2022-2023学年福建省福州市福清市七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省福州市福清市七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  皮影戏是中国民间古老的传统艺术，如图就是皮影戏中孙悟空的一个形象，在下面的四个图形中，能由图经过平移得到的图形是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  下列各图中，与是对顶角的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  若，是方程的一个解，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列各式正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则(    )

A.
B.
C.
D.

6.  由，可以得到用表示的式子是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  下列命题中是真命题的是(    )

A. 相等的角是对顶角 B. 同旁内角互补
C. 数轴上的点与实数一一对应 D. 无限小数都是无理数

8.  若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D. 或

9.  某人带了元去市场买水果，他买了千克的哈密瓜，千克的青提葡萄，还剩元设哈密瓜每千克元，青提葡萄每千克元，得方程则下列说法中，正确的是(    )

A. 千克青提葡萄的价格可以是元
B. 若千克哈密瓜的价格是元，则千克青提葡萄的价格是元
C. 若是方程的解，则，都可以表示哈密瓜、青提葡萄的单价
D. 若，分别表示哈密瓜、青提葡萄的单价，则，一定是方程的解

10.  如图，，点在上，在直线上方，，点，，分别在，，上，，，则不可能取到的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11.  的相反数是______．

12.  如图，于点，经过点，若，则 ______ ．

13.  如图，计划把池中的水引到处，可过点作，垂足为点，然后沿挖渠，可使所挖的渠道最短，这种设计的依据是______ ．

14.  已知，满足方程组，则的值为______ ．

15.  如图，在三角形中，点，分别在边，上，将沿直线翻折，使点落在点处，连结，向右平移若干单位长度后恰好能与边重合，若四边形的周长为，则的长为______ ．

16.  若记表示任意实数的整数部分例如：，，则其中“”“”依次相间的值为______．

三、解答题（本大题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
；
 

18.  本小题分
解方程组：．

19.  本小题分
一个正数的平方根是与，的立方根为，求的值．

20.  本小题分
推理填空：如图，直线，被直线所截，是的角平分线，若，，求的度数．
解：是的角平分线，
角平分线的定义
，已知
______ ______
______
______
，______
______ ______

21.  本小题分
列方程组解应用题．
九章算术是我国古代的数学名著，书中第八卷有这样一个问题：今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？意思是：今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为，问甲、乙的钱数各有多少？

22.  本小题分
如图，，．
求证：；
若，，求的度数．

23.  本小题分
如图，一个面积为的正方形被分割成四个完全相同的直角三角形和一个阴影小正方形无缝隙、不重叠，现将这四个直角三角形分别沿着正方形四条边向外翻折，翻折后得到图所示的大正方形．
若阴影小正方形的面积为，求图中大正方形的边长；
若图中大正方形的边长为正整数，求阴影小正方形的边长．
 

24.  本小题分
王老师在某商店购买、两种商品共三次，其中有一次、两种商品同时打相同折扣，其余两次按原价购买，三次购买商品、的数量和总费用如下表：

观察表格中的数据，可知王老师以折扣价购买商品、是第______ 次；
求出商品、的原价；
若王老师第四次去购买这两种商品，都按之前的折扣共花费了元，其中购买商品的数量是购买商品的数量的正整数倍，试推算王老师购买方案有几种．

25.  本小题分
如图，直线，点为线上的一个定点，点为直线、之间的定点，点为直线上的动点．
当点运动到图所示位置时，求证：；
点在直线上，且，平分．
如图，若点在的延长线上，，求的度数；
若点不在的延长线上，请你利用图补全图形，探究并证明与之间的数量关系本问中的角均为小于的角

答案和解析

1.【答案】 

解：根据“平移”的定义可知，由题图经过平移得到的图形是．
故选：．
根据平移的意义“平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫作图形的平移运动，简称平移”．
本题考查了生活中平移的现象，解决本题的关键是熟记平移的定义．
 

2.【答案】 

解：、和不是对顶角，故选项不符合题意；
B、和不是对顶角，故选项不符合题意；
C、和是对顶角，故选项符合题意；
D、和不是对顶角，故选项不符合题意；
故选：．
根据对顶角的定义对各图形判断即可．
本题考查了对顶角相等，掌握对顶角的概念并准确识图是解题的关键．
 

3.【答案】 

解：将，代入原方程得：，
解得：，
的值为．
故选：．
将，代入原方程，可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值．
本题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．
 

4.【答案】 

解：、，故原式错误，不符合题意；
B、，故原式错误，不符合题意；
C、，故原式错误，不符合题意；
D、，该选项正确．
故选：．
根据平方根的意义，立方根的意义即可求出答案．
本题考查平方根的意义，立方根的意义，解题的关键是正确理解平方根的意义，立方根的意义，本题属于基础题型．
 

5.【答案】 

解：如图，，
，
，
．
故选：．
由两直线平行，同位角相等，可求得的度数，然后求得的度数．
此题考查了平行线的性质．注意两直线平行，同位角相等定理的应用是解此题的关键．
 

6.【答案】 

解：移项，得，
系数化为，得．
故选：．
只需把含有的项移到方程的左边，其它的项移到另一边，然后合并同类项、系数化为就可用含的式子表示．
本题考查的是方程的基本运算技能，移项、合并同类项、系数化为等．
 

7.【答案】 

解：、相等的角不一定是对顶角，故本选项说法是假命题，不符合题意；
B、两直线平行，同旁内角互补，故本选项说法是假命题，不符合题意；
C、数轴上的点与实数一一对应，说法是真命题，符合题意；
D、无限不循环小数都是无理数，故本选项说法是假命题，不符合题意；
故选：．
根据对顶角、平行线的性质、实数与数轴、无理数的概念判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 

8.【答案】 

解：，
，
，，
或．
故选：．
利用平方根的性质解题即可．
本题考查了平方根的性质的应用，准确的计算是解题关键．
 

9.【答案】 

解：设哈密瓜每千克元，青提葡萄每千克元，得方程，
当时，，此种情况不合实际，故选选项A不正确；
当时，，解得，故选项B不正确；
若是方程的解，则，不一定可以表示哈密瓜、青提葡萄的单价，如，，故选项C不正确；
若，分别表示哈密瓜、青提葡萄的单价，则，一定是方程的解，故选项D正确；
故选：．
根据题意和题目中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程、二元一次方程的解，解答本题的关键是明确题意，利用二元一次方程的知识解答．
 

10.【答案】 

解：如图，设交于点，

，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，即．
故选：．
设交于点，根据平行线的性质可得，在中，根据三角形内角和定理得，再根据平角的定义算出，进而可求出，在中，由三角形内角和定理求得，由的取值范围即可确定的取值范围，以此即可选择．
本题主要考查角度的计算、平行线的性质、三角形内角和定理，利用相关性质和定理求出是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
根据相反数的意义，可得答案．
【解答】
解：的相反数是，
故答案为：．  

12.【答案】 

解：，
，
，
．
故答案为：．
先根据垂直的定义求出，再根据对顶角相等解答即可．
本题考查了对顶角相等的性质，余角的定义，是基础题．
 

13.【答案】垂线段最短 

解：把池中的水引到处，可过点作，垂足为点，然后沿挖渠，可使所挖的渠道最短，这种设计的依据是：垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
由垂线的性质：垂线段最短，即可得到答案．
本题考查垂线的性质，关键是掌握垂线的性质：垂线段最短．
 

14.【答案】 

解：，
方程方程得：，
．
故答案为：．
利用方程方程，可得出，再在方程的两边同时除以，即可求出的值．
本题考查了解二元一次方程组，两方程作差后，找出是解题的关键．
 

15.【答案】 

解：向右平移若干单位长度后恰好能与边重合，
，，
四边形为平行四边形，
，
根据折叠的性质可得，，
四边形的周长为，
，
，
，
．
故答案为：．
根据平移的性质可得四边形为平行四边形，由折叠的性质可得，因此，则．
本题主要考查平移的性质、折叠的性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握平移的性质和折叠的性质是解题关键．平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行且相等．折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了估算无理数的大小，理解题目中的表示任意实数的整数部分是解题的关键．
根据表示任意实数的整数部分，求出各个式子的值，然后进行计算即可．
【解答】
解：，，
，，，，，


，




，
故答案为：．  

17.【答案】解：原式
；
原式

． 

【解析】原式利用算术平方根及立方根定义计算即可求出值；
原式利用绝对值的代数意义化简，计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

18.【答案】解：，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
则方程组的解为． 

【解析】方程组利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
 

19.【答案】解：一个正数的平方根是与，的立方根为
，，
解得：，，
，
的值为． 

【解析】根据平方根与立方根的意义可得，，从而可得：，，然后代入式子中进行计算即可解答．
本题考查了平方根，立方根，熟练掌握平方根与立方根的意义是解题的关键．
 

20.【答案】  等量代换  内错角相等，两直线平行  两直线平行，同位角相等  已知    等量代换 

解：是的角平分线，
，角平分线的定义
，已知
，等量代换
，内错角相等，两直线平行
，两直线平行，同位角相等
，已知
，等量代换，
故答案为：；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；已知；；等量代换．
先利用角平分线的定义可得，从而可得，进而可得，然后利用平行线的性质可得，即可解答．
本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
 

21.【答案】解：设甲原有的钱数为，乙原有的钱数为，
根据题意得：，
解得：．
答：甲原有的钱数为，乙原有的钱数为． 

【解析】设甲原有的钱数为，乙原有的钱数为，根据“若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

22.【答案】证明：，
，
，
，
，
；
解：，，
，
，
，
，
，
，
的度数为． 

【解析】根据同位角相等，两直线平行可得，从而可得，然后根据等量代换可得，从而利用同旁内角互补，两直线平行可得，即可解答；
根据已知易得，再根据垂直定义可得，然后利用的结论可得，从而利用角的和差关系，进行计算即可解答．
本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：一个面积为的正方形被分割成四个完全相同的直角三角形和一个阴影小正方形，阴影小正方形的面积为，
四个完全相同的直角三角形的面积和为，
由翻折的性质可得，翻折后的三角形面积等于翻折前的三角形面积，
图中个完全相同的直角三角形的面积和为，
大正方形的面积为，
大正方形的边长；
设阴影小正方形的面积为，
则大正方形的面积为，
大正方形的边长为，
大正方形的边长为正整数，且边长大于，
或，
或，
阴影小正方形的边长为或． 

【解析】根据题意可算出四个完全相同的直角三角形的面积和，再根据折叠的性质得到折叠后的三角形面积不变，以此即可算出大正方形的面积，继而求得其边长；
设阴影小正方形的面积为，则大正方形的面积为，进而求得其边长，再根据边长为正整数，且边长大于，可得或，以此算出的值，再进一步计算即可．
本题主要考查几何变换的综合应用，熟练掌握正方形的性质、翻折的性质，找到翻折后的大正方形的面积与原来正方形的面积关系式解题关键．
 

24.【答案】三 

解：第三次购物购买的、两种商品比第二次购物购买的都多，而第三次购物的购买总费用比第二次购物的购买总费用低，
王老师以折扣价购买商品、是第三次．
故答案为：三；
设商品的原价为元，商品的原价为元，
根据题意得：，
解得：．
答：商品的原价为元，商品的原价为元；
设王老师第四次购买个商品，个商品，
根据题意得：，
解得：，
又，均为正整数，且是的正整数倍，
或或，
王老师共有种购买方案，
方案：购买个商品，个商品；
方案：购买个商品，个商品；
方案：购买个商品，个商品．
比较第二、三次购物，由第二次购买数量多总费用反而少，可得出王老师以折扣价购买商品、是第三次；
设商品的原价为元，商品的原价为元，利用总价单价数量，结合第一、二两次购物购买数量及总费用，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设王老师第四次购买个商品，个商品，利用总价单价数量折扣率，可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数且是的正整数倍，即可得出各购买方案．
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组或二元一次方程是解题的关键．
 

25.【答案】证明：过点向右作，如图，
则，

，
，
，
，
即；
平分，点在的延长线上，
，
，
，
由知，，
，
，
，
，
；
．
证明：如图，

平分，
，
，




，
由得，
，
． 

【解析】过点作平行线，利用平行线性质证明即可；
利用的结论和给定的条件，通过角的和差倍分关系代换即可求解；
类似的方法，即可探究出结论．
本题考查平行线性质，解答时需要一定的探究能力，熟悉锯齿模型常用辅助线的作法和灵活代换技巧是解题的关键．