2023-2024学年福建省福州市金山中学等九校联考七年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省福州市金山中学等九校联考七年级（下）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一个不等式的解集在数轴上的表示如图所示，这个不等式可以是( )
A. x−1<0B. x−1>0
C. x−1≤0D. x−1≥0
2.下列调查中，最适宜全面调查的是( )
A. 检测某城市的空气质量B. 检查一枚运载火箭的各零部件
C. 调查某款节能灯的使用寿命D. 调查观众对春节联欢晚会的满意度
3.三角形结构在生产实践中有着广泛的应用，如图所示的斜拉索桥结构稳固，其蕴含的数学道理是( )
A. 两点之间，线段最短
B. 三角形的稳定性
C. 三角形的任意两边之和大于第三边
D. 三角形的内角和等于180°
4.工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在∠AOB的边OA、OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合，得到∠AOB的平分线OP，做法中用到三角形全等判定方法是( )
A. SSS
B. SAS
C. ASA
D. SSA
5.如图，已知a/​/b，∠1=120°，∠2=90°，则∠3的度数是( )
A. 120°B. 130°C. 140°D. 150°
6.已知4a+3b=0，且a<0，则以下正确的是( )
A. b≥0B. b>0C. b≤0D. b<0
7.如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是( )
A. BF=CF
B. ∠C+∠CAD=90°
C. ∠BAF=∠CAD
D. S△ABC=2S△ABF
8.将一把含30°角的直角三角板ABC(其中∠A=90°，∠C=30°)和一把直尺按如图所示位置摆放，已知直尺的一顶点与点B重合，且一边与AC交于点F，另一边分别与AB、AC交于点E、D，若∠ADE=50°，则∠FBC的度数是( )
A. 20°B. 30°C. 40°D. 50°
9.已知数轴上点A，B，C，D对应的数字分别为−1，1，x，7，点C在线段BD上且不与端点重合，若线段AB，BC，CD能围成三角形，则x的取值范围是( )
A. 110.如图，在△ABC中，点D在边BC上，将△ABD沿AD翻折得到△AED，若△ABF的周长为12，△DEF的周长为4，则AF的长为( )
A. 3
B. 3.5
C. 4
D. 4.5
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.一个六边形的外角和为 °.
12.为更好地反映我市一周内降雨量的变化情况，最适合采用______统计图(填“扇形”、“折线”或“条形”)．
13.在平面直角坐标系中，点M(2m,1−m)在第一象限，则m的取值范围是______．
14.如图，点E、F在BC上，AB=CD，∠A=∠D，AF、DE相交于点G，请添加一个条件______使得△ABF≌△DCE．
15.如图，正八边形ABCDEFGH的对角线AF，HD交于点M，则∠AMH的度数是______°.
16.已知关于x、y的方程组2x+y=a+24x−2y=3−a，其中−1≤a≤2，有下列说法：①当a=1时x=y；②x=1y=3是原方程组的解；③无论a为何值时，y=6x−5；④若设m=2x−3y，则−3≤m≤3；以上说法正确的是______．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：3−8+ 25− (−3)2．
18.(本小题8分)
解不等式组5x+1>3(x+1)2x+13≥x−1，并借助数轴得到不等式组的解集．
19.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AC=BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足，且AE=CF；
求证：
(1)∠EAC=∠FCB
(2)AC⊥BC．
20.(本小题8分)
随着共享单车的普及，越来越多的居民选择共享单车作为出行的交通工具，为了解某社区居民每周使用共享单车的时间情况，随机对该社区选择共享单车出行的部分居民进行了调研，获得了他们每周使用共享单车时间(单位：小时)的数据，绘制了不完整的统计图表(如右图)：根据图表信息，回答下列问题：
(1)本次调研，随机抽取的样本容量为______；
(2)表中m的值为______，并补全频数分布直方图；
(3)若该社区共有500位居民选择使用共享单车出行，请你列式计算，估计每周使用共享单车的时间少于10小时的居民约有多少人．
21.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点坐标A(−1,2)，B(−1,5)，C(−4,5)，D(−4,2)，正方形ABCD经平移后得到A1B1C1D1，点A的对应点为A1(4,−1)．
(1)请在平面直角坐标系内画出正方形A1B1C1D1；
(2)若点P(2a−1,12)在正方形A1B1C1D1内(不包含边界)，求a的取值范围．
22.(本小题10分)
如图，已知∠MON，A，B分别是射线OM，ON上的点．
(1)尺规作图：在∠MON的内部确定一点C，使得BC/​/OA且BC=OA；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)中，连接OC，仅用无刻度直尺在线段OC上确定一点D，使得OD=CD．
23.(本小题10分)
如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口.温水的温度为30℃，流速为20ml/s；开水的温度为100℃，流速为15ml/s.整个接水的过程不计热量损失．
阅读并结合以上信息解决下列问题：
(1)甲同学要接一杯700ml的水，如果他先接开水8秒，则再接温水的时间为______秒.
(2)乙同学先接温水，再接开水，得到一杯480ml的水，如果接水的时间是27秒，求乙同学分别接温水和开水所用的时间．
(3)丙同学要接一杯600ml的开水和温水混合的水，他先接x秒的开水，再接温水，智能杯盖显示此时杯中温度为t℃；你能写出x与t的关系式吗？请你帮助丙同学计算一下x至少为几秒，才能使杯中温度不低于40℃？(x为正整数)
24.(本小题12分)
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG平分∠ADC，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点F，设∠ABC=α，∠ACB=β．
(1)当α=60°，β=40°时，判断DG与BE的位置关系并说明理由．
(2)求∠ADG的度数(用含α，β的式子表示)．
(3)要使得(1)中的结论始终成立，α与β之间应满足什么关系．
25.(本小题14分)
已知，如图1，在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于点B，点A(a,b)满足 a−4+|b−1|=0，平移线段AB，使点A与原点对应，点B的对应点为点C．

(1)填空：a= ______，b= ______；
(2)如图2，P是线段AB所在直线上一动点，连接OP，OE平分∠PON，以OP为边，在∠POE外部，作射线OF，若∠POF=12∠OPE，当点P在直线AB上运动的过程中，请探究OF与OE的位置关系，并证明；
(3)如图3，点D(m,n)是线段CB上一个动点．
①连接OD，请利用△OBC，△OBD，△OCD的面积关系(“△”表示三角形)，求出m，n满足的关系式；
②过点A作直线l//x轴，在l上取点M，使得MA=2，若△CDM的面积为1，请直接写出点D的坐标．
答案解析
1.【答案】D
【解析】解：A.x−1<0的解集为x<1，与数轴表示的解集不符，此选项不符合题意；
B.x−1>0的解集为x>，与数轴表示的解集不符，此选项不符合题意；
C.x−1≤0的解集为x≤1，与数轴表示的解集不符，此选项不符合题意；
D.x−1≥0的解集为x≥1，与数轴表示的解集相符，此选项符合题意；
故选：D．
分别求出每个不等式的解集即可得出答案．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，在数轴上表示不等式的解集，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
2.【答案】B
【解析】解：A.检测某城市的空气质量，适合抽样调查，故本选项不符合题意；
B.检查一枚运载火箭的各零部件，适合全面调查，故本选项符合题意；
C.调查某款节能灯的使用寿命，适合抽样调查，故本选项不符合题意；
D.调查观众对春节联欢晚会的满意度，适合抽样调查，故本选项不符合题意．
故选：B．
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
3.【答案】B
【解析】解：斜拉索桥结构稳固．其蕴含的数学道理是三角形的稳定性．
故选：B．
由三角形的稳定性，即可得到答案．
本题考查三角形的稳定性，关键是掌握三角形的稳定性．
4.【答案】A
【解析】解：做法中用到的三角形全等的判定方法是SSS．
证明如下：
由题意得，PN=PM，
在△ONP和△OMP中，
ON=OMOP=OPPN=PM，
∴△ONP≌△OMP(SSS)，
∴∠NOP=∠MOP，
∴OP为∠AOB的平分线．
故选：A．
已知两三角形三边分别相等，可考虑SSS证明三角形全等，从而证明角相等．
本题考查全等三角形在实际生活中的应用．对于难以确定角平分线的情况，利用全等三角形中对应角相等，从而轻松确定角平分线．
5.【答案】D
【解析】解：如图，延长∠1的边与直线b相交，
∵a/​/b，
∴∠4=180°−∠1=180°−120°=60°，
由三角形的外角性质，可得
∠3=90°+∠4=90°+60°=150°，
故选：D．
延长∠1的边与直线b相交，然后根据两直线平行，同旁内角互补求出∠4，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
本题考查了平行线的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并作出辅助线是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵4a+3b=0，
∴a=−34b，
∵a<0，
∴−34b<0，
解得b>0，
故选：B．
运用一元一次方程方程的解法和一元一次不等式的性质进行求解．
此题考查了一元一次方程方程的解法和一元一次不等式的性质的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行求解．
7.【答案】C
【解析】解：∵AF是△ABC的中线，
∴BF=CF，A说法正确，不符合题意；
∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠C+∠CAD=90°，B说法正确，不符合题意；
∵AE是角平分线，
∴∠BAE=∠CAE，而∠BAF与∠CAD不一定相等，C说法错误，符合题意；
∵BF=CF，
∴S△ABC=2S△ABF，D说法正确，不符合题意；
故选：C．
根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断．
本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵DE//BF，
∴∠AFB=∠ADE=50°，
∵∠C=30°，
∴∠FBC=∠AFB−∠C=20°．
故选：A．
由平行线的性质推出∠AFB=∠ADE=50°，由三角形外角的性质即可求出∠FBC=∠AFB−∠C=20°．
本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，关键是由平行线的性质推出∠AFB=∠ADE，由三角形外角的性质求出∠FBC的度数．
9.【答案】C
【解析】解：由点在数轴上的位置得：AB=1−(−1)=2，BC=x−1，CD=7−x，
由三角形三边关系定理得：x−1+7−x>2①2+x−1>7−x②2+7−x>x−1③，
不等式①恒成立，
由不等式②得：x>3，
由不等式③得：x<5，
∴不等式组的解集是3故选：C．
由三角形三边关系定理得：x−1+7−x>2①2+x−1>7−x②2+7−x>x−1③，得到不等式组的解集是3本题考查三角形三边关系定理，数轴，解一元一次不等式组，关键是由三角形三边关系定理得到一元一次不等式组．
10.【答案】C
【解析】解：设BD=a，DF=b，EF=c，AF=x，
由翻折的性质得：DE=BD=a，AB=AE=AF+EF=x+c，
∵△EDF的周长为4，
∴DE+DF+EF=4，即：a+b+c=4，
∵△ABF的周长为12，
∴AB+BF+AF=12，即：x+c+a+b+x=12，
∴2x+a+b+c=12，
∴2x+4=12，解得：x=4，
∴AF=4．
故选：C．
设BD=a，DF=b，EF=c，AF=x，由翻折的性质得：DE=BD=a，AB=AE=x+c，然后根据△EDF的周长为4得a+b+c=4，再根据△ABF的周长为12得x+c+a+b+x=12，据此可求出AF的长．
此题主要考查了图形的折叠变换及性质，平行线的判定，解答此题的关键是熟练掌握图形的旋转变换和性质．
11.【答案】360
【解析】解：六边形的外角和是360°．
故答案为：360．
根据任何多边形的外角和是360度即可求出答案．
考查了多边形的外角和定理，任何多边形的外角和是360度．外角和与多边形的边数无关．
12.【答案】折线
【解析】解：为更好地反映我市一周内降雨量的变化情况，最适合采折线统计图．
故答案为：折线．
根据统计图的特点进行分析可得：扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目．
本题主要考查统计图的选择，关键是要牢记每种统计图各自的特点．
13.【答案】0【解析】解：∵点M(2m,1−m)在第一象限，
∴2m>01−m>0，
解得：0故答案为：0根据第一象限内点的坐标特征得到2m>01−m>0，然后解不等式组即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，点的坐标，熟知第一象限内点的坐标特点是解答此题的关键．
14.【答案】∠B=∠C
【解析】解：添加AF=DE，根据SAS证得△ABF≌△DCE；
添加∠B=∠C，根据ASA证得△ABF≌△DCE；
添加∠DEC=∠AFB，根据AAS证得△ABF≌△DCE．
故答案为：∠B=∠C(答案不唯一)．
根据全等三角形的判定条件逐一判断即可．
本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有SSS，SAS，AAS，ASA，HL．
15.【答案】67.5
【解析】解：∵八边形ABCDEFGH为正八边形，
∵∠AHG=∠HAB=180°−360°÷8=135°，
∵正八边形ABCDEFGH的对角线AF，HD，
∴∠AHD=12∠AHG=67.5°，
∠FAB=90°，
∴∠MAH=135°−90°=45°，
∴∠AMH=180°−45°−67.5°=67.5°．
故答案为：67.5．
先求出∠AHG=∠HAB=135°，再根据正八边形的性质求出∠AHD和∠MAH，最后根据三角形的内角和即可求得．
本题主要考查多边形内角和外角，解题的关键是熟练掌握正多边形的性质．
16.【答案】①③④
【解析】解：当a=1时，2x+y=34x−2y=2，解得x=1y=1，故①正确；
当x=1，y=3时，由2x+y=a+2得：a=3；由4x−2y=3−a得：a=5；
∴x=1y=3不是原方程组的解，故②错误；
∵2x+y+4x−2y=a+2+3−a，
∴y=6x−5，故③正确；
由2x+y=a+24x−2y=3−a得x=a+78y=3a+14，
∴m=2x−3y=2×a+78−3×3a+14=−2a+1，
∵−1≤a≤2，
∴−3≤−2a+1≤3，
∴−3≤m≤3，故④正确；
故答案为：①③④．
把a=1代入解出x，y的值可判断①，把x，y的值代入分别求出a的值可判断②，消去a可判断③，用含a的式子表示m，根据a的范围可判断④．
本题考查解二元一次方程组，一元一次不等式组，解题的关键是掌握方程组解的概念，消元法及不等式的性质．
17.【答案】解：3−8+ 25− (−3)2
=−2+5−3
=0．
【解析】首先计算开平方和开立方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
18.【答案】解：由不等式5x+1>3(x+1)得：5x+1>3x+3，
解得x>1，
由不等式2x+13≥x−1得．2x+1≥3x−3，
解得4≥x，
，
∴1【解析】先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组，解此题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．
19.【答案】证明：(1)AE⊥l于点E，BF⊥l于点F，
∴∠AEC=∠CFB=90°，
在Rt△ACE和Rt△CBF中，
AC=CBAE=CF，
∴Rt△ACE≌Rt△CBF(HL)，
∴∠EAC=∠FCB．
(2)∵∠AEC=90°，∠EAC=∠FCB，
∴∠ACE+∠FCB=∠ACE+∠EAC=90°，
∴∠ACB=180°−(∠ACE+∠FCB)=90°，
∴AC⊥BC．
【解析】(1)由AE⊥l于点E，BF⊥l于点F，得∠AEC=∠CFB=90°，而AC=CB，AE=CF，即可根据“HL”证明Rt△ACE≌Rt△CBF，得∠EAC=∠FCB；
(2)因为∠EAC=∠FCB，所以∠ACE+∠FCB=∠ACE+∠EAC=90°，则∠ACB=180°−(∠ACE+∠FCB)=90°，所以AC⊥BC．
此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的判定与性质等知识，证明Rt△ACE≌Rt△CBF是解题的关键．
20.【答案】100 25
【解析】解：(1)本次调研，随机抽取的样本容量为15÷15%=100．
故答案为：100．
(2)m=100−5−35−20−15=25．
故答案为：25．
补全频数分布直方图如图所示．
(3)500×5+25+35100=325(人)．
∴估计每周使用共享单车的时间少于10小时的居民约有325人．
(1)用表格中第5组的频数除以扇形统计图中第5组的百分比可得随机抽取的样本容量．
(2)用随机抽取的样本容量分别减去第1，3，4，5组的人数，可得m的值，补全频数分布直方图即可．
(3)根据用样本估计总体，用500乘以表格中第1，2，3组的频数所占的百分比，即可得出答案．
本题考查频数(率)分布直方图、频数(率)分布表、用样本估计总体、样本容量，能够读懂统计图表，掌握用样本估计总体、样本容量的定义是解答本题的关键．
21.【答案】解：(1)如图1所示，正方形A1B1C1D1，即为所求；

(2)解：∵点P(2a−1,12)在正方形A1B1C1D1内(不包含边界)，
∴2a−1<42a−1>1，
解得1【解析】(1)根据题意画出正方形A1B1C1D1；
(2)根据点P的横坐标在1和4之间列不等式组，求解即可．
本题考查作图−平移变换，正方形的性质．解答本题的关键是熟练掌握平移的特点．
22.【答案】解：(1)如图，线段BC即为所求；
(2)如图，点D即为所求．

【解析】(1)构造平行四边形AOBC即可；
(2)连接AB交OC于点D，点D即为所求．
本题考查作图−复杂作图，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
23.【答案】29
【解析】解：(1)根据题意得：(700−15×8)÷20
=(700−120)÷20
=580÷20
=29(秒)，
∴再接温水的时间为29秒．
故答案为：29；
(2)设乙同学接温水所用时间为m秒，接开水所用时间为n秒，
根据题意得：m+n=2720m+15n=480，
解得：m=15n=12．
答：乙同学接温水所用时间为15秒，接开水所用时间为12秒；
(3)根据题意得：15x(100−t)=(600−15x)(t−30)，
∴1500x−15xt=600t−1800−15xt+450x，
∴600t=1050x+18000，
∴t=7x+1204．
∵要使温度不低于40℃，即t≥40，
∴7x+1204≥40，
解得：x≥407，
又∵x为正整数，
∴x的最小值为6．
答：t=7x+1204，x至少为6秒，才能使杯中温度不低于40℃．
(1)利用再接温水的时间=(700−开水的流速×接开水的时间)÷温水的流速，即可求出结论；
(2)设乙同学接温水所用时间为m秒，接开水所用时间为n秒，根据接水的时间及接水的总量，可列出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(3)根据开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度，可找出t关于x的函数关系式，结合t≥40，可得出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用、有理数的混合运算、函数关系式以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，列式计算；(2)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(3)根据各数量之间的关系，找出t关于x的函数关系式．
24.【答案】解：(1)位置关系为：BE//DG，
原因如下：∵∠ABC=60°.∠ACB=40°，
∴在△ABC中∠BAC=180°−∠ABC−∠ACB，
=180°−60°−40°=80°，
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=12∠BAC=40°，
∵∠ABC=60°，
∴∠ADC=∠BAD+∠ABC=40°+60°=100°，
∵DG平分∠ADC，
∴∠GDC=∠ADC=12∠ADC=50°，
又∵∠C=40°，
∴∠C+∠GDC=90°，
在△DGC中，
∠DGC=180−∠C−∠GDC=90°，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠DGC=∠BEC，
∴BE//DG；
(2)∵∠ABC=α，∠C=β；
∴∠BAC=180°−∠ABC−∠C=180°−α−β；
∵AD平分∠BAC；
∴∠BAD=180°−α−β2=90°−α2−β2，
∴∠ADC=∠ABC+∠BAC，
=α+(90°−α2−β2)
=90°+α2−β2，
∵DG平分∠ADC，
∴∠ADG=12∠ADC=45°+α4−β4；
(3)要使BE//DG始终成立，即∠DGC=90°，
∴∠DGA=90°，
∴∠GDC+∠C=∠GDA+∠DAG=90°，
∵∠ADG=∠GDC，
∴∠C=∠DAG，
即β=12∠BAC，
β=90°−α2−β2，
即α+3β=180°，
法二：∵∠ADG=∠GDC
∴∠GDC+∠C=90°，
45°+α4−β4+β=90°，
即α+3β=180°．
【解析】(1)由角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠DGC=∠BEC，再根据平行线的判定方法可得结论．
(2)根据三角形内角和定理可得∠BAC的度数，再由垂直的定义及作角性质可得答案；
(3)根据∠GDC+∠C=∠GDA+∠DAG=90°，求出β=12∠BAC解答即可．
此题考查的是平行线的判定和三角形内角和定理，掌握其性质定理是解决此题的关键．
25.【答案】4 1
【解析】解：(1)∵ a−4+|b−1|=0，
∴a−4=0，b−1=0，
解得：a=4，b=1，
故答案为：4，1；
(2)OF⊥OE，理由如下：
∵OE平分∠PON，
∴∠POE=∠NOE，
∵AB⊥x轴，
∴AB/​/y轴，
∴∠OPE+∠NOP=180°，
故∠OPE=180°−2∠POE，
∵∠POF=12∠OPE，
∴∠POF=90°−∠POE，
∴∠POF+∠OPE=90°，
即OF⊥OE；
(3)①如图3，过点D分别作DP⊥x轴于点P，DQ⊥y轴于点Q，连接OD．
由(1)知，A(4,1)，AB=1，
由平移的性质可得：C(0,−1)，
∵AB⊥x轴于点B，且点A，D，C三点的坐标分别为：(4,1)，(m,n)，(0,−1)，
∴OB=4，OB=4，OC=1，PD=−n，QD=m，S△OBC=12OB×OC=2，
又∵S△BOC=S△BOD+S△COD
=12OB×PD+12OC×QD
=12×4×(−n)+12×1×m
=12m−2n，
∴m−4n=4，
∴m、n满足的关系式为m−4n=4；
②点D的坐标为D(43,−23)或(4,0)．
如图4，设直线AM交y轴于T，连接DT.则M(2,1)，
当点M在点A的左侧时，TM=2，TC=2，连接CM，DM，
∵S△TMC+S△CDM=S△TDC+S△TMD，
∴12×2×2+1=12×2×m+12×2×(1−n)，
∴3=m+1−n，
∴m−n=2，
又∵m−4n=4，
解得n=−23，
∴D(43,−23)，
当点M在点A的右侧时，同理可得D(4,0)．
综上所述，满足条件的点D的坐标为D(43,−23)或(4,0)．
(1)由 a−4+|b−1|=0，得：a=4，b=1，；
(2)由OE平分∠PON，可得∠POE=∠NOE，再由AB⊥x轴，AB/​/y轴，可得∠OPE+∠NOP=180°，从而得到∠OPE=180°−2∠POE，再由∠POF=12∠OPE，得出∠POF+∠OPE=90°，即可得出结论；
(3)①过点D分别作DP⊥x轴于点P，DQ⊥y轴于点Q，连接OD，由平移的性质可得C(0,−1)，求得S△BOC=S△BOD+S△COD=12m−2n，从而得出m−4n=4；
②设直线AM交y轴于T，连接DT.则M(2,1)，分为当点M在点A的左侧时及当点M在点A的右侧时两种情况求解即可．
本题考查几何变换综合应用，涉及非负数的性质，坐标与图形及三角形面积等知识，解题的关键是方程思想的应用．组别
使用时间
频数(人数)
第1组
1≤x<4
5
第2组
4≤x<7
m
第3组
7≤x<10
35
第4组
10≤x<13
20
第5组
13≤x<16
15
物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可转化为：
开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度