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苏科版八年级数学上册必考重难点突破【单元测试】第4章实数(综合能力拔高卷)(原卷版+解析)
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这是一份苏科版八年级数学上册必考重难点突破【单元测试】第4章实数(综合能力拔高卷)(原卷版+解析)，共18页。
（考试时间：100分钟 试卷满分：120分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．在实数，3.1415926，0.123123123…，，，0.2020020002…（相邻两个2中间一次多1个0）中，无理数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．若一个正数的平方根是和，则这个正数是（ ）
A．1B．3C．4D．9
3．的立方根是（ ）
A．4B．-4C．2D．4
4．在数轴上，表示无理数+2的点位于（ ）
A．点M～点N之间B．点N～点P之间C．点P～点Q之间D．点Q～点R之间
5．已知，，且，那么的值是（ ）
A．或B．或C．或D．或
6．我市某部门2021年年初收入预算为元，关于近似数，是精确到（ ）
A．百分位B．百位C．千位D．万位
7．已知实数x、y满足＋|x﹣3y﹣2|＝0，则xy的平方根是（ ）
A．B．±C．D．±
8．下列说法中正确的是（ ）
A．的平方根是 B．的算术平方根是 C．与相等 D．的立方根是
9．1.2020年12月11日“双苏州购物节”火爆启动，截止12月12日苏州地区线上消费支付实时金额达到了元人民币，用科学记数法表示 （精确到）为（ ）
A．B．C．D．
10．实数，在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果为（ ）
A．B．C．0D．
二、填空题（本大题共8个小题，每题3分，共24分）
11．（-2）2的平方根是______，的立方根是________，=_____________.
12．计算：______．
13．若、是两个连续的整数，且，则______．
14．已知实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，=________．
15．若a、b互为相反数，c、d互为负倒数，则=_______.
16．若实数a的位置如图所示，则a、、、，的大小关系是______（用＜号连接）
17．如果，都是有理数，且满足，则的值为_________．
18．给出下列数据：①某工厂有工人1237人；②小明期末考试数学成绩为87分；③检查一双没洗过的手，发现带有各种细菌8000万个；④食堂购进50 kg土豆；⑤两支知名足球队在某体育馆进行比赛，大约有11000人观战．其中数据是准确数的有__________，其中数据是近似数的有__________．(填序号)
三、解答题（本大题共8小题，共66分；第19-22每小题6分，第23-24每小题8分，第25小题12分，第26小题14分）
19．计算：
（1）
（2）
20．计算
(1)；
(2)．
21．已知：a、b、c满足求：
(1)a、b、c的值；
(2)试问以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由．
22．已知是的立方根，是的算术平方根，是的整数部分，与互为相反数．
（1）______，______，______，______；
（2）将、、、用“＜”按从小到大的顺序排列起来．
23．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．
（1）求的值；
（2）在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根．
24．在学习了《实数》一章内容以后我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的．如图，我们想在数轴上找到与无理数对应的点，可以以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示．
(1)请写出一个大小在之间的无理数：______；
(2)请参考上面的方法，在数轴上找出表示无理数的点；
(3)如图，点表示，，如果点表示实数，求点表示的实数；
(4)根据（3）的条件，化简：．
25．数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一．请你先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题：
问题情境：设a，b是有理数，且满足，求的值．
解：由题意得，
∵a，b都是有理数，
∴也是有理数，
∵是无理数，
∴，
∴，
∴
解决问题：设x，y都是有理数，且满足，求的值．
26．阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于-1，记为①，这个数i叫做虚数单位，那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为（，为实数），叫做这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它与整式的加法，减法，乘法运算类似．例如：解方程，解得：，．同样我们也可以化简．读完这段文字，请你解答以下问题：
（1）填空：______，______，______．
（2）已知，写出一个以，的值为解的一元二次方程．
（3）在复数范围内解方程：．
【高效培优】2022—2023学年八年级数学上册必考重难点突破必刷卷（苏科版）
【单元测试】第4章 实数（综合能力拔高卷）
（考试时间：100分钟 试卷满分：120分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．在实数，3.1415926，0.123123123…，，，0.2020020002…（相邻两个2中间一次多1个0）中，无理数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】先计算算术平方根，再根据无理数的定义（无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比）即可得．
【详解】解：是有理数，
是有限小数，是有理数，
是无限循环小数，是有理数，
，，（相邻两个2中间一次多1个0）都是无理数，共3个，
故选：B．
【点睛】本题考查了算术平方根、无理数，熟记定义是解题关键．
2．若一个正数的平方根是和，则这个正数是（ ）
A．1B．3C．4D．9
【答案】A
【分析】根据平方根互为相反数计算出的值，然后求出这个数即可．
【详解】解：∵一个正数的平方根是和，
∴，
解得：，
∴，
∴这个正数为：．
故选：A．
【点睛】本题主要考查平方根的概念．熟练掌握一个正数的平方根互为相反数是解题的关键．
3．的立方根是（ ）
A．4B．-4C．2D．4
【答案】B
【分析】根据题意可得，再根据立方根的性质，即可求解．
【详解】解：∵，
∴的立方根是．
故选：B
【点睛】本题主要考查了求一个数的立方根，熟练掌握立方根的性质是解题的关键．
4．在数轴上，表示无理数+2的点位于（ ）
A．点M～点N之间B．点N～点P之间C．点P～点Q之间D．点Q～点R之间
【答案】D
【分析】先判断的大致范围，再判断+2的范围即可解决此题．
【详解】解：∵1<<2，
∴3<+2<4，
∴在Q和R之间．
故选：D．
【点睛】本题考查估算无理数的大小，实数与数轴，估算出3<+2<4是解决此题的关键．
5．已知，，且，那么的值是（ ）
A．或B．或C．或D．或
【答案】A
【分析】根据二次根式的性质与化简，立方根的意义，进行计算逐一判断即可解答．
【详解】解：，，
，，
，
，
当，时，，
当，时，，
综上所述：的值是或，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，准确熟练地进行计算是解题的关键．
6．我市某部门2021年年初收入预算为元，关于近似数，是精确到（ ）
A．百分位B．百位C．千位D．万位
【答案】D
【分析】将还原为原数，根据4所在的位数即可求解．
【详解】解：，
∴近似数精确到万位．
故选：D
【点睛】本题考查了近似数的精确度，考虑近似数的精确度时，一般要将科学记数法表示的数还原为原数，再进一步确定近似数的精确度．
7．已知实数x、y满足＋|x﹣3y﹣2|＝0，则xy的平方根是（ ）
A．B．±C．D．±
【答案】B
【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性，可得2x-3y+1=0且x-3y-2=0，组成方程求解得x，y的值，最后求xy的平方根．
【详解】解：∵＋|x﹣3y﹣2|＝0，
，
解得：，
∴xy=5，
则xy的平方根是±，
故选：B．
【点睛】本题考查了非负数的性质，解二元一次方程组及求一个数的平方根，其中利用有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零建立方程组求出x，y的值是解题的关键．
8．下列说法中正确的是（ ）
A．的平方根是 B．的算术平方根是 C．与相等 D．的立方根是
【答案】C
【分析】根据平方根，立方根，算术平方根的定义解答即可．
【详解】A．的平方根为，故选项错误；
B．的算术平方根是，故选项错误；
C．，故选项正确；
D．的立方根是，故选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了平方根，立方根，算术平方根的定义，熟练掌握是解题关键．
9．1.2020年12月11日“双苏州购物节”火爆启动，截止12月12日苏州地区线上消费支付实时金额达到了元人民币，用科学记数法表示 （精确到）为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用科学计数法和近似数进行解答即可得出答案．
【详解】解：．
故选：D．
【点睛】本题考查用近似数、科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中1≤|a|＜10，n可以用整数位数减去1来确定，掌握以上知识点是解题的关键．
10．实数，在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果为（ ）
A．B．C．0D．
【答案】A
【分析】先根据数轴上点的坐标特点确定a，b的符号，再去绝对值符号和开立方根，化简即可．
【详解】由图可知：，
且，
∴，，
原式
．
故选：A．
【点睛】考查了数轴，解答此题时可以发现借助数轴用几何方法化简含有绝对值的式子，比较有关数的大小有直观、简捷，举重若轻的优势．
二、填空题（本大题共8个小题，每题3分，共24分）
11．（-2）2的平方根是______，的立方根是________，=_____________.
【答案】 ±2 -2 4
【分析】根据平方根和立方根的定义解答即可．
【详解】解：（-2）2的平方根是±2 ，的立方根是-，=8-4=4
故答案为±2；-2；4.
【点睛】本题考查立方根，平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
12．计算：______．
【答案】
【分析】先分别化简负整数指数幂和绝对值，然后再计算．
【详解】，
故填：．
【点睛】本题考查负整数指数幂及实数的混合运算，掌握运算法则准确计算是解题关键．
13．若、是两个连续的整数，且，则______．
【答案】9
【分析】根据无理数的估算方法求出的值，由此即可得．
【详解】解：，
，即，
是两个连续的整数，且，
，
，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算方法是解题关键．
14．已知实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，=________．
【答案】b﹣c﹣a
【分析】先由数轴可知：c＜a＜0＜b，从而可得b－c＞0，然后根据算术平方根的性质化简即可．
【详解】解：由数轴可知：c＜a＜0＜b
∴b－c＞0
∴
=
=
= b﹣c﹣a．
故答案为b﹣c﹣a．
【点睛】此题考查的是算术平方根的性质、利用数轴比较大小等知识点，根据数轴得到c＜a＜0＜b且b－c＞0是解答本题的关键．
15．若a、b互为相反数，c、d互为负倒数，则=_______.
【答案】―1
【详解】根据题意得：a+b=0，cd=-1，
则==-1.
故答案是:-1.
16．若实数a的位置如图所示，则a、、、，的大小关系是______（用＜号连接）
【答案】
【分析】根据实数在数轴上的位置将表示在数轴上，比较大小即可．
【详解】解：
又两边同时乘以
两边同时除以
综上所述：
故答案为：．
【点睛】本题考查了求一个实数的相反数，倒数，实数大小的比较，数形结合是解题的关键．
17．如果，都是有理数，且满足，则的值为_________．
【答案】3
【分析】根据系数相等，求出与的值即可．
【详解】解：由得：
，
解得，
所以，
故答案为：3．
【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是本题的关键．
18．给出下列数据：①某工厂有工人1237人；②小明期末考试数学成绩为87分；③检查一双没洗过的手，发现带有各种细菌8000万个；④食堂购进50 kg土豆；⑤两支知名足球队在某体育馆进行比赛，大约有11000人观战．其中数据是准确数的有__________，其中数据是近似数的有__________．(填序号)
【答案】 ①② ③④⑤
【分析】根据准确数和近似数的定义分别对各小题的数据进行判断.
【详解】①某工厂有工人1237人,1237是准确数;
②小明期末考试数学成绩为87分,87分为准确数;
③检查一双没洗过的手，发现带有各种细菌8000万个, 8000万是近似数;
④食堂购进50 kg土豆,50为近似数;
⑤两支知名足球队在某体育馆进行比赛，大约有11000人观战, 11000人为近似数;
故答案为①②；③④⑤.
【点睛】本题考查了近似数和准确数的定义，解题的关键是要知道一个能表示原来物体或事件的实际数量的数，这个数称为准确数；一个数与准确数相近(比准确数略多或者略少些)，这个数称为近似数.
三、解答题（本大题共8小题，共66分；第19-22每小题6分，第23-24每小题8分，第25小题12分，第26小题14分）
19．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）按照有理数混合运算的顺序和法则进行计算即可；
（2）先算乘方、立方根、算术平方根、绝对值，再进行计算即可；
【详解】解：（1）
（2）
【点睛】本题考查了有理数和实数计算，解题关键是熟练掌握相关知识，按照法则正确计算和准确计算立方根、算术平方根、绝对值．
20．计算
(1)；
(2)．
【答案】(1)4
(2)3
【分析】（1）先化简立方根、算术平方根及绝对值，再算加减；
（2）先算乘方和开方，再算乘法，最后算加减．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
【点睛】本题考查了实数的运算，解题关键是熟练掌握立方根、算术平方根的定义和去绝对值、去括号的法则．
21．已知：a、b、c满足求：
(1)a、b、c的值；
(2)试问以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)能构成三角形，周长为
【分析】（1）根据非负数之和等于零，则每个非负数等于零，分别建立方程求解即可；
（2）先比较长三边的大小，再用较小两边之和与最大边比较即可判断能够构成三角形；然后计算三角形的周长即可．
【详解】（1）解：∵，，，
a、b、c满足，
∴，，，
解得，，；
（2）
解：∵，
∴，
即，
∵，
∴能构成三角形，
三角形的周长．
【点睛】本题考查了非负数的性质，二次根式有意义的条件和构成三角形的条件，解题的关键是根据非负数之和等于零的条件分别建立方程和如何判定三边能否构成三角形．
22．已知是的立方根，是的算术平方根，是的整数部分，与互为相反数．
（1）______，______，______，______；
（2）将、、、用“＜”按从小到大的顺序排列起来．
【答案】解：（1）－2，，3，；（2）
【分析】（1）根据立方根、算术平方根和相反数的定义即可求出a、b、d、然后无理数的估算可得，即可得到答案；
（2）根据实数比较大小的方法进行比较即可．
【详解】解：（1）∵是-8的立方根，是的算术平方根，是的整数部分，与互为相反数，
∴，，，
∵，
∴，
∴的整数部分是3，
∴，
故答案为：-2，，3，；
（2）∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了立方根，算术平方根，相反数，无理数的估算，实数比较大小，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．
23．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．
（1）求的值；
（2）在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根．
【答案】（1）2；（2）±4
【分析】（1）先求出m＝2，进而化简|m＋1|＋|m−1|，即可；
（2）根据相反数和非负数的意义，列方程求出c、d的值，进而求出2c−3d的值，再求出2c−3d的平方根．
【详解】（1）由题意得：m＝2，则m＋1＞0，m−1＜0，
∴|m＋1|＋|m−1|＝m＋1＋1−m＝2；
（2）∵与互为相反数，
∴+=0，
∴|2c＋d|＝0且＝0，
解得：c＝2，d＝−4，
∴2c−3d＝16，
∴2c−3d的平方根为±4．
【点睛】本题主要考查数轴、相反数的定义，求绝对值，掌握求绝对值的法则以及绝对值与算术平方根的非负性，是解题的关键．
24．在学习了《实数》一章内容以后我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的．如图，我们想在数轴上找到与无理数对应的点，可以以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示．
(1)请写出一个大小在之间的无理数：______；
(2)请参考上面的方法，在数轴上找出表示无理数的点；
(3)如图，点表示，，如果点表示实数，求点表示的实数；
(4)根据（3）的条件，化简：．
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)见解析
(3)
(4)
【分析】（1）估算无理数的大小，写出一个答案即可；
（2）利用题中给出的方法画图，确定等腰直角三角形的直角边为，则斜边，再从数轴上画出来即可解决问题；
（3）根据，可得点所表示的数；
（4）根据绝对值的意义化简可得答案．
【详解】（1）解：，
，
故答案为：（答案不唯一）；
（2）解：如图所示，点即为所求；
∵AM=，
∴AD=AM=．
∴点D表示的无理数是；
（3）解：点表示，，如果点表示实数，
，
点表示的实数为；
（4）解：由（3）知：，
．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，勾股定理，在数轴上表示无理数，绝对值的意义，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼法求无理数是解题的关键．
25．数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一．请你先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题：
问题情境：设a，b是有理数，且满足，求的值．
解：由题意得，
∵a，b都是有理数，
∴也是有理数，
∵是无理数，
∴，
∴，
∴
解决问题：设x，y都是有理数，且满足，求的值．
【答案】8或0
【分析】根据题目中例题的方法，对所求式子进行变形，求出x、y的值，从而可以求得x+y的值．
【详解】解：∵，
∴（x2-2y-8）+（y-4）=0，
∴x2-2y-8=0，y-4=0，
解得，x=±4，y=4，
当x=4，y=4时，x+y=4+4=8，
当x=-4，y=4时，x+y=（-4）+4=0，
即x+y的值是8或0．
【点睛】本题考查实数的运算，解题的关键是明确题目中例题的解答方法，然后运用类比的思想解答所求式子的值．
26．阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于-1，记为①，这个数i叫做虚数单位，那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为（，为实数），叫做这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它与整式的加法，减法，乘法运算类似．例如：解方程，解得：，．同样我们也可以化简．读完这段文字，请你解答以下问题：
（1）填空：______，______，______．
（2）已知，写出一个以，的值为解的一元二次方程．
（3）在复数范围内解方程：．
【答案】（1）-i，1，0；（2）；（3），．
【分析】(1)根据题意，则，，然后计算即可；
(2)利用，得到，，，即可求解
(3)利用配方法求解即可．
【详解】(1)，
，
∵，
∴，
同理：，
每四个为一组，和为0，
共有组，
∴，
(2)∵，
∴，，
∴，，，
∴以，的值为解的一元二次方程可以为：．
(3)，
，
，
，
∴，．
【点睛】本题考查了实数的运算，解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（考试时间：100分钟 试卷满分：120分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．在实数，3.1415926，0.123123123…，，，0.2020020002…（相邻两个2中间一次多1个0）中，无理数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．若一个正数的平方根是和，则这个正数是（ ）
A．1B．3C．4D．9
3．的立方根是（ ）
A．4B．-4C．2D．4
4．在数轴上，表示无理数+2的点位于（ ）
A．点M～点N之间B．点N～点P之间C．点P～点Q之间D．点Q～点R之间
5．已知，，且，那么的值是（ ）
A．或B．或C．或D．或
6．我市某部门2021年年初收入预算为元，关于近似数，是精确到（ ）
A．百分位B．百位C．千位D．万位
7．已知实数x、y满足＋|x﹣3y﹣2|＝0，则xy的平方根是（ ）
A．B．±C．D．±
8．下列说法中正确的是（ ）
A．的平方根是 B．的算术平方根是 C．与相等 D．的立方根是
9．1.2020年12月11日“双苏州购物节”火爆启动，截止12月12日苏州地区线上消费支付实时金额达到了元人民币，用科学记数法表示 （精确到）为（ ）
A．B．C．D．
10．实数，在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果为（ ）
A．B．C．0D．
二、填空题（本大题共8个小题，每题3分，共24分）
11．（-2）2的平方根是______，的立方根是________，=_____________.
12．计算：______．
13．若、是两个连续的整数，且，则______．
14．已知实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，=________．
15．若a、b互为相反数，c、d互为负倒数，则=_______.
16．若实数a的位置如图所示，则a、、、，的大小关系是______（用＜号连接）
17．如果，都是有理数，且满足，则的值为_________．
18．给出下列数据：①某工厂有工人1237人；②小明期末考试数学成绩为87分；③检查一双没洗过的手，发现带有各种细菌8000万个；④食堂购进50 kg土豆；⑤两支知名足球队在某体育馆进行比赛，大约有11000人观战．其中数据是准确数的有__________，其中数据是近似数的有__________．(填序号)
三、解答题（本大题共8小题，共66分；第19-22每小题6分，第23-24每小题8分，第25小题12分，第26小题14分）
19．计算：
（1）
（2）
20．计算
(1)；
(2)．
21．已知：a、b、c满足求：
(1)a、b、c的值；
(2)试问以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由．
22．已知是的立方根，是的算术平方根，是的整数部分，与互为相反数．
（1）______，______，______，______；
（2）将、、、用“＜”按从小到大的顺序排列起来．
23．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．
（1）求的值；
（2）在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根．
24．在学习了《实数》一章内容以后我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的．如图，我们想在数轴上找到与无理数对应的点，可以以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示．
(1)请写出一个大小在之间的无理数：______；
(2)请参考上面的方法，在数轴上找出表示无理数的点；
(3)如图，点表示，，如果点表示实数，求点表示的实数；
(4)根据（3）的条件，化简：．
25．数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一．请你先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题：
问题情境：设a，b是有理数，且满足，求的值．
解：由题意得，
∵a，b都是有理数，
∴也是有理数，
∵是无理数，
∴，
∴，
∴
解决问题：设x，y都是有理数，且满足，求的值．
26．阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于-1，记为①，这个数i叫做虚数单位，那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为（，为实数），叫做这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它与整式的加法，减法，乘法运算类似．例如：解方程，解得：，．同样我们也可以化简．读完这段文字，请你解答以下问题：
（1）填空：______，______，______．
（2）已知，写出一个以，的值为解的一元二次方程．
（3）在复数范围内解方程：．
【高效培优】2022—2023学年八年级数学上册必考重难点突破必刷卷（苏科版）
【单元测试】第4章 实数（综合能力拔高卷）
（考试时间：100分钟 试卷满分：120分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．在实数，3.1415926，0.123123123…，，，0.2020020002…（相邻两个2中间一次多1个0）中，无理数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】先计算算术平方根，再根据无理数的定义（无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比）即可得．
【详解】解：是有理数，
是有限小数，是有理数，
是无限循环小数，是有理数，
，，（相邻两个2中间一次多1个0）都是无理数，共3个，
故选：B．
【点睛】本题考查了算术平方根、无理数，熟记定义是解题关键．
2．若一个正数的平方根是和，则这个正数是（ ）
A．1B．3C．4D．9
【答案】A
【分析】根据平方根互为相反数计算出的值，然后求出这个数即可．
【详解】解：∵一个正数的平方根是和，
∴，
解得：，
∴，
∴这个正数为：．
故选：A．
【点睛】本题主要考查平方根的概念．熟练掌握一个正数的平方根互为相反数是解题的关键．
3．的立方根是（ ）
A．4B．-4C．2D．4
【答案】B
【分析】根据题意可得，再根据立方根的性质，即可求解．
【详解】解：∵，
∴的立方根是．
故选：B
【点睛】本题主要考查了求一个数的立方根，熟练掌握立方根的性质是解题的关键．
4．在数轴上，表示无理数+2的点位于（ ）
A．点M～点N之间B．点N～点P之间C．点P～点Q之间D．点Q～点R之间
【答案】D
【分析】先判断的大致范围，再判断+2的范围即可解决此题．
【详解】解：∵1<<2，
∴3<+2<4，
∴在Q和R之间．
故选：D．
【点睛】本题考查估算无理数的大小，实数与数轴，估算出3<+2<4是解决此题的关键．
5．已知，，且，那么的值是（ ）
A．或B．或C．或D．或
【答案】A
【分析】根据二次根式的性质与化简，立方根的意义，进行计算逐一判断即可解答．
【详解】解：，，
，，
，
，
当，时，，
当，时，，
综上所述：的值是或，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，准确熟练地进行计算是解题的关键．
6．我市某部门2021年年初收入预算为元，关于近似数，是精确到（ ）
A．百分位B．百位C．千位D．万位
【答案】D
【分析】将还原为原数，根据4所在的位数即可求解．
【详解】解：，
∴近似数精确到万位．
故选：D
【点睛】本题考查了近似数的精确度，考虑近似数的精确度时，一般要将科学记数法表示的数还原为原数，再进一步确定近似数的精确度．
7．已知实数x、y满足＋|x﹣3y﹣2|＝0，则xy的平方根是（ ）
A．B．±C．D．±
【答案】B
【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性，可得2x-3y+1=0且x-3y-2=0，组成方程求解得x，y的值，最后求xy的平方根．
【详解】解：∵＋|x﹣3y﹣2|＝0，
，
解得：，
∴xy=5，
则xy的平方根是±，
故选：B．
【点睛】本题考查了非负数的性质，解二元一次方程组及求一个数的平方根，其中利用有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零建立方程组求出x，y的值是解题的关键．
8．下列说法中正确的是（ ）
A．的平方根是 B．的算术平方根是 C．与相等 D．的立方根是
【答案】C
【分析】根据平方根，立方根，算术平方根的定义解答即可．
【详解】A．的平方根为，故选项错误；
B．的算术平方根是，故选项错误；
C．，故选项正确；
D．的立方根是，故选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了平方根，立方根，算术平方根的定义，熟练掌握是解题关键．
9．1.2020年12月11日“双苏州购物节”火爆启动，截止12月12日苏州地区线上消费支付实时金额达到了元人民币，用科学记数法表示 （精确到）为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用科学计数法和近似数进行解答即可得出答案．
【详解】解：．
故选：D．
【点睛】本题考查用近似数、科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中1≤|a|＜10，n可以用整数位数减去1来确定，掌握以上知识点是解题的关键．
10．实数，在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果为（ ）
A．B．C．0D．
【答案】A
【分析】先根据数轴上点的坐标特点确定a，b的符号，再去绝对值符号和开立方根，化简即可．
【详解】由图可知：，
且，
∴，，
原式
．
故选：A．
【点睛】考查了数轴，解答此题时可以发现借助数轴用几何方法化简含有绝对值的式子，比较有关数的大小有直观、简捷，举重若轻的优势．
二、填空题（本大题共8个小题，每题3分，共24分）
11．（-2）2的平方根是______，的立方根是________，=_____________.
【答案】 ±2 -2 4
【分析】根据平方根和立方根的定义解答即可．
【详解】解：（-2）2的平方根是±2 ，的立方根是-，=8-4=4
故答案为±2；-2；4.
【点睛】本题考查立方根，平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
12．计算：______．
【答案】
【分析】先分别化简负整数指数幂和绝对值，然后再计算．
【详解】，
故填：．
【点睛】本题考查负整数指数幂及实数的混合运算，掌握运算法则准确计算是解题关键．
13．若、是两个连续的整数，且，则______．
【答案】9
【分析】根据无理数的估算方法求出的值，由此即可得．
【详解】解：，
，即，
是两个连续的整数，且，
，
，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算方法是解题关键．
14．已知实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，=________．
【答案】b﹣c﹣a
【分析】先由数轴可知：c＜a＜0＜b，从而可得b－c＞0，然后根据算术平方根的性质化简即可．
【详解】解：由数轴可知：c＜a＜0＜b
∴b－c＞0
∴
=
=
= b﹣c﹣a．
故答案为b﹣c﹣a．
【点睛】此题考查的是算术平方根的性质、利用数轴比较大小等知识点，根据数轴得到c＜a＜0＜b且b－c＞0是解答本题的关键．
15．若a、b互为相反数，c、d互为负倒数，则=_______.
【答案】―1
【详解】根据题意得：a+b=0，cd=-1，
则==-1.
故答案是:-1.
16．若实数a的位置如图所示，则a、、、，的大小关系是______（用＜号连接）
【答案】
【分析】根据实数在数轴上的位置将表示在数轴上，比较大小即可．
【详解】解：
又两边同时乘以
两边同时除以
综上所述：
故答案为：．
【点睛】本题考查了求一个实数的相反数，倒数，实数大小的比较，数形结合是解题的关键．
17．如果，都是有理数，且满足，则的值为_________．
【答案】3
【分析】根据系数相等，求出与的值即可．
【详解】解：由得：
，
解得，
所以，
故答案为：3．
【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是本题的关键．
18．给出下列数据：①某工厂有工人1237人；②小明期末考试数学成绩为87分；③检查一双没洗过的手，发现带有各种细菌8000万个；④食堂购进50 kg土豆；⑤两支知名足球队在某体育馆进行比赛，大约有11000人观战．其中数据是准确数的有__________，其中数据是近似数的有__________．(填序号)
【答案】 ①② ③④⑤
【分析】根据准确数和近似数的定义分别对各小题的数据进行判断.
【详解】①某工厂有工人1237人,1237是准确数;
②小明期末考试数学成绩为87分,87分为准确数;
③检查一双没洗过的手，发现带有各种细菌8000万个, 8000万是近似数;
④食堂购进50 kg土豆,50为近似数;
⑤两支知名足球队在某体育馆进行比赛，大约有11000人观战, 11000人为近似数;
故答案为①②；③④⑤.
【点睛】本题考查了近似数和准确数的定义，解题的关键是要知道一个能表示原来物体或事件的实际数量的数，这个数称为准确数；一个数与准确数相近(比准确数略多或者略少些)，这个数称为近似数.
三、解答题（本大题共8小题，共66分；第19-22每小题6分，第23-24每小题8分，第25小题12分，第26小题14分）
19．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）按照有理数混合运算的顺序和法则进行计算即可；
（2）先算乘方、立方根、算术平方根、绝对值，再进行计算即可；
【详解】解：（1）
（2）
【点睛】本题考查了有理数和实数计算，解题关键是熟练掌握相关知识，按照法则正确计算和准确计算立方根、算术平方根、绝对值．
20．计算
(1)；
(2)．
【答案】(1)4
(2)3
【分析】（1）先化简立方根、算术平方根及绝对值，再算加减；
（2）先算乘方和开方，再算乘法，最后算加减．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
【点睛】本题考查了实数的运算，解题关键是熟练掌握立方根、算术平方根的定义和去绝对值、去括号的法则．
21．已知：a、b、c满足求：
(1)a、b、c的值；
(2)试问以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)能构成三角形，周长为
【分析】（1）根据非负数之和等于零，则每个非负数等于零，分别建立方程求解即可；
（2）先比较长三边的大小，再用较小两边之和与最大边比较即可判断能够构成三角形；然后计算三角形的周长即可．
【详解】（1）解：∵，，，
a、b、c满足，
∴，，，
解得，，；
（2）
解：∵，
∴，
即，
∵，
∴能构成三角形，
三角形的周长．
【点睛】本题考查了非负数的性质，二次根式有意义的条件和构成三角形的条件，解题的关键是根据非负数之和等于零的条件分别建立方程和如何判定三边能否构成三角形．
22．已知是的立方根，是的算术平方根，是的整数部分，与互为相反数．
（1）______，______，______，______；
（2）将、、、用“＜”按从小到大的顺序排列起来．
【答案】解：（1）－2，，3，；（2）
【分析】（1）根据立方根、算术平方根和相反数的定义即可求出a、b、d、然后无理数的估算可得，即可得到答案；
（2）根据实数比较大小的方法进行比较即可．
【详解】解：（1）∵是-8的立方根，是的算术平方根，是的整数部分，与互为相反数，
∴，，，
∵，
∴，
∴的整数部分是3，
∴，
故答案为：-2，，3，；
（2）∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了立方根，算术平方根，相反数，无理数的估算，实数比较大小，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．
23．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．
（1）求的值；
（2）在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根．
【答案】（1）2；（2）±4
【分析】（1）先求出m＝2，进而化简|m＋1|＋|m−1|，即可；
（2）根据相反数和非负数的意义，列方程求出c、d的值，进而求出2c−3d的值，再求出2c−3d的平方根．
【详解】（1）由题意得：m＝2，则m＋1＞0，m−1＜0，
∴|m＋1|＋|m−1|＝m＋1＋1−m＝2；
（2）∵与互为相反数，
∴+=0，
∴|2c＋d|＝0且＝0，
解得：c＝2，d＝−4，
∴2c−3d＝16，
∴2c−3d的平方根为±4．
【点睛】本题主要考查数轴、相反数的定义，求绝对值，掌握求绝对值的法则以及绝对值与算术平方根的非负性，是解题的关键．
24．在学习了《实数》一章内容以后我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的．如图，我们想在数轴上找到与无理数对应的点，可以以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示．
(1)请写出一个大小在之间的无理数：______；
(2)请参考上面的方法，在数轴上找出表示无理数的点；
(3)如图，点表示，，如果点表示实数，求点表示的实数；
(4)根据（3）的条件，化简：．
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)见解析
(3)
(4)
【分析】（1）估算无理数的大小，写出一个答案即可；
（2）利用题中给出的方法画图，确定等腰直角三角形的直角边为，则斜边，再从数轴上画出来即可解决问题；
（3）根据，可得点所表示的数；
（4）根据绝对值的意义化简可得答案．
【详解】（1）解：，
，
故答案为：（答案不唯一）；
（2）解：如图所示，点即为所求；
∵AM=，
∴AD=AM=．
∴点D表示的无理数是；
（3）解：点表示，，如果点表示实数，
，
点表示的实数为；
（4）解：由（3）知：，
．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，勾股定理，在数轴上表示无理数，绝对值的意义，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼法求无理数是解题的关键．
25．数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一．请你先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题：
问题情境：设a，b是有理数，且满足，求的值．
解：由题意得，
∵a，b都是有理数，
∴也是有理数，
∵是无理数，
∴，
∴，
∴
解决问题：设x，y都是有理数，且满足，求的值．
【答案】8或0
【分析】根据题目中例题的方法，对所求式子进行变形，求出x、y的值，从而可以求得x+y的值．
【详解】解：∵，
∴（x2-2y-8）+（y-4）=0，
∴x2-2y-8=0，y-4=0，
解得，x=±4，y=4，
当x=4，y=4时，x+y=4+4=8，
当x=-4，y=4时，x+y=（-4）+4=0，
即x+y的值是8或0．
【点睛】本题考查实数的运算，解题的关键是明确题目中例题的解答方法，然后运用类比的思想解答所求式子的值．
26．阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于-1，记为①，这个数i叫做虚数单位，那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为（，为实数），叫做这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它与整式的加法，减法，乘法运算类似．例如：解方程，解得：，．同样我们也可以化简．读完这段文字，请你解答以下问题：
（1）填空：______，______，______．
（2）已知，写出一个以，的值为解的一元二次方程．
（3）在复数范围内解方程：．
【答案】（1）-i，1，0；（2）；（3），．
【分析】(1)根据题意，则，，然后计算即可；
(2)利用，得到，，，即可求解
(3)利用配方法求解即可．
【详解】(1)，
，
∵，
∴，
同理：，
每四个为一组，和为0，
共有组，
∴，
(2)∵，
∴，，
∴，，，
∴以，的值为解的一元二次方程可以为：．
(3)，
，
，
，
∴，．
【点睛】本题考查了实数的运算，解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
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