2023-2024学年重庆十一中高一（下）月考数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年重庆十一中高一（下）月考数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.任给△ABC，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列等式成立的是( )
A. c2=a2+b2+2abcsCB. c2=a2+b2−2abcsC
C. c2=a2+b2+2absinCD. c2=a2+b2−2absinC
2.设复数z满足z(1+i)=2，则|z−|=( )
A. 22B. 1C. 2D. 2
3.下列说法正确的是( )
A. 各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B. 用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台
C. 底面是矩形的四棱柱是长方体
D. 三棱台有8个顶点
4.在直角坐标系xOy中，向量OA=(1,−1),OB=(5,m),OC=(7,3)，其中m∈R.若A，B，C三点共线，则实数m的值为( )
A. 35B. −7C. 53D. 2
5.P是△ABC所在平面上一点，满足|PB−PC|−|PB+PC−2PA|=0，则△ABC的形状是( )
A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形
6.中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37m，在地面上点C处(B,C,N三点共线)测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得楼顶部M的仰角为15°，则鹳雀楼的高度约为( )
A. 64mB. 74mC. 52mD. 91m
7.在△ABC中，若AB⋅BC3=BC⋅CA2=CA⋅AB，则csA=( )
A. 23B. 22C. 63D. 36
8.如图所示，已知在四边形ABCD中，AB=2，BC=6，AD=CD=4，且点A，B，C，D共圆，点M，N分别是AD和BC的中点，则MN⋅BC的值为( )
A. 367
B. −367
C. 487
D. −487
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若复数z=1+i2023(i为虚数单位)，则下列结论正确的是( )
A. |z|= 2B. z的虚部为−1C. z2为纯虚数D. z−=1−i
10.△ABC的内角A，B、C的对边分别为a，b，c，若AB⋅AC=2,a=2，则( )
A. bccsA=2aB. b2+c2=8
C. 角A的最大值为π3D. △ABC面积的最大值为 3
11.在△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+b2+c2=8，则下列四个选项中哪些值可以作为三角形的面积( )
A. 33B. 2 33C. 3D. 43 3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.欧拉公式eix=csx+isinx(本题中e为自然对数的底数，i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.设复数z=eπ3i的共轭复数为______．
13.已知正六边形ABCDEF的边长为1，若点H是正六边形ABCDEF内或其边界上的一点，则AH⋅AB的最小值为______；若点N为线段AE(含端点)上的动点，且满足DN=mDC+nDE(m∈R,n∈R)，则m+n的最大值为______．
14.△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，点P是△ABC所在平面内的动点，满足OP=OB+λ(BC|BC|+BA|BA|)(λ>0).射线BP与边AC交于点D.若a2+c2−b2=ac，BD=2，则△ABC面积的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a,b满足|a|=1,a⋅b=14,(a+b)⋅(a−b)=12．
(1)求|b|及|a+b|的值；
(2)求向量b与a+b夹角的余弦值．
16.(本小题15分)
在斜三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足asinA+4bsinCcs2A=bsinB+csinC．
(1)求角A的大小；
(2)若a=2，且BC上的中线AD长为 3，求斜三角形ABC的面积．
17.(本小题15分)
在直角梯形ABCD中，已知AB/​/CD，∠DAB=90°，AB=4，AD=CD=2，对角线AC交BD于点O，点M在AB上，且满足OM⊥BD．
(1)求AM⋅BD的值；
(2)若N为线段AC上任意一点，求AN⋅MN的最小值．
18.(本小题17分)
如图，在△ABC中，AB=2，3acsB−bcsC=ccsB，点D在线段BC上．
(1)若∠ADC=3π4，求AD的长；
(2)若BD=2DC，△ACD的面积为4 23，求sin∠BADsin∠CAD的值．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=Asin(π2x+φ)(A>0,|φ|<π)的图象如图所示，点B，D，F为f(x)与x轴的交点，点C，E分别为f(x)的最高点和最低点，而函数f(x)在x=−12处取得最小值．
(1)求参数φ的值；
(2)若A=1，求向量2BC−CD与向量BC+3CD夹角的余弦值；
(3)若点P为f(x)函数图象上的动点，当点P在C，E之间运动时，BP⋅PF≥1恒成立，求A的取值范围．
参考答案
1.B
2.C
3.B
4.C
5.B
6.B
7.D
8.A
9.ABC
10.BCD
11.AB
12.12− 32i
13.−12 4
14.4 33
15.解：(1)因为|a|=1，a⋅b=14，(a+b)⋅(a−b)=a2−b2=1−b2=12，
解得b2=12，所以|b|= 22，
所以(a+b)2=a2+2a⋅b+b2=1+2×14+12=2，
所以|a+b|= 2；
(2)因为b⋅(a+b)=b⋅a+b2=14+12=34，
所以向量b与a+b夹角的余弦值为
csθ=b⋅(a+b)|b||a+b|=34 22× 2=34．
16.解：(1)∵asinA+4bsinCcs2A=bsinB+csinC，
∴由正弦定理可得，a2+4bc⋅cs2A=b2+c2，
∴cs2A=b2+c2−a24bc=12csA，
∵三角形ABC为斜三角形，
∴∠A不为直角，即csA≠0，
∴csA=12，
又∵A∈(0,π)，
∴A=π3；
(2)∵A=π3，a=2，
∴由余弦定理可得4=b2+c2−bc，①
∵BC上的中线AD长为 3，可得BD=CD=1，
∴在△ABD中，由余弦定理可得cs∠ADB=( 3)2+12−c22×1× 3，
在△ACD中，由余弦定理可得cs∠ADC=( 3)2+12−b22×1× 3，
又∵cs∠ADB=cs(π−∠ADC)=−cs∠ADC，
∴( 3)2+12−c22×1× 3=−( 3)2+12−b22×1× 3，整理可得b2+c2=8，②
∴由①②解得b=c=2，
∴S△ABC=12bcsinA=12×2×2× 32= 3．
17.解：方法一
(1)在梯形ABCD中，因为AB/​/CD，AB=2CD，
所以AO=2OC，
∴AM⋅BD=(AO+OM)⋅BD=AO⋅BD+OM⋅BD=AO⋅BD
=23AC⋅BD
=23(AD+DC)⋅(AD−AB)=23(AD2−DC⋅AB)
=23(4−2×4)=−83；
(2)令AM=λAB，AM⋅BD=λAB⋅BD=λAB⋅(AD−AB)=−λAB2=−16λ=−83
则λ=16，即AM=16AB，
AN⋅MN=AN⋅(AN−AM)=AN2−AN⋅AM=AN2−|AN|×|AM|×cs45°=AN2−16×|AN|×|AB|×cs45°=|AN|2− 23|AN|
令|AN|=t，则0≤t≤2 2，AN⋅MN=t2− 23t=(t− 26)2−118，
所以当|AN|= 26时，AN⋅MN有最小值−118．
方法二
(1)以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系；
则A(0,0)，B(4,0)，C(2,2)，D(0,2)；则BD=(−4,2)，
由相似三角形易得O(43,43)．
设M(λ,0)，则OM=(λ−43,−43)，
OM⋅BD=(λ−43)×(−4)+(−43)×2=−4λ+83=0．
得λ=23.则AM=(23,0)，AM⋅BD=23×(−4)+0×2=−83．
(2)设N(a,a)，显然0≤a≤2，AN⋅MN=(a,a)⋅(a−23,a)=2a2−23a=2(a−16)2−118，
所以当a=16时，AN⋅MN有最小值−118．
18.解：(1)因为3acsB−bcsC=ccsB，
则由正弦定理可得，3sinAcsB−sinBcsC=sinCcsB，即3sinAcsB=sin(B+C)=sinA，
又sinA≠0，则csB=13，
所以sinB= 1−cs2B=2 23，
又∠ADC=3π4，则∠ADB=π4，
在△ABD中，由正弦定理可得，ADsinB=ABsin∠ADB，即AD2 23=2 22，
所以AD=83；
(2)设CD=t，则BD=2t，
又△ACD的面积为4 23，则S△ABC=3S△ABD=4 2，
所以12×2×3t×2 23=4 2，解得t=2，则BC=3t=6，
由余弦定理可得，AC= AB2+BC2−2AB⋅BC⋅csB= 4+36−2×2×6×13=4 2，
在△ABD中，由正弦定理可得，BDsin∠BAD=ABsin∠ADB，又BD=4，AB=2，则sin∠BAD=2sin∠ADB，
在△ACD中，由正弦定理可得，CDsin∠CAD=ACsin∠ADC，又CD=2，AC=4 2，则sin∠CAD= 24sin∠ADC，
又sin∠ADB=sin∠ADC，则sin∠BADsin∠CAD=2sin∠ADB 24sin∠ADC=4 2．
19.解：(1)由函数f(x)=Asin(π2x+φ)(A>0,|φ|<π)在x=−12处取得最小值，
可得φ−π4=−π2+2kπ，k∈Z，
所以φ=2kπ−π4，k∈Z，
又|φ|<π，则φ=−π4；
(2)因为A=1，所以f(x)=sin(π2x−π4)，
则B(12,0)，C(32,1)，D(52,0)，
则2BC−CD=(1,3)，BC+3CD=(4,−2)，
则csθ=(2BC−CD)⋅(BC+3CD)|2BC−CD||BC+3CD|=4−6 10× 20=− 210，
即向量2BC−CD与向量BC+3CD夹角的余弦值为− 210；
(3)因为P是f(x)上动点，f(x)=Asin(π2x−π4)，B(12,0)，F(92,0)，
又BP⋅PF≥1恒成立，设P(x,Asin(π2x−π4))，
则BP=(x−12,Asin(π2x−π4))，PF=(92−x,−Asin(π2x−π4))，
则BP⋅PF=(x−12)(92−x)−Asin(π2x−π4)⋅Asin(π2x−π4)=−x2+5x−94−A2sin2(π2x−π4)，
易知y=−x2+5x−94,x∈[32,72]在x=32或x=72处有最小值，
y=A2sin2(π2x−π4),x∈[32,72]在x=32或x=72处有最大值，
所以当x=32或x=72时，BP⋅PF有最小值，
即当P在C或E时，BP⋅PF有最小值，此时P(32,A)或P(72,−A)，
当P为(32,A)时，BP=(1,A)，PF=(3,−A)，
由BP⋅PF=3−A2≥1，得− 2≤A≤ 2，
又A>0，则0当P为(72,−A)时，BP=(3,A)，PF=(1,A)，
由BP⋅PF=3−A2≥1，解得0综上，A∈(0, 2],
即A的取值范围为(0, 2]．