苏科版八年级数学上册必考重难点突破【单元测试】第2章轴对称图形(综合能力拔高卷)(原卷版+解析)

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（考试时间：100分钟 试卷满分：120分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下面四个图形分别是绿色食品、低碳、节能和节水标志，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠AED'＝50°，则∠EFC等于( )
A．65°B．110°C．115°D．130°
3．如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A．一处B．两处C．三处D．四处
4．下面是四位同学所作的关于直线对称的图形，其中正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在△ABC中．AB＝AC．BC＝4，△ABC的面积是24，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于点E，F，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，连接CM，DM，则CM＋DM的最小值为（ ）
A．6B．10C．12D．13
6．如图，在的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中是一个格点三角形，在格纸范围内，与成轴对称的格点三角形的个数为（ ）个．
A．8B．9C．10D．11
7．如图，△ABC的两条内角平分线相交于点D，过点D作一条平分△ABC面积的直线，那么这条直线分成的两个图形的周长比是（ ）
A．2：1B．1：1C．2：3D．3：1
8．图，，，，点为线段上一点，将线段沿折叠，点的对应点落在四边形外侧，连接，若，，则为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共有10小题，每题3分，共30分）
9．下列图形中，是轴对称图形的有_______个．
10．如图，数轴上从左到右排列的A、B、C三点的位置如图所示．点B表示的数是5，，，若将数轴折叠，使A，C两点重合，则与点B重合的点表示的数是__________．
11．如图，在3×3的正方形网格中有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意一个涂黑，使得整个图形构成一个轴对称图形，那么涂法共有________种．
12．如图，在中，，，点D、E分别在AB、AC上，将沿DE折叠，使点A落在点F处，则______°．
13．如图所示，△AOD关于直线l进行轴对称变换后得到△BOC，则以下结论中，不一定正确的是___________（填字母序号）
A． B． C．l垂直平分AB，且l垂直平分CD D．AC与BD互相平分
14．有一种电脑软件叫做“画图”，它有个功能，可以复制已经出现在窗口的所有图形或部分图形，粘贴的图形又可以进行任意的平移．如图，在画图窗口中已有一个正方形．从窗口中已有图形开始，复制、粘贴已有图形或部分图形一次，且通过平移后与原图形拼接，叫做一次操作．则要出现一个4×6的网格，至少需要操作_____次．
15．如图，一束光沿方向，先后经过平面镜、反射后，沿方向射出，已知，，则_________．
16．在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC如图放置，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第5次碰到矩形的边时，点P的坐标为_________；当点P第2014次碰到矩形的边时，点P的坐标为____________．
17．如图，等腰三角形ABC的面积为24，底边，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC、AB于E、F两点，点M为线段EF上一动点，点D为BC的中点，连接CM、DM．在点M的运动过程中，△CDM的周长存在最______值（填入“大”或“小”），最值为______．
18．如图，∠AOB＝60°，点C是BO延长线上一点，OC＝6cm，动点P从点C出发沿射线CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿射线OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝___s时，△POQ是等腰三角形．
三、解答题（本大题共有10小题，共66分；第19-24每小题5分，第25-26每小题6分，第27小题10分，第28小题14分）
19．如图，已知线段a和b，直线AB和CD相交于点O．利用尺规（直尺、圆规），按下列要求作图：
（1）在射线OA，OB，OC上作线段OA'，OB'，OC'，使它们分别与线段a相等；
（2）在射线OD上作线段OD'，使OD'与线段b相等；
（3）连接A'C'，C'B'，B'D'，D'A'；
（4）你得到了一个怎样的图形？
20．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，三角形纸片ABC的顶点在网格的格点上，直线m与AB交于点D，与AC交于点E．
(1)将三角形纸片ABC沿直线m向右翻折，点A落在点A′处，作出翻折后的图形；
(2)在（1）的基础上，若∠BDA′＝α，∠CEA′＝β，用含α和β的式子表示∠A．
21．在平面直角坐标系xOy中，△ABC的位置如图所示，直线l经过点(0，1)，并且与x轴平行，与关于直线对称．
(1)画出三角形；
(2)的面积为_____；
(3)在直线上画出点，使得的值最小．直接写出Q点坐标（ ）．
22．在我们认识的多边形中，有很多轴对称图形．有些多边形，边数不同对称轴的条数也不同；有些多边形，边数相同但却有不同数目的对称轴．回答下列问题：
(1)非等边的等腰三角形有 条对称轴，等边三角形有 条对称轴；
(2)观察下列一组凸多边形（实线画出），它们的共同点是只有1条对称轴，其中图1﹣2和图1﹣3都可以看作由图1﹣1修改得到的，仿照类似的修改方式，请你在图1﹣4和图1﹣5中，分别修改图1﹣2和图1﹣3，得到一个只有1条对称轴的凸五边形，并用实线画出所得的凸五边形；
(3)小明希望构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形，于是他选择修改长方形，图2中是他没有完成的图形，请用实线帮他补完整个图形；
(4)请你画一个恰好有3条对称轴的凸六边形，并用虚线标出对称轴．
23．如图，ABCD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．
(1)求证：AP平分∠CAB；
(2)若∠ACD＝114°，求∠MAB的度数．
24．如图，在平面直角坐标系中，已知，点M与关于直线l成轴对称．
（1）在题图中画出直线l及线段关于直线l对称的线段；
（2）求的面积．
25．如图，△ABC和△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．
(1)图中点C的对应点是点 ，∠B的对应角是 ；
(2)若DE＝5，BF＝2，则CF的长为 ；
(3)若∠BAC＝108°，∠BAE＝30°，求∠EAF的度数．
26．如图1，△ABC中∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF相交于点G，∠BAC=50°．
(1)求∠BGC的度数；
(2)如图2，连结AG，求证：AG平分∠BAC；
(3)若△ABC的∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点H，连结AH，那么∠BHC是多少度？AH平分∠BAC吗？（直接写出结论）．
27．已知：如图，由边长均为1个单位的小正方形组成的网格图中，点A、点B、点C都在格点（正方形的顶点）上．
(1)的面积等于______个平方单位；
(2)以BC为边画出所有与全等的三角形；
(3)在直线l上确定点P，使的长度最短．（画出示意图，并标明点P的位置即可）
28．如图，将图1的正方形纸片沿对角线剪开，得到图2的两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成图3所示的图形，使得点B（E）重合．
(1)求证：△ABD≌△CBF；
(2)猜测AD与CF的位置关系，并说明理由；
(3)若∠ABF=120°请判断△BGH的形状，并说明理由．
【高效培优】2022—2023学年八年级数学上册必考重难点突破必刷卷（苏科版）
【单元测试】第2章 轴对称图形（综合能力拔高卷）
（考试时间：100分钟 试卷满分：120分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下面四个图形分别是绿色食品、低碳、节能和节水标志，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行分析即可．
【详解】解：A、是轴对称图案，故此选项符合题意；B、不是轴对称图案，故此选项不合题意；C、不是轴对称图案，故此选项不合题意；D、不是轴对称图案，故此选项不合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查轴对称图形的知识，要求掌握轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠AED'＝50°，则∠EFC等于( )
A．65°B．110°C．115°D．130°
【答案】C
【分析】由折叠的性质可得，因为，结合平角可求得，平行可求得，再求出∠EFC的度数．
【详解】解：∵四边形ABCD为长方形，
∴，
∴∠DEF＝∠EFB，
又由折叠的性质可得，
∵，，
∴＝＝65°，
∴，
∴，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行线的性质及折叠的性质，掌握两直线平行内错角相等是解题的关键．
3．如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A．一处B．两处C．三处D．四处
【答案】D
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等进行求解即可．
【详解】解：∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，
∴△ABC内角平分线的交点满足条件；
如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点，
过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC，
∴PE＝PF，PF＝PD，
∴PE＝PF＝PD，
∴点P到△ABC的三边的距离相等，
∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；
综上，到三条公路的距离相等的点有4个，
∴可供选择的地址有4个．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟知角平分线的性质是解题的关键．
4．下面是四位同学所作的关于直线对称的图形，其中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据对称的定义即可得出答案.
【详解】A：对称点连接的直线与对称轴不垂直，故选项A错误；B：对称点不在对称轴上，故选项B错误；
C：对称点连接的直线到对称轴的距离不相等，故选项C错误；故答案选择：D.
【点睛】本题考查的是图形的对称，属于基础题型，比较简单.
5．如图，在△ABC中．AB＝AC．BC＝4，△ABC的面积是24，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于点E，F，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，连接CM，DM，则CM＋DM的最小值为（ ）
A．6B．10C．12D．13
【答案】C
【分析】利用轴对称的性质把CM＋DM转化为AM＋DM，利用两点之间线段最短即可得出AD为所求线段，通过面积求高即可．
【详解】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点．
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝24，解得AD＝12，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
连接AM，则CM＋DM＝AM＋DM≥AD，
∴当点M在线段AD上时，CM＋DM的值最小，
∴AD的长为CM＋MD的最小值；
故选C．
【点睛】本题考查轴对称在求最短距离上的应用，熟练的运用轴对称转化问题，并能利用面积求高是解题关键．
6．如图，在的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中是一个格点三角形，在格纸范围内，与成轴对称的格点三角形的个数为（ ）个．
A．8B．9C．10D．11
【答案】C
【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解．
【详解】解：如图，当对称轴在竖直方向时，满足条件的三角形有1个，
当对称轴在水平方向时，满足条件的三角形有5个，
当对称轴与水平方向成方向时，满足条件的三角形有4个，
共（个，
故选：C
【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴．
7．如图，△ABC的两条内角平分线相交于点D，过点D作一条平分△ABC面积的直线，那么这条直线分成的两个图形的周长比是（ ）
A．2：1B．1：1C．2：3D．3：1
【答案】B
【分析】连接AD，过D点作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，作DG⊥BC于点G，根据角平分线的性质可知：AD也是一条角平分线，则有DE=DF=DG，根据MDN平分△ABC的面积以此来列等式即可求解．
【详解】连接AD，过D点作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，作DG⊥BC于点G，
∵△ABC的两条内角平分线相交于点D，
∴DE＝DF＝DG，
设MN平分△ABC的面积，则＋＝＋＋，
∵＝BM•DE，＝AM•DE，＝AC•DF，＝NC•DG，＝BN•DG，
∴BM•DE＋BN•DG＝AM•DE＋AC•DF＋NC•DG，
∴BM＋BN＝AM＋AC＋NC，
∴BM＋BN＋MN＝AM＋AC＋NC＋MN，
即这条直线分成的两个图形的周长比是1：1；
故选：B
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，掌握三角形中三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解答本题的关键．
8．图，，，，点为线段上一点，将线段沿折叠，点的对应点落在四边形外侧，连接，若，，则为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设，先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，然后根据平行线的性质可得，从而可得，由此即可得．
【详解】解：设，
，
，
，
，
由折叠的性质得：，
，
，
，
，
解得，
即，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质、折叠的性质等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
二、填空题（本大题共有10小题，每题3分，共30分）
9．下列图形中，是轴对称图形的有_______个．
【答案】2
【分析】根据轴对称图形的定义分析，即可得到答案．
【详解】根据题意，是轴对称图形的有：
∴是轴对称图形的有2个
故答案为：2．
【点睛】本题考查了轴对称图形的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形．
10．如图，数轴上从左到右排列的A、B、C三点的位置如图所示．点B表示的数是5，，，若将数轴折叠，使A，C两点重合，则与点B重合的点表示的数是__________．
【答案】
【分析】根据题意求得点表示的数，进而根据折叠的性质即可求解．
【详解】解：∵点B表示的数是5，，，
∴点表示的数是，点表示是数是
设与点B重合的点为D，
根据对称性可得
点表示的数为
故答案为：-2
【点睛】本题考查了数轴上点的距离，折叠的性质，数形结合是解题的关键．
11．如图，在3×3的正方形网格中有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意一个涂黑，使得整个图形构成一个轴对称图形，那么涂法共有________种．
【答案】5
【分析】根据轴对称图形的定义，即可求解．
【详解】解：如图所示：所标数字之处都可以构成轴对称图形，共有5种情形，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．
12．如图，在中，，，点D、E分别在AB、AC上，将沿DE折叠，使点A落在点F处，则______°．
【答案】44
【分析】先利用平角用∠1表示出∠BDF，再利用三角形的内角和定理及推论用∠1表示出∠CEF，两式相减可得结论．
【详解】解：如图：
∵∠C=90°，∠B=68°，
∴∠A=180°-∠B-∠C=22°．
∵△DEF是由△DEA折叠成的，
∴∠1=∠2，∠3=∠DEF．
∵∠BDF+∠1+∠2=180°，
∴∠BDF=180°-2∠1．
∵∠CEF+∠CED=∠DEF，∠CED=∠1+∠A，∠3+∠1+∠A=180°，
∴∠CEF=∠DEF-∠CED
=∠3-∠CED，
=180°-∠1-∠A-∠1-∠A
=180°-2∠1-44°
=136°-2∠1．
∴∠BDF-∠CEF=180°-2∠1-（136°-2∠1）
=180°-2∠1-136°+2∠1
=44°．
故答案为：44．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，掌握“三角形的内角和等于180°”、折叠的性质是解决本题的关键．
13．如图所示，△AOD关于直线l进行轴对称变换后得到△BOC，则以下结论中，不一定正确的是___________（填字母序号）
A． B． C．l垂直平分AB，且l垂直平分CD D．AC与BD互相平分
【答案】D
【分析】由轴对称的性质和平行四边形的判定与性质即可得出结论．
【详解】解：∵△AOD关于直线l进行轴对称变换后得到△BOC，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，l垂直平分AB，且l垂直平分CD，故选项A、B、C正确；
∵四边形ABCD不一定是平行四边形，
∴AC与BD不一定互相平分，故选项D不一定正确；
故答案为：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、轴对称的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和轴对称的性质是解题的关键．
14．有一种电脑软件叫做“画图”，它有个功能，可以复制已经出现在窗口的所有图形或部分图形，粘贴的图形又可以进行任意的平移．如图，在画图窗口中已有一个正方形．从窗口中已有图形开始，复制、粘贴已有图形或部分图形一次，且通过平移后与原图形拼接，叫做一次操作．则要出现一个4×6的网格，至少需要操作_____次．
【答案】5
【分析】根据题意可先画横格成6格，然后再画竖格即可求解．
【详解】解：如图，方法如下：
答：要出现一个4×6的网格，至少需要操作5次．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考察图形的轴对称性，解题的关键是准确理解题意要求．
15．如图，一束光沿方向，先后经过平面镜、反射后，沿方向射出，已知，，则_________．
【答案】40°##40度
【分析】根据入射角等于反射角，可得，根据三角形内角和定理求得，进而即可求解．
【详解】解：依题意，，
∵，，
，
∴，
．
故答案为：40°．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理的应用，掌握轴对称的性质是解题的关键．
16．在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC如图放置，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第5次碰到矩形的边时，点P的坐标为_________；当点P第2014次碰到矩形的边时，点P的坐标为____________．
【答案】 （1，4） （5，0）
【分析】作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，当点P第2次碰到矩形的边时和当点P第6次碰到矩形的边时，可依次参照图像得出点的坐标；当点P第2014次碰到矩形的边时，用2014除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．
【详解】解：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形，可知：
（1）当点P第5次碰到矩形的边时，点P的坐标为（1，4）；
（2）每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），
∵2014÷6=3354，
∴当点P第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹，点P的坐标为（5，0）．
故答案为：（1，4），（5，0）．
【点睛】此题考查了对点的坐标的规律变化的认识，解题的关键是根据条件画出图形并得到点的坐标．
17．如图，等腰三角形ABC的面积为24，底边，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC、AB于E、F两点，点M为线段EF上一动点，点D为BC的中点，连接CM、DM．在点M的运动过程中，△CDM的周长存在最______值（填入“大”或“小”），最值为______．
【答案】 小 11
【分析】连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，MA=MC，推出MC+DM=MA+DM≥AD，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【详解】解：连接AD，MA，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴，
解得AD=8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点A关于直线EF的对称点为点C，
∴MA=MC，
∴MC+DM=MA+DM≥AD，
∴MC+DM有最小值，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短为：，
故答案为：小，11．
【点睛】本题主要考查了轴对称——最短路线问题，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解题关键．
18．如图，∠AOB＝60°，点C是BO延长线上一点，OC＝6cm，动点P从点C出发沿射线CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿射线OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝___s时，△POQ是等腰三角形．
【答案】2或6##6或2
【分析】根据等腰三角形的判定，分两种情况：当点P在线段OC上时；当点P在CO的延长线上时，分别列式计算即可；
【详解】根据题意分两种情况：
当点P在线段OC上时，
设t秒后是等腰三角形，
有，即，解得：；
当点P在CO的延长线上时，此时经过CO时的时间已用3s，
当是等腰三角形时，，
∴是等边三角形，
∴，
即，解得：；
故答案是：2或6．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解题时把几何问题转化为方程求解，是常用的方法，解决本题的关键要注意分类讨论，当点P在点O的左侧还是在右侧分别求解．
三、解答题（本大题共有10小题，共66分；第19-24每小题5分，第25-26每小题6分，第27小题10分，第28小题14分）
19．如图，已知线段a和b，直线AB和CD相交于点O．利用尺规（直尺、圆规），按下列要求作图：
（1）在射线OA，OB，OC上作线段OA'，OB'，OC'，使它们分别与线段a相等；
（2）在射线OD上作线段OD'，使OD'与线段b相等；
（3）连接A'C'，C'B'，B'D'，D'A'；
（4）你得到了一个怎样的图形？
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）轴对称图形
【分析】（1）以为圆心，以线段的长为半径画圆，交OA，OB，OC上于点、、，即可；
（2）以为圆心，以线段的长为半径画圆，交OD上于点，即可；
（3）连接对应线段即可；
（4）根据图形的性质，求解即可．
【详解】解：（1）以为圆心，以线段的长为半径画圆，交OA，OB，OC上于点、、，如下图：
（2）以为圆心，以线段的长为半径画圆，交OD上于点，如下图：
（3）连接、、、，如下图：
（4）观察图形可得，得到的图形为轴对称图形．
【点睛】此题考查了尺规作图，作线段，涉及了轴对称图形的识别，解题的关键是按照题意，正确作出图形．
20．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，三角形纸片ABC的顶点在网格的格点上，直线m与AB交于点D，与AC交于点E．
(1)将三角形纸片ABC沿直线m向右翻折，点A落在点A′处，作出翻折后的图形；
(2)在（1）的基础上，若∠BDA′＝α，∠CEA′＝β，用含α和β的式子表示∠A．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）过点A作交于点O，并延长至点，使，连接，即可；
（2）设交AC于点F，由翻折可得，，根据三角形的外角得，可得，即可得．
【详解】（1）解：如图所示，过点A作交于点O，并延长至点，使，连接，即可，
（2）解：如图所示，在（1）的基础上，若∠BDA′＝α，∠CEA′＝β，设交AC于点F，
由翻折可得，，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了图形的翻折，三角形的外角，解题的关键是掌握这些知识点．
21．在平面直角坐标系xOy中，△ABC的位置如图所示，直线l经过点(0，1)，并且与x轴平行，与关于直线对称．
(1)画出三角形；
(2)的面积为_____；
(3)在直线上画出点，使得的值最小．直接写出Q点坐标（ ）．
【答案】(1)见解析
(2)3.5
(3)（2，1）
【分析】（1）利用轴对称的性质即可画出图形；
（2）利用矩形面积减去周围多余三角形的面积即可求解；
（3）连接交直线l于点Q，即可得出点Q的坐标．
【详解】（1）解：如图，△即为所求；
；
（2）解：的面积为3×3-×2×3-×2×1-×3×1=3.5；
故答案为：3.5；
（3）解：连接交直线l于点Q，此时点Q的坐标为（2，1），
故答案为：（2，1）．
【点睛】本题主要考查了作图-轴对称变换，轴对称-最短路线问题等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
22．在我们认识的多边形中，有很多轴对称图形．有些多边形，边数不同对称轴的条数也不同；有些多边形，边数相同但却有不同数目的对称轴．回答下列问题：
(1)非等边的等腰三角形有 条对称轴，等边三角形有 条对称轴；
(2)观察下列一组凸多边形（实线画出），它们的共同点是只有1条对称轴，其中图1﹣2和图1﹣3都可以看作由图1﹣1修改得到的，仿照类似的修改方式，请你在图1﹣4和图1﹣5中，分别修改图1﹣2和图1﹣3，得到一个只有1条对称轴的凸五边形，并用实线画出所得的凸五边形；
(3)小明希望构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形，于是他选择修改长方形，图2中是他没有完成的图形，请用实线帮他补完整个图形；
(4)请你画一个恰好有3条对称轴的凸六边形，并用虚线标出对称轴．
【答案】(1)1，3
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】（1）根据对称轴的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴进行求解即可；
（2）仿照题意进行设计即可；
（3）仿照题意进行设计即可；
（4）仿照题意进行设计即可．
【详解】（1）解：非等边的等腰三角形有1条对称，等边三角形有3条对称轴，
故答案为：1，3；
（2）解：恰好有1条对称轴的凸五边形如图所示
（3）解：恰好有2条对称轴的凸六边形如图所示
（4）解：恰好有3条对称轴的凸六边形如图所示
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的设计，对称轴的条数，解题的关键是熟知轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合．
23．如图，ABCD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．
(1)求证：AP平分∠CAB；
(2)若∠ACD＝114°，求∠MAB的度数．
【答案】(1)见解析
(2)33°
【分析】（1）利用全等三角形的判定和性质得出∠FAP=∠EAP，即可证明；
（2）根据ABCD，∠ACD＝114°，得出∠CAB＝66°，再根据AM是∠CAB的平分线，即可得出∠MAB的度数．
【详解】（1）证明：连接EP，FP，
根据题意得AF=AE，EP=FP，AP=AP，
∴∆APF≅∆APE，
∴∠FAP=∠EAP，
∴AP平分∠CAB；
（2）∵ABCD，
∴∠ACD+∠CAB＝180°，
又∵∠ACD＝114°，
∴∠CAB＝66°，
由（1）知，AM是∠CAB的平分线，
∴∠MAB＝∠CAB＝33°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质以及角平分线的作法，掌握两直线平行，同旁内角互补是正确解答本题的关键．
24．如图，在平面直角坐标系中，已知，点M与关于直线l成轴对称．
（1）在题图中画出直线l及线段关于直线l对称的线段；
（2）求的面积．
【答案】(1)画图见解析，(2)6．
【分析】(1)根据轴对称的性质，画的垂直平分线即可；再根据轴对称的性质画出点即可；
(2)根据三角形面积公式计算即可．
【详解】解：(1)直线l如图所示；线段关于直线l对称的线段如图所示；

(2) 的面积为：．
【点睛】本题考查了轴对称变换，解题关键是熟悉轴对称的性质，会准确画图，正确计算．
25．如图，△ABC和△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．
(1)图中点C的对应点是点 ，∠B的对应角是 ；
(2)若DE＝5，BF＝2，则CF的长为 ；
(3)若∠BAC＝108°，∠BAE＝30°，求∠EAF的度数．
【答案】(1)E，∠D
(2)3
(3)∠EAF＝39°
【分析】（1）根据△ABC和△ADE关于直线MN对称，得到图中点C的对应点是点E，∠B的对应角是∠D；
（2）根据△ABC与△ADE关于直线MN对称，得到△ABC≌△ADE，推出BC＝DE＝5，根据BF＝2，得到CF＝BC﹣BF＝3；
（3）根据∠BAC＝108°和∠BAE＝30°，推出∠CAE＝108°﹣30°＝78°，根据对称性得到∠EAF＝∠CAF，推出∠EAF＝＝39°．
【详解】（1）∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，
∴图中点C的对应点是点E，∠B的对应角是∠D；
故答案为：E，∠D．
（2）∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，
∴△ABC≌△ADE，
∴BC＝DE＝5，
∵BF＝2，
∴CF＝BC﹣BF＝3．
故答案为：3．
（3）∵∠BAC＝108°，∠BAE＝30°，
∴∠CAE＝108°﹣30°＝78°，
根据对称性知，∠EAF＝∠CAF，
∴∠EAF＝＝39°．
【点睛】本题主要考查了轴对称，解决问题的关键是熟练掌握轴对称的定义，成轴对称的两个图形的全等性．
26．如图1，△ABC中∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF相交于点G，∠BAC=50°．
(1)求∠BGC的度数；
(2)如图2，连结AG，求证：AG平分∠BAC；
(3)若△ABC的∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点H，连结AH，那么∠BHC是多少度？AH平分∠BAC吗？（直接写出结论）．
【答案】(1)115°
(2)见解析
(3)∠BHC=65°，AH平分∠BAC
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据角平分线的定义求出∠GBC+∠GCB，根据三角形内角和定理计算即可；
（2）过点G作GM⊥AB于M，GN⊥BC于N，GQ⊥AC于Q，根据角平分线定理得到GM=GN，GN=GQ，推出GM=GQ，再根据角平分线的判定定理证得即可；
（3）根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，得到外角∠CBP+∠BCL，根据角平分线的定义求出∠CBH+∠BCH，根据三角形内角和定理求出∠BHC；过点H作HP⊥AB于P，HK⊥BC于K，HL⊥AC于L，利用角平分线的性质定理及判定定理证得AH平分∠BAC．
【详解】（1）解：∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=130°，
∵BE，CF是△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠GBC=∠ABC，∠GCB=∠ACB，
∴∠GBC+∠GCB=（∠ABC+∠ACB）=65°，
∴∠BGC=180°-65°=115°；
（2）
如图，过点G作GM⊥AB于M，GN⊥BC于N，GQ⊥AC于Q，
∵BE，CF分别平分∠ABC和∠ACB，
∴GM=GN，GN=GQ，
∴GM=GQ，
∵GM⊥AB于M， GQ⊥AC于Q，
∴AG平分∠BAC；
（3）
∵∠BAC=50°，
∴∠ABC+∠ACB=130°，
∴∠CBP+∠BCL=360°-（∠ABC+∠ACB）=230°，
∵BH，CH分别平分∠ABC和∠ACB的外角，
∴∠CBH=∠CBP，∠BCH=∠BCL，
∴∠CBH+∠BCH=(∠CBP+∠BCL)=115°，
∴∠BHC=180°-115°=65°，
过点H作HP⊥AB于P，HK⊥BC于K，HL⊥AC于L，
∵BH，CH分别平分∠ABC和∠ACB的外角，
∴HP=HK，HK=HL，
∴HP=HL，
∵HP⊥AB于P， HL⊥AC于L，
∴AH平分∠BAC．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理和角平分线的定义，角平分线的判定和性质定理的应用，正确运用各性质及判定定理解决问题是解题的关键．
27．已知：如图，由边长均为1个单位的小正方形组成的网格图中，点A、点B、点C都在格点（正方形的顶点）上．
(1)的面积等于______个平方单位；
(2)以BC为边画出所有与全等的三角形；
(3)在直线l上确定点P，使的长度最短．（画出示意图，并标明点P的位置即可）
【答案】(1)3
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）利用割补法求三角形面积=长方形面积-3个三角形面积即可；
（2）以BC的垂直平分线为对称轴，作出点A的对称点A1，连结A1B、A1C，得出△A1CB使△ABC≌△A1CB，以BC所在直线为对称轴作点A的对称点A2，连结A2B、A2C，得出△A2CB使△ABC≌△A2BC，以BC中点为旋转中心，将点A绕旋转中心旋转180°，得点A3，连结A3B、A3C，得出△A3CB使△ABC≌△A3CB；
（3）作点B关于直线l的对称点B′，根据两点之间线段最短，连结AB′交直线l于P即可．
【详解】（1）解：S△ABC=2×4-
（2）根据勾股定理AB==A1C=A2B=A3C，AC==A1B=A3B=A2C
在△ABC和△A1CB中，
，
∴△ABC≌△A1CB（SSS），
在△ABC和△A2BC中，
，
∴△ABC≌△A2BC（SSS），
在△ABC和△A3CB中，
，
∴△ABC≌△A3CB（SSS），
（3）作点B关于l的对称点B′，连结AB′，交直线l于P，
∵点B关于l的对称点B′
∴PB=PB′，
∴PA+PB=PA+PB′≥AB′
当A、P、B′三点共线时最短，PA+PB最短= AB′，
【点睛】本题考查用割补法求三角形面积，利用轴对称性质，中心对称性质画网格图形，最短路径，三角形全等判定，勾股定理，掌握用割补法求三角形面积，利用轴对称性质，中心对称性质画网格图形，最短路径，三角形全等判定，勾股定理是解题关键．
28．如图，将图1的正方形纸片沿对角线剪开，得到图2的两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成图3所示的图形，使得点B（E）重合．
(1)求证：△ABD≌△CBF；
(2)猜测AD与CF的位置关系，并说明理由；
(3)若∠ABF=120°请判断△BGH的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)AD⊥CF ，理由见解析
(3)△BGH是等边三角形，理由见解析
【分析】（1）通过正方形的性质可以快速得到两个三角形全等
（2）由第一问的手拉手模型得到的三角形全等得到∠ADB=∠CFB，再通过对顶角得到∠BHF=∠PHD，最后通过互余的关系得出结论．
（3）由第一问的全等得出∠BAD=∠BFC，进而得出△ABG≌△FBH，BG=BH，求出∠GBH=60°即可得出结论．
【详解】（1）由题意，得 AB=CB=DB=FB， ∠ABC=∠DBF=90°，
∴∠ABC+∠CBD=∠DBF+∠CBD ，
∴∠ABD=∠CBF ，
∴△ABD≌△CBF．
（2）AD⊥CF ，理由： ∵△ABD≌△CBF ，
∴∠ADB=∠CFB ，又∠DBF=90°，
∴∠CFB+∠BHF=90°，
又∠BHF=∠PHD ，
∴∠ADB+∠PHD=90°，
即∠APF=90°，∴AD⊥CF．
（3）△BGH是等边三角形．
理由：∵△ABD≌△CBF ，
∴∠BAD=∠BFC ，
∵AB=FB ，∠ABG=∠FBG=90°，
∴△ABG≌△FBH ，
∴BG=BH ，
又∠GBH=360°-120°-90°-90°=60° ，
∴△BGH是等边三角形
【点睛】本题考查三角形全等中的手拉手模型的证明与运用，等边三角形的证明方法等，熟练掌握三角形全等的判定方法及等边三角形的判定方法是解题关键．