2023-2024学年重庆十八中高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年重庆十八中高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知a=(2,−1)，b=(1,−1)，则(a+2b)⋅(a−3b)=( )
A. 10B. −10C. 3D. −3
2.已知sin(π6−x)= 55，则cs(π3+x)=( )
A. ± 55B. 55C. 2 55D. ±2 55
3.设e1，e2是两个单位向量，且|e1−3e2|= 13，那么它们的夹角等于( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
4.在△ABC中，若asinB= 3bcsA，且sinC=2sinAcsB，那么△ABC一定是( )
A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形
5.在△ABC中，D在BC上，且BD=2DC，E在AD上，且AD=4AE，若BE=xAB+yAC，则x+y=( )
A. 1312B. 34C. −34D. −1312
6.一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东350的方向直线航行，30分仲后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东650，在B处观察灯塔，其方向是北偏东700，那么B，C两点间的距离是( )
A. 10 3海里B. 20 3海里C. 10 2 海里D. 20 2海里
7.已知向量a=(2,1),b=(0,2),c=(−1,1)，集合A={m|m=a+λ1b},B={n|n=b+λ2c}，其中λ1，λ2∈R，则( )
A. A∩B=⌀B. A∩B={2,0}
C. 若d∈A∩B，则为钝角D. 若d∈A∩B，则|b|=|d|
8.已知点G为三角形ABC的重心，且|GA+GB|=|GA−GB|，当∠C取最大值时，csC=( )
A. 45B. 35C. 25D. 15
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(2,1)，b=(−3,1)，则下列说法正确的是( )
A. (a+b)//aB. 向量a在向量b上的投影向量为−12b
C. a与a−b的夹角的余弦值为 55D. 若c=( 55,−2 55)，则a⊥c
10.下列说法中正确的有( )
A. |(a⋅b)c|≤|a||b||c|
B. 已知a在b上的投影向量为12b且|b|=5，则a⋅b=252
C. 若非零向量a,b满足|a|=|b|=|a−b|，则a与a+b的夹角是30°
D. 已知a=(1,2)，b=(1,1)，且a与a+λb夹角为锐角，则λ的取值范围是(−53,+∞)
11.△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且a=2，AB⋅AC=2 3S，下列选项正确的是( )
A. A=π3
B. 若b=3，则△ABC有两解
C. 若△ABC为锐角三角形，则b取值范围是(2 3,4)
D. 若D为BC边上的中点，则AD的最大值为2+ 3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量a=(sinθ,1),b=(−2,csθ)，若a⊥b，则tanθ= ______．
13.如图，在△ABC中，若AB=AC，D为边BC上一点，BD=2DC，AD=2，sin∠ADCsin∠ACD= 3，则BC= ______．
14.设△ABC的面积为S，∠BAC=θ，已知AB⋅AC=4，2≤S≤2 3，则函数f(θ)= 3sin2(θ+π4)+cs2θ的值域为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知f(x)=sin(π2−x)cs(3π2+x)tan(π−x)cs(3π−x)sin(π+x)．
(1)化简函数f(x)；
(2)若f(α)=3，求sinα+2csα2sinα−csα．
16.(本小题15分)
已知a，b，c是同一平面内的三个不同向量，其中a=(1,2)．
(1)若|c|=2 5，且a/​/c，求c；
(2)若|b|=2，且|ka+b|= 2|a−kb|(k>0)，求a⋅b的最小值，并求出此时a与b夹角的余弦值．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)= 3sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π2)，函数f(x)图象关于(−13,0)对称，且函数f(x)图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4．
(1)求ω，φ的值；
(2)求函数f(x)的单调增区间；
(3)若方程f(x)−m=0在x∈[0,83]有两个根，求m的取值范围．
18.(本小题17分)
设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知1−sinAcsA=1−cs2Bsin2B．
(1)证明：A+2B=π2．
(2)求a2c2的取值范围．
19.(本小题17分)
十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔⋅德⋅费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：“当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120°；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为费马点.已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，且csA2csB=sin(C−π6)，点P为△ABC的费马点．
(1)求角B；
(2)若b2−(a−c)2=6，求PA⋅PB+PB⋅PC+PA⋅PC的值；
(3)若b=1，求|PA|+|PC|−|PB|的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：a=(2,−1)，b=(1,−1)，
则a+2b=(4,−3)，a−3b=(−1,2)，
(a+2b)⋅(a−3b)=4×(−1)+(−3)×2=−10．
故选：B．
利用向量的坐标运算分别求出a+2b，a−3b，再利用数量积的坐标运算求解即可．
本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：因为sin(π6−x)= 55，
则cs(π3+x)=sin(π6−x)= 55．
故选：B．
由已知结合诱导公式即可求解．
本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：∵|e1|=|e2|=1，且|e1−3e2|= 13，
∴(e1−3e2)2=e12+9e22−6e1⋅e2=1+9−6e1⋅e2=13，
∴e1⋅e2=−12，
∴cs=e1⋅e2|e1||e2|=−12，且0≤≤π，
∴=2π3．
故选：C．
可知|e1|=|e2|=1，然后对|e1−3e2|= 13两边平方，进行数量积的运算即可求出e1⋅e2=−12，从而可求出cs=−12，根据向量夹角的范围即可求出夹角．
本题考查了单位向量的定义，向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，考查了计算能力，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：已知asinB= 3bcsA，
则sinAsinB= 3sinBcsA，
则tanA= 3，
即A=π3，
又sinC=2sinAcsB，
则sinAcsB+csAsinB=2sinAcsB，
即sinAcsB−csAsinB=0，
即sin(A−B)=0，
又−π0，得到〈a,d〉为锐角，可判定C错误；求得|b|=|d|=2，可判定D正确．
本题考查平面向量基本定理，考查向量的数量积运算及集合的运算，属中档题．
8.【答案】A
【解析】解：由题意|GA+GB|=|GA−GB|，
所以(GA+GB)2=(GA−GB)2，
即GA2+GB2+2GA⋅GB=GA2+GB2−2GA⋅GB，
所以GA⋅GB=0，
所以AG⊥BG，
又AG=23×12(AC+AB)=13(AC+AB)，BG=23×12(BA+BC)=13(BA+BC)，
则AG⋅BG=19(AC+AB)⋅(BA+BC)=19(AC⋅BA+AC⋅BC+AB⋅BA+AB⋅BC)=0，
所以CA⋅CB=AC⋅AB+BA⋅BC+AB2，即abcsC=bccsA+accsB+c2，
由csA=b2+c2−a22bc，csB=a2+c2−b22ac，csC=a2+b2−c22ab，
所以a2+b2=5c2，
所以csC=a2+b2−c22ab=25(ab+ba)≥45 ab⋅ba=45，当且仅当a=b时等号成立，
又y=csx在(0,π)上单调递减，C∈(0,π)，
所以当∠C取最大值时，csC=45．
故选：A．
由题设可得AG⋅BG=0，结合AG=13(AC+AB)，BG=13(BA+BC)及余弦定理可得csC=25(ab+ba)，根据基本不等式即可求解．
此题考查向量的数量积运算及余弦定理的应用，解题的关键是结合三角形重心的性质和余弦定理可得a2+b2=5c2，然后利用基本不等式求解，考查转化思想，属于较难题．
9.【答案】BD
【解析】【分析】
本题主要考查向量的坐标运算，向量的夹角，向量平行、垂直和向量的投影，属于基础题．
A.根据条件得到a+b=(−1,2)，再根据向量平行的性质判断a+b与a是否平行即可；
B.由数量积公式求得向量a在向量b上的投影数量a⋅b|b|，即可判断B；
C.设a与a−b的夹角为β，再用夹角公式求出夹角的的余弦值，即可判断C；
D.由向量数量积的坐标运算，判断a⋅c=0是否成立，即可判断D．
【解答】
解：∵a=(2,1),b=(−3,1)，
∴a+b=(−1,2)，因此a+b不与a平行，故A错误；
又∵|b|= 10,|a|= 5，
∴向量a在向量b上的投影数量为
a⋅b|b|=−3×2+1×1 10=− 102=−12⋅|b|，所以投影向量为−12b，故B正确；
∵a−b=(5,0)，设a与a−b的夹角为β，
则csβ=a⋅(a−b)|a|⋅|a−b|=2×5+1×0 5×5=2 55，故C错误；
若c=( 55,−2 55)，则a⋅c=2× 55+1×(−2 55)=0，
即a⊥c，故D正确．
故选：BD．
10.【答案】ABC
【解析】解：对于A，因为|a⋅b|=|a||b||csθ|≤|a||b|，所以|(a⋅b)c|=|(a⋅b)||c|≤|a||b||c|，故A正确；
对于B，因为a在b上的投影向量为12b，所以a⋅b|b|⋅b|b|=12b，
又|b|=5，所以a⋅b5⋅b5=12b，则a⋅b=252，故B正确；
对于C，因为非零向量a,b满足|a|=|b|=|a−b|，
则|a|2=|b|2=|a−b|2=|a|2+|b|2−2a⋅b，即有a⋅b=12|a|2，
所以a⋅(a+b)=a2+a⋅b=32|a|2，又|a+b|= a2+2a⋅b+b2= 3|a|，
所以a与a+b的夹角的余弦值为a⋅(a+b)|a|⋅|a+b|= 32，
又0°≤〈a,a+b〉≤180°，可得a与a+b的夹角为30°，故C正确；
对于D，因为a=(1,2),b=(1,1)，
所以a+λb=(1,2)+(λ,λ)=(1+λ,2+λ)，
当a与a+λb平行时，2+λ−2(1+λ)=0，解得λ=0，
此时a与a+λb的夹角不为锐角，故D错误．
故选：ABC．
利用向量数量积的定义可判断A；利用向量投影向量的定义可判断B；运用向量数量积的运算法则，结合夹角公式可判断C；判断a与a+λb平行时λ的取值可判断D．
本题考查平面向量数量积的性质与运算，属中档题．
11.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查了正余弦定理，三角形的面积公式，不等式a2+b2≥2ab的应用，向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，考查了计算能力，属于中档题．
根据AB⋅AC=2 3S即可得出bccsA= 3bcsinA，从而求出tanA= 33，然后即可得出A=π6；可得出bsinA