2023-2024学年重庆外国语学校高一（下）月考数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年重庆外国语学校高一（下）月考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若cs(π2+2α)−4sin2α=−2，则tan2α=( )
A. −2B. −12C. 2D. 12
2.已知a，b是夹角为120°的两个单位向量，若向量a+λb在向量a上的投影向量为2a，则λ=( )
A. −2B. 2C. −2 33D. 2 33
3.已知α，β∈(0,π)，sin(α−β)=56，tanαtanβ=−14，则α+β=( )
A. 56πB. πC. 76πD. 116π
4.已知非零向量a,b满足：向量a−b与向量b垂直，且向量a−4b与向量a垂直，则a与b的夹角为( )
A. π6B. π4C. π3D. 5π6
5.设向量a与b的夹角为θ，定义a⊕b=|asinθ+bcsθ|.已知向量a为单位向量，|b|= 2，|a−b|=1，则a⊕b=( )
A. 22B. 2C. 102D. 2 3
6.如图，这是一半径为4.8m的水轮示意图，水轮圆心O距离水面2.4m，已知水轮每60s逆时针转动一圈，若当水轮上点P从水中浮出时(图中点P0)开始计时，则( )
A. 点P距离水面的高度ℎ(m)与t(s)之间的函数关系式为ℎ=4.8sin(π30t−π6)
B. 点P第一次到达最高点需要10s
C. 在水轮转动的一圈内，有10s的时间，点P距离水面的高度不低于4.8m
D. 当水轮转动50s时，点P在水面下方，距离水面2.4m
7.在锐角△ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值为( )
A. 4B. 6C. 8D. 10
8.正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AD，BC上，且DE=EA，CF=2FB，如果对于常数λ，在正方形ABCD的四条边上(不含顶点)有且只有6个不同的点P，使得PE⋅PF=λ成立，那么λ的取值范围为( )
A. (−3,−14)B. (−3,3)C. (−14,3)D. (3,12)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法不正确的是( )
A. 若a≠0,b≠0,a//b，则a与b的方向相同或者相反
B. 若a，b为非零向量，且a|a|=b|b|，则a与b共线
C. 若a/​/b，则存在唯一的实数λ使得a=λb
D. 若e1,e2是两个单位向量，且|e1−e2|=1，则|e1+e2|= 2
10.如图，顺次连接正五边形ABCDE的不相邻的顶点，得到五角星形状，则以下说法正确的是( )
A. AG+DE=0
B. AF⋅AJ=DH⋅DI
C. 3AJ=AE+AG
D. AH=AF+AJ
11.设函数f(x)=cs((ωx−2π5)+3π2)(ω>0)，若f(x)的图象与直线y=−1在[0,2π]上有且仅有1个交点，则下列说法正确的是( )
A. ω的取值范围是[1920,3920)
B. f(x)在[0,2π]上有且仅有2个零点
C. 若f(x)的图象向右平移π12个单位长度后关于y轴对称，则ω=65
D. 若将f(x)图象上各点的横坐标变为原来的12，得到函数g(x)的图象，则g(x)在[0,π4]上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，动点P、Q从点A(4,0)出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转π6弧度，则P、Q第一次相遇时Q点走过的弧长为______．
13.设向量a、b满足|a|=1，|b|=2，且a、b的夹角为60°，若向量7a+2tb与向量ta+b的夹角为钝角，则实数t的取值范围是______．
14.已知向量a,b满足|b|=2，a与b的夹角为60°，则当实数λ变化时，|b−λa|的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
计算求值：
(1)已知α、β均为锐角，sinα=17，cs(α+β)=5 314，求sinβ的值；
(2)计算2cs10°−2 3cs(−100°) 1−sin10∘的值．
16.(本小题15分)
已知a，b的夹角为60°，且|a|=1,|b|=2，设m=3a−b，n=ta+2b．
(1)若m⊥n，求实数t的取值；
(2)t=2时，求m与n的夹角；
(3)是否存在实数t，使得m/​/n，若存在，求出实数t．
17.(本小题15分)
已知m>0，n>0，如图，在△ABC中，点M，N满足AM=mAB，AN=nAC，D是线段BC上一点，BD=13BC，点E为AD的中点，且M，N，E三点共线．
(1)若点O满足2AO=OB+OC，证明：OE/​/BC．
(2)求m+2n的最小值．
18.(本小题17分)
设函数f(x)=sin(2x−π6)+2cs2x−1(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若不等式f2(x)+2acs(2x+π6)−2a−2<0对任意x∈(−π12,π6)时恒成立，求实数a应满足的条件；
(3)将函数f(x)的图象向右平移π12个单位，然后保持图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的1m，得到函数g(x)的图象，若存在非零常数λ，对任意x∈R，有g(x+λ)=λg(x)成立，求实数m的取值范围．
19.(本小题17分)
如图，设Ox，Oy是平面内相交成θ角的两条数轴，e1，e2分别是与x轴、y轴同方向的单位向量．若向量OP=xe1+ye2，则把有序数对(x,y)叫做OP在斜坐标系Oxy中的坐标．
(1)若a=(1,2),b=(2,λ)，a/​/b，求λ；
(2)若θ=60°，a=(1,2)，b=(−1,1)，求a在b上的投影向量斜坐标；
(3)若a=(1,1)，b=(3,1)，c=(2,−1)，|c|≤ 2，求cs2的最小值．
参考答案
1.C
2.A
3.C
4.C
5.C
6.D
7.C
8.C
9.CD
10.ABD
11.AC
12.8π3
13.(−7,− 142)∪(− 142,−12)
14. 3
15.解：(1)α、β均为锐角，则0<α+β<π，
所以sin(α+β)= 1−cs2(α+β)= 1−(5 314)2=1114，
csα= 1−sin2α= 1−(17)2=4 37，
所以sinβ=sin[(α+β)−α]=sin(α+β)csα−cs(α+β)sinα=1114×4 37−5 314×17=39 398．
(2)2cs10°−2 3cs(−100°) 1−sin10∘=2cs10°−2 3cs100° 1−sin10∘
=2cs10°−2 3cs(90°+10°) 1−sin10∘=2cs10°+2 3sin10° 1−sin10∘
=4(12cs10°+ 32sin10°) 1−2sin5°cs5°=4cs(60°−10°)cs5∘−sin5∘
=4cs50° 2(cs45°cs5°−sin45°sin5°)
=4cs50° 2cs50°
=2 2．
16.解：∵a，b的夹角为60°，且|a|=1,|b|=2，
∴a⋅b=|a||b|cs60°=1×2×12=1．
(1)由m⊥n，得m⋅n=(3a−b)⋅(ta+2b)=3t|a|2+(6−t)a⋅b−2|b|2
=3t+6−t−8=0，解得t=1；
(2)t=2时，|m|= (3a−b)2= 9a2−6a⋅b+b2= 9−6+4= 7，
|n|= (2a+2b)2= 4a2+8a⋅b+4b2= 4+8+16=2 7，
m⋅n=(3a−b)⋅(2a+2b)=6a2+4a⋅b−2b2=6+4−4=6．
∴cs=m⋅n|m||n|=6 7×2 7=37．
∴m与n的夹角为arccs37；
(3)由m/​/n，得3a−b=λ(ta+2b)(λ≠0)，
即3=λt−1=2λ，解得λ=−12t=−6．
∴存在实数t=−6，使得m/​/n．
17.证明：(1)∵BD=13BC，
∴AD=AB+BD=AB+13(AC−AB)=23AB+13AC=13AB+16AC，
∵2AO=OB+OC，
∴2AO=OA+AB+OA+AC，即AO=14(AB+AC)，
∴OE=AE−AO=(13AB+16AC)−14(AB+AC)=112AB−112AC=112CB，
∴OE/​/BC．
(2)解：由(1)可知，AE=13mAM+16nAN，
∵M，N，E三点共线，
∴13m+16n=1，
∴m+2n=(m+2n)(13m+16n)=23+2n3m+m6n≥23+2 2n3m⋅m6n=43，当且仅当2n3m=m6n13m+16n=1，即m=23，n=13
时，等号成立，
故m+2n的最小值为43．
18.解：(1)f(x)=sin(2x−π6)+2cs2x−1= 32sin2x−12cs2x+cs2x= 32sin2x+12cs2x=sin(2x+π6)，
则函数f(x)的最小正周期T=2π2=π；
(2)设t=cs(2x+π6)，由x∈(−π12,π6)，可得2x+π6∈(0,π2)，则t∈(0,1)，
不等式f2(x)+2acs(2x+π6)−2a−2<0对任意x∈(−π12,π6)时恒成立，
即为−t2+2at−2a−1<0对t∈(0,1)恒成立，
即有2a>1+t2t−1=(t−1)+2t−1+2，
设g(t)=(t−1)+2t−1+2在(0,1)递减，可得g(t)∈(−∞,−1)，
所以2a≥−1，即a≥−12，
所以a的取值范围是[−12,+∞)；
(3)将函数f(x)的图象向右平移π12个单位，得到y=sin(2x−π6+π6)，即y=sin2x，
然后保持图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的1m，得到函数g(x)=sin(2mx)的图象，
若存在非零常数λ，对任意x∈R，有g(x+λ)=λg(x)成立，
即为sin(2mx+2mλ)=λsin(2mx)，
即为sin(2mx)cs(2mλ)+cs(2mx)sin(2mλ)=λsin(2mx)，
即有sin(2mx)[cs(2mλ)−λ]+cs(2mx)sin(2mλ)=0，
由于对任意x∈R，有g(x+λ)=λg(x)成立，
可得cs(2mλ)−λ=0sin(2mλ)=0，即有λ=±12mλ=kπ,k∈Z且k≠0，
所以m=kπ2，k∈Z且k≠0，
即实数m的取值范围是{m|m=kπ2,k∈Z且k≠0}．
19.解：(1)∵a=(1,2),b=(2,λ),a//b，
∴a=e1+2e2,b=2e1+λe2，
∴12=2λ，即λ=4；
(2)∵θ=60°,a=(1,2),b=(−1,1)，
∴a=e1+2e2,b=−e1+e2，
∴|e1|=|e2|=1,e1⋅e2=12，
a⋅b=(e1+2e2)⋅(−e1+e2)=−e12+2e22−e1⋅e2=−1+2−12=12，
|b|= (−e1+e2)2= e12−2e1⋅e2+e22=1，
∴a在b上的投影向量为a⋅b|b|×b|b|=12(−e1+e2)=−12e1+12e2=(−12,12)，
即a在b上的投影向量斜坐标为(−12,12)；
(3)∵c=(2,−1),|c|≤ 2
∴c=(2,−1)=2e1−e2, (2e1−e2)2=4e12−4e1⋅e2+e22=5−4e1⋅e2≤2
∴e1⋅e2≥34
又a=(1,1)=e1+e2,b=(3,1)=3e1+e2，
∴a⋅b=(3e1+e2)⋅(e1+e2)=4+4e1⋅e2,|a|= (e1+e2)2= 2+2e1⋅e2,|b|= (3e1+e2)2= 10+6e1⋅e2，
∴cs2〈a,b〉=(a⋅b|a||b|)2=(4+4e1⋅e2)2(2+2e1⋅e2)(10+6e1⋅e2)=4+4e1⋅e25+3e1⋅e2．
令t=e1⋅e2，则t≥34,cs2〈a,b〉=4+4t5+3t，
又y=4+4t5+3t=43−83(5+3t)，在34,+∞)上单调递增，
∴cs2〈a,b〉=4+4t5+3t≥2829，即cs2〈a,b〉的最小值为2829．