2023-2024学年黑龙江省实验中学高二（下）月考数学试卷（6月份）（含答案）

这是一份2023-2024学年黑龙江省实验中学高二（下）月考数学试卷（6月份）（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|x2−4x+3≤0}，B={−1,1,2,4}，则A∩B=( )
A. {1,2,3}B. {1,2}C. {2,3}D. {−1,1,2}
2.已知数列{an}满足a1=1，an+12−an2=2，则a5=( )
A. 3B. 2或−2C. 3或−3D. 2
3.若p：2−xx+1≤0，则p成立的一个必要不充分条件是( )
A. −1≤x≤2B. |x|>1C. |x|>2D. 24.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S5=6，S10=18，则S15=( )
A. 36B. 54C. 28D. 42
5.若a>0，b>0，且ab=a+b，则2a+8b的最小值为( )
A. 18B. 15C. 20D. 13
6.已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)=1，且f(x)的导函数f′(x)<12，则关于x的不等式f(x)A. (−1,1)B. (1,+∞)
C. (−∞,−1)D. (−∞,−1)∪(1,+∞)
7.若函数f(x)=x2−ax+lnx在区间(1,e)上单调递增，则a的取值范围是( )
A. [3,+∞)B. (−∞,3]C. [3,e2+1]D. [e2+1,3]
8.已知函数f(x)=x−lnx,x>0x+1x,x<0，若y=f(x)−kx恰有两个零点，则k的取值范围为( )
A. (1−1e,1)B. (1,1+1e)
C. (1,1+1e)∪(1+1e,+∞)D. (1−1e,1)∪(1,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知a，b，c∈R，下列命题为真命题的是( )
A. 若a>b>c，则a+b>cB. 若a>b>|c|，则a2>b2>c2
C. 若acbD. 若a>b>c>0，则ba10.已知函数f(x)的定义域为R且导函数为f′(x)，如图是函数y=xf′(x)的图像，则下列说法正确的是( )
A. 函数f(x)的增区间是(−2,0)，(2,+∞)
B. 函数f(x)的减区间是(−∞,−2)，(2,+∞)
C. x=−2是函数的极小值点
D. x=2是函数的极小值点
11.已知函数f(x)=ex−a−x2(a>0)有两个极值点x1和x2，且x1A. 0C. 0三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若数列{an}满足1an+1−1an=d，(n∈N∗,d为常数)，则称数列{an}为调和数列.已知数列{1xn2}为调和数列，且x12+x22+x32+…+x20222=2022，则x9+x2014的最大值为______．
13.已知函数f(x)=−x3+2x2−x，若过点P(1,t)可作曲线y=f(x)的三条切线，则t的取值范围是______．
14.已知e是自然对数的底数.若∀x∈(0,+∞)，memx≥lnx成立，则实数m的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（13分）已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞)，若关于x的不等式f(x)(1)求实数m的值；
(2)若x>1，y>0，x+y=m，求1x−1+2y的最小值．
16.（15分）已知函数f(x)=alnx−bx2+1，a，b∈R.若f(x)在x=1处与直线y=0相切．
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)在[1e,e2](其中e=2.718…为自然对数的底数)上的最大值和最小值．
17.（15分）设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S3=a5，且a2−2，a3，S5成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn=2− Sn，求数列{an⋅bn}的前n项和Tn．
18.（17分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a2=2a1=4，当n∈N∗，且n≥2时，Sn+1=3Sn−2Sn−1．
(1)证明：{an}为等比数列；
(2)设bn=an(an−1)(an+1−1)，记数列{bn}的前n项和为Tn，若Tm+17×2m−2>1，求正整数m的最小值．
19.（17分）已知函数f(x)=−x2+(a−2)x+a−3ex(x>0)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)存在两个极值点x1，x2，记ℎ(x1,x2)=f(x1)f(x2)，求ℎ(x1,x2)的取值范围．
参考答案
1.B
2.C
3.B
4.D
5.A
6.B
7.B
8.D
9.BD
10.D
11.ACD
12.2
13.(0,127)
14.1e
15.解：∵函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞)，
∴f(x)=x2+ax+b=0只有一个根，即△=a2−4b=0则b=a24．
不等式f(x)即为x2+ax+a24则x2+ax+a24−m=0的两个根为c，c+2 2
∴2 m=c+2 2−c
∴m=2；
(2)x+y=2，∴x−1+y=1，
∴1x−1+2y=(1x−1+2y)(x−1+y)=3+yx−1+2(x−1)y≥3+2 2．
当且仅当yx−1=2(x−1)y时，1x−1+2y的最小值为3+2 2．
16.解：(1)∵函数f(x)=alnx−bx2+1，
∴f′(x)=ax−2bx，
∵函数f(x)在x=1处与直线y=0相切，
∴f′(1)=a−2b=0f(1)=−b+1=0，解得a=2b=1；
(2)由(1)可得f(x)=2lnx−x2+1，
∴f′(x)=2x−2x=2−2x2x=2(1−x)(1+x)x，
所以当1e≤x<1时，f′(x)>0，当1所以f(x)在[1,e2]上单调递减，在[1e,1)上单调递增，在x=1处取得极大值即最大值，
所以f(x)max=f(1)=0，
又f(1e)=2ln1e−(1e)2+1=−1e2−1>−2，f(e2)=2lne2−(e2)2+1=−e4+5<−2，
所以f(x)min=f(e2)=−e4+5．
17.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，∵S3=a5，且a2−2，a3，S5成等比数列．
∴3a1+3d=a1+4d，a32=(a2−2)S5，即(a1+2d)2=(a1+d−2)(5a1+10d)，
解得a1=1，d=2；a1=0=d(舍去)．
∴a1=1，d=2；
∴an=1+2(n−1)=2n−1．
(2)由(1)可得：Sn=n(1+2n−1)2=n2，
∴bn=2− Sn=2−n=(12)n，
∴an⋅bn=(2n−1)⋅12n，
∴数列{an⋅bn}的前n项和Tn=12+322+523+…+2n−12n，
12Tn=14+323+524…+2n−32n+2n−12n+1，
相减可得：12Tn=12+2(122+123+…+12n)−2n−12n+1=12+2×14(1−12n−1)1−12−2n−12n+1，
化为Tn=3−2n+32n．
18.(1)证明：当n≥2时，Sn+1=3Sn−2Sn−1，
所以Sn+1−Sn=2(Sn−Sn−1)，即an+1=2an，
又a2=2a1=4，
故an+1=2an对n∈N∗都成立，且a1=2，
所以{an}是首项为2，公比为2的等比数列．
(2)解：由(1)知：an=2n，则bn=2n(2n−1)(2n+1−1)=12n−1−12n+1−1，
所以Tn=1−13+13−17+⋯+12n−1−1−12n−1+12n−1−12n+1−1=1−12n+1−1，
则Tm+17×2m−2=1−12m+1−1+17×2m−2>1，即7×2m−2<2m+1−1=8×2m−2−1，
所以2m−2>1，可得m>2，而m∈N∗，故m≥3，正整数m的最小值为3．
19.解：(1)由题意x>0，f′(x)=x2−ax+1ex，
当a≤0或Δ=a2−4≤0，即a≤2时，f′(x)≥0，f(x)为增函数；
当a>2时，由x2−ax+1=0得x1,2=a± a2−42，不妨设x1由x2−ax+1>0得0x2，由x2−ax+1<0得x1故a>2时，f(x)的单调递增区间为(0,x1)，(x2,+∞)，单调递减区间为(x1,x2).
(2)由(1)知当a>2时，x1，x2是x2−ax+1=0的两个根，
即函数f(x)存在的两个极值点x1，x2，且x1+x2=a，x1⋅x2=1，
所以ℎ(x1,x2)=f(x1)f(x2)=[−x12+(a−2)x1+a−3][−x22+(a−2)x2+a−3]ex1+x2=−a2+8ea，a>2，
令φ(a)=−a2+8ea，a>2，φ′(a)=a2−2a−8ea，当a∈(2,4)时，φ′(a)<0，当a∈(4,+∞)时，φ′(a)>0，
故φ(a)在(2,4)上单调递减，在(4,+∞)上单调递增，故φ(a)min=φ(4)=−8e4，
又a→2时，φ(a)→4e2，a→+∞时，φ(a)→0−，
故−8e4≤φ(a)<4e2，
即ℎ(x1,x2)的取值范围是[−8e4,4e2).