只需看分母中必须有未知数；分式方程的解只需带入方程看等式是否成立即可．
2：分式方程的解法
解分式方程的步骤：解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”．它的一般解法是：
（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母
（2）解所得的整式方程
（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根．
基本方法归纳：分式方程首要是方程两边同乘以分母最简公分母、去掉分母，转化为整式方程求解，其次注意一定要验根．
归纳：分式方程首要是方程两边同乘以分母最小公倍数、去掉分母，转化为整式方程求解，其次注意一定要验根．
3.分式方程的应用
(1)分式方程解应用题的一般步骤：
（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．
（2）设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．
（3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程．
（4）解方程．
（5）检验，看方程的解是否符合题意．
（6）写出答案．
(2)解应用题的书写格式：
设→根据题意→解这个方程→答．
基本方法归纳：解题时先理解题意找到等量关系列出方程再解方程最后检验即可．
注意问题归纳：找对等量关系最后一定要检验．
知识点01 分式方程的定义
【典型例题】
例1．（2023春·上海·八年级专题练习）已知方程：①，②，③，④．这四个方程中，分式方程的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
例2．（2021·全国·九年级专题练习）下列方程是关于x的方程，其中是分式方程的是_______（只填序号）
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨．
例3．（2023春·全国·八年级专题练习）在下列方程：①、②、③、④、⑤⑥，⑦，⑧，⑨中，哪些是分式方程，并说明理由．
【即学即练】
1．（2023春·八年级课时练习）下列是分式方程的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）给出以下方程：，，，，其中分式方程的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2023春·八年级课时练习）请写出一个只含有未知数且根是的分式方程__________．
4．（2023春·七年级单元测试）在方程中，分式方程有______个．
5．（2023春·全国·八年级专题练习）下列方程哪些是分式方程？
（1）；（2）；（3）；（4）（a是常数）．
知识点02 解分式方程
【典型例题】
例1．（2023·河南南阳·统考一模）方程解为（ ）
A． B． C． D．无解
例2．（2023年北京市通州区中考一模数学试卷）方程的解是__________．
例3．（2023秋·四川绵阳·八年级统考期末）解分式方程：
(1)
(2)
【即学即练】
1．（2023·北京门头沟·统考一模）方程的解为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·浙江·七年级专题练习）对于实数和，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·浙江·七年级专题练习）分式方程的解为______________．
4．（2023·浙江宁波·统考一模）对于实数，我们定义运算，如：．则方程的解为__________．
5．（2023春·江苏扬州·八年级校联考期中）解分式方程：
(1)
(2)
知识点03 根据分式方程解的情况求值
【典型例题】
例1．（2023·河南驻马店·校联考二模）若关于的分式方程的解是，则的值为（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023·湖北荆州·统考一模）已知关于x的分式方程的解是负数，则m的取值范围是_______．
例3．（2023春·江苏南京·八年级南京外国语学校校考期中）已知关于x的分式方程．
(1)当时，求方程的解；
(2)若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是______．
【即学即练】
1．（2023·黑龙江鸡西·校考一模）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
2．（2023春·江苏·八年级期中）已知关于x的方程的解是负数，那么m的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
3．（2023春·上海·八年级专题练习）在去分母解关于x的分式方程的过程中产生增根，则_____．
4．（2023春·江苏·八年级专题练习）若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是 ______ ．
5．（2023春·八年级课时练习）若关于的分式方程的解为正数，求正整数的值．
知识点04 分式方程的增根、无解问题
【典型例题】
例1．（2023春·河南周口·八年级统考阶段练习）若关于x的方程有增根，则m的值为（ ）
A．B．2C．D．3
例2．（2023春·海南海口·八年级海口市第十四中学校考阶段练习）若关于x的分式方程无解，则m的值为_______．
例3．（2022秋·八年级课时练习）王涵想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：
(1)她把这个数“”猜成，请你帮王涵解这个分式方程；
(2)王涵的妈妈说：“我看到标准答案是：是方程的增根，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？
【即学即练】
1．（2023春·山东济宁·九年级校考阶段练习）若关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．1B．1或C．1或或2D．1或或6
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）若分式方程有增根，则m的值是（ ）．
A．3B．C．5D．
3．（2023春·江苏无锡·八年级校联考期中）若去分母解分式方程会产生增根，则m的值为______．
4．（2023秋·四川凉山·八年级统考期末）设m，n为实数，定义如下一种新运算：，若关于x的方程无解，则a的值是______．
5．（2023春·山西临汾·八年级统考阶段练习）已知分式方程，由于印刷问题，有一个数“▲”看不清楚．
(1)若“▲”表示的数为6，求分式方程的解；
(2)小华说“我看到答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“▲”代表的数．
知识点05 分式方程的实际应用
【典型例题】
例1．（2022秋·广东潮州·八年级统考期末）某单位盖一座楼房，如果由建筑一队施工，那么180天可盖成；如果由建筑一队、二队同时施工，那么30天能完成工程总量的．现若由建筑二队单独施工，则需要天完成．根据题意列的方程是（ ）
A．B．
C．D．
例2．（2022秋·云南昆明·八年级昆明市第三中学校考阶段练习）甲、乙两船从相距的A、B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为．若甲、乙两船在静水中的速度相同，则可求得两船在静水中的速度为___________．
例3．（2023·吉林长春·统考一模）某科技公司购买了一批A、B两种型号的芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该公司用2 600元购买A型芯片的条数与用3 500元购买B型芯片的条数相等．求该公司购买B型芯片的单价．
【即学即练】
1．（2023春·浙江·九年级阶段练习）某化工厂要在规定时间内搬运1800千克化工原料，现有A，B两种机器人可供选择，已知B型机器人每小时完成的工作量是A型机器人的倍，B型机器人单独完成所需的时间比A型机器人少10小时，如果设A型机器人每小时搬运x千克化工原料，则可以列出以下哪个方程（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）甲乙两地相距420千米，新修的高速公路开通后，在甲、乙两地行驶的长途客运车平均速度是原来的1.5倍，进而从甲地到乙地的时间缩短了2小时．设原来的平均速度为x千米/时，可列方程为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）甲、乙两个服装厂加工一批校服，甲厂每天加工的数量是乙厂每天加工数量的倍，两厂各加工套校服，甲厂比乙厂少用2天，则乙厂每天加工 _____套校服．
4．（2023春·八年级课时练习）某天运动员小伟沿平路从家步行去银行办理业务，到达银行发现没有带银行卡（停留时间忽略不计），立即沿原路跑回家，已知平路上跑步的平均速度是平路上步行的平均速度的4倍，已知小伟家到银行的平路距离为2800米，小伟从离家到返回家共用50分钟．则小伟在平路上跑步的平均速度是每分钟__________米．
5．（2023·吉林·一模）某店有、两种口罩出售，其中种口罩的单价要比种口罩的单价多元，用元购进种口罩数量是用元购进种口罩数量的倍．
(1)求、两种口罩的单价；
(2)某单位从该店购进、两种口罩共个，总费用为元，求购进种口罩多少个．
题组A 基础过关练
1．（2023春·全国·八年级专题练习）解分式方程，去分母后得到（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·湖北襄阳·统考中考真题）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录了一道驿站送信的题目，大意为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列出正确的方程为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·河北沧州·八年级统考期中）如图是小明解分式方程的过程，则下列判断正确的是（ ）
A．从第一步开始出现错误B．从第二步开始出现错误
C．从第三步开始出现错误D．从第四步开始出现错误
4．（2023春·山西临汾·八年级校联考阶段练习）相机成像的原理公式为，其中表示照相机镜头的焦距，表示物体到镜头的距离，表示胶片（像）到镜头的距离．下列用，表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·吉林松原·统考一模）关于x的方程的解是________．
6．（2023春·全国·八年级专题练习）若分式的值为零，则x的值为______．
7．（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）劳动教育是全面发展教育体系的重要组成部分，是大中小学必须开展的教育活动．某校积极响应，开设校园农场．七年级学生共收获农产品，八年级学生共收获农产品，已知八年级学生比七年级学生人均多收获农产品，七年级学生人数是八年级学生人数的1.5倍．求七、八年级各有多少名学生．若设八年级有x名学生，则可列分式方程为_______．
8．（2023春·江苏·八年级专题练习）若方程有增根，则方程的增根是__________．
9．（2023春·全国·八年级专题练习）（1）解方程：；
（2）分式化简：．
10．（2023春·全国·八年级专题练习）新情境·雅万高铁2022年11月15日至16日，二十国集团领导人第十七次峰会于印尼巴厘岛正式召开，备受瞩目的雅万高铁于峰会期间测试运行．雅万高铁北起印尼首都雅加达，南联旅游名城万隆，是印尼乃至东南亚的第一条高铁，全长．已知雅万高铁的平均速度是火车的平均速度的倍，乘坐雅万高铁全程可比乘坐火车节省时间，求雅万高铁的平均速度．
题组B 能力提升练
1．（2023春·上海·八年级阶段练习）方程的根是（ ）
A．B．C．D．以上答案都不对
2．（2023春·上海·八年级期中）某厂接到加工件衣服的订单，预计每天做件，正好按时完成，后因客户要求提前天交货，设每天应多做件，则应满足的方程为( )
A．B．C．D．
3．（2023春·江苏扬州·八年级校联考期中）若关于的无实数解，则的值是（ ）
A．5B．C．1D．
4．（2023·广西南宁·广西大学附属中学校联考二模）对于实数a、b，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·吉林松原·统考一模）关于x的方程的解是________．
6．（2023春·全国·八年级专题练习）若分式的值为零，则x的值为______．
7．（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）劳动教育是全面发展教育体系的重要组成部分，是大中小学必须开展的教育活动．某校积极响应，开设校园农场．七年级学生共收获农产品，八年级学生共收获农产品，已知八年级学生比七年级学生人均多收获农产品，七年级学生人数是八年级学生人数的1.5倍．求七、八年级各有多少名学生．若设八年级有x名学生，则可列分式方程为_______．
8．（2023春·江苏·八年级专题练习）若方程有增根，则方程的增根是__________．
9．（2023春·江苏无锡·九年级校考阶段练习）无锡地铁号线一期工程全长公里，设个站点，起自渔父岛站，串联蠡湖未来城、无锡主城区、南长街、坊前、梅村等地．某站点由两个工程队一起建设了个月，剩下的部分由队单独建设，还需个月．
(1)若队单独建设需要个月，队单独建设需要多少时间？
(2)若队单独建设的时间为个月（），试分析说明两队谁的施工速度更快．
10．（2023春·山东德州·九年级校考阶段练习）若关于x的方程
(1)若，解这个分式方程；
(2)若原分式方程无解，求m的值．
题组C 培优拔尖练
1．（2023·黑龙江佳木斯·统考一模）已知关于x的分式方程无解，则m的值是（ ）
A．1B．1或2C．0或2D．0或1
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围是（ ）
A．B．且C．且D．
3．（2022秋·湖南湘西·八年级统考期末）若，则的值为（ ）．
A．2020B．2021C．2022D．2023
4．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆南开中学校考期末）若关于的一元一次不等式组的解集为，关于的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数的和为（ ）
A．5B．6C．11D．12
5．（2023·上海金山·统考二模）分式方程的解是________．
6．（2023·山东济南·统考一模）代数式的值比代数式的值大，则 ______ ．
7．（2023春·江苏扬州·八年级校联考期中）已知关于的方程的解是正整数，则正整数的值是______．
8．（2023春·福建泉州·八年级校考阶段练习）如图1所示，将形状大小完全相同的“□”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“□”的个数为，第2幅图中“□”的个数为，第3幅图中“□”的个数为，……，以此类推，若（为正整数），则的值为___________．
9．（2023·浙江杭州·统考一模）解分式方程：
小明同学是这样解答的：
解：去分母，得：．
去括号，得：．
移项，合并同类项，得：．
两边同时除以，得：．
经检验，是原方程的解．
小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
10．（2023春·江苏·八年级专题练习）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式的值为零，则解得．又因为，所以关于x的方程的解为．
(1)理解应用：方程的解为： ， ；
(2)知识迁移：若关于x的方程的解为，求的值；
(3)拓展提升：若关于x的方程的解为，求的值．
解：方程两边同时乘，得，…………第一步
即，……………第二步
解得，………………………第三步
经检查，原方程的解是．……第四步
专题5.5 分式方程
掌握分式方程的有关概念；
掌握分式方程的解法；
掌握分式方程的增根与无解的情况；
掌握分式方程的应用，注意分式方程的结果需要检验；
【知识点】
1.分式方程的有关概念
(1)分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程．
(2)分式方程的增根:分式方程化成整式方程解得的未知数的值，如果这个值令最简公分母为零则为增根．
基本方法归纳：判断分式方程时只需看分母中必须有未知数；分式方程的解只需带入方程看等式是否成立即可．
2：分式方程的解法
解分式方程的步骤：解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”．它的一般解法是：
（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母
（2）解所得的整式方程
（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根．
基本方法归纳：分式方程首要是方程两边同乘以分母最简公分母、去掉分母，转化为整式方程求解，其次注意一定要验根．
归纳：分式方程首要是方程两边同乘以分母最小公倍数、去掉分母，转化为整式方程求解，其次注意一定要验根．
3.分式方程的应用
(1)分式方程解应用题的一般步骤：
（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．
（2）设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．
（3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程．
（4）解方程．
（5）检验，看方程的解是否符合题意．
（6）写出答案．
(2)解应用题的书写格式：
设→根据题意→解这个方程→答．
基本方法归纳：解题时先理解题意找到等量关系列出方程再解方程最后检验即可．
注意问题归纳：找对等量关系最后一定要检验．
知识点01 分式方程的定义
【典型例题】
例1．（2023春·上海·八年级专题练习）已知方程：①，②，③，④．这四个方程中，分式方程的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】分母中含有未知数的方程叫分式方程，根据定义判断即可．
【详解】解：①，是分式方程；
②，是整式方程；
③，是分式方程；
④，是整式方程，
则分式方程的个数是2．
故选：C．
【点睛】此题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解本题的关键．
例2．（2021·全国·九年级专题练习）下列方程是关于x的方程，其中是分式方程的是_______（只填序号）
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨．
【答案】④⑤⑥⑦⑨
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程进行判断．
【详解】①是整式方程，故①不符合题意；
②是整式方程，故②不符合题意；
③是整式方程，故③不符合题意；
④是分式方程，故④符合题意；
⑤是分式方程，故⑤符合题意；
⑥是分式方程，故⑥符合题意；
⑦是分式方程，故⑦符合题意；
⑧是整式方程，故⑧不符合题意；
⑨是分式方程，故⑨符合题意；
故答案为：④⑤⑥⑦⑨．
【点睛】本题考查分式方程的定义，充分理解分式方程的定义是解答本题的关键．
例3．（2023春·全国·八年级专题练习）在下列方程：①、②、③、④、⑤⑥，⑦，⑧，⑨中，哪些是分式方程，并说明理由．
【答案】③④⑤⑦,详见解析
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断．
【详解】解：方程①②⑥⑧分母中不含未知数，故①②⑥⑧不是分式方程；
方程③④⑤⑦分母中含表示未知数的字母，故是分式方程；
方程⑨属于无理方程．
【点睛】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．
【即学即练】
1．（2023春·八年级课时练习）下列是分式方程的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，对每个选项进行判断，找出是等式，且分母含有未知数方程，即可得解．
【详解】解：A、是一个代数式，不是方程，所以A不是分式方程；
B、是一元一次方程，是整式方程，所以B不是分式方程；
C、是一元一次方程，是整式方程，所以C不是分式方程；
D、分母含有未知数x，所以D是分式方程．
故选：D．
【点睛】本题考查分式方程的定义，正确理解分式方程的形式是本题关键．
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）给出以下方程：，，，，其中分式方程的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】利用分式方程的定义：分母中含有未知数的方程，进行逐一判断即可．
【详解】解：中分母不含未知数，不是分式方程；
中分母含有未知数，是分式方程；
中分母含有未知数，是分式方程；
中分母不含未知数，不是分式方程，
共有两个是分式方程，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是分式方程的定义，掌握定义并进行准确判断是解题的关键．
3．（2023春·八年级课时练习）请写出一个只含有未知数且根是的分式方程__________．
【答案】
【分析】根据分式方程的定义即可得出结论．
【详解】解：根据题意，得．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了分式方程的定义，掌握分式方程的定义是解答此题的关键．
4．（2023春·七年级单元测试）在方程中，分式方程有______个．
【答案】3
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断．
【详解】解：在方程中，分式方程有，一共3个．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．
5．（2023春·全国·八年级专题练习）下列方程哪些是分式方程？
（1）；（2）；（3）；（4）（a是常数）．
【答案】（1）（2）是分式方程
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的字母的方程叫做分式方程即可判断．
【详解】解：（1）是分式方程；（2）是分式方程；（3）不是分式方程；（4）（a是常数）不是分式方程，
故（1）（2）是分式方程．
【点睛】本题考查了分式方程的定义，解题的关键是：会利用定义去判断是否为分式方程．
知识点02 解分式方程
【典型例题】
例1．（2023·河南南阳·统考一模）方程解为（ ）
A． B． C． D．无解
【答案】D
【分析】将分式方程化为整式方程，求解后，进行检验后，即可得出结论．
【详解】解：方程两边同乘，得：，
解得：，
检验：当时，，
∴是原方程的增根，
∴原方程无解；
故选D．
【点睛】本题考查解分式方程．熟练掌握解分式方程的步骤，是解题的关键．
例2．（2023年北京市通州区中考一模数学试卷）方程的解是__________．
【答案】
【分析】先去分母变为整式方程，然后解整式方程，得出x的值，最后检验即可．
【详解】解：，
去分母得：，
解整式方程得：，
经检验是原方程的解，
所以方程的解为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤准确计算，注意解分式方程要进行检验．
例3．（2023秋·四川绵阳·八年级统考期末）解分式方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程即可求解；
（2）方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程即可求解；
【详解】（1）解：
方程两边同时乘以，
得：，
解得．
检验：把代入，
是原方程的解．
（2）解：，
方程两边同时乘以，得
，
解得：，
检验：把代入，
∴是原方程的解．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
【即学即练】
1．（2023·北京门头沟·统考一模）方程的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】去分母，化为整式方程，解出方程，并进行检验，即可求解．
【详解】解：方程两边同时乘以得：
，
解得：，
检验：当时，，
原方程的根为．
故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，掌握分式方程的解法是解题的关键．
2．（2023春·浙江·七年级专题练习）对于实数和，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据新定义列出方程，然后解方程即可．
【详解】解：根据题中新定义列方程得：，
解得：，
把代入得：，
∴是方程的解，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了新定义运算，解分式方程，解题的关键是理解题意，列出关于x的方程，注意分式方程要进行检验．
3．（2023春·浙江·七年级专题练习）分式方程的解为______________．
【答案】
【分析】方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程即可求解，最后要检验．
【详解】解：
方程两边同时乘以，得
即
解得：，
经检验，是原方程的解．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
4．（2023·浙江宁波·统考一模）对于实数，我们定义运算，如：．则方程的解为__________．
【答案】
【分析】根据题目中给出的信息，列出方程，解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
经检验是原方程的根据，
∴原方程的解为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了新定义运算，解分式方程，解题的关键是理解题意，列出方程，准确计算．
5．（2023春·江苏扬州·八年级校联考期中）解分式方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)无解
【分析】（1）方程两边都乘以得，，解得，，检验后即可得到答案；
（2）方程两边都乘以得，，解得，检验后即可得到答案．
【详解】（1）
方程两边都乘以得，，
解得，，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解；
（2）
方程两边都乘以得，，
解得，，
检验：当时，，
∴是增根，
∴原分式方程无解．
【点睛】此题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
知识点03 根据分式方程解的情况求值
【典型例题】
例1．（2023·河南驻马店·校联考二模）若关于的分式方程的解是，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】把代入方程得出m的方程，然后解关于m的方程即可．
【详解】解：∵分式方程的解是，
∴，
解得，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的解，解一元一次方程等知识，把代入原方程中进行计算是解题的关键．
例2．（2023·湖北荆州·统考一模）已知关于x的分式方程的解是负数，则m的取值范围是_______．
【答案】且
【分析】直接解分式方程，然后根据分式方程的解为负数，结合求出答案．
【详解】解：，
去分母得：，
解得：，
∵分式方程的解是负数，
∴且，
即且，
解得：且．
故答案为：且
【点睛】本题考查了分式方程的解，正确解分式方程是解题的关键．
例3．（2023春·江苏南京·八年级南京外国语学校校考期中）已知关于x的分式方程．
(1)当时，求方程的解；
(2)若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是______．
【答案】(1)
(2)且．
【分析】（1）将代入分式方程，解分式方程的即可求解；
（2）先解分式方程，然后依据分式方程有解且解为非负数，建立不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：当时，
∴，
∴，
∴，
∴，
去分母得：，
解得：，
检验：当时，
故方程的解为：；
（2）解：，
∴，
∴，
∴，
去分母得：，
解得：，
由分式方程有解且解为非负数，
且，即：且，
即：且．
故答案为：且．
【点睛】此题主要考查了解分式方程及不等式的解法；掌握解分式方程要进行检验及分式方程有解且解为非负数的条件是解题关键．
【即学即练】
1．（2023·黑龙江鸡西·校考一模）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
【答案】C
【分析】用a表示出该分式方程的解，再结合该分式方程的解为非负数和分式方程有意义的条件，即得出关于a的不等式，解出a的解集即可．
【详解】解：，
方程两边同时乘以，得：，
去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
系数化为1，得：．
∵该分式方程的解为非负数，且，
∴，且，
∴，且，
∴，且 ．
故选C．
【点睛】本题考查根据分式方程解的情况求值，分式有意义的条件．能够正确把分式方程转化为整式方程是解题关键．
2．（2023春·江苏·八年级期中）已知关于x的方程的解是负数，那么m的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
【答案】D
【分析】首先去分母化分式方程为整式方程，然后求出整式方程的解，结合题目条件即可求出m的取值范围．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
∵原方程的解是负数，
∴，且，
∴且．
故选D．
【点睛】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，解题的关键在于利用分式方程的解是负数的条件，同时考虑整式方程的解不能使分式方程的分母为0．
3．（2023春·上海·八年级专题练习）在去分母解关于x的分式方程的过程中产生增根，则_____．
【答案】
【分析】根据题意可得，然后把的值代入整式方程中进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
解得：，
∵分式方程产生增根，
∴，
把代入中，
，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出x的值后代入整式方程中进行计算是解题的关键．
4．（2023春·江苏·八年级专题练习）若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是 ______ ．
【答案】且
【分析】首先求出关于的分式方程的解，然后根据解为负数，求出的取值范围即可．
【详解】
去分母得：，
去括号得：，
合并同类项得：，
解得：，
，
，
，即，
，
，
的取值范围：且．
故答案为：且
【点睛】此题主要考查了分式方程的解，要熟练掌握；解答此题的关键是正确得出分母不为0．
5．（2023春·八年级课时练习）若关于的分式方程的解为正数，求正整数的值．
【答案】1
【分析】把分式方程化为整式方程，再解出整式方程可得，再由原方程的解为正数，求出的取值范围，即可求解．
【详解】解：原方程可化为：，
．
原方程的解为正数，
，
，
，
，
，
，
∴的取值范围为且，
正整数的值为1．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤，并注意算出的答案要去除分母为0的情况．
知识点04 分式方程的增根、无解问题
【典型例题】
例1．（2023春·河南周口·八年级统考阶段练习）若关于x的方程有增根，则m的值为（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】D
【分析】将分式方程化为整式方程，根据分式方程有增根得到，得到，即可求出m的值．
【详解】解：，
去分母，得，
∵方程有增根，
∴，即，
∴，
解得，
故选：D．
【点睛】此题考查了已知分式方程的解的情况求参数，正确掌握分式方程的解法及增根的意义是解题的关键．
例2．（2023春·海南海口·八年级海口市第十四中学校考阶段练习）若关于x的分式方程无解，则m的值为_______．
【答案】或/或
【分析】分式方程无解的情况有两种：（1）原方程存在增根；（2）原方程约去分母后，整式方程无解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵原分式方程无解．
∴，即或．
解得或．
当时，；
当时，．
∴m的值为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查的是分式方程无解的知识，解答此类题目既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形．
例3．（2022秋·八年级课时练习）王涵想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：
(1)她把这个数“”猜成，请你帮王涵解这个分式方程；
(2)王涵的妈妈说：“我看到标准答案是：是方程的增根，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？
【答案】(1)；(2)原分式程中“”代表的数是.
【分析】（1）根据题意，求解分式方程即可；
（2）根据分式方程的解的情况，首先去分母，然后将增根代入即可得解．
【详解】(1)该分式方程的解为，
由题意，得
去分母，得
去括号，得
移项、合并同类项，得
经检验，当时，
是原分式方程的解；
(2)设原分式方程中“”代表的数为，
方程两边同时乘得，
由于是原分式方程的增根，
把代入上面的等式解得，
原分式程中“”代表的数是．
【点睛】此题主要考查分式方程的求解，熟练掌握，即可解题．
【即学即练】
1．（2023春·山东济宁·九年级校考阶段练习）若关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．1B．1或C．1或或2D．1或或6
【答案】D
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到最简公分母为0求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【详解】解：方程两边乘，得：
，
即
当时，方程化简为，无解，符合题意；
当时，
∵分式方程无解，
∴，
解得：，
把代入整式方程，得，
解得；
把代入整式方程，得，
解得．
故m的值为或6或1．
故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程的解，本题中分式方程无解即为最简公分母为0，将分式方程化为整式方程是解本题的关键．
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）若分式方程有增根，则m的值是（ ）．
A．3B．C．5D．
【答案】D
【分析】先去分母，把方程化为整式方程，再把方程的增根代入整式方程求解m即可.
【详解】解：，
去分母得：
∵的增根为
∴
故选D
【点睛】本题考查的是分式方程的增根问题，掌握“分式方程的增根是使最简公分母为0的未知数的值”是解本题的关键.
3．（2023春·江苏无锡·八年级校联考期中）若去分母解分式方程会产生增根，则m的值为______．
【答案】1
【分析】首先解分式方程，再根据方程产生增根，列方程，即可求解．
【详解】解：去分母，得：，
移项、合并同类项，得：，
解得：，
方程有增根，
，
解得，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了利用分式方程根的情况求参数，熟练掌握解分式方程是解决本题的关键．
4．（2023秋·四川凉山·八年级统考期末）设m，n为实数，定义如下一种新运算：，若关于x的方程无解，则a的值是______．
【答案】或/或
【分析】由新定义运算可得，再去分母化为整式方程，结合原方程无解，可得答案．
【详解】解：∵，，而，
∴，
∴，
∴，
当时，即时，方程无解，
当时，当时，原方程有增根，
∴，
解得：；
综上：或；
故答案为：或．
【点睛】本题考查的是新定义运算，分式方程的无解问题，理解题意，构建出新的分式方程是解本题的关键．
5．（2023春·山西临汾·八年级统考阶段练习）已知分式方程，由于印刷问题，有一个数“▲”看不清楚．
(1)若“▲”表示的数为6，求分式方程的解；
(2)小华说“我看到答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“▲”代表的数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把▲代入方程，进而利用解分式方程的方法解答即可；
（2）设▲为m，利用分式方程无解得到增根，解答即可．
【详解】（1）解：，
方程两边同乘，得：，
解得：，
检验：，
所以是原分式方程的解；
（2）设▲，，
方程两边同乘，得：，
把代入，得：
，
解得：．
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是转化思想，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
知识点05 分式方程的实际应用
【典型例题】
例1．（2022秋·广东潮州·八年级统考期末）某单位盖一座楼房，如果由建筑一队施工，那么180天可盖成；如果由建筑一队、二队同时施工，那么30天能完成工程总量的．现若由建筑二队单独施工，则需要天完成．根据题意列的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据一对和二队工作效率之和乘以30天等于列方程即可．
【详解】解：∵由建筑一队施工，那么180天可盖成，
∴一队的工作效率是．
∵由建筑二队单独施工，则需要天完成，
∴二队的工作效率是．
∵由建筑一队、二队同时施工，那么30天能完成工程总量的，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查了列分式方程解实际问题的应用，解答时根据条件建立方程是关键，解答时对求出的根必须检验，这是解分式方程的必要步骤．
例2．（2022秋·云南昆明·八年级昆明市第三中学校考阶段练习）甲、乙两船从相距的A、B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为．若甲、乙两船在静水中的速度相同，则可求得两船在静水中的速度为___________．
【答案】30
【分析】设甲、乙两船在静水中的速度均为，则顺流速度为，逆流速度为，根据题意可得顺流行驶千米所用时间等于逆流所用时间，根据时间关系可得方程，即可求解．
【详解】解：设甲、乙两船在静水中的速度均为，根据题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
答：两船在静水中的速度为．
故答案为：30．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
例3．（2023·吉林长春·统考一模）某科技公司购买了一批A、B两种型号的芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该公司用2 600元购买A型芯片的条数与用3 500元购买B型芯片的条数相等．求该公司购买B型芯片的单价．
【答案】该公司购买B型芯片的单价为35元
【分析】设该公司购买B型芯片的单价为x元，则A型芯片的单价为元，根据该公司用2 600元购买A型芯片的条数与用3 500元购买B型芯片的条数相等，列出方程即可得出结论．
【详解】解：设该公司购买B型芯片的单价为x元，则A型芯片的单价为元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：该公司购买B型芯片的单价为35元．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程，易错点是分式方程要验根．
【即学即练】
1．（2023春·浙江·九年级阶段练习）某化工厂要在规定时间内搬运1800千克化工原料，现有A，B两种机器人可供选择，已知B型机器人每小时完成的工作量是A型机器人的倍，B型机器人单独完成所需的时间比A型机器人少10小时，如果设A型机器人每小时搬运x千克化工原料，则可以列出以下哪个方程（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设A型机器人每小时搬运x千克化工原料，则A型机器人每小时搬运千克化工原料，根据“B型机器人单独完成所需的时间比A型机器人少10小时”列出方程，即可求解．
【详解】解：设A型机器人每小时搬运x千克化工原料，根据题意得：
．
故选：C
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）甲乙两地相距420千米，新修的高速公路开通后，在甲、乙两地行驶的长途客运车平均速度是原来的1.5倍，进而从甲地到乙地的时间缩短了2小时．设原来的平均速度为x千米/时，可列方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设原来的平均速度为千米/时，高速公路开通后的平均速度为千米/时，根据走过相同的距离时间缩短了2小时，列方程即可．
【详解】解：设原来的平均速度为千米/时，
由题意得，，
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
3．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）甲、乙两个服装厂加工一批校服，甲厂每天加工的数量是乙厂每天加工数量的倍，两厂各加工套校服，甲厂比乙厂少用2天，则乙厂每天加工 _____套校服．
【答案】
【分析】利用分式方程中的工程问题，工作量除以工作效率等于工作时间，列出方程求解即可．
【详解】解：设乙厂每天加工x套校服，则甲厂每天加工套校服，
依题意得： ，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴乙厂每天加工套校服．
故答案为：．
【点睛】本题考查的分式方程的实际应用---工程问题，熟练掌握工程问题的数量关系式是解答此题的关键．
4．（2023春·八年级课时练习）某天运动员小伟沿平路从家步行去银行办理业务，到达银行发现没有带银行卡（停留时间忽略不计），立即沿原路跑回家，已知平路上跑步的平均速度是平路上步行的平均速度的4倍，已知小伟家到银行的平路距离为2800米，小伟从离家到返回家共用50分钟．则小伟在平路上跑步的平均速度是每分钟__________米．
【答案】280
【分析】设小伟在平路上跑步的平均速度是每分钟x米，则步行的平均速度是每分钟米，根据跑步所用的时间+步行所用的时间分钟，列出方程，解方程即可．
【详解】解：设小伟在平路上跑步的平均速度是每分钟x米，则步行的平均速度是每分钟米，根据题意得：
，
解得：，
经检验是原方程的根，且符合题意，
因此小伟在平路上跑步的平均速度是每分钟280米．
故答案为：280．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系，列出方程．
5．（2023·吉林·一模）某店有、两种口罩出售，其中种口罩的单价要比种口罩的单价多元，用元购进种口罩数量是用元购进种口罩数量的倍．
(1)求、两种口罩的单价；
(2)某单位从该店购进、两种口罩共个，总费用为元，求购进种口罩多少个．
【答案】(1)种口罩的单价元，种口罩的单价为元
(2)个
【分析】（1）设种口罩的单价为元，则种口罩的单价为元，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解；
（2）设购进种口罩个，则购进种口罩个，根据题意列出一元一次不等式，解方程即可求解．
【详解】（1）解：设种口罩的单价为元，则种口罩的单价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：种口罩的单价元，种口罩的单价为元；
（2）解：设购进种口罩个，则购进种口罩个，
由题意得：，
解得：，
答：购进种口罩个．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
题组A 基础过关练
1．（2023春·全国·八年级专题练习）解分式方程，去分母后得到（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】分式方程左右两边同乘去分母得到结果，即可作出判断．
【详解】解：去分母得：．
故选：B．
【点睛】此题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．
2．（2022·湖北襄阳·统考中考真题）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录了一道驿站送信的题目，大意为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列出正确的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据快马、慢马所需时间及规定时间之间的关系，可得出慢马所需的时间为天，快马所需的时间为天，利用速度路程时间，结合快马的速度是慢马的倍，即可得出关于的分式方程，此题得解．
【详解】解：规定时间为x天，
慢马所需的时间为，快马所需时间为，
又快马的速度是慢马的倍，
可列出方程，
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
3．（2022秋·河北沧州·八年级统考期中）如图是小明解分式方程的过程，则下列判断正确的是（ ）
A．从第一步开始出现错误B．从第二步开始出现错误
C．从第三步开始出现错误D．从第四步开始出现错误
【答案】B
【分析】把分式方程转化为一元一次方程求解解题即可．
【详解】解：方程两边同时乘，
得，
即，
解得，
经检查，原方程的解是．
∴错误步骤为第二步，
故选B．
【点睛】本题考查解分式方程，掌握分式方程的解法是解题的关键，注意解分式方程需要验根．
4．（2023春·山西临汾·八年级校联考阶段练习）相机成像的原理公式为，其中表示照相机镜头的焦距，表示物体到镜头的距离，表示胶片（像）到镜头的距离．下列用，表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】解分式方程即可得到答案．
【详解】解：，
去分母得：，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用；解题的关键是正确求解分式方程．
5．（2023·吉林松原·统考一模）关于x的方程的解是________．
【答案】
【详解】按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答．
【分析】解：，
，
解得：，
检验：当时，，
∴是原方程的根，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
6．（2023春·全国·八年级专题练习）若分式的值为零，则x的值为______．
【答案】1
【分析】由题意知，，然后解分式方程即可．
【详解】解：由题意知，，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了解分式方程．解题的关键在于正确的运算．
7．（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）劳动教育是全面发展教育体系的重要组成部分，是大中小学必须开展的教育活动．某校积极响应，开设校园农场．七年级学生共收获农产品，八年级学生共收获农产品，已知八年级学生比七年级学生人均多收获农产品，七年级学生人数是八年级学生人数的1.5倍．求七、八年级各有多少名学生．若设八年级有x名学生，则可列分式方程为_______．
【答案】
【分析】根据题设，得出七年级有1.5x名学生，再表示出每个年级人均收获农产品的数量，根据八年级比七年级人均多建立方程．
【详解】解：若设八年级有x名学生，则七年级有1.5x名学生，
八年级人均收获农产品为，
七年级人均收获农产品为，
已知八年级学生比七年级学生人均多收获农产品，
则有．
故答案为：．
【点睛】此题考查了列分式方程，解题的关键是理清题目中的数量关系．
8．（2023春·江苏·八年级专题练习）若方程有增根，则方程的增根是__________．
【答案】
【分析】根据分式方程的增根是分母为0时x的值进行求解即可．
【详解】解：∵方程有增根，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求分式方程的增根，熟知分式方程的增根即为分母为0时未知数的值是解题的关键．
9．（2023春·全国·八年级专题练习）（1）解方程：；
（2）分式化简：．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先将等式两边同时乘以，将分式方程化为整式方程，然后解方程即可，最后注意一定要检验；
（2）先将括号内的分式通分，然后把除法运算转化为乘法运算，能因式分解的要先因式分解，最后约分化简即可．
【详解】（1），
去分母，得：，
去括号，得：，
整理，得：，
解得：，
检验：将代入，
∴是原方程得解；
（2）
，
，
，
【点睛】本题主要考查解分式方程，分式的化简求值，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
10．（2023春·全国·八年级专题练习）新情境·雅万高铁2022年11月15日至16日，二十国集团领导人第十七次峰会于印尼巴厘岛正式召开，备受瞩目的雅万高铁于峰会期间测试运行．雅万高铁北起印尼首都雅加达，南联旅游名城万隆，是印尼乃至东南亚的第一条高铁，全长．已知雅万高铁的平均速度是火车的平均速度的倍，乘坐雅万高铁全程可比乘坐火车节省时间，求雅万高铁的平均速度．
【答案】
【分析】设火车行全程的平均速度为，则高铁的平均速度为，根据题意列出分式方程解答即可．
【详解】解：设火车行全程的平均速度为，则高铁的平均速度为，
解得：
经检验是方程的解，
则，
答：雅万高铁的平均速度为．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，行程问题，找到合适的等量关系列出方程是解题的关键．
题组B 能力提升练
1．（2023春·上海·八年级阶段练习）方程的根是（ ）
A．B．C．D．以上答案都不对
【答案】A
【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
解得：，
检验：当时，，
∴是原方程的增根，
当时，，
∴是原方程的根，
故选：A．
【点睛】本题考查了解分式方程，一定要注意，解分式方程必须检验．
2．（2023春·上海·八年级期中）某厂接到加工件衣服的订单，预计每天做件，正好按时完成，后因客户要求提前天交货，设每天应多做件，则应满足的方程为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题的关键是要弄清因客户要求工作量提速后的工作效率和工作时间，然后根据题目给出的关键语“提前5天”找到等量关系，然后列出方程．
【详解】解：因客户的要求每天的工作效率应该为：件，所用的时间为：，
根据“因客户要求提前5天交货”，用原有完成时间减去提前完成时间，
可以列出方程：．
故选：D．
【点睛】此题考查由实际问题抽象出分式方程，这道题的等量关系比较明确，直接分析题目中的重点语句即可得知，再利用等量关系列出方程．
3．（2023春·江苏扬州·八年级校联考期中）若关于的无实数解，则的值是（ ）
A．5B．C．1D．
【答案】B
【分析】根据分式方程无解的条件：去分母后所得整式方程无解，或者解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0，进行求解即可．
【详解】解：方程去分母得：，
解得：，
当时，分母为0，方程无解，
即，
解得：，
若关于的无实数解，则的值是，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程无解的条件：去分母后所得整式方程无解，或者解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0，熟练掌握该条件是解题的关键．
4．（2023·广西南宁·广西大学附属中学校联考二模）对于实数a、b，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据新定义的运算法则列出关于x的分式方程，即可求解．
【详解】解：根据题意将变为：，
即，
∴，
解得，
经检验符合题意，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算和解分式方程，理解新定义的运算法则是解答本题的关键．
5．（2023·吉林松原·统考一模）关于x的方程的解是________．
【答案】
【详解】按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答．
【分析】解：，
，
解得：，
检验：当时，，
∴是原方程的根，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
6．（2023春·全国·八年级专题练习）若分式的值为零，则x的值为______．
【答案】1
【分析】由题意知，，然后解分式方程即可．
【详解】解：由题意知，，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了解分式方程．解题的关键在于正确的运算．
7．（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）劳动教育是全面发展教育体系的重要组成部分，是大中小学必须开展的教育活动．某校积极响应，开设校园农场．七年级学生共收获农产品，八年级学生共收获农产品，已知八年级学生比七年级学生人均多收获农产品，七年级学生人数是八年级学生人数的1.5倍．求七、八年级各有多少名学生．若设八年级有x名学生，则可列分式方程为_______．
【答案】
【分析】根据题设，得出七年级有1.5x名学生，再表示出每个年级人均收获农产品的数量，根据八年级比七年级人均多建立方程．
【详解】解：若设八年级有x名学生，则七年级有1.5x名学生，
八年级人均收获农产品为，
七年级人均收获农产品为，
已知八年级学生比七年级学生人均多收获农产品，
则有．
故答案为：．
【点睛】此题考查了列分式方程，解题的关键是理清题目中的数量关系．
8．（2023春·江苏·八年级专题练习）若方程有增根，则方程的增根是__________．
【答案】
【分析】根据分式方程的增根是分母为0时x的值进行求解即可．
【详解】解：∵方程有增根，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求分式方程的增根，熟知分式方程的增根即为分母为0时未知数的值是解题的关键．
9．（2023春·江苏无锡·九年级校考阶段练习）无锡地铁号线一期工程全长公里，设个站点，起自渔父岛站，串联蠡湖未来城、无锡主城区、南长街、坊前、梅村等地．某站点由两个工程队一起建设了个月，剩下的部分由队单独建设，还需个月．
(1)若队单独建设需要个月，队单独建设需要多少时间？
(2)若队单独建设的时间为个月（），试分析说明两队谁的施工速度更快．
【答案】(1)
(2)队的施工速度更快
【分析】（1）根据题意找出等量关系列方程即可得到方程；
（2）根据题意找出数量关系列方程解方程，再利用作差法即可得到正确结果．
【详解】（1）解：队单独建设需要个月，队单独建设需要个月，
根据题意可得方程：，
解得：，
经检验是分式方程的解，
∴原分式方程的解为，
答：若队单独建设需要个月，队单独建设需要个月．
（2）解：设队单独建设需要个月，根据题意得：，
解得：，
∴ ，
∵，
∴，即，
∴队的施工速度更快．
【点睛】本题考查了分式方程应用， 分式方程的运算法则，作差法比较大小等相关知识点，审清题意，找出等量关系是解题的关键．
10．（2023春·山东德州·九年级校考阶段练习）若关于x的方程
(1)若，解这个分式方程；
(2)若原分式方程无解，求m的值．
【答案】(1)
(2)4或0
【分析】（1）先将分式方程化为整式方程，求出解后进行检验即可；
（2）将分式方程化为，根据方程无解，可得或当时，，由此可解．
【详解】（1）解：当时，，
两边同乘，得，
整理，得，
移项、合并同类项，得，
解得，
当时，，
因此这个分式方程的解为；
（2）解：方程，
两边同乘，得，
整理，得，
移项、合并同类项，得，
方程无解，
或当时，，
即或或，
上述方程的解依次为，，无解．
m的值为4或0．
【点睛】本题考查解分式方程，分式方程无解问题，根据分式方程无解，得出关于m的方程是解题的关键．
题组C 培优拔尖练
1．（2023·黑龙江佳木斯·统考一模）已知关于x的分式方程无解，则m的值是（ ）
A．1B．1或2C．0或2D．0或1
【答案】B
【分析】去分母，化分式方程为整式方程，根据分式方程产生增根或，即可求解．
【详解】解：，
方程两边同时乘以，得，
移项、合并同类项，得，
∵方程无解，
∴或，
∴或，
∴或，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程无解问题，分两种情况：一种是把分式方程化成整式方程后，整式方程无解；一种是把分式方程化成整式方程后，整式方程有解，但这个解使分式方程的分母为0，是增根，熟练掌握理解这两种情况是解题关键．
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围是（ ）
A．B．且C．且D．
【答案】B
【分析】先化分式方程为整式方程得到，求得方程的解，根据解的属性，方程的增根两个角度去求解即可．
【详解】∵，
去分母，得，
解得．
∵分式方程的解为正数，且方程的增根为，
∴，
解得且，
故选B．
【点睛】本题考查了分式方程的解，增根，探求字母的取值范围，熟练根据解的属性，增根的意义建立不等式是解题的关键．
3．（2022秋·湖南湘西·八年级统考期末）若，则的值为（ ）．
A．2020B．2021C．2022D．2023
【答案】C
【分析】由可得，采用整体代入法，即可求解．
【详解】解：，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了代数式求值问题，采用整体代入法是解决本题的关键．
4．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆南开中学校考期末）若关于的一元一次不等式组的解集为，关于的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数的和为（ ）
A．5B．6C．11D．12
【答案】A
【分析】由一元一次不等式组的解集为，可求出m的范围，根据关于y的分式方程有整数解，可得m的值，从而得到答案．
【详解】解：由一元一次不等式组可得且，
∵一元一次不等式组的解集为，
∴，
分式方程变形为：，
∵，
∴，
∴
∴，
∵分式方程有整数解，
∴为整数，
∴或或
解得或或4或0或3或1，
∵，且
∴符合条件的所有整数m分别是：4、3、0，
∴符合条件的所有整数m的和为，
故选：A．
【点睛】本题考查解分式方程及一元一次不等式组的解，解题的关键是根据分式方程有整数解，求出m的值．
5．（2023·上海金山·统考二模）分式方程的解是________．
【答案】
【分析】根据解分式方程的基本步骤计算求解即可．
【详解】∵，
∴，
解得或．
经检验，是原方程的根，是原方程的增根；
故原方程的根为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解分式方程，正确求解，规范验根是解题的关键．
6．（2023·山东济南·统考一模）代数式的值比代数式的值大，则 ______ ．
【答案】2
【分析】根据题意可得：，然后按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
，
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
7．（2023春·江苏扬州·八年级校联考期中）已知关于的方程的解是正整数，则正整数的值是______．
【答案】或
【分析】根据解方式方程的方法解出分式的解，再根据解是正整数，判断正整数的值，由此即可求解．
【详解】解：
移项，
即，
∴，
∴且，
∵解是正整数，
∴，且，
∵正整数，
∴，即，
此时（舍去）或或，符合题意；
综上所述，正整数的值是或．
【点睛】本题主要考查解分式方程，正确理解题意、熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
8．（2023春·福建泉州·八年级校考阶段练习）如图1所示，将形状大小完全相同的“□”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“□”的个数为，第2幅图中“□”的个数为，第3幅图中“□”的个数为，……，以此类推，若（为正整数），则的值为___________．
【答案】41
【分析】根据图形得到图形的变化规律：，根据规律代入将方程变形为，解方程即可．
【详解】解：由图可得，，，……，
∴，
∵，
∴
，
解得（舍去）或，
故答案为：41．
【点睛】此题考查了规律探究，解分式方程，正确理解图形的计算规律代入方程计算是解题的关键．
9．（2023·浙江杭州·统考一模）解分式方程：
小明同学是这样解答的：
解：去分母，得：．
去括号，得：．
移项，合并同类项，得：．
两边同时除以，得：．
经检验，是原方程的解．
小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
【答案】有错误，正确过程见详解
【分析】根据解分式方程的方法逐步进行验算即可得到答案
【详解】解：有错误，理由如下：
分式方程两边同时乘以
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项，得：，
两边同时除以，得：．
经检验，是原方程的解．
【点睛】本题考查方式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法．
10．（2023春·江苏·八年级专题练习）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式的值为零，则解得．又因为，所以关于x的方程的解为．
(1)理解应用：方程的解为： ， ；
(2)知识迁移：若关于x的方程的解为，求的值；
(3)拓展提升：若关于x的方程的解为，求的值．
【答案】(1)5，
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意可得或；
（2）由题意可得，再由完全平方公式可得；
（3）方程变形为，则方程的解为或，则有，整理得，再将所求代数式化为，进而即可求解．
【详解】（1）解：∵的解为，
∴的解为或，
故答案为：5，；
（2）∵方程，
∴，
∴；
（3）方程可化为，
设，方程变形为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴或，
∴，
∴，
．
【点睛】本题考查了分式方程的解，理解题意，灵活求分式方程的解，并结合完全平方公式对代数式求值是解题的关键．
解：方程两边同时乘，得，…………第一步
即，……………第二步
解得，………………………第三步
经检查，原方程的解是．……第四步
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