沪教版九年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷特训09解直角三角形在二次函数中的应用(原卷版+解析)

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1．已知顶点为的抛物线经过点，与轴交于、两点（点在点的左侧）．
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)联结，求的正切值；
(3)点在的延长线上，如果，求点的坐标．
2．如图，在直角坐标系中，抛物线过 ，顶点为，
，与轴交于 两点（ 在 左侧），对称轴交 轴为，联结．
(1)求抛物线的解析式，并求出的坐标；
(2)若对称轴交于点，延长交于点，求 的值；
(3)点为抛物线上的一点，过作于点，若，请求出 的坐标．
3．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段交于点E，与x轴交于点F，连接，，已知．
(1)求m的值；
(2)求的正切值；
(3)若点P在线段上，且，请直接写出点P的坐标．
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴相交于原点O和点，点在抛物线上．
(1)求抛物线的表达式，并写出它的对称轴；
(2)求的值；
(3)点D在抛物线上，如果，求点D的坐标．
5．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴的正半轴交于点，点在线段上，且，联结，将线段绕着点顺时针旋转，得到线段，过点作直线轴，垂足为，交抛物线于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)联结DF，求ctEDF的值；
(3)点P在直线l上，且∠EDP=45°，求点P的坐标．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像经过点A（0，－3）、B（1，0）、C（3，0），联结AB、AC．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)点D在线段AC上，联结BD，若SABD∶SBCD＝3∶2，求tan∠DBC的值；
(3)点E在该二次函数图像的对称轴上，当AC平分∠BAE时，求点E的坐标．
7．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+bx+c经过点A（-2，0）．与点C（0，4）．与x轴的正半轴交于点B．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如果D是抛物线上一点，AD与线段BC相交于点E，且AD将四边形ABDC分成面积相等的两部分，求的值；
(3)如果P是x轴上一点，∠PCB=∠ACO，求∠PCO的正切值．
8．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点A（4，0），顶点为H（2，4），对称轴l与x轴交于点B，点C、P是抛物线上的点，且都在第一象限内．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当点C位于对称轴左侧，∠CHB＝∠CAO，求点C的坐标；
(3)在（2）的条件下，已知点P位于对称轴的右侧，过点P作PQCH，交对称轴l于点Q，且，求直线PQ的表达式．
9．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B．抛物线经过点A、B顶点为C．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)将抛物线沿y轴向上平移，平移后所得新抛物线顶点为D，如果，求平移的距离；
(3)设抛物线上点M的横坐标为m，将抛物线向左平移3个单位，如果点M的对应点Q落在内，求m的取值范围．
10．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点点在轴的正半轴上，与轴交于点，已知．
(1)求顶点和点的坐标；
(2)将抛物线向右平移个单位，得到的新抛物线与轴交于点，求点的坐标和的面积；
(3)如果点在原抛物线的对称轴上，当与相似时，求点的坐标．
11．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于、两点，抛物线经过点和点，且其顶点为，点为抛物线与轴的另一个交点
(1)求抛物线的表达式；
(2)求的正切值；
(3)点在抛物线上，若，求点的坐标．
(4)连接，延长交轴于点，点是直线上的动点，如果与是相似三角形，求点的坐标．
12．已知直线经过点，两点，抛物线与已知直线交于、两点（点在点的右侧），顶点为．
(1)求直线的表达式；
(2)若抛物线的顶点不在第一象限，求的取值范围；
(3)若直线与直线所成夹角的余切值等于3，求抛物线的表达式．
13．如图，已知直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点．
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)直线x＝t与该抛物线交于点C，与线段AB交于点D（点D与点A、B不重合），与x轴交于点E，联结AC、BC．
①当＝时，求t的值；
②当CD平分∠ACB时，求ABC的面积．
14．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过x轴上的点和点B（点A在点B左侧）及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为，顶点为D，对称轴与x轴交于点Q．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接．若点P为直线上方抛物线上一动点，过点P作 轴交于点E，作于点F，过点B作交y轴于点G．点H，K分别在对称轴和y轴上运动，连接．
①求的周长为最大值时点P的坐标；
②在①的条件下，求的最小值及点H的坐标．
15．如图，抛物线与轴相交于两点，与轴交于点，顶点为，抛物线的对称轴与BC相交于点E,与x轴相交于点F.
（1）求线段的长．
（2）联结，若点G在抛物线的对称轴上，且与相似，请直接写出点G的坐标．
（3）设点P为x轴上的一点，且时，求点P的坐标.
16．如果抛物线与的顶点关于原点对称，则称它们是关联抛物线．已知经过点（4，9）且与y轴交于点C（0，5），对称轴为直线．
（1）求抛物线的关联抛物线的解析式；
（2）记抛物线与x轴交点为A、B（A在B左侧），与y轴交于点E，顶点坐标为F，求的值；
（3）在的对称轴上找一点G，使，求点G的坐标．
17．已知：经过点，．
(1)求函数解析式；
(2)平移抛物线使得新顶点为（m＞0）．
①倘若，且在的右侧，两抛物线都上升，求的取值范围；
②在原抛物线上，新抛物线与轴交于，时，求点坐标．
18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，它的对称轴与轴相交于点．
（1）求点的坐标；
（2）如果直线与此抛物线的对称轴交于点、与抛物线在对称轴右侧交于点，且，求此抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，若为抛物线上一点，且，直接写出点坐标．
19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴相交点A（-1，0）和点B（3，0），与y轴相交于点C，抛物线的顶点为点D，对称轴交x轴于点E，点Q为线段DE上一点，联结AC．
(1)求这条抛物线的表达式及对称轴；
(2)当∠ACO=∠QOE时，求的值；
(3)当∠ACO=∠QOC时，判断四边形ACQO的形状；
(4)（附加题）当∠ACO=∠AQE时，求∠BQE的余切值；
(5)（附加题）当∠ACO=∠CBQ时，判断△BCQ的形状．
特训09 解直角三角形在二次函数中的应用
一、解答题
1．已知顶点为的抛物线经过点，与轴交于、两点（点在点的左侧）．
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)联结，求的正切值；
(3)点在的延长线上，如果，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设抛物线解析式为，把代入解析式，确定a值即可．
（2）设直线与x轴的交点为点F，且设直线的解析式为，把，代入解析式，确定F的坐标，过点F作于点G，根据得到等腰直角三角形，根据勾股定理，确定，，计算．根据正切的定义计算即可．
（3）过点M作于点N，则，从而得到，得到等腰直角三角形，得到，，结合已知和外角性质，得到，得证，从而证明，列比例式，求得，代入计算出，计算即可确定坐标．
【解析】（1）因为顶点为的抛物线经过点，
设抛物线解析式为，
把代入解析式，
得，
解得a=1，
所以抛物线的解析式为即．
（2）设直线与x轴的交点为点F，且设直线的解析式为，把，代入解析式，得，
解得，
所以直线解析式为，
所以F的坐标为，
因为，
所以，
解得，
所以点，
所以，
所以，
过点F作于点G，
所以等腰直角三角形，且，
所以，
根据勾股定理，得，
所以．
根据正切的定义．
（3）过点M作于点N，则，
所以，
所以等腰直角三角形，，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
解得（舍去），
所以，
因为点P在x轴的负半轴上，
所以点．
【点睛】本题考查了抛物线的解析式，对称性，三角形相似的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，一次函数的解析式，抛物线、一次函数与x轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法，三角形相似的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
2．如图，在直角坐标系中，抛物线过 ，顶点为，
，与轴交于 两点（ 在 左侧），对称轴交 轴为，联结．
(1)求抛物线的解析式，并求出的坐标；
(2)若对称轴交于点，延长交于点，求 的值；
(3)点为抛物线上的一点，过作于点，若，请求出 的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据二次函数的顶点坐标的关系即可求解；
（2）构造直角三角形，将放在直角三角形中，利用锐角三角形函数的关系即可求解；
（3）分类讨论，根据动点请运动情况分为四种情况，图形结合分析（具体过程见详解），即可求出答案．
（1）
解：∵抛物线过 ，顶点为，，
∴ ，，
∵P为顶点，
∴，
∵，
∴，，
∴，入抛物线得：，
故答案是：；．
（2）
解：根据（1）得，画图如下，
抛物线与轴的两个交点坐标分别是，，
∵直线过点，
∴直线的解析式是：，
∵对称轴交于点，
∴，且，
∴直线 的解析式是：，直线 的解析式是：，
联立解得：，
∴，过作于，过作于，如图所示，
∵，， 是等腰三角形，
∴，且，
∴，且，
∴在中，，
∴，
故答案是：．
（3）
解：如图所示，过点作交延长线于，过点作于点，作 轴于点，
∵点 在抛物线上，点 在直线上，
∴设，则，
∵ ， 轴，
∴，，即 是等腰直角三角形， ，
∴，点 是 边上的中点，即 ，
∴，即，
∴可知 的纵坐标是 ，根据得，，
∵ 轴，且
∴，且，
在 中， ，
在 中， ，
∵，
设 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，，，
∴ ，解方程得，
，，
当时，如下图所示，
点 ， ， 三点重合，不符合题意，
∴要舍去；
当时，如下图所示，
不符合题意，
∴要舍去；
当时，如下图所示，
不符合题意，
∴要舍去，
当时，如下图所示，
∴设，则，
∵ ， 轴，
∴，，即 是等腰直角三角形， ，
∴，点 是 边上的中点，即 ，
∴，即，
∴可知 的纵坐标是 ，根据得，，
∵ 轴，且
∴，且，
在 中， ，
在 中， ，
∵，
设 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，，，
∴ ，解方程得，
（舍去） ，（舍去），即，不存在；
综上所述，，
∴点的纵坐标是， ，即，
故答案是：．
【点睛】本题主要考查动点在二次函数中的几何变换，解题的关键是图形结合分析题意，对二次函数图像的性质，一次函数图形的性质，直角三角形中锐角三角形函数的理解和掌握．
3．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段交于点E，与x轴交于点F，连接，，已知．
(1)求m的值；
(2)求的正切值；
(3)若点P在线段上，且，请直接写出点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由题意易得点，则有，即，然后代入函数解析式进行求解即可；
（2）连接，由（1）可知二次函数解析式为，则有，然后可得，进而问题可求解；
（3）分别过点P作于点G，过点F作于点H，由（1）（2）可知，，然后可得，，进而根据解直角三角形可进行求解．
【解析】（1）解：由题意可令，代入二次函数得：，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
解得：，
（2）解：连接，如图所示：
由（1）可知二次函数解析式为，
∴顶点，
当时，则，
解得：，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∴是直角三角形，即，
∴；
（3）解：分别过点P作于点G，过点F作于点H，如图所示：
由（1）（2）可知，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查二次函数与几何的综合及解直角三角形，熟练掌握二次函数的性质及三角函数是解题的关键．
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴相交于原点O和点，点在抛物线上．
(1)求抛物线的表达式，并写出它的对称轴；
(2)求的值；
(3)点D在抛物线上，如果，求点D的坐标．
【答案】(1)，直线
(2)3
(3)或
【分析】（1）将点O (0，0)和点代入抛物线解析式，即可求出m和k的值，即得出其表达式，再根据其性质即可直接得出对称轴；
（2）过点A作轴于点C，由（1）所求表达式可求出A点坐标，即得出AC和OC的长，进而可求出BC的长，再根据正切的定义即可求出；
（3）由（2）可求．又易证，即得出．分类讨论：①当点D在x轴上方时，设抛物线对称轴与x轴交于点F，OD与抛物线对称轴交于点E，即得出，从而可求出E点坐标，进而可求出直线OD的解析式，再联立直线OD的解析式和抛物线解析式，求出解，即得出D点坐标；②当点D在x轴下方时，由①同理可求出此时D点坐标．
（1）
将点O (0，0)和点代入，得：
，
解得：，
∴抛物线的表达式为，
∴它的对称轴为直线．
（2）
如图，过点A作轴于点C．
∵点在抛物线上，
∴，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）
由（2）可知．
∵，，
∴，
∴．
分类讨论：①当点D在x轴上方时，如图，设抛物线对称轴与x轴交于点F，OD与抛物线对称轴交于点E，
∴．
∵，
∴，
∴．
设直线OD的解析式为：，
∴，解得：，
∴直线OD的解析式为：．
联立，解得：，，
∴；
②当点D在x轴下方时，如图，
由①同理可求出此时直线OD的解析式为：．
联立，解得：，，
∴．
综上可知，如果，点D的坐标为或．
【点睛】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，解直角三角形，一次函数图象与二次函数图象的交点问题等知识，较难．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
5．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴的正半轴交于点，点在线段上，且，联结，将线段绕着点顺时针旋转，得到线段，过点作直线轴，垂足为，交抛物线于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)联结DF，求ctEDF的值；
(3)点P在直线l上，且∠EDP=45°，求点P的坐标．
【答案】(1)；
(2)；
(3)或．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）证明，再根据全等三角形的性质得，，可得，，求出，则，，过点作于，根据等腰直角三角形的性质可得，则，在中，根据余切的定义即可求解；
（3）分两种情形①点在点的上方时；②点在点的下方时，根据相似三角形的判定和性质即可解决问题．
（1）
解：把点，点代入，
得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）
解：如图：
，
，，
，
，
，
，，
，
过点作直线轴，垂足为，交抛物线于点．
，
，
，
，
，，
过点作于，
，
，
，
在中，；
（3）
解：①当点在点的上方时，
，是公共角，
，
，
，
设，则，
又，，
，解得，
点的坐标为；
②当点在点的下方时，
，是公共角，
，
，
，
设，则，，，
，解得，
点的坐标为；
综上所述，当时，点的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查二次函数的应用、旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像经过点A（0，－3）、B（1，0）、C（3，0），联结AB、AC．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)点D在线段AC上，联结BD，若SABD∶SBCD＝3∶2，求tan∠DBC的值；
(3)点E在该二次函数图像的对称轴上，当AC平分∠BAE时，求点E的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)E（2，）
【分析】（1）将A、B、C的坐标直接代入y=ax2+bx+c即可；
（2）过点D作DH⊥BC于H，在△ABC中，设AC边上的高为h，求出AD与DC的比，证△CHD∽△COA，可求出CH，DH，BH的长，可根据正切定义求出结果；
（3）求出抛物线对称轴为直线x=2，设直线x=2与x轴交于点G，过点A作AF垂直于直线x=2，垂足为F，证∠OAC=∠OCA=45°，∠FAC=∠OCA=45°，推出∠BAO=∠EAF，证△OAB∽△FEA，即可求出AF的长，EF的长，EG的长，即可写出点E的坐标．
（1）
解：将A（0，-3）、B（1，0）、C（3，0）代入y=ax2+bx+c，
得，，
解得，，
∴此抛物线的表达式是；
（2）
解：过点D作DH⊥BC于H，
在△ABC中，设AC边上的高为h，则
，
又∵DH平行于y轴，
∴△CHD∽△COA，
∴，
∴CH=DH=，
∴BH=BC-CH=，
∴tan∠DBC=；
（3）
解：∵y=-x2+4x-3=-（x-2）2+1，
∴对称轴为直线x=2，设直线x=2与x轴交于点G，过点A作AF垂直于直线x=2，垂足为F，如图2，
∵OA=OC=3，∠AOC=90°，
∴∠OAC=∠OCA=45°，
∵AF平行于x轴，
∴∠FAC=∠OCA=45°，
∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC=∠EAC，
∵∠BAO=∠OAC∠BAC，∠EAF=∠FAC∠EAC，
∴∠BAO=∠EAF，
∵∠AOB=∠AFE=90°，
∴△OAB∽△FEA，
∴，
∵AF=2，
∴EF=，
∴EG=GF-EF=AO-EF=，
∴E（2，）．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够由题意作出适当的辅助线构造相似三角形．
7．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+bx+c经过点A（-2，0）．与点C（0，4）．与x轴的正半轴交于点B．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如果D是抛物线上一点，AD与线段BC相交于点E，且AD将四边形ABDC分成面积相等的两部分，求的值；
(3)如果P是x轴上一点，∠PCB=∠ACO，求∠PCO的正切值．
【答案】(1)抛物线解析式为y=-x2+x+4；
(2)；
(3)∠PCO的正切值或3．
【分析】（1）利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）设D（a，-a2+a+4），根据AD将四边形ABDC分成面积相等的两部分可得S四边形ABDC=S△AOC+S△DOC+S△BOD=2S△ABD，可得关于a的方程，解方程求得a的值，可得点D的坐标，过D作DF∥AB，可得△DEF∽△AEB，根据相似三角形的性质即可求解；
（3）分两种情况：根据锐角三角函数以及等腰直角三角形的性质即可求解．
（1）
解：由题意可得，解得，
∴抛物线解析式为y=-x2+x+4；
（2）
解：连接OD，
∵抛物线解析式为y=-x2+x+4，
令y=0，则0=-x2+x+4，解得x=-2或4，
∴A（-2，0），B（4，0），
∴AB=6，
设D（a，-a2+a+4），
∵AD将四边形ABDC分成面积相等的两部分，
∴S四边形ABDC=S△AOC+S△DOC+S△BOD=2S△ABD，
∴×2×4+×4a+×4（-a2+a+4）=2××6（-a2+a+4），
化简得a2-a-6=0，解得a1=-2（舍去），a2=3，
∴D（3，），
可过D作DF∥AB交BC于F，
∴△DEF∽△AEB，
∴，
设直线BC的解析式为y=kx+m，把B点和C点坐标代入得，
解得，
∴直线l的解析式为y=-x+4，
∵DF∥AB，D（3，），
当y=时，x=，
∴F（，），
∴DF=，
∴；
（3）
解：①当点P在点B左侧时，如图，作PM⊥BC于点M，
∵B（4，0），C（0，4）．
∵OB=OC，BC=4，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∴∠BPM=∠OBC=45°，
∴PM=BM，
∵∠PCB=∠ACO，
∴tan∠PCB=tan∠ACO，
∴，
∴CM=2PM=2BM，
∵BC=4，
∴CM+BM=3BM=4，
∴BM=PM=，
∴BP=BM=，
∴OP=4-BP=4-=，
∴tan∠PCO=；
②当点P在点B右侧时，如图，作BN⊥BC交PC于点N，作NH⊥x轴于H，
∵∠OBC=45°，
∴∠NBH=180°-∠CBN-∠OBC=45°，
∴BH=NH，
∵∠PCB=∠ACO，
∴tan∠PCB=tan∠ACO，
∴，
∴BC=2BN，
∵BC=4，
∴BN=2，
∴BH=NH=2，
∴OH=OB+BH=4+2=6，
∴N（6，2），
设直线CN的解析式为y=sx+t，把N点和C点坐标代入得，
解得，
∴直线CN的解析式为y=-x+4，
当y=0时，0=-x+4，解得x=12，
∴P（12，0），
∴tan∠PCO==3；
综上所述，∠PCO的正切值或3．
【点睛】本题考查的是二次函数综合题，考查了二次函数与一次函数的交点问题、三角形的面积，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数以及等腰直角三角形的性质等相关知识，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
8．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点A（4，0），顶点为H（2，4），对称轴l与x轴交于点B，点C、P是抛物线上的点，且都在第一象限内．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当点C位于对称轴左侧，∠CHB＝∠CAO，求点C的坐标；
(3)在（2）的条件下，已知点P位于对称轴的右侧，过点P作PQCH，交对称轴l于点Q，且，求直线PQ的表达式．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据题意将抛物线表达式设为顶点式，将A、H坐标代入即可求出；
（2）过点C向对称轴和x轴作垂线，设C点坐标为，根据角度相等，所以正切值相等，分别在两个直角三角形中构造线段等比例关系，以m表示各线段长度，代入等比例式中，求出m即可；
（3）分别作OM、AN垂直于PQ，OM、AN即为两个三角形的高，因为底PQ相同，所以两三角形面积比等于OM与AN的比，延长PQ交x轴于点D，则，得到三角形相似，继而得到OM与AN的比等于OD与AD的比，从而求出D点坐标，因为PQCH，先求出CH表达式为，则可将PQ的表达式设为形式，将D点坐标代入即可求出表达式．
【解析】（1）∵抛物线经过点，顶点为，
∴设，
∴，
解得：，
∴，
∴抛物线的表达式为．
（2）分别过点C作，轴，垂足为点G、F，
设，
则：，，，，
∵，
∴，
∴．
∴，
解得，
经检验，m=1是方程的解，
则，
∴C点坐标为．
（3）延长PQ交x轴于点D．分别过点O、A作直线PQ的垂线，垂足分别为点M、N．
∵点C坐标为，点H坐标为，
∴设直线CH的表达式为，将C、H坐标代入得 ，
解得，
∴直线CH表达式为：，
①当、在直线PQ的两侧时，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴△ODM∽△ADN，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴D点坐标为．
又∵，
∴设直线PQ的表达式为，
将D点坐标代入得，
解得，
∴PQ表达式为；
②当、在直线PQ的同侧时，
∵，
∴△ODM∽△ADN，
∴，
∴，
∴，
∴此时D点坐标为，
∴设直线PQ的表达式为，
将代入解得，
∴直线PQ的表达式为
综上所述，满足条件的直线PQ的表达式为或．
【点睛】本题考查了二次函数的动点问题，需熟练掌握二次函数数形结合的综合应用．
9．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B．抛物线经过点A、B顶点为C．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)将抛物线沿y轴向上平移，平移后所得新抛物线顶点为D，如果，求平移的距离；
(3)设抛物线上点M的横坐标为m，将抛物线向左平移3个单位，如果点M的对应点Q落在内，求m的取值范围．
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)平移的距离为
(3)m的取值范围为
【分析】（1）由直线解析式可求出点A、B的坐标，然后再代入二次函数解析式进行求解即可；
（2）过点B作BE⊥DC于点E，由（1）可得：，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，然后可得，进而问题可求解；
（3）由（1）可知点，，抛物线的对称轴为直线，则有点B关于抛物线对称轴对称的点的坐标为，然后根据图象的平移可进行求解．
（1）
解：令x=0时，则有，即点，
令y=0时，则有，解得：，即点，
把点A、B的坐标代入二次函数解析式得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）
解：由题意可得如下图象：
过点B作BE⊥DC于点E，
由（1）可得：，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平移距离；
（3）
解：由（1）可知点，，抛物线的对称轴为直线，
∴点B关于抛物线对称轴对称的点的坐标为，
∵将抛物线向左平移3个单位，且点M的对应点Q落在内，
∴点M的横坐标为m的取值范围为．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
10．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点点在轴的正半轴上，与轴交于点，已知．
(1)求顶点和点的坐标；
(2)将抛物线向右平移个单位，得到的新抛物线与轴交于点，求点的坐标和的面积；
(3)如果点在原抛物线的对称轴上，当与相似时，求点的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）根据题意可画出函数图象，由可得，令可得，进而可得，即，由此可得，将点的坐标代入抛物线解析式可求出的值，化作顶点式可求出点的坐标；令，可求出的值，进而可得出点的坐标；
（2）根据抛物线的平移可求出新抛物线，令，可得出点的坐标，利用三角形的面积公式可求出的面积；
（3）过点作垂直于原抛物线的对称轴，可得出和的长，进而可得出，由与相似可得，：：或：：，由此可得出点的坐标．
(1)
解：根据题意可画出函数图象，如图1，
令可得，
∴，即．
在中，，
∴，
∴，
∴．
将点的坐标代入抛物线解析式可得，，
解得．
∴抛物线的解析式为：．
∴顶点，
令，即，
∴或，
∴．
(2)
解：如图2，
将（1）中抛物线向右平移个单位，得到的新抛物线．
令，则．
∴
连接并延长交轴于点，设直线AP的解析式为y＝x＋ ，把点A和点P的坐标代入得
，
∴直线的解析式为：，
当x＝0时， y＝﹣2，
∴，
∴．
(3)
解：在中，，，，，
，，
如图3，过点作垂直于原抛物线的对称轴于点Q，
∴，，
∴，．
∴，
若与相似，则：：或：：，
设，
则，
∴：：或：：，
解得或．
∴或
【点睛】本题属于二次函数与几何综合题，涉及待定系数法求函数解析式，锐角三角函数值，相似三角形的性质与判定，分类讨论思想等知识．第（3）问得出是解题关键．
11．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于、两点，抛物线经过点和点，且其顶点为，点为抛物线与轴的另一个交点
(1)求抛物线的表达式；
(2)求的正切值；
(3)点在抛物线上，若，求点的坐标．
(4)连接，延长交轴于点，点是直线上的动点，如果与是相似三角形，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
(4)或
【分析】（1）根据一次函数可以求出点和点坐标，把点和点坐标代入即可求出抛物线的表达式；
（2）先利用（1）中所得到的抛物线的表达式求出点和顶点的坐标，再利用勾股定理分别求出、、的长度，再根据勾股定理逆定理可以证明是直角三角形，从而可以求出的正切值；
（3）根据，再结合（2）的结论，可得出的正切值，可知满足的点在点的左侧，可以在轴的上方或下方，又点在抛物线上，可设出点的坐标，利用正切值的定义建立方程求解即可；
（4）过点作交于点，首先设直线的解析式为，再将点和点的坐标代入解析式即可求出和的值，从而求出直线与轴的交点的坐标，从而确定的长度，再利用勾股定理求出和的长度，然后在中，根据，可求出的长，然后在和分别求出和的正弦值，从而确定，根据条件与是相似三角形，则点在点的右侧，然后分和两种情况进行讨论即可得到答案．
（1）
解：∵直线分别交轴、轴于、两点，
当时，，
当时，，
∴，，
∵抛物线经过点和点，
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为．
（2）
如图：∵，
∴，，
又∵，，
∴，
，
，
∵，
，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∴的正切值为．
（3）
如图：点在抛物线上，过点作交轴于点，设，
∴是直角三角形，，
∵，
∴点在点的左侧，且满足条件的点有两个，
∵
∴，
解得：，（舍去），，（舍去），
当时，，
当时，，
∴点的坐标为或．
（4）
过点作交于点，设抛物线的对称轴交轴于点，设直线的解析式为，
∵，，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
∴，
∵，，，，
在中，
，，，
∵，
∴，
∴，
在中，
，，，
∴，
∴，
若与是相似三角形，则点在点的右侧，又点在直线上，设（），
在中，
，
，
，
有以下两种情况：
①，则，
即，
解得：，
∴
∴；
②，则，
即，
解得，
∴
∴．
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】本题属于二次函数综合题．考查了一次函数图像上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式、勾股定理以及勾股定理逆定理、锐角三角函数、相似三角形的性质、分类讨论思想．灵活运用相关知识和分类讨论的思想方法是解决问题的关键．
12．已知直线经过点，两点，抛物线与已知直线交于、两点（点在点的右侧），顶点为．
(1)求直线的表达式；
(2)若抛物线的顶点不在第一象限，求的取值范围；
(3)若直线与直线所成夹角的余切值等于3，求抛物线的表达式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由待定系数法直接代入点坐标求解即可得到答案．
（2）由抛物线顶点式求得顶点坐标，进而依题意“顶点不在第一象限”列出不等式，进而可得到答案．
（3）由直线及抛物线的表达式，求出交点坐标，确定点D坐标，进而作PH垂直AB于点H，设出点H坐标，依题意有，即有，联立等式成方程组，进而求解可得到答案．
（1）
解：∵直线经过点A、B，
∴有 解得
∴直线的表达式为
（2）
解：∵
∴
∴顶点坐标为（2,2-4a）
∵顶点不在第一象限
∴
∴
（3）
解：依题意有，解得或
∴抛物线与已知直线交于（0,2）、 两点
∵顶点P坐标为（2，2-4a）且点C在点D的右侧
∴点C，点D（0,2）
过点P作PH垂直AB于点H，设点H坐标为（m，m+2）
∴，
∴直线DP与直线AB所成夹角的余切
设直线PH的表达式为 ，直线PH过点P、H，
∴有 解得
∵
∴ 即
联立①②，解得 或
∵当时，点C坐标为（0,2）与点D重合，不符合题意
∴
∴抛物线的表达式为．
【点睛】本题为二次函数的综合题，考查二次函数的性质、待定系数法求一次函数的解析式、余切的概念定义、解二元一次方程组等知识；熟练掌握相关知识，构造直角三角形建立方程组求解是解题的关键．
13．如图，已知直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点．
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)直线x＝t与该抛物线交于点C，与线段AB交于点D（点D与点A、B不重合），与x轴交于点E，联结AC、BC．
①当＝时，求t的值；
②当CD平分∠ACB时，求ABC的面积．
【答案】(1)
(2)①2；②
【分析】（1）先求出点A，点B坐标，利用待定系数法可求解析式；
（2）①证明△ADE∽△BDC，由相似三角形的性质得出∠DAE＝∠DBC，证出AE∥BC，得出C点的纵坐标为2，则可求出答案；
②设C（t，），过点B作BH⊥CE于点H，得出tan∠BCH＝tan∠ACE，则，解方程求出t的值，则可求出答案．
（1）
解：由y=-x+2可得：
当x=0时，y=2；当y=0时，x=3，
∴A（3，0），B（0，2），
把A、B的坐标代入y=-x2+bx+c得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=-x2+x+2；
（2）
①如图1，
∵DE∥OB，
∴，
∵，
∴，
又∵∠ADE=∠BDC，
∴△ADE∽△BDC，
∴∠DAE=∠DBC，
∴AE∥BC，
∴C点的纵坐标为2，
∴2=-x2+x+2，
∴x=0或x=2，
∴C（2，2），
∴t=2；
②如图2，设C（t，-t2+t+2），
过点B作BH⊥CE于点H，
∵∠BCH=∠ACE，
∴tan∠BCH=tan∠ACE，
∴，
∴，
∴t=，
∴C（，），
∴S△ACB=S△ACE+S梯形BOCE-S△ABO
=．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
14．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过x轴上的点和点B（点A在点B左侧）及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为，顶点为D，对称轴与x轴交于点Q．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接．若点P为直线上方抛物线上一动点，过点P作 轴交于点E，作于点F，过点B作交y轴于点G．点H，K分别在对称轴和y轴上运动，连接．
①求的周长为最大值时点P的坐标；
②在①的条件下，求的最小值及点H的坐标．
【答案】（1） ；（2）①；②的最小值为10，此时点H的坐标为
【分析】（1）先求出点C的坐标，可得到n，进而求出点B的坐标，再将点A、C的坐标代入，即可求解；
（2）①设点P的坐标，并表示出点E的坐标，从而得到PE，再根据△PFE∽△BOC，根据相似三角形的性质，即可求解；
②如图，将直线OG绕点G逆时针旋转60°，得到直线l，作 ，垂直分别为 ，则∠MGO=60°， 从而得到 ， ，从而得到当点H位于抛物线对称轴与OP的交点时，最小，最小值为PM，然后证得点P、O、M三点共线，即可求解．
【解析】解：（1）∵抛物线经过y轴上的点C，
∴当 时， ，
∴点 ，
将点 ，代入，得： ，
∴直线BC的解析式为 ，
当 时， ，
∴点B（4,0），
将点，B（4,0），代入，得：
，解得： ，
∴抛物线解析式为 ；
（2）①设 ，则 ，
∴ ，
设△PEF的周长为m，
∵，
∴∠PEF=∠BCO，
∵∠PFO=∠BCO=90°，
∴△PFE∽△BOC，
∴ ，
∵点B（4,0）， ，
∴ ，
∴ ，
∴，
∴，
∴当 时，m最大，此时 ，
即的周长为最大值时点P的坐标为；
②抛物线的对称轴为 ，
如图，将直线OG绕点G逆时针旋转60°，得到直线l，作 ，垂直分别为 ，则∠MGO=60°，
∴ ， ，
∴，
∴当点H位于抛物线对称轴与OP的交点时，最小，最小值为PM，
∵∠MGO=60°，
∴∠MOG=30°，
∵，
∴ ， ，
∴∠POB=60°，
∴∠MOG+∠BOG+∠POB=180°，
∴点P、O、M三点共线，
设直线AC的解析式为 ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
∴直线AC的解析式为 ，
∵，
∴可设直线BG的解析式为 ，
把点B（4,0），代入得： ，
∴直线BG的解析式为 ，
∴点 ，
∴ ，
∴，
∴PM=10，
∴的最小值为10，
∵∠POB=60°，抛物线对称轴为 ，
∴此时点H的纵坐标为 ，
∴的最小值为10，此时点H的坐标为 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的综合题，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
15．如图，抛物线与轴相交于两点，与轴交于点，顶点为，抛物线的对称轴与BC相交于点E,与x轴相交于点F.
（1）求线段的长．
（2）联结，若点G在抛物线的对称轴上，且与相似，请直接写出点G的坐标．
（3）设点P为x轴上的一点，且时，求点P的坐标.
【答案】（1）2；（2）或；（3）或
【分析】（1）根据抛物线的解析式可求得与坐标轴的坐标及顶点坐标，从而易得OB=OC，由EF⊥OB即可求得EF的长，从而求得DE的长；
（2）设点G的坐标为(1，x)，分两种情况考虑：△COE∽△EGB和△COE∽△EBG，根据相似三角形的性质即可求得x的值，从而可求得点G的坐标；
（3）分两种情况考虑：点P在点A的右侧和点P在点A的左侧；当点P在点A的右侧时，由D(1，4)，则，得出∠α =∠DOF，然后根据三角形外角的性质可求得∠DPO=∠ADO，进而可得△ADP∽△AOD，由相似三角形的性质可求得OP的长，从而求得P点的坐标；当点P在点A的左侧时， 作点P关于抛物线对称轴的对称点，则点也满足题意．
【解析】（1）当时，解方程得：
∴抛物线与x轴的交点坐标分别为A（-1，0）、B(3，0)
∴OB=3
∵在中，当x=0时，
∴抛物线与y轴的交点C的坐标为(0，3)
∴OC=3
∵
∴抛物线的顶点坐标为D(1，4)
∴DF=4，OF=1
∵OB=OC=3，OC⊥OB
∴∠OCB=∠OBC=45°
∵EF⊥OB
∴∠FEB=∠OBC=45°
∴EF=BF=OB-OF=3-1=2
∴DE=DF-EF=4-2=2
（2）设点G的坐标为(1，x)
在Rt△OBC及Rt△FBE中，由勾股定理得：，
∴
①若△COE∽△EGB
则有，∠GEB=∠OCE=45°
即OC∙BE=CE∙EG
∴点G只能在点E下方
∵由（1）可得点E的坐标为(1，2)
∴EG=2-x
∴
解得：x=-4
即点G的坐标为(1，-4)
②若△COE∽△EBG
则有，∠BEG=∠OCE=45°
即OC∙EG=CE∙BE
∴点G只能在点E下方
∴EG=2-x
∴
解得：
即点G的坐标为
综上所述，满足条件的点G的坐标为或
（3）①如图，当点P在点A的左侧时，连接DP、DA、DO
∵，
∴∠DOF=∠α=∠DAO+∠DPO，∠DOF=∠PDO+∠DPO
∴∠DAO=∠PDO
∴△OAD∽△ODP
∴，即
∵
∵OA=1
∴OP=17
∴点P的坐标为(-17，0)
②当点P在点A的右侧时，作点P(-17，0)关于抛物线的对称轴的对称点，则
∴
此时点满足题意，且其坐标为(19，0)
综上所述，满足条件的点P的坐标为或
【点睛】本题考查了求二次函数与x轴的交点、顶点坐标，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，求得三角形相似是关键．注意分类讨论．
16．如果抛物线与的顶点关于原点对称，则称它们是关联抛物线．已知经过点（4，9）且与y轴交于点C（0，5），对称轴为直线．
（1）求抛物线的关联抛物线的解析式；
（2）记抛物线与x轴交点为A、B（A在B左侧），与y轴交于点E，顶点坐标为F，求的值；
（3）在的对称轴上找一点G，使，求点G的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）先计算的解析式，再根据定义确定关联抛物线的解析式；
（2）连接AF，过点B作BH⊥AF，垂足为H，设对称轴与x轴的交点为M，利用三角形的面积，勾股定理，三角函数的定义计算即可；
（3）利用勾股定理，一次函数的解析式确定即可．
【解析】（1）根据题意，得，
解得，∴，
∴抛物线的顶点坐标为（1，），
∴抛物线顶点坐标为（-1，-），
∴抛物线的解析式为=
即；
（2） ，令

解得：

连接AF，过点B作BH⊥AF，垂足为H，设对称轴与x轴的交点为M，
则M是线段AB的中点，且AB=2-（-4）=6，
∴AM=BM=3，MF=，
∴AF=，
∴，
∴，
∴BH=，
∴，
∴=，
∴；
（3）如图，∵，
∴，
∴，OK=4-x，
在直角三角形BOK中，，
∴，
解得，OK=4-x=，
∴，
设直线BG的解析式为y=kx+b，且过B（2，0），，
∴，
解得，
∴直线BK的解析式为，
当时，得，
∴．
【点睛】本题考查了抛物线的解析式，对称轴，顶点坐标，三角函数，一次函数解析式的确定，熟练掌握新定义，灵活计算抛物线的顶点坐标，三角函数的定义，待定系数法是解题的关键．
17．已知：经过点，．
(1)求函数解析式；
(2)平移抛物线使得新顶点为（m＞0）．
①倘若，且在的右侧，两抛物线都上升，求的取值范围；
②在原抛物线上，新抛物线与轴交于，时，求点坐标．
【答案】(1)
(2)①k≥2
②P的坐标为（2，3）或（-2，3）
【分析】（1）把，代入，求解即可；
（2）①由，得顶点坐标为(0，-3)，即点B是原抛物线的顶点，由平移得抛物线向右平移了m个单位，根据，求得m=2，在的右侧，两抛物线都上升，根据抛物线的性质即可求出k取值范围；
②把P（m，n）代入，得n=，则P（m， ），从而求得新抛物线解析式为：y=(x-m)2+n=x2-mx+m2-3，则Q(0，m2-3)，从而可求得BQ=m2，BP2=，PQ2=，即可得出BP=PQ，过点P作PC⊥y轴于C，则PC=|m|，根据等腰三角形的性质可得BC=BQ=m2，∠BPC=∠BPQ=×120°=60°，再根据tan∠BPC= tan 60°=，即可求出m值，从而求出点P坐标．
（1）
解：把，代入，得
，解得：，
∴函数解析式为：；
（2）
解：①∵，
∴顶点坐标为(0，-3)，即点B是原抛物线的顶点，
∵平移抛物线使得新顶点为（m＞0）．
∴抛物线向右平移了m个单位，
∴，
∴m=2，
∴平移抛物线对称轴为直线x=2，开口向上，
∵在的右侧，两抛物线都上升，
又∵原抛物线对称轴为y 轴，开口向上，
∴k≥2，
②把P（m，n）代入，得n=，
∴P（m， ）
根据题意，得新抛物线解析式为：y=(x-m)2+n=x2-mx+m2-3，
∴Q(0，m2-3)，
∵B（0，-3），
∴BQ=m2，BP2=，
PQ2=，
∴BP=PQ，
如图，过点P作PC⊥y轴于C，则PC=|m|，
∵BP=PQ，PC⊥BQ，
∴BC=BQ=m2，∠BPC=∠BPQ=×120°=60°，
∴tan∠BPC= tan 60°=，
解得：m=±2，
∴n==3，
故P的坐标为（2，3）或（-2，3）
【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，抛物线的平移，抛物线的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，本题属抛物线综合题目，属中考常考试题目，难度一般．
18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，它的对称轴与轴相交于点．
（1）求点的坐标；
（2）如果直线与此抛物线的对称轴交于点、与抛物线在对称轴右侧交于点，且，求此抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，若为抛物线上一点，且，直接写出点坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）由点在抛物线，代入即可；
（2）由于点是直线和抛物线对称轴的交点，确定出点的坐标，再根据得到，的长，从而求出点坐标即可；
（3）设直线交轴于，连接，先证明，即，再证明，接下来连接交轴于，过作于，设，则，由得，可求，此时求出解析式，再与抛物线联立即可求得的坐标．
【解析】解：（1）点在抛物线上，
，
，
对称轴为，
；
（2）直线与此抛物线的对称轴交于点，
，
，
，
，
，
，
，
∴
，
，
设点，
，
，
或（舍），
，
点在抛物线上，
，
，
，，
抛物线解析式为；
（3）如图，设直线交轴于，连接，
直线：，当时，，当时，，
，，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
连接交y轴于，过作于，
，
设，则，
，
，
，解得，
，
，
，
，
设直线，代入点，得，
直线，
令，
整理得，
解得或，
的坐标为．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握基础知识，运用方程的思想解题是关键．
19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴相交点A（-1，0）和点B（3，0），与y轴相交于点C，抛物线的顶点为点D，对称轴交x轴于点E，点Q为线段DE上一点，联结AC．
(1)求这条抛物线的表达式及对称轴；
(2)当∠ACO=∠QOE时，求的值；
(3)当∠ACO=∠QOC时，判断四边形ACQO的形状；
(4)（附加题）当∠ACO=∠AQE时，求∠BQE的余切值；
(5)（附加题）当∠ACO=∠CBQ时，判断△BCQ的形状．
【答案】(1)抛物线的表达式为y=-x2+2x+3，对称轴为直线x=1；
(2)=；
(3)四边形ACQO是平行四边形；
(4)ct∠BQE=；
(5)△BCQ是等腰三角形或直角三角形．
【分析】（1）将点A（-1，0）和点B（3，0），代入解析式，待定系数法求解析式；
（2）证明△AOC∽△QEO，根据相似三角形的性质即可求解；
（3）证明△QOE≌△CAO（ASA）， 可得OQ=AC，进而证明四边形ACQO是平行四边形；
（4）延长AC交DE于点F，连接AQ、BQ，由DEOC，得出△AOC∽△AEF，设AQ=FQ=m，则EQ=6-m，在中，勾股定理求得的值，进而求得∠BQE的余切值，
（5）设Q（1，n），则EQ=n，连接BC交DE于点F，①当点Q在BC下方时，如图4，过点Q作QG⊥BC于点G，求得EF=BE=2，BF=2，可得△FQG是等腰直角三角形，进而可得△BCQ是等腰三角形，②当点Q在BC的上方时，如图5，过点D作DH⊥y轴于点H，可得点Q与点D重合，此时△BCQ是直角三角形．
（1）
∵抛物线与x轴相交点A（-1，0）和点B（3，0），
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为，
∴抛物线的对称轴为直线x=1；
（2）
∵抛物线与y轴相交于点C，
∴C（0，3），
∴OC=3，
∵对称轴交x轴于点E，
∴E（1，0），
∴OE=1，
∵∠ACO=∠QOE，∠OEQ=∠AOC=90°，
∴△AOC∽△QEO，
∴=（）2=（）2=；
（3）
四边形ACQO是平行四边形．
理由如下：∵∠ACO=∠QOC，
∴OQAC，
∴∠QOE=∠CAO，
在△QOE和△CAO中，
，
∴△QOE≌△CAO（ASA），
∴OQ=AC，
∴四边形ACQO是平行四边形．
（4）
如图3，延长AC交DE于点F，连接AQ、BQ，
∵DEOC，
∴△AOC∽△AEF，∠AFE=∠ACO，
∴=，即=，
∴EF=6，
∵∠ACO=∠AQE，
∴∠AQE=2∠ACO=2∠AFE，
∵∠AQE=∠AFE+∠FAQ，
∴∠AFE=∠FAQ，
∴AQ=FQ，
设AQ=FQ=m，则EQ=6-m，
∵，
∴，
解得：m=，
∴EQ=6-=，
∵BE=OB-OE=3-1=2，
∴ct∠BQE===；
（5）
△BCQ是等腰三角形或直角三角形．理由如下：
设Q（1，n），则EQ=n，连接BC交DE于点F，
①当点Q在BC下方时，如图4，过点Q作QG⊥BC于点G，
∵OB=OC=3，∠BOC=90°，
∴∠BCO=∠CBO=45°，
∵∠BEF=90°，
∴∠BFE=∠CBO=45°，
∴EF=BE=2，BF=2，
∴FQ=2-n，
∵QG⊥BC，
∴△FQG是等腰直角三角形，
∴FG=QG==（2-n），
∴BG=BF-FG=2-（2-n）=n+，
∵∠ACO=∠CBQ，
∴tan∠CBQ=tan∠ACO==，
∴=，
∴BG=3QG，即n+=3×（2-n），
解得：n=1，
∴BG=×1+=，
∵BC=3，
∴BG=BC，
∴点G是BC的中点，
∵QG⊥BC，
∴QG所在直线是线段BC的垂直平分线，
∴QB=QC，
∴△BCQ是等腰三角形，
②当点Q在BC的上方时，如图5，
过点D作DH⊥y轴于点H，则DH=1，
∵D（1，4），
∴H（0，4），
∴CH=1，
∴CD=，∠DCH=45°，
∴∠BCD=180°-45°-45°=90°，
∴tan∠DBC====tan∠ACO，
∴∠ACO=∠DBC，
∵∠ACO=∠CBQ，
∴点Q与点D重合，
此时△BCQ是直角三角形；
综上所述，△BCQ是等腰三角形或直角三角形．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与面积问题，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，综合运用以上知识点是解题的关键．