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2023-2024学年福建省福州市台江区七年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年福建省福州市台江区七年级（下）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列各数是无理数的是( )
A. 0.1010010001B. 4C. πD. 13
2.在平面直角坐标系中，点P(−3,2)在 ( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.如图，已知∠1=60°，CD//AB，那么∠A的度数为( )
A. 60°
B. 80°
C. 100°
D. 120°
4.下列四组数值是二元一次方程2x−y=5的解的是( )
A. x=2y=1B. x=2y=−1C. x=4y=−1D. x=4y=1
5.下列各式中正确的是( )
A. 4=±2B. ± 9=3C. (−2)2=−2D. 22=2
6.一个正方形的面积是10，估计它的边长大小在( )
A. 2和3之间B. 3和4之间C. 4和5之间D. 5和6之间
7.在直角坐标平面内，A是第二象限内的一点，如果它到x轴、y轴的距离分别是3和4，那么点A的坐标是( )
A. (3,−4)B. (−3,4)C. (4,−3)D. (−4,3)
8.如图，下列四个条件中能判定AD//BC的有( )
①∠1=∠2；②∠3=∠4；③∠DCE=∠5；④∠BCD+∠D=180°．
A. ①④B. ②③C. ②④D. ③④
9.已知方程组x+2y=52x+y=7，则x−y的值是( )
A. 2B. −2C. 0D. −1
10.利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置.测量的数据如图，则桌子的高度等于( )
A. 80cmB. 75cmC. 70cmD. 65cm
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.把方程5x+y=3改写为用含x的式子表示y的形式是______．
12.如图，把小河里的水引到田地A处，若使水沟最短，则过点A向河岸l作垂线，垂足为点B，沿AB挖水沟即可，理由是______．
13.已知点P(m,4−m)在过点A(2,3)，且与x轴平行的直线上，则P点坐标为______．
14.如图，若在象棋盘上建立直角坐标系，使“马”位于点(1,2)，则“炮”位于点(______，______).
15.《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？”大意是：现有数人一起去买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱.问共有多少人，物品的价格是多少钱？若设人数共有x人，物品的价格为y钱，可列方程组为______．
16.如图，将一条两边互相平行的纸带折叠(AM//BN,AD//BC)，AB为折痕，已知∠ABC度数是∠MAD的两倍，则∠MAD的度数为______．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
(1)计算： 9+| 3−2|+3−8；
(2)求x的值：3(x−1)2−48=0．
18.(本小题8分)
求下列方程组的解：
(1)x=5+yx−2y=2；
(2)5x+2y=253x+4y=15．
19.(本小题8分)
完成下面的证明：
已知：如图，∠AEC=∠A+∠C．
求证：AB//CD．
证明：过点E作EF//AB．
∴∠A= ______(______).
∵∠AEC=∠1+∠2，∠AEC=∠A+∠C，
∴∠C=∠2．
∴ ______// ______(______).
∴AB//CD (______).
20.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中有四个点A(−2,4)，B(−4,0)，C(0,1)，D(4,2)，△DEF由△ABC平移得到，点A，B，C的对应点分别是点D，E，F．
(1)画出△DEF，并写出点E，F的坐标；
(2)若P(m,n)为△ABC中任意一点，则平移后的对应点P1的坐标为______．
21.(本小题8分)
已知2a−1的算术平方根是3，a+3b的立方根是2，c是 7的整数部分．
(1)求a，b，c的值；
(2)求3a+2b−4c的平方根．
22.(本小题10分)
如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，∠EDO与∠1互余．
(1)求证：ED//AB；
(2)OF平分∠COD交DE于点F，若∠OFD=70°，补全图形，并求∠1的度数．
23.(本小题10分)
古人曰：“读万卷书，行万里路”经历是最好的学习，某中学七年级同学开启了期盼已久的研学活动，师生一起去参观博物馆.下面是王老师和小萱、小真同学有关租车问题的对话：
王老师：“客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元.”
小萱：“如果我们七年级租用45座的客车a辆，那么还有15人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满”．
小真：“八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到该博物馆参观，一天的租金共计5100元.”
根据以上对话，解答下列问题：
(1)参加此次活动的七年级师生共有______人；
(2)客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？
(3)若同时租用两种或一种客车，要使七年级每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，问有几种租车方案？哪一种租车最省钱？
24.(本小题12分)
当m，n都是实数，且满足2m+n=5时，我们称Q(m+1,n−1)为关联点．
(1)若A(4,n−1)是关联点，则n= ______；
(2)判断点P(3,1)是否为关联点，并说明理由．
(3)已知关于x，y的方程组x+y=6x−y=2a，当a为何值时，以方程组的解为坐标的点B(x,y)是关联点？
25.(本小题14分)
如图1，在平面直角坐标系中，已知A(0,a)，B(b,n)，其中a，b满足 a−3+(b−4)2=0，n>0．
(1)a= ______，b= ______；
(2)点C(m,0)在x轴负半轴上；
①请用含m的式子表示四边形ACOB面积；
②若线段OB通过平移恰好能与线段CA重合(O与C重合，B与A重合)，Q为线段AB上一点，P为x轴上一点，且S△CPQ=14S四边形ACOB(即三角形CPQ面积为四边形ACOB面积的14)，求点P的坐标．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A，0.1010010001是有限小数，属于有理数，不合题意；
B， 4=2，2是整数，属于有理数，不合题意；
C，π是无限不循环小数，属于无理数，符合题意；
D，13是分数，属于有理数，不合题意；
故选C．
无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比，若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环，常见的无理数有非完全平方数的平方根、π等．据此逐项判断即可．
本题考查无理数，解题的关键是理解无理数的定义．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−)．
根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【解答】
解：点P(−3,2)在第二象限，
故选：B．
3.【答案】D
【解析】解：∵CD//AB，
∴∠A+∠AKD=180°，
∵∠AKD=∠1=60°，
∴∠A=120°．
故选：D．
由平行线的性质推出∠A+∠AKD=180°，由对顶角的在得到∠AKD=∠1=60°，求出∠A=120°．
本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠A+∠AKD=180°．
4.【答案】B
【解析】解：A.把x=2y=1代入方程得：左边=4−1=3，右边=5，
∵左边≠右边，
∴不是方程的解，不符合题意；
B.把x=2y=−1代入方程得：左边=8+1=9，右边=5，
∵左边=右边，
∴是方程的解，符合题意；
C.把x=4y=−1代入方程得：左边=4−1=3，右边=5，
∵左边≠右边，
∴不是方程的解，不符合题意；
D.把x=4y=1代入方程得：左边=8−1=7，右边=5，
∵左边≠右边，
∴不是方程的解，不符合题意；
故选：B．
把各项中x与y的值代入方程检验即可．
此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
5.【答案】D
【解析】解：A、 4=2，故A错误；
B、± 9=±3，故B错误；
C、 (−2)2=2故C错误；
D、 22=2，故D正确；
故选：D．
根据开方运算，可得平方根算术平方根，可得答案．
本题考查了算术平方根，注意一个正数的平方根有两个，一个正数的算术平方根只有一个．
6.【答案】B
【解析】解：∵一个正方形的面积是10，
∴它的边长是 10，
∵ 9< 10< 16，
∴3< 10<4．
∴估计它的边长大小在3和4之间．
故选：B．
先根据正方形的面积求出正方形的边长，再求出每个数的平方，即可得出答案．
本题考查了估算无理数的大小的应用，解此题的关键是求出 10的取值范围．
7.【答案】D
【解析】解：∵点A在第二象限，到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，
∴点A的横坐标是−4，纵坐标是3，
∴点A的坐标为(−4,3)．
故选：D．
根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答．
本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵∠1=∠2，
∴AD//BC，
故①符合题意；
∵∠3=∠4，
∴AB//CD，
故②不符合题意；
∵∠DCE=∠5，
∴AB//CD，
故③不符合题意；
∵∠BCD+∠D=180°，
∴AD//BC，
故④符合题意；
故选：A．
根据平行线的判定定理判断求解即可．
此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】【分析】
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
方程组两方程相减即可求出所求．
【解答】
解：x+2y=5①2x+y=7②，
②−①得：x−y=2，
故选A．
10.【答案】B
【解析】解：设长方体木块长x cm、宽y cm，桌子的高为a cm，
由题意得：a+x−y=90a+y−x=60，
两式相加得：2a=150，
解得：a=75，
故选：B．
设长方体木块长x cm、宽y cm，桌子的高为a cm，由题意列出方程组求出其解即可得出结果．
本题考查了二元一次方程组的运用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，
列方程组求解．
11.【答案】y=−5x+3
【解析】解：5x+y=3，
y=−5x+3．
故答案为：y=−5x+3．
把x看做已知数求出y即可．
此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数求出y．
12.【答案】垂线段最短
【解析】解：把小河里的水引到田地A处，若使水沟最短，则过点A向河岸l作垂线，垂足为点B，沿AB挖水沟即可，理由是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
由垂线的性质：垂线段最短，即可得到答案．
本题考查垂线段最短，关键是掌握垂线的性质：垂线段最短．
13.【答案】(1,3)
【解析】解：∵AP//x轴，且点A坐标为(2,3)，
∴4−m=3，
解得m=1，
∴点P的坐标为(1,3)．
故答案为：(1,3)．
根据平行于x轴的直线上点的坐标特征即可解决问题．
本题考查还与图形性质，熟知平行于x轴的直线上点的坐标特征是解题的关键．
14.【答案】3 1
【解析】解：如图，
∴“炮”的坐标为(3,1)；
故答案为：3，1．
先根据“马”的位置确定原点的位置，从而可以确定“炮”的位置．
本题考查了在平面直角坐标系中确定点的位置，难度较小，掌握平面直角坐标系点的特征是关键．
15.【答案】y=8x−3y=7x+4
【解析】解：由题意可得：y=8x−3y=7x+4．
故答案为：y=8x−3y=7x+4．
根据每人出8钱，则多了3钱，可得y=8x−3，根据每人出7钱，则少了4钱，可得y=7x+4，然后即可列出相应的方程组．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找到等量关系，列出相应的方程组．
16.【答案】36°
【解析】解：延长NB到K，
由折叠的性质得到∠ABK=∠ABC，
∵BN//AM，
∴∠BAE=∠ABK，
∵∠ABC=2∠MAD，
∴∠BAE=2∠MAD，
∵AD//BC，
∴∠ABC+∠BAE+∠MAD=180°，
∴5∠MAD=180°，
∴∠MAD=36°．
故答案为：36°．
延长NB到K，由折叠的性质得到∠ABK=∠ABC，由平行线的性质推出∠BAE=∠ABK，∠ABC+∠BAE+∠MAD=180°，而∠ABC=2∠MAD，得到5∠MAD=180°，求出∠MAD∠=36°．
本题考查平行线的性质，关键是由折叠的性质得到∠ABK=∠ABC，由平行线的性质推出∠BAE=∠ABK，∠ABC+∠BAE+∠MAD=180°，得到5∠MAD=180°．
17.【答案】解：(1)原式=3+2− 3−2
=3− 3；
(2)3(x−1)2−48=0，
则(x−1)2=16，
故x−1=±4，
解得：x=5或x=−3．
【解析】(1)直接利用绝对值的性质以及立方根的性质、二次根式的性质分别化简，进而得出答案；
(2)直接利用平方根的定义得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
18.【答案】解：(1)x=5+y①x−2y=2②，
①代入②得，5+y−2y=2，
解得y=3，
把y=3代入①得，x=5+3=8，
所以方程组的解为：x=8y=3，
(2)5x+2y=25①3x+4y=15②，
①×2−②得7x=35，
解得，x=5，
把x=5代入②得，15+4y=15，
解得，y=0，
所以方程组的解为：x=5y=0．
【解析】(1)利用代入消元法即可求解；
(2)利用加减消元法求解即可．
本题考查二元一次方程组的解法，掌握加减消元法和代入消元法是正确求解的关键．
19.【答案】∠1 两直线平行，内错角相等 EF CD 内错角相等，两直线平行 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
【解析】证明：过点E作EF//AB．
∵EF//AB，
∴∠A=∠1(两直线平行，内错角相等)，
∵∠AEC=∠1+∠2，∠AEC=∠A+∠C，
∴∠C=∠2．
∴EF//CD(内错角相等，两直线平行)．
∴AB//CD (如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)．
故答案为：∠1；两直线平行，内错角相等；EF；CD；内错角相等，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
过点E作EF//AB，然后利用平行线的性质和等量代换等证明AB//CD．
本题考查平行线的判定和性质，结合题意和图形作出正确的辅助线是解决本题的关键．
20.【答案】(m+6,n−2)
【解析】解：(1)如图，△DEF即为所求作的三角形；
∴E(2,−2)，F(6,−1)；
(2)若P(m,n)为△ABC中任意一点，则平移后的对应点P1的坐标为(m+6,n−2)．
(1)由A，D的坐标变化，确定平移方式，再画图即可并写出E，F的坐标即可；
(2)根据平移的性质得到坐标变化规律，再解答即可．
本题考查的是坐标与图形，平移的性质，熟记平移的性质并应用于画图是解本题的关键．
21.【答案】解：(1)∵2a−1的算术平方根是3，
∴2a−1=9，
解得a=5，
∵a+3b的立方根是2，
∴a+3b=8，
解得b=1，
∵ 4< 7< 9，
∴2< 7<3，
∵c是 7的整数部分，
∴c=2；
(2)∵a=5，b=1，c=2，
∴3a+2b−4c=3×5+2×1−4×2=9，
∵9的平方根是±3，
∴3a+2b−4c的平方根是±3．
【解析】(1)根据算术平方根、立方根的定义即可求出a、b的值，利用夹逼法估算无理数的大小，即可得出c的值；
(2)把a、b、c的值代入3a+2b−4c中，再求其平方根即可．
本题考查了无理数的估算，平方根，算术平方根，立方根，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵∠EDO与∠1互余，
∴∠EDO+∠1=90°，
∵OC⊥OD，
∴∠COD=90°，
∴∠EDO+∠1+∠COD=180°，
∴∠EDO+∠AOD=180°，
∴ED//AB；
(2)解：如图所示：
∵ED//AB，
∴∠AOF=∠OFD=70°，
∵OF平分∠COD，
∴∠COF=12∠COD=45°，
∴∠1=∠AOF−∠COF=25°．
【解析】(1)利用已知得出∠EDO+∠AOD=180°，进而得出答案；
(2)利用角平分线的定义结合已知得出∠COF=12∠COD=45°，进而得出答案．
此题主要考查了平行线的判定以及角平分线的作法与定义，正确把握角平分线的作法是解题关键．
23.【答案】420
【解析】解：(1)根据题意得：45a+15=60(a−2)，
解得：a=9，
∴45a+15=45×9+15=420(人)，
∴参加此次活动的七年级师生共有420人．
故答案为：420；
(2)设客运公司45座客车每辆每天的租金为x元，60座客车每辆每天的租金为y元，
根据题意得：y−x=1502x+4y=5100，
解得：x=750y=900．
答：客运公司45座客车每辆每天的租金为750元，60座客车每辆每天的租金为900元；
(3)设租用m辆45座客车，n辆60座客车，
根据题意得：45m+60n=420，
∴n=7−34m.
又∵m，n均为非负整数，
∴m=0n=7或m=4n=4或m=8n=1，
∴共有3种租车方案，
方案1：租用7辆60座客车，所需总租金为900×7=6300(元)；
方案2：租用4辆45座客车，4辆60座客车，所需总租金为750×4+900×4=6600(元)；
方案3：租用8辆45座客车，1辆60座客车，所需总租金为750×8+900×1=6900(元)．
∵6300<6600<6900，
∴当租用7辆60座客车时，最省钱．
答：共有3种租车方案，当租用7辆60座客车时，最省钱．
(1)根据“七年级租用45座的客车a辆，还有15人没有座位；租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满”，可列出关于a的一元一次方程，解之可得出a的值，再将其代入(45a+15)中，即可求出结论；
(2)设客运公司45座客车每辆每天的租金为x元，60座客车每辆每天的租金为y元，根据“60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元，且租了4辆60座和2辆45座的客车，一天的租金共计5100元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(3)设租用m辆45座客车，n辆60座客车，根据租用的客车的承载人数恰好为420人，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为非负整数，可得出共有3种租车方案，再求出选择各租车方案所需总租金，比较后即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元一次方程；(2)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(3)找准等量关系，正确列出二元一次方程．
24.【答案】−1
【解析】解：(1)由题意得：2(4−1)+(n−1+1)=5，
解得：n=−1，
故答案为：−1；
(2)点P(3,1)不是关联点，理由如下：
根据题意得，m+1=3n−1=1，
解得：m=2n=2，
代入得：2m+n=4+2=6≠5，
∴点P(3,1)不是关联点；
(3)x+y=6①x−y=2a②，
①+②得：2x=2a+6，
解得：x=a+3，
把x=a+3代入①得：y=3−a，
根据题意得：m+1=a+3n−1=3−a，
解得：m=a+2n=4−a，
代入得：2m+n=2a+4+4−a=a+8，
当a+8=5，即a=−3时，满足2m+n=5，即以方程组的解为坐标的点B(x,y)是关联点．
(1)利用题中的新定义列式计算即可；
(2)利用题中的新定义判断即可；
(3)表示出方程组的解，根据题中的新定义判断即可．
本题属于三角形综合题，考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
25.【答案】3 4
【解析】解：(1)∵ a−3+(b−4)2=0， a−3≥0，(b−4)2≥0，
∴ a−3=0，(b−4)2=0，
∴a−3=0，b−4=0，
解得：a=3，b=4，
故答案为：3；4；
(2)①∵a=3，b=4，
∴A(0,3)，B(4,n)，
又∵点C(m,0)在x轴负半轴上，
∴S四边形ACOB=S△AOC+S△AOB=12×3×(−m)+12×3×4=−32m+6；
②如图，根据题意画出图形，
∵线段OB通过平移恰好能与线段CA重合，(平移后O与C重合，B与A重合)，
∴n=3，m=−4，
∴B(4,3)，C(−4,0)，S四边形ACOB=−32m+6=−32×(−4)+6=12，
∵点P在x轴上，点Q在线段AB上，
∴△CPQ边CP上的高=3，
∵S△CPQ=14S四边形ACOB，
∴S△CPQ=14×12=3，
∴CP=3×2÷3=2，
当点P在点C右边时，点P的横坐标=−4+2=−2，点P的坐标为(−2,0)，
当点P在点C左边时，点P的横坐标=−4−2=−6，点P的坐标为(−6,0)，
综上所述，点P的坐标为(−2,0)或(−6,0)．
(1)利用算术平方根和平方的非负性进行求解即可；
(2)①根据图形与坐标、S四边形ACOB=S△AOC+S△AOB表示即可；②根据平移的性质，得到n=3，m=−4，B(4,3)，C(−4,0)，根据图形与坐标，结合S△CPQ=14S四边形ACOB、三角形面积公式的理解，求出CP的长，分“当点P在点C右边时”和“当点P在点C左边时”，计算得出点P的坐标即可．
本题属于四边形综合题，主要考查了坐标与图形、坐标与平移、算术平方根和平方的非负性、三角形面积公式，解题的关键是掌握平移的性质、利用数形结合的思想进行求解．
1.下列各数是无理数的是( )
A. 0.1010010001B. 4C. πD. 13
2.在平面直角坐标系中，点P(−3,2)在 ( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.如图，已知∠1=60°，CD//AB，那么∠A的度数为( )
A. 60°
B. 80°
C. 100°
D. 120°
4.下列四组数值是二元一次方程2x−y=5的解的是( )
A. x=2y=1B. x=2y=−1C. x=4y=−1D. x=4y=1
5.下列各式中正确的是( )
A. 4=±2B. ± 9=3C. (−2)2=−2D. 22=2
6.一个正方形的面积是10，估计它的边长大小在( )
A. 2和3之间B. 3和4之间C. 4和5之间D. 5和6之间
7.在直角坐标平面内，A是第二象限内的一点，如果它到x轴、y轴的距离分别是3和4，那么点A的坐标是( )
A. (3,−4)B. (−3,4)C. (4,−3)D. (−4,3)
8.如图，下列四个条件中能判定AD//BC的有( )
①∠1=∠2；②∠3=∠4；③∠DCE=∠5；④∠BCD+∠D=180°．
A. ①④B. ②③C. ②④D. ③④
9.已知方程组x+2y=52x+y=7，则x−y的值是( )
A. 2B. −2C. 0D. −1
10.利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置.测量的数据如图，则桌子的高度等于( )
A. 80cmB. 75cmC. 70cmD. 65cm
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.把方程5x+y=3改写为用含x的式子表示y的形式是______．
12.如图，把小河里的水引到田地A处，若使水沟最短，则过点A向河岸l作垂线，垂足为点B，沿AB挖水沟即可，理由是______．
13.已知点P(m,4−m)在过点A(2,3)，且与x轴平行的直线上，则P点坐标为______．
14.如图，若在象棋盘上建立直角坐标系，使“马”位于点(1,2)，则“炮”位于点(______，______).
15.《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？”大意是：现有数人一起去买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱.问共有多少人，物品的价格是多少钱？若设人数共有x人，物品的价格为y钱，可列方程组为______．
16.如图，将一条两边互相平行的纸带折叠(AM//BN,AD//BC)，AB为折痕，已知∠ABC度数是∠MAD的两倍，则∠MAD的度数为______．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
(1)计算： 9+| 3−2|+3−8；
(2)求x的值：3(x−1)2−48=0．
18.(本小题8分)
求下列方程组的解：
(1)x=5+yx−2y=2；
(2)5x+2y=253x+4y=15．
19.(本小题8分)
完成下面的证明：
已知：如图，∠AEC=∠A+∠C．
求证：AB//CD．
证明：过点E作EF//AB．
∴∠A= ______(______).
∵∠AEC=∠1+∠2，∠AEC=∠A+∠C，
∴∠C=∠2．
∴ ______// ______(______).
∴AB//CD (______).
20.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中有四个点A(−2,4)，B(−4,0)，C(0,1)，D(4,2)，△DEF由△ABC平移得到，点A，B，C的对应点分别是点D，E，F．
(1)画出△DEF，并写出点E，F的坐标；
(2)若P(m,n)为△ABC中任意一点，则平移后的对应点P1的坐标为______．
21.(本小题8分)
已知2a−1的算术平方根是3，a+3b的立方根是2，c是 7的整数部分．
(1)求a，b，c的值；
(2)求3a+2b−4c的平方根．
22.(本小题10分)
如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，∠EDO与∠1互余．
(1)求证：ED//AB；
(2)OF平分∠COD交DE于点F，若∠OFD=70°，补全图形，并求∠1的度数．
23.(本小题10分)
古人曰：“读万卷书，行万里路”经历是最好的学习，某中学七年级同学开启了期盼已久的研学活动，师生一起去参观博物馆.下面是王老师和小萱、小真同学有关租车问题的对话：
王老师：“客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元.”
小萱：“如果我们七年级租用45座的客车a辆，那么还有15人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满”．
小真：“八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到该博物馆参观，一天的租金共计5100元.”
根据以上对话，解答下列问题：
(1)参加此次活动的七年级师生共有______人；
(2)客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？
(3)若同时租用两种或一种客车，要使七年级每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，问有几种租车方案？哪一种租车最省钱？
24.(本小题12分)
当m，n都是实数，且满足2m+n=5时，我们称Q(m+1,n−1)为关联点．
(1)若A(4,n−1)是关联点，则n= ______；
(2)判断点P(3,1)是否为关联点，并说明理由．
(3)已知关于x，y的方程组x+y=6x−y=2a，当a为何值时，以方程组的解为坐标的点B(x,y)是关联点？
25.(本小题14分)
如图1，在平面直角坐标系中，已知A(0,a)，B(b,n)，其中a，b满足 a−3+(b−4)2=0，n>0．
(1)a= ______，b= ______；
(2)点C(m,0)在x轴负半轴上；
①请用含m的式子表示四边形ACOB面积；
②若线段OB通过平移恰好能与线段CA重合(O与C重合，B与A重合)，Q为线段AB上一点，P为x轴上一点，且S△CPQ=14S四边形ACOB(即三角形CPQ面积为四边形ACOB面积的14)，求点P的坐标．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A，0.1010010001是有限小数，属于有理数，不合题意；
B， 4=2，2是整数，属于有理数，不合题意；
C，π是无限不循环小数，属于无理数，符合题意；
D，13是分数，属于有理数，不合题意；
故选C．
无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比，若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环，常见的无理数有非完全平方数的平方根、π等．据此逐项判断即可．
本题考查无理数，解题的关键是理解无理数的定义．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−)．
根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【解答】
解：点P(−3,2)在第二象限，
故选：B．
3.【答案】D
【解析】解：∵CD//AB，
∴∠A+∠AKD=180°，
∵∠AKD=∠1=60°，
∴∠A=120°．
故选：D．
由平行线的性质推出∠A+∠AKD=180°，由对顶角的在得到∠AKD=∠1=60°，求出∠A=120°．
本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠A+∠AKD=180°．
4.【答案】B
【解析】解：A.把x=2y=1代入方程得：左边=4−1=3，右边=5，
∵左边≠右边，
∴不是方程的解，不符合题意；
B.把x=2y=−1代入方程得：左边=8+1=9，右边=5，
∵左边=右边，
∴是方程的解，符合题意；
C.把x=4y=−1代入方程得：左边=4−1=3，右边=5，
∵左边≠右边，
∴不是方程的解，不符合题意；
D.把x=4y=1代入方程得：左边=8−1=7，右边=5，
∵左边≠右边，
∴不是方程的解，不符合题意；
故选：B．
把各项中x与y的值代入方程检验即可．
此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
5.【答案】D
【解析】解：A、 4=2，故A错误；
B、± 9=±3，故B错误；
C、 (−2)2=2故C错误；
D、 22=2，故D正确；
故选：D．
根据开方运算，可得平方根算术平方根，可得答案．
本题考查了算术平方根，注意一个正数的平方根有两个，一个正数的算术平方根只有一个．
6.【答案】B
【解析】解：∵一个正方形的面积是10，
∴它的边长是 10，
∵ 9< 10< 16，
∴3< 10<4．
∴估计它的边长大小在3和4之间．
故选：B．
先根据正方形的面积求出正方形的边长，再求出每个数的平方，即可得出答案．
本题考查了估算无理数的大小的应用，解此题的关键是求出 10的取值范围．
7.【答案】D
【解析】解：∵点A在第二象限，到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，
∴点A的横坐标是−4，纵坐标是3，
∴点A的坐标为(−4,3)．
故选：D．
根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答．
本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵∠1=∠2，
∴AD//BC，
故①符合题意；
∵∠3=∠4，
∴AB//CD，
故②不符合题意；
∵∠DCE=∠5，
∴AB//CD，
故③不符合题意；
∵∠BCD+∠D=180°，
∴AD//BC，
故④符合题意；
故选：A．
根据平行线的判定定理判断求解即可．
此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】【分析】
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
方程组两方程相减即可求出所求．
【解答】
解：x+2y=5①2x+y=7②，
②−①得：x−y=2，
故选A．
10.【答案】B
【解析】解：设长方体木块长x cm、宽y cm，桌子的高为a cm，
由题意得：a+x−y=90a+y−x=60，
两式相加得：2a=150，
解得：a=75，
故选：B．
设长方体木块长x cm、宽y cm，桌子的高为a cm，由题意列出方程组求出其解即可得出结果．
本题考查了二元一次方程组的运用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，
列方程组求解．
11.【答案】y=−5x+3
【解析】解：5x+y=3，
y=−5x+3．
故答案为：y=−5x+3．
把x看做已知数求出y即可．
此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数求出y．
12.【答案】垂线段最短
【解析】解：把小河里的水引到田地A处，若使水沟最短，则过点A向河岸l作垂线，垂足为点B，沿AB挖水沟即可，理由是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
由垂线的性质：垂线段最短，即可得到答案．
本题考查垂线段最短，关键是掌握垂线的性质：垂线段最短．
13.【答案】(1,3)
【解析】解：∵AP//x轴，且点A坐标为(2,3)，
∴4−m=3，
解得m=1，
∴点P的坐标为(1,3)．
故答案为：(1,3)．
根据平行于x轴的直线上点的坐标特征即可解决问题．
本题考查还与图形性质，熟知平行于x轴的直线上点的坐标特征是解题的关键．
14.【答案】3 1
【解析】解：如图，
∴“炮”的坐标为(3,1)；
故答案为：3，1．
先根据“马”的位置确定原点的位置，从而可以确定“炮”的位置．
本题考查了在平面直角坐标系中确定点的位置，难度较小，掌握平面直角坐标系点的特征是关键．
15.【答案】y=8x−3y=7x+4
【解析】解：由题意可得：y=8x−3y=7x+4．
故答案为：y=8x−3y=7x+4．
根据每人出8钱，则多了3钱，可得y=8x−3，根据每人出7钱，则少了4钱，可得y=7x+4，然后即可列出相应的方程组．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找到等量关系，列出相应的方程组．
16.【答案】36°
【解析】解：延长NB到K，
由折叠的性质得到∠ABK=∠ABC，
∵BN//AM，
∴∠BAE=∠ABK，
∵∠ABC=2∠MAD，
∴∠BAE=2∠MAD，
∵AD//BC，
∴∠ABC+∠BAE+∠MAD=180°，
∴5∠MAD=180°，
∴∠MAD=36°．
故答案为：36°．
延长NB到K，由折叠的性质得到∠ABK=∠ABC，由平行线的性质推出∠BAE=∠ABK，∠ABC+∠BAE+∠MAD=180°，而∠ABC=2∠MAD，得到5∠MAD=180°，求出∠MAD∠=36°．
本题考查平行线的性质，关键是由折叠的性质得到∠ABK=∠ABC，由平行线的性质推出∠BAE=∠ABK，∠ABC+∠BAE+∠MAD=180°，得到5∠MAD=180°．
17.【答案】解：(1)原式=3+2− 3−2
=3− 3；
(2)3(x−1)2−48=0，
则(x−1)2=16，
故x−1=±4，
解得：x=5或x=−3．
【解析】(1)直接利用绝对值的性质以及立方根的性质、二次根式的性质分别化简，进而得出答案；
(2)直接利用平方根的定义得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
18.【答案】解：(1)x=5+y①x−2y=2②，
①代入②得，5+y−2y=2，
解得y=3，
把y=3代入①得，x=5+3=8，
所以方程组的解为：x=8y=3，
(2)5x+2y=25①3x+4y=15②，
①×2−②得7x=35，
解得，x=5，
把x=5代入②得，15+4y=15，
解得，y=0，
所以方程组的解为：x=5y=0．
【解析】(1)利用代入消元法即可求解；
(2)利用加减消元法求解即可．
本题考查二元一次方程组的解法，掌握加减消元法和代入消元法是正确求解的关键．
19.【答案】∠1 两直线平行，内错角相等 EF CD 内错角相等，两直线平行 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
【解析】证明：过点E作EF//AB．
∵EF//AB，
∴∠A=∠1(两直线平行，内错角相等)，
∵∠AEC=∠1+∠2，∠AEC=∠A+∠C，
∴∠C=∠2．
∴EF//CD(内错角相等，两直线平行)．
∴AB//CD (如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)．
故答案为：∠1；两直线平行，内错角相等；EF；CD；内错角相等，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
过点E作EF//AB，然后利用平行线的性质和等量代换等证明AB//CD．
本题考查平行线的判定和性质，结合题意和图形作出正确的辅助线是解决本题的关键．
20.【答案】(m+6,n−2)
【解析】解：(1)如图，△DEF即为所求作的三角形；
∴E(2,−2)，F(6,−1)；
(2)若P(m,n)为△ABC中任意一点，则平移后的对应点P1的坐标为(m+6,n−2)．
(1)由A，D的坐标变化，确定平移方式，再画图即可并写出E，F的坐标即可；
(2)根据平移的性质得到坐标变化规律，再解答即可．
本题考查的是坐标与图形，平移的性质，熟记平移的性质并应用于画图是解本题的关键．
21.【答案】解：(1)∵2a−1的算术平方根是3，
∴2a−1=9，
解得a=5，
∵a+3b的立方根是2，
∴a+3b=8，
解得b=1，
∵ 4< 7< 9，
∴2< 7<3，
∵c是 7的整数部分，
∴c=2；
(2)∵a=5，b=1，c=2，
∴3a+2b−4c=3×5+2×1−4×2=9，
∵9的平方根是±3，
∴3a+2b−4c的平方根是±3．
【解析】(1)根据算术平方根、立方根的定义即可求出a、b的值，利用夹逼法估算无理数的大小，即可得出c的值；
(2)把a、b、c的值代入3a+2b−4c中，再求其平方根即可．
本题考查了无理数的估算，平方根，算术平方根，立方根，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵∠EDO与∠1互余，
∴∠EDO+∠1=90°，
∵OC⊥OD，
∴∠COD=90°，
∴∠EDO+∠1+∠COD=180°，
∴∠EDO+∠AOD=180°，
∴ED//AB；
(2)解：如图所示：
∵ED//AB，
∴∠AOF=∠OFD=70°，
∵OF平分∠COD，
∴∠COF=12∠COD=45°，
∴∠1=∠AOF−∠COF=25°．
【解析】(1)利用已知得出∠EDO+∠AOD=180°，进而得出答案；
(2)利用角平分线的定义结合已知得出∠COF=12∠COD=45°，进而得出答案．
此题主要考查了平行线的判定以及角平分线的作法与定义，正确把握角平分线的作法是解题关键．
23.【答案】420
【解析】解：(1)根据题意得：45a+15=60(a−2)，
解得：a=9，
∴45a+15=45×9+15=420(人)，
∴参加此次活动的七年级师生共有420人．
故答案为：420；
(2)设客运公司45座客车每辆每天的租金为x元，60座客车每辆每天的租金为y元，
根据题意得：y−x=1502x+4y=5100，
解得：x=750y=900．
答：客运公司45座客车每辆每天的租金为750元，60座客车每辆每天的租金为900元；
(3)设租用m辆45座客车，n辆60座客车，
根据题意得：45m+60n=420，
∴n=7−34m.
又∵m，n均为非负整数，
∴m=0n=7或m=4n=4或m=8n=1，
∴共有3种租车方案，
方案1：租用7辆60座客车，所需总租金为900×7=6300(元)；
方案2：租用4辆45座客车，4辆60座客车，所需总租金为750×4+900×4=6600(元)；
方案3：租用8辆45座客车，1辆60座客车，所需总租金为750×8+900×1=6900(元)．
∵6300<6600<6900，
∴当租用7辆60座客车时，最省钱．
答：共有3种租车方案，当租用7辆60座客车时，最省钱．
(1)根据“七年级租用45座的客车a辆，还有15人没有座位；租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满”，可列出关于a的一元一次方程，解之可得出a的值，再将其代入(45a+15)中，即可求出结论；
(2)设客运公司45座客车每辆每天的租金为x元，60座客车每辆每天的租金为y元，根据“60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元，且租了4辆60座和2辆45座的客车，一天的租金共计5100元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(3)设租用m辆45座客车，n辆60座客车，根据租用的客车的承载人数恰好为420人，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为非负整数，可得出共有3种租车方案，再求出选择各租车方案所需总租金，比较后即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元一次方程；(2)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(3)找准等量关系，正确列出二元一次方程．
24.【答案】−1
【解析】解：(1)由题意得：2(4−1)+(n−1+1)=5，
解得：n=−1，
故答案为：−1；
(2)点P(3,1)不是关联点，理由如下：
根据题意得，m+1=3n−1=1，
解得：m=2n=2，
代入得：2m+n=4+2=6≠5，
∴点P(3,1)不是关联点；
(3)x+y=6①x−y=2a②，
①+②得：2x=2a+6，
解得：x=a+3，
把x=a+3代入①得：y=3−a，
根据题意得：m+1=a+3n−1=3−a，
解得：m=a+2n=4−a，
代入得：2m+n=2a+4+4−a=a+8，
当a+8=5，即a=−3时，满足2m+n=5，即以方程组的解为坐标的点B(x,y)是关联点．
(1)利用题中的新定义列式计算即可；
(2)利用题中的新定义判断即可；
(3)表示出方程组的解，根据题中的新定义判断即可．
本题属于三角形综合题，考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
25.【答案】3 4
【解析】解：(1)∵ a−3+(b−4)2=0， a−3≥0，(b−4)2≥0，
∴ a−3=0，(b−4)2=0，
∴a−3=0，b−4=0，
解得：a=3，b=4，
故答案为：3；4；
(2)①∵a=3，b=4，
∴A(0,3)，B(4,n)，
又∵点C(m,0)在x轴负半轴上，
∴S四边形ACOB=S△AOC+S△AOB=12×3×(−m)+12×3×4=−32m+6；
②如图，根据题意画出图形，
∵线段OB通过平移恰好能与线段CA重合，(平移后O与C重合，B与A重合)，
∴n=3，m=−4，
∴B(4,3)，C(−4,0)，S四边形ACOB=−32m+6=−32×(−4)+6=12，
∵点P在x轴上，点Q在线段AB上，
∴△CPQ边CP上的高=3，
∵S△CPQ=14S四边形ACOB，
∴S△CPQ=14×12=3，
∴CP=3×2÷3=2，
当点P在点C右边时，点P的横坐标=−4+2=−2，点P的坐标为(−2,0)，
当点P在点C左边时，点P的横坐标=−4−2=−6，点P的坐标为(−6,0)，
综上所述，点P的坐标为(−2,0)或(−6,0)．
(1)利用算术平方根和平方的非负性进行求解即可；
(2)①根据图形与坐标、S四边形ACOB=S△AOC+S△AOB表示即可；②根据平移的性质，得到n=3，m=−4，B(4,3)，C(−4,0)，根据图形与坐标，结合S△CPQ=14S四边形ACOB、三角形面积公式的理解，求出CP的长，分“当点P在点C右边时”和“当点P在点C左边时”，计算得出点P的坐标即可．
本题属于四边形综合题，主要考查了坐标与图形、坐标与平移、算术平方根和平方的非负性、三角形面积公式，解题的关键是掌握平移的性质、利用数形结合的思想进行求解．
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