人教版八年级数学上册同步精品课堂知识清单第3课时乘法公式(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学上册同步精品课堂知识清单第3课时乘法公式(原卷版+解析)，共31页。

知识点一：平方差公式：
公式内容：
两数的和乘以两数的差等于这两数的 。
即： 。
特点分析：
式子左边是两个二项式相乘，它们其中一项 ，另一项 。
式子右边等于 的平方减去 的平方。
几何意义：
如图，将图①的蓝色部分移到
图②的位置。
图①的面积为：
图②的面积为：
图①与图②的面积相等。所以
【类型一：平方差公式的计算】
1．计算：
（1）（a+2）（a﹣2）； （2）（3a+2b）（3a﹣2b）；
（﹣x﹣1）（1﹣x）； （4）（﹣4k+3）（﹣4k﹣3）
2．计算：
（1）（2m+3n）（2m﹣3n）； （2）（﹣3a﹣b）（﹣3a+b）；
（3）（﹣4x+y）（y+4x）； （4）（x+y）（x﹣y）+（y﹣z）（y+z）﹣（x+z）（x﹣z）．
【类型二：利用平方差公式求相关式子的值】
3．已知a+b＝﹣3，a﹣b＝1，则a2﹣b2的值是（ ）
A．8B．3C．﹣3D．10
4．若a+b＝3，则a2﹣b2+6b的值为（ ）
A．3B．6C．9D．12
5．若a2﹣b2＝，a+b＝，则a﹣b的值为（ ）
A．﹣B．C．D．2
6．若x+y＝2，x2﹣y2＝4，则x﹣y的值为（ ）
A．1B．2C．3
【类型三：利用平方差公式简便运算】
7．计算：199×201＝（ ）
A．3999B．4179C．41790D．39999
8．计算20202﹣2019×2021的结果是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．﹣2
9．化简（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）的结果是（ ）
A．232﹣1B．232+1C．（216+1）2D．（216﹣1）2
【类型四：平方差公式的几何背景】
10．如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个长方形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．a2+ab＝a（a+b）
11．如图在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．a2+ab＝a（a+b）
12．【探究】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ．（用含a，b的等式表示）
【应用】请应用这个公式完成下列各题：
（1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，则2m﹣n的值为 ．
（2）计算：20192﹣2020×2018．
【拓展】
计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．
知识点一：完全平方公式：
公式内容：
两数和（或差）的平方等于这两数的平方和加（或减）这两数的积的2倍。
即： 。
其中 叫做完全平方和公式。 叫做
完全平方差公式。
特点分析
式子左边是一个 平方。前项称为 ，后项称为 。
式子右边等于 加上 ，首尾两项乘积的 放在平方两项
的中央。
巧记：首平方加尾平方，首尾两倍放中央。
提别提示：注意每一项包含前面的符号。
几何意义：
图1中面积的整体表示为：
用各部分面积之和表示为：
所以
用同样的方法表示图2的面积即可得到。
完全平方和公式与完全平方差公式的转化：
，
∵
∴
【类型一：完全平方公式的计算】
13．运用完全平方公式计算：
（1）（﹣2a+3）2； （2）（﹣3x+）2，
（﹣x2﹣4y）2； （4）（1﹣2b）2．
14．计算：
（1）（2m+3）2； （2）（﹣1.3a+2b）2；
（3）（﹣2p﹣7q）2； （4）（a﹣b）2．
【类型二：利用完全平方公式变形求式子的值】
15．已知x﹣＝4，则x2+的值为（ ）
A．6B．16C．14D．18
16．已知a2+b2＝8，a﹣b＝3，则ab的值为（ ）
A．B．3C．﹣D．5
17．已知x y＝9，x﹣y＝﹣3，则x2+3xy+y2的值为（ ）
A．27B．9C．54D．18
18．已知（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝3，求下列式子的值：
（1）a2+b2； （2）6ab．
19．已知a+b＝3，ab＝﹣4，求下列各式的值．
（1）（a﹣b）2； （2）a2﹣5ab+b2．
【类型三：完全平方公式的几何背景】
20．如图所示分割正方形，各图形面积之间的关系，验证了一个等式，这个等式是（ ）
第20题 第21题
A．（y+x）2＝y2+xy+x2B．（y+x）2＝y2+2xy+x2
C．（y+x）（y﹣x）＝y2﹣x2D．（y+x）2﹣（y﹣x）2＝4xy
21．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和16，则正方形A，B的面积之和为（ ）
A．13B．11C．19D．21
22．图1，是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2中的阴影部分的面积为 ；
（2）观察图2，三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，m n之间的等量关系是 ；
（3）若x+y＝﹣6，x y＝2.75，求x﹣y；
（4）观察图3，你能得到怎样的代数恒等式呢？
知识点一：平方差公式与完全平方公式的推广：
平方差公式的推广：
两个三项式相乘，若他们的项中只存在 的项和 的项，则可以用平方差公式计算。它等于 的平方减去 的平方。
特别提示：把相反数的所有项看成一项。
即：
完全平方公式的推广：
一个三项式的平方，可以把前两项看成首项或后两项看成尾项，然后利用完全平方公式
的计算方法计算。
即：
23．为了运用平方差公式计算（a﹣2b+c）（a+2b﹣c），下列变形中，正确的是（ ）
A．[（a+c）﹣2b][（a﹣c）+2b]B．[（a﹣2b）+c][（a+2b）﹣c]
C．[a﹣（2b+c）][a+（2b﹣c）]D．[a﹣（2b﹣c）][a+（2b﹣c）]
24．为了便于直接应用平方差公式计算，应将（a+b﹣c）（a﹣b+c）变形为（ ）
A．[（a+b）﹣c][（a﹣b）+c]B．[a+（b﹣c）][a﹣（b﹣c）]
C．[（a﹣c）+b][（a+c）﹣b]D．（a+b﹣c）[（a﹣b）+c]
一、选择题（10题）
1．下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（x+3y）（x﹣3y）B．（﹣2x+3y）（﹣2x﹣3y）
C．（x﹣2y）（2y+x）D．（2x﹣3y）（3y﹣2x）
2．下列各式中，能用完全平方公式计算的是（ ）
A．（3a﹣2b）（﹣2b﹣3a）B．（3a+2b）（﹣3a﹣2b）
C．（3a+2b）（﹣2a﹣3b）D．（3a﹣2b）（3a+2b）
3．下列计算正确的是（ ）
A．（x+y）2＝x2+y2B．（x﹣y）2＝x2﹣2xy﹣y2
C．（﹣x+y）2＝x2﹣2xy+y2D．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣2y2
4．若（3x+2y）2＝（3x﹣2y）2+A，则代数式A是（ ）
A．﹣12xyB．12xyC．24xyD．﹣24xy
5．已知x﹣y＝3，x y＝3，则（x+y）2的值为（ ）
A．24B．18C．21D．12
6．如图（1），在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分拼成一个长方形，如图（2），此过程可以验证（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab
7．为了运用平方差公式计算（x+3y﹣z）（x﹣3y+z），下列变形正确的是（ ）
A．[x﹣（3y+z）]2B．[（x﹣3y）+z][（x﹣3y）﹣z]
C．[x﹣（3y﹣z）][x+（3y﹣z）]D．[（x+3y）﹣z][（x﹣3y）+z]
8．若|x+y﹣5|+（x y﹣3）2＝0，则x2+y2的值为（ ）
A．19B．31C．27D．23
9．计算（a﹣b）（a+b）（a2+b2）（a4﹣b4）的结果是（ ）
A．a8+2a4b4+b8B．a8﹣2a4b4+b8
C．a8+b8D．a8﹣b8
10．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图甲，将A，B并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形A，B的面积之和为（ ）
A．3B．3.5C．4D．4.5
二、填空题（6题）
11．计算：799×801﹣8002＝ ．
12．计算：（a﹣b﹣c）2＝ ．
13．已知：x+＝3，则x2+＝ ．
14．若x m﹣y n＝（x+y2）（x﹣y2）（x2+y4），则m＝ ，n＝ ．
15．已知（2021﹣a）2+（a﹣2019）2＝7，则代数式（2021﹣a）（a﹣2019）的值为 ．
16．计算：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+＝ ．
三、解答题（4题）
17．已知（x+y）2＝1，（x﹣y）2＝49，求x2+y2与x y的值．
18．如图，AB＝a，P是线段AB上一点，分别以AP，PB为边作正方形．
（1）设AP＝x，求两个正方形的面积和S．
（2）当AP分别为和时，比较S的大小．
19．回答下列问题
（1）填空：x2+＝（x+）2﹣ ＝（x﹣）2+
（2）若a+＝5，则a2+＝ ；
（3）若a2﹣3a+1＝0，求a2+的值．
20．【阅读材料】
我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．
在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．
【理解应用】
（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式；
【拓展升华】
（2）利用（1）中的等式解决下列问题．
①已知a2+b2＝20，a+b＝6，求ab的值；
②已知（2021﹣c）（c﹣2019）＝1，求：
（2021﹣c）2+（c﹣2019）2的值．
第三课时——乘法公式（答案卷）
知识点一：平方差公式：
公式内容：
两数的和乘以两数的差等于这两数的 平方差 。
即： 。
特点分析：
式子左边是两个二项式相乘，它们其中一项 相同 ，另一项 互为相反数 。
式子右边等于 相同项 的平方减去 相反数项 的平方。
几何意义：
如图，将图①的蓝色部分移到
图②的位置。
图①的面积为：
图②的面积为：
图①与图②的面积相等。所以
【类型一：平方差公式的计算】
1．计算：
（1）（a+2）（a﹣2）； （2）（3a+2b）（3a﹣2b）；
（3）（﹣x﹣1）（1﹣x）； （4）（﹣4k+3）（﹣4k﹣3）
【分析】根据平方差公式计算即可．
【解答】解：（1）原式＝a2﹣22＝a2﹣4；
（2）原式＝（3a）2﹣（2b）2＝9a2﹣4b2；
（3）原式＝（﹣x）2﹣12＝x2﹣1；
（4）原式＝（﹣4k）2﹣32＝16k2﹣9．
2．计算：
（1）（2m+3n）（2m﹣3n）； （2）（﹣3a﹣b）（﹣3a+b）；
（3）（﹣4x+y）（y+4x）； （4）（x+y）（x﹣y）+（y﹣z）（y+z）﹣（x+z）（x﹣z）．
【分析】（1）根据平方差公式进行计算即可；
（2）根据平方差公式进行计算即可；
（3）先适当变形，再根据平方差公式进行计算即可；
（4）先根据平方差公式进行计算，再合并同类项即可．
【解答】解：（1）原式＝4m2﹣9n2；
（2）原式＝（﹣3a）2﹣（b）2
＝9a2﹣b2；
（3）原式＝（﹣y）2﹣x2
＝y2﹣x2；
（4）原式＝（y﹣4x）（y+4x）
＝y2﹣（4x）2
＝y2﹣16x2；
（4）原式＝x2﹣y2+y2﹣z2﹣x2+z2
＝0．
【类型二：利用平方差公式求相关式子的值】
3．已知a+b＝﹣3，a﹣b＝1，则a2﹣b2的值是（ ）
A．8B．3C．﹣3D．10
【分析】根据平方差公式解答即可．
【解答】解：∵a+b＝﹣3，a﹣b＝1，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝（﹣3）×1＝﹣3．
故选：C．
4．若a+b＝3，则a2﹣b2+6b的值为（ ）
A．3B．6C．9D．12
【分析】将所求的代数式变形处理，将已知条件整体代入即可．
【解答】解：∵a+b＝3，
∴a2﹣b2+6b
＝（a+b）（a﹣b）+6b
＝3a﹣3b+6b
＝3（a+b）
＝3×3
＝9．
故选：C．
5．若a2﹣b2＝，a+b＝，则a﹣b的值为（ ）
A．﹣B．C．D．2
【分析】先利用平方差公式，再整体代入求值．
【解答】解：∵（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
∴×（a﹣b）＝，
∴a﹣b＝．
故选：B．
6．若x+y＝2，x2﹣y2＝4，则x﹣y的值为（ ）
A．1B．2C．3
【分析】根据平方差公式可得x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝4，然后把x+y＝2代入即可求解．
【解答】解：∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝4，
∴2（x﹣y）＝4，
∴x﹣y＝2．
故选：B．
【类型三：利用平方差公式简便运算】
7．计算：199×201＝（ ）
A．3999B．4179C．41790D．39999
【分析】首先把199、201分别化成200﹣1、200+1，然后应用平方差公式，求出算式的值即可．
【解答】解：199×201
＝（200﹣1）×（200+1）
＝2002﹣12
＝40000﹣1
＝39999．
故选：D．
8．计算20202﹣2019×2021的结果是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．﹣2
【分析】先变形得到20202﹣2019×2021＝20202﹣（2020﹣1）（2020+1），然后利用平方差公式计算．
【解答】解：20202﹣2019×2021＝20202﹣（2020﹣1）（2020+1）
＝20202﹣（20202﹣1）
＝20202﹣20202+1
＝1．
故选：C．
9．化简（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）的结果是（ ）
A．232﹣1B．232+1C．（216+1）2D．（216﹣1）2
【分析】添一个（2﹣1），从而和（2+1）凑成平方差，然后再进行计算即可．
【解答】解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）
＝（28﹣1）（28+1）（216+1）
＝（216﹣1）（216+1）
＝232﹣1，
故选：A．
【类型四：平方差公式的几何背景】
10．如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个长方形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．a2+ab＝a（a+b）
【分析】分别计算这两个图形阴影部分面积，根据面积相等即可得到．
【解答】解：第一个图形的阴影部分的面积＝a2﹣b2；
第二个图形是长方形，则面积＝（a+b）（a﹣b）．
则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：C．
11．如图在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．a2+ab＝a（a+b）
【分析】第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是a的正方形的面积减去边长是b的小正方形的面积，等于a2﹣b2；第二个图形阴影部分是一个长是（a+b），宽是（a﹣b）的长方形，面积是（a+b）（a﹣b）；这两个图形的阴影部分的面积相等．
【解答】解：∵图中阴影部分的面积＝a2﹣b2，图中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），
而两个图形中阴影部分的面积相等，
∴阴影部分的面积＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：A．
12．【探究】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ．（用含a，b的等式表示）
【应用】请应用这个公式完成下列各题：
（1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，则2m﹣n的值为 ．
（2）计算：20192﹣2020×2018．
【拓展】
计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．
【分析】【探究】将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可；
【应用】
（1）利用平方差公式得出（2m+n）•（2m+n）＝4m2﹣n2，代入求值即可；
（2）可将2020×2018写成（2019+1）×（2019﹣1），再利用平方差公式求值；
【拓展】利用平方差公式将1002﹣992写成（100+99）×（100﹣99），以此类推，然后化简求值．
【解答】解：
【探究】图1中阴影部分面积a2﹣b2，图2中阴影部分面积（a+b）（a﹣b），
所以，得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
故答案为（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
【应用】
（1）由4m2＝12+n2得，4m2﹣n2＝12，
∵（2m+n）•（2m﹣n）＝4m2﹣n2，
∴2m﹣n＝3．
故答案为3．
（2）20192﹣2020×2018
＝20192﹣（2019+1）×（2019﹣1）
＝20192﹣（20192﹣1）
＝20192﹣20192+1
＝1；
【拓展】
1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12
＝（100+99）×（100﹣99）+（98+97）×（98﹣97）+…+（4+3）×（4﹣3）+（2+1）×（2﹣1）
＝199+195+…+7+3
＝5050．
知识点一：完全平方公式：
公式内容：
两数和（或差）的平方等于这两数的平方和加（或减）这两数的积的2倍。
即： 。
其中 叫做完全平方和公式。 叫做
完全平方差公式。
特点分析
式子左边是一个 二项式 平方。前项称为 首项 ，后项称为 尾项 。
式子右边等于 首项平方 加上 尾项平方 ，首尾两项乘积的 2倍 放在平方两项
的中央。
巧记：首平方加尾平方，首尾两倍放中央。
提别提示：注意每一项包含前面的符号。
几何意义：
图1中面积的整体表示为：
用各部分面积之和表示为：
所以
用同样的方法表示图2的面积即可得到。
完全平方和公式与完全平方差公式的转化：
，
∵
∴
【类型一：完全平方公式的计算】
13．运用完全平方公式计算：
（1）（﹣2a+3）2； （2）（﹣3x+）2，
（3）（﹣x2﹣4y）2； （4）（1﹣2b）2．
【分析】（1）利用完全平方公式得到原式＝（﹣2a）2+2×（﹣2a）×3+32，然后整理即可；
（2）利用完全平方公式得到原式＝（﹣3x）2+2×（﹣3x）×+（）2，然后整理即可；
（3）利用完全平方公式得到原式＝（﹣x2）2+2×（﹣x2）×（﹣4y）+（﹣4y）2，然后整理即可；
（4）直接利用完全平方公式计算．
【解答】解：（1）原式＝（﹣2a）2+2×（﹣2a）×3+32
＝4a2﹣12a+9；
（2）原式＝（﹣3x）2+2×（﹣3x）×+（）2
＝9x2﹣3x+；
（3）原式＝（﹣x2）2+2×（﹣x2）×（﹣4y）+（﹣4y）2
＝x4+8x2y+16y2；
（4）原式＝1﹣4b+4b2．
14．计算：
（1）（2m+3）2； （2）（﹣1.3a+2b）2；
（3）（﹣2p﹣7q）2； （4）（a﹣b）2．
【分析】利用完全平方公式计算各题．
【解答】解：（1）原式＝4m2+12m+9；
（2）原式＝（﹣1.3a）2+2×（﹣1.3a）×2b+4b2
＝1.69a2﹣5.2ab+4b2；
（3）原式＝（﹣2p）2﹣2×（﹣2p）×（﹣7q）+（﹣7q）2
＝4p2+28pq+49q2；
（4）原式＝a2﹣ab+b2．
【类型二：利用完全平方公式变形求式子的值】
15．已知x﹣＝4，则x2+的值为（ ）
A．6B．16C．14D．18
【分析】根据完全平方公式可得x2﹣2×x×+＝16，然后变形可得答案．
【解答】解：∵x﹣＝4，
∴x2﹣2×x×+＝16，
x2+＝18，
故选：D．
16．已知a2+b2＝8，a﹣b＝3，则ab的值为（ ）
A．B．3C．﹣D．5
【分析】将a﹣b＝3两边平方，利用完全平方公式化简，把a2+b2＝8代入计算即可求出ab的值．
【解答】解：将a﹣b＝3两边平方得：（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝9，
把a2+b2＝8代入得：8﹣2ab＝9，即ab＝﹣，
故选：C．
17．已知x y＝9，x﹣y＝﹣3，则x2+3xy+y2的值为（ ）
A．27B．9C．54D．18
【分析】把x﹣y＝﹣3两边平方后得到x2﹣2xy+y2＝9，再把代数式变形后，代入数据即可求值．
【解答】解：∵x﹣y＝﹣3，
∴（x﹣y）2＝9，
即x2﹣2xy+y2＝9，
∴x2+3xy+y2＝x2﹣2xy+y2+5xy＝9+45＝54．
故选：C．
18．已知（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝3，求下列式子的值：
（1）a2+b2； （2）6ab．
【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式展开，进而求出a2+b2的值；
（2）直接利用（1）中所求，进而得出ab的值，求出答案即可．
【解答】解：（1）∵（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝3，
∴a2+2ab+b2＝5，a2﹣2ab+b2＝3，
∴2（a2+b2）＝8，
解得：a2+b2＝4；
（2）∵a2+b2＝4，
∴4+2ab＝5，
解得：ab＝，
∴6ab＝3．
19．已知a+b＝3，ab＝﹣4，求下列各式的值．
（1）（a﹣b）2； （2）a2﹣5ab+b2．
【分析】（1）利用完全平方差公式求解．
（2）先配方，再求值．
【解答】解；（1）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab
＝32﹣4×（﹣4）
＝25．
（2）a2﹣5ab+b2＝a2+2ab+b2﹣7ab
＝（a+b）2﹣7ab
＝9﹣（﹣28）
＝37．
【类型三：完全平方公式的几何背景】
20．如图所示分割正方形，各图形面积之间的关系，验证了一个等式，这个等式是（ ）
A．（y+x）2＝y2+xy+x2B．（y+x）2＝y2+2xy+x2
C．（y+x）（y﹣x）＝y2﹣x2D．（y+x）2﹣（y﹣x）2＝4xy
【分析】此图形中，一个大正方形的面积﹣小正方形的面积＝四个矩形的面积．
【解答】解：如图，大正方形的面积＝（y+x）2，
小正方形的面积＝（y﹣x）2，
四个长方形的面积＝4xy，
则由图形知，大正方形的面积﹣小正方形的面积＝四个矩形的面积，即（y+x）2﹣（y﹣x）2＝4xy．
故选：D．
21．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和16，则正方形A，B的面积之和为（ ）
A．13B．11C．19D．21
【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图形得出关系式求解即可．
【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
由图甲得（a﹣b）2＝3即a2+b2﹣2ab＝3，
由图乙得（a+b）2﹣a2﹣b2＝16，2ab＝16，
所以a2+b2＝19，
故选：C．
22．图1，是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2中的阴影部分的面积为 ；
（2）观察图2，三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，m n之间的等量关系是 ；
（3）若x+y＝﹣6，x y＝2.75，求x﹣y；
（4）观察图3，你能得到怎样的代数恒等式呢？
【分析】（1）表示出阴影部分的边长，即可得出其面积；
（2）大正方形的面积减去矩形的面积即可得出阴影部分的面积，也可得出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关系．
（3）根据（2）所得出的关系式，可求出（x﹣y）2，继而可得出x﹣y的值．
（4）利用两种不同的方法表示出大矩形的面积即可得出等式．
【解答】解：（1）图②中的阴影部分的面积为（m﹣n）2，
故答案为：（m﹣n）2；
（2）（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2，
故答案为：（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；
（3）（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝25，
则x﹣y＝±5；
（4）（2m+n）（m+n）＝2m（m+n）+n（m+n）＝2m2+3mn+n2．
知识点一：平方差公式与完全平方公式的推广：
平方差公式的推广：
两个三项式相乘，若他们的项中只存在 相等 的项和 互为相反数 的项，则可以用平方差公式计算。它等于 相等项 的平方减去 相反数项 的平方。
特别提示：把相反数的所有项看成一项。
即：
完全平方公式的推广：
一个三项式的平方，可以把前两项看成首项或后两项看成尾项，然后利用完全平方公式
的计算方法计算。
即：
23．为了运用平方差公式计算（a﹣2b+c）（a+2b﹣c），下列变形中，正确的是（ ）
A．[（a+c）﹣2b][（a﹣c）+2b]B．[（a﹣2b）+c][（a+2b）﹣c]
C．[a﹣（2b+c）][a+（2b﹣c）]D．[a﹣（2b﹣c）][a+（2b﹣c）]
【分析】根据平方差公式进行分组即可．
【解答】解：（a﹣2b+c）（a+2b﹣c）
＝[a﹣（2b﹣c）][a+（2b﹣c）]，
故选：D．
24．为了便于直接应用平方差公式计算，应将（a+b﹣c）（a﹣b+c）变形为（ ）
A．[（a+b）﹣c][（a﹣b）+c]B．[a+（b﹣c）][a﹣（b﹣c）]
C．[（a﹣c）+b][（a+c）﹣b]D．（a+b﹣c）[（a﹣b）+c]
【分析】完全相同的项是a，互为相反项的是b，﹣b和﹣c，c．
【解答】解：（a+b﹣c）（a﹣b+c）
＝[a+（b﹣c）][a﹣（b﹣c）]，
故选：B．
一、选择题（10题）
1．下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（x+3y）（x﹣3y）B．（﹣2x+3y）（﹣2x﹣3y）
C．（x﹣2y）（2y+x）D．（2x﹣3y）（3y﹣2x）
【分析】根据平方差公式的特点逐个判断即可．
【解答】解：A、能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
B、能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
C、能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
D、不能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意；
故选：D．
2．下列各式中，能用完全平方公式计算的是（ ）
A．（3a﹣2b）（﹣2b﹣3a）B．（3a+2b）（﹣3a﹣2b）
C．（3a+2b）（﹣2a﹣3b）D．（3a﹣2b）（3a+2b）
【分析】先把各式变形，然后根据完全平方公式对各选项进行判断．
【解答】解：A、原式＝﹣（3a﹣2b）（3a+2b）＝﹣（9a2﹣4b2）＝﹣9a2+4b2，所以A选项错误；
B、原式＝﹣（3a+2b）2＝﹣9a2﹣12ab﹣4b2，所以B选项正确；
C、原式＝﹣（3a+2b）（2a+3b），不能使用完全平方公式，所以C选项错误；
D、原式＝9a2﹣4b2，所以D选项错误．
故选：B．
3．下列计算正确的是（ ）
A．（x+y）2＝x2+y2B．（x﹣y）2＝x2﹣2xy﹣y2
C．（﹣x+y）2＝x2﹣2xy+y2D．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣2y2
【分析】原式各项利用完全平方公式及平方差公式计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、（x+y）2＝x2+2xy+y2，故选项错误；
B、（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，故选项错误；
C、（﹣x+y）2＝x2﹣2xy+y2，故选项正确；
D、（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2，故选项错误．
故选：C．
4．若（3x+2y）2＝（3x﹣2y）2+A，则代数式A是（ ）
A．﹣12xyB．12xyC．24xyD．﹣24xy
【分析】表示出A，再利用完全平方公式展开计算即可得解．
【解答】解：∵（3x+2y）2＝（3x﹣2y）2+A，
∴A＝（3x+2y）2﹣（3x﹣2y）2
＝9x2+12xy+4y2﹣9x2+12xy﹣4y2
＝24xy．
故选：C．
5．已知x﹣y＝3，x y＝3，则（x+y）2的值为（ ）
A．24B．18C．21D．12
【分析】先根据完全平方公式进行变形得出（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy，再求出答案即可．
【解答】解：∵x﹣y＝3，xy＝3，
∴（x+y）2
＝（x﹣y）2+4xy
＝32+4×3
＝21，
故选：C．
6．如图（1），在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分拼成一个长方形，如图（2），此过程可以验证（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab
【分析】分别表示图（1）和图（2）中阴影部分的面积即可得出答案．
【解答】解：图（1）中阴影部分的面积为：a2﹣b2，
图（2）中阴影部分的面积为（a+b）（a﹣b），
因此有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：C．
7．为了运用平方差公式计算（x+3y﹣z）（x﹣3y+z），下列变形正确的是（ ）
A．[x﹣（3y+z）]2B．[（x﹣3y）+z][（x﹣3y）﹣z]
C．[x﹣（3y﹣z）][x+（3y﹣z）]D．[（x+3y）﹣z][（x﹣3y）+z]
【分析】原式利用平方差公式的结构特征变形即可．
【解答】解：运用平方差公式计算（x+3y﹣z）（x﹣3y+z），
应变形为[x+（3y﹣z）][x﹣（3y﹣z）]，
故选：C．
8．若|x+y﹣5|+（x y﹣3）2＝0，则x2+y2的值为（ ）
A．19B．31C．27D．23
【分析】根据非负数的性质可得x+y﹣5＝0，xy﹣3＝0，整理后再利用完全平方公式展开并整理即可得解．
【解答】解：根据题意得，x+y﹣5＝0，xy﹣3＝0，
∴x+y＝5，xy＝3，
∵（x+y）2＝x2+2xy+y2＝25，
∴x2+y2＝25﹣2×3＝25﹣6＝19．
故选：A．
9．计算（a﹣b）（a+b）（a2+b2）（a4﹣b4）的结果是（ ）
A．a8+2a4b4+b8B．a8﹣2a4b4+b8
C．a8+b8D．a8﹣b8
【分析】这几个式子中，先把前两个式子相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．相乘时符合平方差公式得到a2﹣b2，再把这个式子与a2+b2相乘又符合平方差公式，得到a4﹣b4，与最后一个因式相乘，可以用完全平方公式计算．
【解答】解：（a﹣b）（a+b）（a2+b2）（a4﹣b4），
＝（a2﹣b2）（a2+b2）（a4﹣b4），
＝（a4﹣b4）2，
＝a8﹣2a4b4+b8．
故选：B．
10．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图甲，将A，B并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形A，B的面积之和为（ ）
A．3B．3.5C．4D．4.5
【分析】设正方形A、B的边长，分别表示甲、乙图中的阴影面积，再变形可得答案；
【解答】解：设A的边长为x，B的边长为y，
由甲、乙阴影面积分别是、可列方程组，
将②化简得2xy＝③，
由①得，将③代入可知x2+y2＝3.5．
故选：B．
二、填空题（6题）
11．计算：799×801﹣8002＝ ．
【分析】先变形，再根据平方差公式进行计算，最后求出答案即可．
【解答】解：799×801﹣8002
＝（800﹣1）×（800+1）﹣8002
＝8002﹣1﹣8002
＝﹣1，
故答案为：﹣1．
12．计算：（a﹣b﹣c）2＝ ．
【分析】把原式变成[（a﹣b）﹣c]2，根据完全平方公式展开（a﹣b）2﹣2（a﹣b）c+c2，再根据完全平方公式求出即可．
【解答】解：原式＝[（a﹣b）﹣c]2
＝（a﹣b）2﹣2（a﹣b）c+c2
＝a2﹣2ab+b2﹣2ac+2bc+c2
＝a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac+2bc．
故答案为：a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac+2bc．
13．已知：x+＝3，则x2+＝ ．
【分析】根据完全平方公式解答即可．
【解答】解：∵x+＝3，
∴（x+）2＝x2+2+＝9，
∴x2+＝7，
故答案为：7．
14．若x m﹣y n＝（x+y2）（x﹣y2）（x2+y4），则m＝ ，n＝ ．
【分析】根据平方差公式，即可解答．
【解答】解：（x+y2）（x﹣y2）（x2+y4）
＝（x2﹣y4）（x2+y4）
＝（x4﹣y8），
则m＝4，n＝8，
故答案为：4，8．
15．已知（2021﹣a）2+（a﹣2019）2＝7，则代数式（2021﹣a）（a﹣2019）的值为 ．
【分析】先根据完全平方公式得出（2021﹣a）2+（a﹣2019）2＝[(2021﹣a)+(a﹣2019)]2﹣2(2021﹣a)(a﹣2019)＝7，再求出答案即可．
【解答】解：∵（2021﹣a）2+（a﹣2019）2＝7，
∴[(2021﹣a)+(a﹣2019)]2﹣2(2021﹣a)(a﹣2019)＝7，
∴22﹣2（2021﹣a）（a﹣2019）＝7，
∴2（2021﹣a）（a﹣2019）＝﹣3，
∴（2021﹣a）（a﹣2019）＝﹣，
故答案为：﹣．
16．计算：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+＝ ．
【分析】本题是平方差公式的应用，把多项式：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+转化为（5﹣1）（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+＝（532﹣1）+的形式，然后再利用平方差公式计算（516•2﹣1）+＝．
【解答】解：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+，
＝（5﹣1）（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+，
＝（532﹣1）+，
＝．
三、解答题（4题）
17．已知（x+y）2＝1，（x﹣y）2＝49，求x2+y2与x y的值．
【分析】已知等式利用完全平方公式化简，相加减即可求出所求式子的值．
【解答】解：∵（x+y）2＝x2+y2+2xy＝1①，（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝49②，
∴①+②得：2（x2+y2）＝50，即x2+y2＝25；
①﹣②得：4xy＝﹣48，即xy＝﹣12．
18．如图，AB＝a，P是线段AB上一点，分别以AP，PB为边作正方形．
（1）设AP＝x，求两个正方形的面积和S．
（2）当AP分别为和时，比较S的大小．
【分析】（1）根据AP＝x，得出BP的长度，即可得出S的表达式，然后运用完全平方公式、合并同类项即可推出最后结果；
（2）根据（1）得出的式子，可推出S关于a的表达式，然后，通过乘法运算，合并同类项即可推出最后结果，然后进行比较大小即可得出答案．
【解答】解：（1）S＝x2+（a﹣x）2
＝x2+a2﹣2ax+x2
＝2x2+a2﹣2ax；
（2）当AP＝时，
S＝（a）2+（a﹣a）2＝a2+a2＝a2；
当AP＝a时，
S＝（a）2+（a﹣a）2＝a2+a2＝a2；
则AP为时S大．
19．回答下列问题
（1）填空：x2+＝（x+）2﹣ ＝（x﹣）2+
（2）若a+＝5，则a2+＝ ；
（3）若a2﹣3a+1＝0，求a2+的值．
【分析】（1）根据完全平方公式进行解答即可；
（2）根据完全平方公式进行解答；
（3）先根据a2﹣3a+1＝0求出a+＝3，然后根据完全平方公式求解即可．
【解答】解：（1）2、2．
（2）23．
（3）∵a＝0时方程不成立，
∴a≠0，
∵a2﹣3a+1＝0
两边同除a得：a﹣3+＝0，
移项得：a+＝3，
∴a2+＝（a+）2﹣2＝7．
20．【阅读材料】
我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．
在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．
【理解应用】
（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式；
【拓展升华】
（2）利用（1）中的等式解决下列问题．
①已知a2+b2＝20，a+b＝6，求ab的值；
②已知（2021﹣c）（c﹣2019）＝1，求：
（2021﹣c）2+（c﹣2019）2的值．
【分析】（1）图2中，阴影部分的面积为两个正方形的面积和，即为x2+y2，从另外一个角度，也可以是大正方形的面积减去两个“丙”图片的面积，即＝（x+y）2﹣2xy，可得等式；
（2）①将（a+b）2＝a2+b2+2ab，进行变形为ab＝，再整体代入即可；
②利用完全平方公式，进行变形可求答案．
【解答】解：（1）x2+y2＝（x+y）2﹣2xy．
（2）①由题意得：，
把a2+b2＝20，a+b＝6代入上式得，．
②由题意得：（2021﹣c）2+（c﹣2019）2＝（2021﹣c+c﹣2019）2﹣2（2021﹣c）（c﹣2019）＝22﹣2×1＝2．