重庆市2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷(含答案)

这是一份重庆市2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知复数z满足(其中i为虚数单位),则z的虚部为( )
A.B.3C.D.3i
2．设复数的共轭复数为,则( )
A.B.C.D.
3．与向量垂直的单位向量为( )
A.B.C.或D.
4．已知等边,边长为1,则等于( )
A.B.5C.D.7
5．的三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足,则的形状是
A.正三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形
6．已知复数,满足,,i为虚数单位,则( )
A.1B.2C.1-iD.2-i
7．在中,,,,AC的中点为D,若长度为3的线段PQ(P在Q的左侧)在直线BC上移动,则的最小值为( )
A.B.C.D.
8．已知平面向量,,满足,,,则以下说法正确的有个.
①;
②对于平面内任一向量,有且只有一对实数,使;
③若,且,则的范围为;
④设,,,,且在处取得最小值,当时,则;
A.1B.2C.3D.4
二、多项选择题
9．在复平面内,复数z对应的点是,则( )
A.B.C.D.
10．下列叙述中错误的是( )
A.若,则
B.若,则与的方向相同或相反
C.若,,则
D.对任一非零向量,是一个单位向量
11．已知面积为12,,则下列说法正确的是( )
A.若,则B.的最大值为
C.的值可以为D.的值可以为
三、填空题
12．若向量,,且,则_________.
13．若复数为纯虚数,则实数a的值为_______.
14．若点C在以P为圆心,6为半径的弧(包括A,B两点)上,,且,则的取值范围为__________.
四、解答题
15．已知在与中,与在直线BC的同侧,,直线AC与直线交于O.
（1）若,,求的取值范围;
（2）证明:.
16．已知复数,其中.
（1）当时,z表示实数;当时,z表示纯虚数.求的值.
（2）复数z的长度记作,求的最大值.
17．蜀绣又名“川绣”,与苏绣,湘绣,粤绣齐名,为中国四大名绣之一,蜀绣以其明丽清秀的色彩和精湛细腻的针法形成了自身的独特的韵味,丰富程度居四大名绣之首.1915年,蜀绣在国际巴拿马赛中荣获巴拿马国际金奖,在绣品中有一类具有特殊比例的手巾呈如图所示的三角形状,点D为边BC上靠近B点的三等分点,,.
(1)若,求三角形手巾的面积;
(2)当取最小值时,请帮设计师计算BD的长.
18．在英语中,实数是RealQuantity,一般取Real的前两个字母“Re”表示一个复数的实部;虚数是ImaginaryQuantity,一般取Imaginary的前两个字母“Im”表示一个复数的虚部.如:,;,.已知复数z是方程的解.
（1）若,且(a,,i是虚数单位),求;
（2）若,复数,,且,,求t的取值范围.
19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
（1）求A；
（2）若，设点P为的费马点，求；
（3）设点P为的费马点，，求实数t的最小值.
参考答案
1．答案：A
解析：由得,即z的虚部为.
故选:A.
2．答案：D
解析：因为,所以,故,
故.
故选:D
3．答案：C
解析：设与向量垂直的单位向量为,则,,
解得,或,,
即所求单位向量为或,
故选:C.
4．答案：C
解析：有题意知,且,的夹角是,
所以
,
故选:C.
5．答案：D
解析：中,由正弦定理得:,
,又,
,
,
或,
即或,
为等腰三角形或直角三角形.
故选:D
6．答案：C
解析：设,,,,
由,则,,
,
由,则,
.
故选:C.
7．答案：B
解析：由正弦定理可得,,,
以BC所在直线为x轴,则,,,
则表示x轴上的点P与A和的距离和,
利用对称性,关于x轴的对称点为,
可得的最小值为=.
8．答案：C
解析：对①,当且仅当,,都是同一个方向时,取得最大值6,故①正确;
对②,若与共线时,不存在实数,使成立,故②错误;
对③,设,,,
则
又因为,令,,
故可得点是直线上的一点,
又因为,故可得;
则问题可以转化为单位圆上一点到直线上的一点之间的距离,
故画图如下:
数形结合可知,距离的最小值为到直线的距离减去半径,
则,且(当且仅当单位圆上点为时)
故,即,
故③正确;
对④,因为,,
故
设
故,
故在处取得最小值,故只需,
解得,故.
故④正确.
综上所述:①③④正确.
故选:C.
9．答案：AD
解析：因为复平面内,复数z对应的点是,
所以,故A正确;
,故B错误;
,故C错误;
,故D正确.
故选:AD
10．答案：ABC
解析：对于A,向量不能比较大小,A错误;
对于B,零向量与任意向量共线,且零向量的方向是任意的,则或时,与的方向不是相同或相反,故B错误;
对于C,当时,若,,与是任意向量,故选项C不正确;
对于D,对任一非零向量,表示与方向相同且模长为1的向量,
所以是的一个单位向量,故选项D正确;
故选:ABC.
11．答案：AD
解析：设A,B,C所对的边为a,b,c,因为面积为12,故,
故.
对于A,若,结合B三角形内角可得,故.
因为,故,故,故.
由正弦定理可得,故,故A正确.
对于B,由余弦定理可得,
所以即,当且仅当时等号成立.
而,故,故,整理得到,
而,
因为,故,故的最大值为,
当且仅当时等号成立,故B错误.
对于C,,
故,而,
故,故C错误.
对于D,若,则可得或,
若,则,消元后得到:,
所以,整理得到,
但,故矛盾即不成立.
若,则,消元后得到:,
所以,整理得到,
结合可得,,此时,,
故D正确
故选:AD.
12．答案：
解析：因为,所以,即,
所以,所以.
故答案为:.
13．答案：2
解析：因为为纯虚数,则,解得.
故答案为:2.
14．答案：
解析：以点P为圆心建立如图所示的平面直角坐标系.
由题意得,,设,则点C的坐标为.
,
,
,解得,
,
其中,,
,
,
.
的取值范围为.
15．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）在中,因为,,所以,设,
由于,所以,由余弦定理得,
所以,从而,故;
（2）连结,记,,
在中由正弦定理知,要证明,只需证明.设,,,,由题意知,从而在与中由余弦定理得
所以,故.
16．答案：（1）
（2）3
解析：（1）因为当时,z表示实数,所以,
所以.
又因为当时z表示纯虚数,所以,且
所以.
从而.
（2）因为
.
当时,,则取得最大值9,
此时的最大值为3.
17．答案：(1)
(2)
解析：（1）在中,,,故,,
由正弦定理得,即,
而,
故,
故,
故三角形手巾的面积为
（2）设,则,
则在中,,
在中,,
故
,
由于,
当且仅当,即时取等号,
故,
即取到最小值即取最小值时,,
即此时.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为z是方程的根,解得,
,,
,,
,解得,
;
（2）,复数,,且,
,又,
,
,
,解得.
所以t的取值范围为.
19．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）由已知中，即，
故，由正弦定理可得，
故直角三角形，即.
（2）由（1），所以三角形的三个角都小于，
则由费马点定义可知：，
设，，，由得：
，整理得，
则
.
（3）点P为的费马点，则，
设，，，，，，
则由得；
由余弦定理得，
，
，
故由得，
即，而，，故，
当且仅当，结合，解得时，等号成立，
又，即有，解得或（舍去），
故实数t的最小值为.