2023-2024学年河南省南阳二中高一（下）月考数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年河南省南阳二中高一（下）月考数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若复数z=i2+2i1+i，则z的共轭复数z−=( )
A. 12+32iB. 12−32iC. −12+32iD. −12−32i
2.若2弧度的圆心角所对的弧长为4，则这个圆心角所在的扇形的面积为( )
A. 4B. 2C. 4πD. 2π
3.平面向量a,b满足a=(2,1)，|2b−a|=3且(b−2a)⊥a，则|b|=( )
A. 3B. 10C. 11D. 2 3
4.若θ为第二象限角，且sinθ+csθ= 55，则cs2θ1−2sin2(θ+π4)=( )
A. 43B. −43C. 34D. −34
5.如图，在直角梯形 ABCD 中，AB//DC，AD⊥DC，AD=DC=2AB，E 为AD 的中点，若CA=λCE+μDB，则λ+μ的值为( )
A. 65B. 85C. 2D. 83
6.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，将函数f(x)图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到函数g(x)的图象，则( )
A. g(x)=sin2x
B. g(x)=2sin(2x−π6)
C. g(x)=2sin2x
D. g(x)=2sin(2x+π6)
7.设a=13cs13,b=sin13,c=tan13，则( )
A. a>b>cB. a>c>bC. c>a>bD. c>b>a
8.在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=6，D为BC的中点，点P在△ABC斜边BC的中线AD上，则PB⋅PC的取值范围为( )
A. [−10,0]B. [−6,0]C. [0,6]D. [0,10]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. z⋅z−=|z|2，z∈C
B. i2024=−1
C. 若|z|=1，z∈C，则|z−2|的最小值为1
D. 若−4+3i是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的根，则p=8
10.已知函数f(x)=sin(2ωx−π6)+2sin2ωx−1(ω>0)，则下列说法正确的是( )
A. f(x)的最小值是− 3
B. 若ω=1，则f(x)在[0,π3]上单调递减
C. 若f(x)在[0,π3]上恰有3个零点，则ω的取值范围为[72,5)
D. 函数y=f(x)3−f(x)的值域为[− 32, 32]
11.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是( )
A. 若A>B，则sinA>sinB
B. 若tanA+tanB+tanC>0，则△ABC可以是钝角三角形
C. 若A=30°，b=4，a=2 3，则△ABC有两解
D. 若(AB|AB|+AC|AC|)⋅BC=0，且AB|AB|⋅AC|AC|=12，则△ABC为等边三角形
12.如图，△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a=b，且 3(acsC+ccsA)=2bsinB，D是△ABC外一点，DC=1，DA=3，则下列说法正确的是( )
A. △ABC是等边三角形
B. 若AC=2 3，则A，B，C，D四点共圆
C. 四边形ABCD面积最大值为5 32+3
D. 四边形ABCD面积最小值为5 32−3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知a=(2,7),b=(x,−3)，且a与b夹角为钝角，则x的取值范围是 ．
14.已知函数f(x)=sin2x−csx+a，f(x)=0在区间(−π2,π2)上有解，则a的取值范围是______．
15.已知2sinβ−csβ+2=0，sinα=2sin(α+β)，则tan(α+β)= ______．
16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2A−sin2B+sin2C=sinAsinC，且△ABC的外接圆的半径为2 3，则△ABC面积的最大值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知复数z1=3−m2+(m− 3)i,z2=μ+sinθ+(csθ− 3)i，其中i是虚数单位，m，μ，θ∈R．
(1)若z1为纯虚数，求m的值；
(2)若z1=z2，求μ的取值范围．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)= 3cs(π2−2x)−2cs2x+1．
(1)若α∈(0,π),f(α2)=1，求α的值；
(2)若β∈(π2,π),f(β)=−12，求cs(β+π6)的值．
19.(本小题12分)
如图，在△OAB中，C是AB的中点，D是线段OB上靠近点O的四等分点，设OA=a，OB=b．
(1)若OA长为2，OB长为8，∠AOB=π3，求CD的长；
(2)若E是OC上一点，且OC=2OE，试判断A，D，E三点是否共线？并说明你的理由．
20.(本小题12分)
在下面给出的三个条件：①2sin2C−B2+2cs2C+B2+2csCcsB=1，②2tanBtanA+tanB=bc，③ 3b=a(sinC+ 3csC)中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．
问题：在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足a= 13，b=3，____，
(1)求角A；
(2)求△ABC的面积．
21.(本小题12分)
如图，四边形ABCD是一块边长为100cm的正方形铁皮，其中扇形AMPN的半径为90cm，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用，P是弧MN上一点，∠PAB=θ，工人师傅想在未被腐蚀部分截下一块边在BC与CD上的矩形铁皮，
(1)求出矩形铁皮PQCR面积S关于θ的表达式；
(2)试确定θ的值，使矩形铁皮PQCR面积最大，并求出这个最大面积．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=csx(sinx− 3csx)(x∈R)．
(1)求f(x)的最小正周期和单调增区间；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f(B2)=− 32，b=6，求△ABC的面积的取值范围．
参考答案
1.B
2.A
3.C
4.D
5.B
6.D
7.D
8.A
9.ACD
10.AC
11.ACD
12.AC
13.{x|x<212且x≠−67}
14.(−1,1]
15.12
16.9 3
17.解：(1)∵z1为纯虚数，∴3−m2=0m− 3≠0，∴m=− 3．
(2)∵z1=z2，∴3−m2=μ+sinθm− 3=csθ− 3，∴μ=−cs2θ−sinθ+3=sin2θ−sinθ+2=(sinθ−12)2+74，
∵sinθ∈[−1,1]，当sinθ=12时，μmin=74；当sinθ=−1时，μmax=4，∴μ∈[74,4]．
18.解：(1)由题意可得f(x)= 3sin2x−cs2x=2sin(2x−π6)，
又α∈(0,π),f(α2)=1，
所以f(α2)=2sin(α−π6)=1，
故sin(α−π6)=12，
因为α∈(0,π)，
所以α−π6∈(−π6,5π6)，
所以α−π6=π6，
故α=π3．
(2)已知β∈(π2,π),f(β)=−12，
则f(β)=2sin(2β−π6)=−12，
所以sin(2β−π6)=−14，
所以cs(2β+π3)=cs[(2β−π6)+π2]=−sin(2β−π6)=14，
又cs(2β+π3)=2cs2(β+π6)−1，
所以cs2(β+π6)=58，
因为β∈(π2,π)，
所以β+π6∈(2π3,7π6)，
所以cs(β+π6)=− 104．
19.解：(1)由于OA=a,OB=b，且点C是AB的中点，
∴OC=OB+BC=OB+12BA=OB+12(OA−OB)=12(OA+OB)=12(a+b)，
|OC|= [12(a+b)]2= 14a2+12a⋅b+14b2= 14×22+12×2×8×csπ3+14×82= 21；
(2)A，D，E三点不共线，理由如下：
∵OA=a,OB=b，
则AD=OD−OA=14OB−OA=−a+14b，
∵OC=2OE，∴OE=12OC，
∴AE=OE−OA=12×12×(a+b)−a=−34a+14b，
假设AE//AD，则存在唯一实数λ，使得AE=λAD，
即−34a+14b=λ(−a+14b)，
所以−34=−λ14=14λ，无解，
∴AE与AD不平行，
∴A，D，E三点不共线．
20.解：选①：(1)因为2sin2C−B2+2cs2C+B2+2csCcsB=1，
所以1−cs(C−B)+1+cs(C+B)+2csCcsB=2+2cs(C+B)=2−2csA=1，
所以csA=12，因为C为三角形的内角，∴A=π3．
(2)∵a= 13，b=3，∴由余弦定理a2=b2+c2−2bccsA，可得13=9+c2−2×3×c×12，
可得c2−3c−4=0，解得c=4或−1(舍去)，
∴S△ABC=12bcsinA=12×3×4× 32=3 3．
选②：(1)∵2tanBtanA+tanB=bc，∴由正弦定理可得：2tanBtanA+tanB=sinBsinC，
可得：2×sinBcsBsinAcsA+sinBcsB=sinBsinC，
可得：2sinBcsBsinAcsB+sinBcsAcsAcsB=2sinBcsBsinCcsAcsB=2sinBcsAsinC=sinBsinC，
∵sinB≠0，sinC≠0，
∴解得csA=12，∵A∈(0,π)，∴A=π3．
(2)∵a= 13，b=3，∴由余弦定理a2=b2+c2−2bccsA，可得：13=9+c2−2×3×c×12，
可得：c2−3c−4=0，解得c=4，或−1(舍去)，
∴S△ABC=12bcsinA=12×3×4× 32=3 3．
选③：(1)由正弦定理得asinA=bsinB，∵ 3sinB=sinA(sinC+ 3csC)，
∴ 3sin(A+C)=sinAsinC+ 3sinAcsC，∴ 3csAsinC=sinAsinC，
∵sinC≠0，即 3csA=sinA，tanA= 3，
又A∈(0,π)，∴A=π3．
(2)∵a= 13，b=3，∴由余弦定理a2=b2+c2−2bccsA，可得：13=9+c2−2×3×c×12，
可得：c2−3c−4=0，解得c=4，或−1(舍去)，
∴S△ABC=12bcsinA=12×3×4× 32=3 3．
21.解：(1)如图，作PH垂直AB于点H，

则AH=APcsθ=90csθ，PH=APsinθ=90sinθ，
所以PQ=100−90csθ，RP=100−90sinθ，
所以矩形铁皮PQCR面积S=(100−90sinθ)(100−90csθ)=10000−9000(sinθ+csθ)+8100sinθcsθ．
(2)令t=sinθ+csθ= 2sin(θ+π4)，
则sinθcsθ=t2−12，
因为θ∈[0,π2]，所以θ+π4∈[π4,3π4]，所以t∈[1, 2]，
所以S=10000−9000t+4050(t2−1)=4050t2−9000t+5950，
由二次函数性质可知，函数S(t)的图象开口向上，对称轴为t=109，
所以当t= 2，即θ=π4时，Smax=14050−9000 2．
22.解：(1)∵f(x)=csxsinx− 3cs2x
=12sin2x− 31+cs2x2
=12sin2x− 32cs2x− 32
=sin(2x−π3)− 32，
∴f(x)的周期T=2π2=π，
∵令2kπ−π2<2x−π3<2kπ+π2，k∈Z，可得x∈(kπ−π12,kπ+5π12)，k∈Z．
∴单调递增区间是(kπ−π12,kπ+5π12)，k∈Z．
(2)∵f(B2)=sin(B−π3)− 32=− 32，
∴B=π3，
由正弦定理有asinA=csinC=bsinB=6sinπ3=4 3，
∴S△ABC=12acsinB
=12⋅4 3sinA⋅4 3sinCsinB
=12 3sinAsinC
=12 3sinAsin(23π−A)
=6 3sin(2A−π6)+3 3，
∵0∴−π6<2A−π6<76π，
∴S△ABC∈(0,9 3]．