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2023-2024学年河南省郑州市郑中国际学校高一（下）第二次月考数学试卷（含答案）
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这是一份2023-2024学年河南省郑州市郑中国际学校高一（下）第二次月考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知z=1+i1−i，则z+z3+z5=( )
A. iB. −iC. 1+iD. 1−i
2.某中学高一年级有400人，高二年级有320人，高三年级有280人，若用随机数法在该中学抽取容量为n的样本，每人被抽到的可能性都为0.2，则n等于( )
A. 80B. 160C. 200D. 280
3.如图，直角梯形O′A′B′C′满足O′A′⊥O′C′，O′A′=A′B′=2，O′C′=3，它是水平放置的平面图形的直观图，则该平面图形的周长是( )
A. 7+ 5
B. 5+2 3+ 17
C. 11+ 41
D. 10 2
4.已知a=(5,4)，b=(3,2)，则与2a−3b平行的单位向量为( )
A. ( 55,2 55)B. ( 55,2 55)或(− 55,−2 55)
C. ( 55,−2 55)或(− 55,2 55)D. (− 55,−2 55)
5.如图直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的体积为8，底面ABCD为平行四边形，△A1BC的面积为2 2，则点A到平面A1BC的距离为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 2
6.设△ABC的面积为S，若AB⋅AC=2S，则角A=( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
7.已知直角△ABC斜边BC的中点为O，且|OA|=|AB|，则向量CA在向量CB上的投影向量为( )
A. 14CBB. 34CBC. −14CBD. −34CB
8.庑殿顶是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，宋代称为“五脊殿”、“吴殿”，清代称为“四阿殿”，如图(1)所示.现有如图(2)所示的庑殿顶式几何体ABCDMN，其中正方形ABCD边长为3，MN//AB,MN=32，且MN到平面ABCD的距离为2，则几何体ABCDMN的体积为( )
A. 274B. 94C. 52D. 152
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在复平面内，复数z1=12− 32i对应的点为A，复数z2=z1−1对应的点为B，下列说法正确的是( )
A. |z1|=|z2|=1B. z1⋅z2=|z1|2
C. 向量AB对应的复数是1D. |AB|=|z1−z2|
10.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则下列结论正确的是( )
A. 直线BN与MB1是异面直线
B. 直线AM与BN是平行直线
C. 直线MN与AC是相交直线
D. 平面BMN截正方体所得的截面面积为92
11.下列说法正确的是( )
A. 已知a，b均为单位向量．若|a−b|=1，则a在b上的投影向量为12b
B. P是△ABC所在平面内的一动点，且AP=λ(AB+12BC)(λ≥0)，则点P的轨迹一定通过△ABC的重心
C. 已知O为△ABC的外心，边AB、AC长为定值，则AO⋅BC为定值
D. 若点O满足AO⋅AB|AB|=AO⋅AC|AC|,CO⋅CA|CA|=CO⋅CB|CB|，则点O是△ABC的垂心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一个长方体容器ABCD−A1B1C1D1中盛有水，侧面ABCD为正方形，且A1A=16.如图，当面ABB1A1水平放置时，水面的高度恰好为14AD，那么将面ABCD水平放置时，水面的高度等于______．
13.已知x1，x2是关于x的实系数方程x2−4x+5=0的两个虚根，则|x1|+|x2|x1+x2= ______．
14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=2，cs2A+(4+ 3)sin(B+C)=2 3+1，点P是△ABC的重心，且AP=2 73，则a=______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z1，z2满足z1⋅z2∈R,z1= 3−i1− 3i．
(1)求z1；
(2)求|2z1+z2|的最小值．
16.(本小题15分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(1,0)，点B(−35,45)在单位圆上，∠AOB=θ(0<θ<π)．
(1)求tan(θ+π4)的值；
(2)若四边形OADB是平行四边形，求点D的坐标；
(3)若点A，B，P三点共线，且AB=2AP，求OP⋅AB的值．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，SA=SB=2，E、F分别是SC、BD的中点．
(1)求证：EF//平面SAB；
(2)若二面角S−AB−D的大小为π2，求直线SD与平面ABCD所成角的大小．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，AB=4，CD=2，∠PDA=90°，平面PAD⊥平面PCD．
(Ⅰ)求证：AD⊥PC；
(Ⅱ)若PD=AD=2，PD⊥DC，求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值．
19.(本小题17分)
已知在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tanC= 3sinAsinBsin2A+sin2B−sin2C．
(1)求角C的大小；
(2)当c= 3时，求ab的取值范围．
参考答案
1.A
2.C
3.C
4.B
5.B
6.B
7.B
8.D
9.AD
10.AD
11.ABC
12.4
13. 52
14.2 3或2 13
15.解：(1)z1= 3−i1− 3i=( 3−i)(1+ 3i)(1− 3i)(1+ 3i)=2 3+2i4= 32+12i．
(2)设z2=a+bi(a,b∈R)，则z1⋅z2=(a+bi)( 3+i)2= 3a−b+(a+ 3b)i2．
因为z1⋅z2∈R，所以a+ 3b=0，故z2=− 3b+bi(b∈R)．
|2z1+z2|=|(1−b) 3+(1+b)i|= 3(1−b)2+(1+b)2
= 4(b−12)2+3≥ 3，当b=12时取得等号．
故|2z1+z2|的最小值为 3．
16.解：(1)由点A(1,0)，点B(−35,45)在单位圆上，∠AOB=θ(0<θ<π)，
则tanθ=45−35=−43，
则tan(θ+π4)=tanθ+11−tanθ=−43+11−(−43)=−17；
(2)四边形OADB是平行四边形，
则AD=OB，则OD−OA=OB，
即OD=OA+OB=(25,45)，
所以点D的坐标为(25,45)；
(3)点A，B，P三点共线，且AB=2AP，
①当AB=2AP时，OP=12AB+OA=(−45,25)+(1,0)=(15,25)，
则OP⋅AB=(15,25)⋅(−85,45)=0，
②当AB=−2AP时，OP=−12AB+OA=(95,−25)，
即OP⋅AB=(95,−25)⋅(−85,45)=−165．
17.(1)证明：取线段SB、AB的中点分别为H、G，连接EH、HG、FG，
则EH//AD，EH=12AD，FG//AD，FG=12AD，又底面ABCD是正方形，
则EH//FG，EH=FG，即四边形EFGH为平行四边形，
则HG//EF，又EF⊄SAB，HG⊂平面SAB，则EF//平面SAB．
(2)G为AB中点，连接SG、DG，
又SA=SB=2，底面ABCD是边长为1的正方形，
则SG⊥AB，且SG= 152，DG= 52，
又二面角S−AB−D的大小为π2，即平面SAB⊥平面ABCD，
又SG⊂平面SAB，平面SAB∩平面ABCD=AB，
则SG⊥平面ABCD，则∠SDG是直线SD与平面ABCD所成角，
在Rt△SDG中，tan∠SDG=SGDG= 3，即∠SDG=π3，
则直线SD与平面ABCD所成角的大小为π3．
18.解：(Ⅰ)证明：因为∠PDA=90°，
所以AD⊥PD，
又因为平面PAD⊥平面PCD，平面PAD∩平面PCD=PD，
所以AD⊥平面PCD，
又PC⊂平面PCD，
所以AD⊥PC；
(Ⅱ)因为AD⊥平面PCD，
所以AD⊥CD，AD⊥PD，
又因为PD⊥DC，
如图，建立空间直角坐标系D−xyz，
则P(0,0,2)，C(0,2,0)，B(2,4,0)，PC=(0,2,−2)，CB=(2,2,0)，
易知平面PAD的法向量u=(0,1,0)，
设平面PBC的法向量v=(x,y,z)，
PC⋅v=0CB⋅v=0，即y−z=0x+y=0，令y=1，z=1，x=−1，
故v=(−1,1,1)，
故cs=u⋅v|u||v|=11× 3= 33，
故所以平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为 33．
19.解：(1)因为tanC= 3sinAsinBsin2A+sin2B−sin2C，
由正弦定理可得tanC= 3aba2+b2−c2，
由余弦定理csC=a2+b2−c22ab，即sinCcsC= 3ab2abcsC，
所以sinC= 32，
又C为锐角，
所以C=π3；
(2)由正弦定理得asinA=bsinB=csinC= 3 32=2，
所以a=2sinA，b=2sinB=2sin(A+π3)，
则ab=4sinAsinB=4sinAsin(A+π3)
=4sinA(12sinA+ 32csA)
=2sin2A+2 3sinAcsA
= 3sin2A−cs2A+1=1+2sin(2A−π6)，
由0所以π6<2A−π6<5π6，
所以12所以2
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知z=1+i1−i，则z+z3+z5=( )
A. iB. −iC. 1+iD. 1−i
2.某中学高一年级有400人，高二年级有320人，高三年级有280人，若用随机数法在该中学抽取容量为n的样本，每人被抽到的可能性都为0.2，则n等于( )
A. 80B. 160C. 200D. 280
3.如图，直角梯形O′A′B′C′满足O′A′⊥O′C′，O′A′=A′B′=2，O′C′=3，它是水平放置的平面图形的直观图，则该平面图形的周长是( )
A. 7+ 5
B. 5+2 3+ 17
C. 11+ 41
D. 10 2
4.已知a=(5,4)，b=(3,2)，则与2a−3b平行的单位向量为( )
A. ( 55,2 55)B. ( 55,2 55)或(− 55,−2 55)
C. ( 55,−2 55)或(− 55,2 55)D. (− 55,−2 55)
5.如图直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的体积为8，底面ABCD为平行四边形，△A1BC的面积为2 2，则点A到平面A1BC的距离为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 2
6.设△ABC的面积为S，若AB⋅AC=2S，则角A=( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
7.已知直角△ABC斜边BC的中点为O，且|OA|=|AB|，则向量CA在向量CB上的投影向量为( )
A. 14CBB. 34CBC. −14CBD. −34CB
8.庑殿顶是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，宋代称为“五脊殿”、“吴殿”，清代称为“四阿殿”，如图(1)所示.现有如图(2)所示的庑殿顶式几何体ABCDMN，其中正方形ABCD边长为3，MN//AB,MN=32，且MN到平面ABCD的距离为2，则几何体ABCDMN的体积为( )
A. 274B. 94C. 52D. 152
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在复平面内，复数z1=12− 32i对应的点为A，复数z2=z1−1对应的点为B，下列说法正确的是( )
A. |z1|=|z2|=1B. z1⋅z2=|z1|2
C. 向量AB对应的复数是1D. |AB|=|z1−z2|
10.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则下列结论正确的是( )
A. 直线BN与MB1是异面直线
B. 直线AM与BN是平行直线
C. 直线MN与AC是相交直线
D. 平面BMN截正方体所得的截面面积为92
11.下列说法正确的是( )
A. 已知a，b均为单位向量．若|a−b|=1，则a在b上的投影向量为12b
B. P是△ABC所在平面内的一动点，且AP=λ(AB+12BC)(λ≥0)，则点P的轨迹一定通过△ABC的重心
C. 已知O为△ABC的外心，边AB、AC长为定值，则AO⋅BC为定值
D. 若点O满足AO⋅AB|AB|=AO⋅AC|AC|,CO⋅CA|CA|=CO⋅CB|CB|，则点O是△ABC的垂心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一个长方体容器ABCD−A1B1C1D1中盛有水，侧面ABCD为正方形，且A1A=16.如图，当面ABB1A1水平放置时，水面的高度恰好为14AD，那么将面ABCD水平放置时，水面的高度等于______．
13.已知x1，x2是关于x的实系数方程x2−4x+5=0的两个虚根，则|x1|+|x2|x1+x2= ______．
14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=2，cs2A+(4+ 3)sin(B+C)=2 3+1，点P是△ABC的重心，且AP=2 73，则a=______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z1，z2满足z1⋅z2∈R,z1= 3−i1− 3i．
(1)求z1；
(2)求|2z1+z2|的最小值．
16.(本小题15分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(1,0)，点B(−35,45)在单位圆上，∠AOB=θ(0<θ<π)．
(1)求tan(θ+π4)的值；
(2)若四边形OADB是平行四边形，求点D的坐标；
(3)若点A，B，P三点共线，且AB=2AP，求OP⋅AB的值．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，SA=SB=2，E、F分别是SC、BD的中点．
(1)求证：EF//平面SAB；
(2)若二面角S−AB−D的大小为π2，求直线SD与平面ABCD所成角的大小．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，AB=4，CD=2，∠PDA=90°，平面PAD⊥平面PCD．
(Ⅰ)求证：AD⊥PC；
(Ⅱ)若PD=AD=2，PD⊥DC，求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值．
19.(本小题17分)
已知在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tanC= 3sinAsinBsin2A+sin2B−sin2C．
(1)求角C的大小；
(2)当c= 3时，求ab的取值范围．
参考答案
1.A
2.C
3.C
4.B
5.B
6.B
7.B
8.D
9.AD
10.AD
11.ABC
12.4
13. 52
14.2 3或2 13
15.解：(1)z1= 3−i1− 3i=( 3−i)(1+ 3i)(1− 3i)(1+ 3i)=2 3+2i4= 32+12i．
(2)设z2=a+bi(a,b∈R)，则z1⋅z2=(a+bi)( 3+i)2= 3a−b+(a+ 3b)i2．
因为z1⋅z2∈R，所以a+ 3b=0，故z2=− 3b+bi(b∈R)．
|2z1+z2|=|(1−b) 3+(1+b)i|= 3(1−b)2+(1+b)2
= 4(b−12)2+3≥ 3，当b=12时取得等号．
故|2z1+z2|的最小值为 3．
16.解：(1)由点A(1,0)，点B(−35,45)在单位圆上，∠AOB=θ(0<θ<π)，
则tanθ=45−35=−43，
则tan(θ+π4)=tanθ+11−tanθ=−43+11−(−43)=−17；
(2)四边形OADB是平行四边形，
则AD=OB，则OD−OA=OB，
即OD=OA+OB=(25,45)，
所以点D的坐标为(25,45)；
(3)点A，B，P三点共线，且AB=2AP，
①当AB=2AP时，OP=12AB+OA=(−45,25)+(1,0)=(15,25)，
则OP⋅AB=(15,25)⋅(−85,45)=0，
②当AB=−2AP时，OP=−12AB+OA=(95,−25)，
即OP⋅AB=(95,−25)⋅(−85,45)=−165．
17.(1)证明：取线段SB、AB的中点分别为H、G，连接EH、HG、FG，
则EH//AD，EH=12AD，FG//AD，FG=12AD，又底面ABCD是正方形，
则EH//FG，EH=FG，即四边形EFGH为平行四边形，
则HG//EF，又EF⊄SAB，HG⊂平面SAB，则EF//平面SAB．
(2)G为AB中点，连接SG、DG，
又SA=SB=2，底面ABCD是边长为1的正方形，
则SG⊥AB，且SG= 152，DG= 52，
又二面角S−AB−D的大小为π2，即平面SAB⊥平面ABCD，
又SG⊂平面SAB，平面SAB∩平面ABCD=AB，
则SG⊥平面ABCD，则∠SDG是直线SD与平面ABCD所成角，
在Rt△SDG中，tan∠SDG=SGDG= 3，即∠SDG=π3，
则直线SD与平面ABCD所成角的大小为π3．
18.解：(Ⅰ)证明：因为∠PDA=90°，
所以AD⊥PD，
又因为平面PAD⊥平面PCD，平面PAD∩平面PCD=PD，
所以AD⊥平面PCD，
又PC⊂平面PCD，
所以AD⊥PC；
(Ⅱ)因为AD⊥平面PCD，
所以AD⊥CD，AD⊥PD，
又因为PD⊥DC，
如图，建立空间直角坐标系D−xyz，
则P(0,0,2)，C(0,2,0)，B(2,4,0)，PC=(0,2,−2)，CB=(2,2,0)，
易知平面PAD的法向量u=(0,1,0)，
设平面PBC的法向量v=(x,y,z)，
PC⋅v=0CB⋅v=0，即y−z=0x+y=0，令y=1，z=1，x=−1，
故v=(−1,1,1)，
故cs
故所以平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为 33．
19.解：(1)因为tanC= 3sinAsinBsin2A+sin2B−sin2C，
由正弦定理可得tanC= 3aba2+b2−c2，
由余弦定理csC=a2+b2−c22ab，即sinCcsC= 3ab2abcsC，
所以sinC= 32，
又C为锐角，
所以C=π3；
(2)由正弦定理得asinA=bsinB=csinC= 3 32=2，
所以a=2sinA，b=2sinB=2sin(A+π3)，
则ab=4sinAsinB=4sinAsin(A+π3)
=4sinA(12sinA+ 32csA)
=2sin2A+2 3sinAcsA
= 3sin2A−cs2A+1=1+2sin(2A−π6)，
由0
所以12
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