（预习课）2024年高中数学高二暑假讲义13 直线与圆、圆与圆的位置关系（2份打包，原卷版+教师版）

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第1课时 直线与圆的位置关系
学习目标 1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系．
知识点 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
思考 几何法、代数法判断直线与圆的位置关系各有什么特点？
答案 “几何法”侧重于图形的几何性质，步骤较简洁；“代数法”则侧重于“坐标”与“方程”， 判断直线与圆的位置关系，一般用几何法．
1．若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．( × )
2．如果直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切．( √ )
3．若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解．( √ )
4．过圆外一点的直线与圆相离．( × )
一、直线与圆的位置关系的判断
例1 已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线：
(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点；
(3)没有公共点．
解 方法一 将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，
(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.则Δ＝4m(3m＋4)．
当Δ>0，即m>0或m<－eq \f(4,3)时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
当Δ＝0，即m＝0或m＝－eq \f(4,3)时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
当Δ<0，即－eq \f(4,3)方法二 已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为C(2,1)，半径r＝2.
圆心C(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝eq \f(|2m－1－m－1|,\r(1＋m2))＝eq \f(|m－2|,\r(1＋m2)) .
当d<2，即m>0或m<－eq \f(4,3)时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
当d＝2，即m＝0或m＝－eq \f(4,3)时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
当d>2，即－eq \f(4,3)反思感悟 直线与圆的位置关系的判断方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．
(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．
(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．
跟踪训练1 (1)已知圆C: x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则( )
A．l与C相交 B．l与C相切
C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能
答案 A
解析 将点P(3,0)代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，
∴点P(3,0)在圆内．∴过点P的直线l必与圆C相交．
(2)设m＞0，则直线l：eq \r(2)(x＋y)＋1＋m＝0与圆O：x2＋y2＝m的位置关系为( )
A．相切 B．相交
C．相切或相离 D．相交或相切
答案 C
解析 圆心到直线l的距离为d＝eq \f(1＋m,2)，圆的半径为r＝eq \r(m)，
∵d－r＝eq \f(1＋m,2)－eq \r(m)＝eq \f(1,2)(m－2eq \r(m)＋1)＝eq \f(1,2)(eq \r(m)－1)2≥0，∴d≥r，故直线l和圆O相切或相离．
二、圆的弦长问题
例2 (1)过圆x2＋y2＝8内的点P(－1,2)作直线l交圆于A，B两点．若直线l的倾斜角为135°，则弦AB的长为________．
答案 eq \r(30)
解析 由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0，
圆心O(0,0)到直线l的距离为d＝eq \f(|－1|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，则有|AB|＝2eq \r(r2－d2)＝2 eq \r(8－\f(1,2))＝eq \r(30).
(2)如果一条直线经过点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，－\f(3,2)))且被圆x2＋y2＝25所截得的弦长为8，求这条直线的方程．
解 圆x2＋y2＝25的半径长r为5，直线被圆所截得的弦长l＝8，
所以弦心距d＝eq \r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(l,2)))2)＝eq \r(52－42)＝3.
因为圆心O(0,0)到直线x＝－3的距离恰为3，所以直线x＝－3是符合题意的一条直线．
设直线y＋eq \f(3,2)＝k(x＋3)也符合题意，即圆心到直线kx－y＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3k－\f(3,2)))＝0的距离等于3，
于是eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(3k－\f(3,2))),\r(k2＋1))＝3，解得k＝－eq \f(3,4).故直线的方程为3x＋4y＋15＝0.
综上可知，满足题意的直线有两条，对应的方程分别为x＝－3和3x＋4y＋15＝0.
反思感悟 直线与圆相交时的弦长求法
跟踪训练2 求直线l：3x＋y－6＝0被圆C: x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长．
解 方法一 由直线l与圆C的方程，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋y－6＝0，,x2＋y2－2y－4＝0，))消去y，得x2－3x＋2＝0.
设两交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由根与系数的关系有x1＋x2＝3，x1·x2＝2，
|AB|＝eq \r(1＋32x1－x22)＝eq \r(10[x1＋x22－4x1x2])＝eq \r(10×32－4×2)＝eq \r(10).
∴弦AB的长为eq \r(10).
方法二 圆C: x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5.
其圆心坐标为C(0,1)，半径r＝eq \r(5)，点C(0,1)到直线l的距离为d＝eq \f(|3×0＋1－6|,\r(32＋12))＝eq \f(\r(10),2)，
所以半弦长eq \f(|AB|,2)＝eq \r(r2－d2)＝eq \r(\r(5)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(10),2)))2)＝eq \f(\r(10),2).所以弦长|AB|＝eq \r(10).
三、求圆的切线方程
例3 (1)若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是( )
A．2 B．3 C．4 D．6
答案 C
解析 因为过圆外一点的圆的切线长l、半径长r和这点到圆心的距离d满足勾股定理，即l2＝d2－r2，所以切线长最短时该点到圆心的距离最小，转化成求该点与圆心的距离的最小值问题．由题意易知圆心C(－1,2)，半径长r＝eq \r(2)，点(a，b)在直线y＝x－3上，所以点(a，b)与圆心的距离的最小值即圆心到直线y＝x－3的距离d，易求d＝eq \f(|－1－2－3|,\r(2))＝3eq \r(2)，所以切线长的最小值为eq \r(d2－r2)＝eq \r(3\r(2)2－2)＝4.
(2)过点A(－1,4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，则切线l的方程为__________________．
答案 y＝4或3x＋4y－13＝0
解析 ∵(－1－2)2＋(4－3)2＝10＞1，∴点A在圆外．
当直线l的斜率不存在时，l的方程是x＝－1，不满足题意．
设直线l的斜率为k，则切线l的方程为y－4＝k(x＋1)，即kx－y＋4＋k＝0.
圆心(2,3)到切线l的距离为eq \f(|2k－3＋4＋k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝0或k＝－eq \f(3,4)，
因此，所求直线l的方程为y＝4或3x＋4y－13＝0.
反思感悟 求过某一点的圆的切线方程
(1)点(x0，y0)在圆上．
①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－eq \f(1,k)，由点斜式可得切线方程．
②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.
(2)点(x0，y0) 在圆外．
①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．
②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况．
③过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．
跟踪训练3 (1)过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一点P(3,3)的切线方程为( )
A．2x－y＋9＝0 B．2x＋y－9＝0
C．2x＋y＋9＝0 D．2x－y－9＝0
答案 B
解析 x2＋y2－2x－4y＝0的圆心为C(1,2)，kPC＝eq \f(1,2)，∴切线的斜率k＝－2，
∴切线方程为y－3＝－2(x－3)，即2x＋y－9＝0.
(2)由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为( )
A．1 B．2eq \r(2) C.eq \r(7) D．3
答案 C
解析 圆心C(3,0)到y＝x＋1的距离d＝eq \f(|3－0＋1|,\r(2))＝2eq \r(2).
所以切线长的最小值为l＝eq \r(2\r(2)2－12)＝eq \r(7).
1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
答案 B
解析 ∵圆心(0,0)到直线y＝x＋1的距离d＝eq \f(|0－0＋1|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)<1，∴直线与圆x2＋y2＝1相交，
又(0,0)不在y＝x＋1上，∴直线不过圆心．
2．(多选)直线l: x－1＝m(y－1)和圆x2＋y2－2y＝0的位置关系是( )
A．相离 B．相切或相离
C．相交 D．相切
答案 CD
解析 l过定点A(1,1)，又点A在圆上，当l斜率存在时，l与圆一定相交，
又直线x＝1过点A且为圆的切线，∴l与圆相交或相切，故选CD.
3．(多选)若直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是( )
A．－2 B．－12
C．2 D．12
答案 CD
解析 圆的方程为x2＋y2－2x－2y＋1＝0，可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，
由圆心(1,1)到直线3x＋4y－b＝0的距离为eq \f(|7－b|,5)＝1，得b＝2或12.
4．过点P(2,3)且与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线方程为________________．
答案 x＝2或y＝3
解析 ∵P(2,3)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1外，∴过点P(2,3)与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线有两条．当斜率存在时，设切线的斜率为k，则切线方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0，∴eq \f(|k－2＋3－2k|,\r(k2＋1))＝1，∴k＝0，∴切线方程为y＝3，当斜率不存在时，切线方程为x＝2.
5．过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦长为________．
答案 2eq \r(2)
解析 设点A(3,1)，易知圆心C(2,2)，半径r＝2.当弦过点A(3,1)且与CA垂直时为最短弦，
|CA|＝eq \r(2－32＋2－12)＝eq \r(2).∴半弦长＝eq \r(r2－|CA|2)＝eq \r(4－2)＝eq \r(2).∴最短弦长为2eq \r(2).
1．知识清单：
(1)直线与圆的三种位置关系．
(2)弦长公式．
(3)圆的切线方程．
2．方法归纳：几何法、代数法、弦长公式法．
3．常见误区：求直线方程时忽略直线斜率不存在的情况．
1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是( )
A．过圆心 B．相切
C．相离 D．相交但不过圆心
答案 D
解析 圆心(1，－1)到直线3x＋4y＋12＝0的距离d＝eq \f(|3×1＋4×－1＋12|,\r(32＋42))＝eq \f(11,5)，0所以相交但不过圆心．
2．若直线3x＋4y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0没有公共点，则实数m的取值范围是( )
A．－515
C．m<4或m>13 D．4答案 B
解析 圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0的圆心为(1，－2)，半径为2，
由题意，圆心到直线3x＋4y＋m＝0的距离eq \f(|3－8＋m|,\r(9＋16))>2，∴m<－5或m>15.故选B.
3．(多选)若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2eq \r(2)，则实数a的值为( )
A．0 B．4 C．－2 D.eq \r(3)
答案 AB
解析 由圆的方程，可知圆心坐标为(a，0)，半径r＝2.又直线被圆截得的弦长为2eq \r(2)，
所以圆心到直线的距离d＝eq \r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(2),2)))2)＝eq \r(2).又d＝eq \f(|a－2|,\r(2))，所以|a－2|＝2，解得a＝4或a＝0.
4．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )
A．[－3，－1] B．[－1,3]
C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
答案 C
解析 圆(x－a)2＋y2＝2的圆心C(a，0)到直线x－y＋1＝0的距离为d，
则d≤r＝eq \r(2)⇔eq \f(|a＋1|,\r(2))≤eq \r(2)⇔|a＋1|≤2⇔－3≤a≤1.
5．圆心为(3,0)且与直线x＋eq \r(2)y＝0相切的圆的方程为( )
A．(x－eq \r(3))2＋y2＝1 B．(x－3)2＋y2＝3
C．(x－eq \r(3))2＋y2＝3 D．(x－3)2＋y2＝9
答案 B
解析 由题意知所求圆的半径r＝eq \f(|3＋\r(2)×0|,\r(1＋2))＝eq \r(3)，故所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝3，故选B.
6．设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝________.
答案 2
解析 直线y＝x过圆x2＋y2＝1的圆心C(0,0)，则|AB|＝2.
7．过点P(－1,6)且与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝4相切的直线方程是______________．
答案 3x－4y＋27＝0或x＝－1
解析 当所求直线的斜率存在时，设所求直线的方程为y－6＝k(x＋1)，
则d＝eq \f(|2－6－k－3＋1|,\r(1＋k2))＝2，解得k＝eq \f(3,4)，此时，直线方程为3x－4y＋27＝0；
当所求直线的斜率不存在时，所求直线的方程为x＝－1，验证可知，符合题意．
8．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为________．
答案 －eq \f(4,3)或－eq \f(3,4)
解析 由已知得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性知，反射光线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，
则有d＝eq \f(|－3k－2－2k－3|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－eq \f(4,3)或k＝－eq \f(3,4).
9．已知圆C与y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且直线y＝x截圆所得弦长为2eq \r(7)，求圆C的方程．
解 因为圆C与y轴相切，且圆心C在直线x－3y＝0上，
故设圆C的方程为(x－3b)2＋(y－b)2＝9b2.
又因为直线y＝x截圆得弦长为2eq \r(7)，则有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|3b－b|,\r(2))))2＋(eq \r(7))2＝9b2，解得b＝±1，
故所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
10．设圆上的点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x－y＋1＝0相交的弦长为2eq \r(2)，求圆的方程．
解 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心为(a，b)，半径长为r.
∵点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点A′仍在这个圆上，
∴圆心(a，b)在直线x＋2y＝0上．∴a＋2b＝0，①
且(2－a)2＋(3－b)2＝r2.②
又∵直线x－y＋1＝0与圆相交的弦长为2eq \r(2)，
∴r2－d2＝r2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|a－b＋1|,\r(2))))2＝(eq \r(2))2.③
解由方程①②③组成的方程组，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝6，,b＝－3，,r2＝52))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝14，,b＝－7，,r2＝244.))
∴所求圆的方程为(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244.
11．已知圆x2＋y2＝9的弦过点P(1,2)，当弦长最短时，该弦所在直线的方程为( )
A．y－2＝0 B．x＋2y－5＝0
C．2x－y＝0 D．x－1＝0
答案 B
解析 当弦长最短时，该弦所在直线与过点P(1,2)的直径垂直．已知圆心O(0,0)，
所以过点P(1,2)的直径所在直线的斜率k＝eq \f(2－0,1－0)＝2，故所求直线的斜率为－eq \f(1,2)，
所以所求直线方程为y－2＝－eq \f(1,2)(x－1)，即x＋2y－5＝0.
12．已知直线l：3x＋4y＋m＝0(m>0)被圆C：x2＋y2＋2x－2y－6＝0截得的弦长是圆心C到直线l的距离的2倍，则m等于( )
A．6 B．8 C．11 D．9
答案 D
解析 圆C：x2＋y2＋2x－2y－6＝0可化为(x＋1)2＋(y－1)2＝8，
圆心坐标为(－1,1)，半径为2eq \r(2)，由题意可知，圆心到直线的距离d＝eq \f(|1＋m|,5)＝2.
∵m>0，∴m＝9.
13．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________．
答案 10eq \r(2)
解析 圆的方程化为标准形式为(x－1)2＋(y－3)2＝10，易知点E在圆内，
由圆的性质可知最长弦|AC|＝2eq \r(10)，最短弦BD恰以E(0,1)为中点，且与AC垂直，
设点F为其圆心，坐标为(1,3)．故|EF|＝eq \r(5)，∴|BD|＝2eq \r(10－\r(5)2)＝2eq \r(5)，
∴S四边形ABCD＝eq \f(1,2)|AC|·|BD|＝10eq \r(2).
14．自圆外一点P作圆O：x2＋y2＝1的两条切线PM，PN(M，N为切点)，若∠MPN＝90°，则动点P的轨迹方程是________________．
答案 x2＋y2＝2
解析 设点P的坐标为(x，y)，则|PO|＝eq \r(x2＋y2).
∵∠MPN＝90°，∴四边形OMPN为正方形，∴|PO|＝eq \r(2)|OM|＝eq \r(2)，
∴eq \r(x2＋y2)＝eq \r(2)，即x2＋y2＝2.
15．曲线y＝1＋eq \r(4－x2)与直线l：y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,12)，\f(3,4)))
解析 直线l过点A(2,4)，又曲线y＝1＋eq \r(4－x2)的图象为以(0,1)为圆心，2为半径的半圆，
当直线l与半圆相切，C为切点时，圆心到直线l的距离d＝r，
即eq \f(|3－2k|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝eq \f(5,12).当直线l过点B(－2,1)时，直线l的斜率为eq \f(4－1,2－－2)＝eq \f(3,4)，
则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,12)，\f(3,4))).
16．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C: x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点．
(1)求四边形PACB面积的最小值；
(2)直线上是否存在点P，使∠BPA＝60°，若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．
解 (1)如图，连接PC，由P点在直线3x＋4y＋8＝0上，可设P点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，－2－\f(3,4)x)).
所以S四边形PACB＝2S△PAC＝2×eq \f(1,2)×|AP|×|AC|＝|AP|.因为|AP|2＝|PC|2－|CA|2＝|PC|2－1，
所以当|PC|2最小时，|AP|最小．因为|PC|2＝(1－x)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋2＋\f(3,4)x))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)x＋1))2＋9.
所以当x＝－eq \f(4,5)时，|PC|eq \\al(2,min)＝9.所以|AP|min＝eq \r(9－1)＝2eq \r(2).
即四边形PACB面积的最小值为2eq \r(2).
(2)由(1)知圆心C到P点距离3为C到直线上点的最小值，若∠APB＝60°易得需PC＝2，这是不可能的，所以这样的点P是不存在的．
第2课时 直线与圆的方程的应用
学习目标 1. 理解并掌握直线与圆的方程在实际生活中的应用.2.会用“数形结合”的数学思想解决问题．
知识点一 解决实际问题的一般程序
仔细读题(审题)→建立数学模型→解答数学模型→检验，给出实际问题的答案．
知识点二 用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，如点、直线，将平面几何问题转化为代数问题．
第二步：通过代数运算，解决代数问题．
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论．
1．一涵洞的横截面是半径为5 m的半圆，则该半圆的方程是( )
A．x2＋y2＝25 B．x2＋y2＝25(y≥0)
C．(x＋5)2＋y2＝25(y≤0) D．随建立直角坐标系的变化而变化
答案 D
2．已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
答案 C
解析 圆x2＋y2＝1的圆心(0,0)到直线x＋y＝1的距离d＝eq \f(|－1|,\r(12＋12))＝eq \f(\r(2),2)<1，
所以直线x＋y＝1与圆x2＋y2＝1相交．故选C.
3．已知点A(3,0)及圆x2＋y2＝4，则圆上一点P到点A距离的最大值和最小值分别是________．
答案 5, 1
解析 圆的半径为2，圆心到点A的距离为3，结合图形可知，圆上一点P到点A距离的最大值是3＋2＝5，最小值是3－2＝1.
4．如图，圆弧形拱桥的跨度AB＝12 m，拱高CD＝4 m，则拱桥的直径为________ m.
答案 13
解析 设圆心为O，半径为r，则由勾股定理得，|OB|2＝|OD|2＋|BD|2，即r2＝(r－4)2＋62，解得r＝eq \f(13,2)，所以拱桥的直径为13 m.
一、直线与圆的方程的应用
例1 一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
解 以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图所示)，
其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2＋y2＝9，
港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，
则轮船航线所在直线l的方程为eq \f(x,7)＋eq \f(y,4)＝1，即4x＋7y－28＝0，
圆心(0,0)到l：4x＋7y－28＝0的距离d＝eq \f(28,\r(42＋72))＝eq \f(28,\r(65))，
因为eq \f(28,\r(65))>3，所以直线与圆相离．故轮船不会受到台风的影响．
反思感悟 解决直线与圆的实际应用题的步骤
(1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知．
(2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素．
(3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知．
(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去．
跟踪训练1 (1)设某村庄外围成圆形，其所在曲线的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x－y＋2＝0表示，则从村庄外围到小路的最短距离是________．
答案 eq \f(7\r(2),2)－2
解析 从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0的距离减去圆的半径2，即eq \f(|2＋3＋2|,\r(12＋－12))－2＝eq \f(7\r(2),2)－2.
(2)如图为一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为________米．
答案 2eq \r(51)
解析 如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立直角坐标系．
设圆心为C，圆的方程设为x2＋(y＋r)2＝r2(r>0)，水面所在弦的端点为A，B，则A(6，－2)．将A(6，－2)代入圆的方程，得r＝10，
则圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.当水面下降1米后，可设点A′(x0，－3)(x0>0)，
将A′(x0，－3)代入圆的方程，得x0＝eq \r(51)，
所以当水面下降1米后，水面宽为2x0＝2eq \r(51)(米)．
二、坐标法的应用
例2 用坐标法证明：若四边形的一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，则该四边形的对角线互相垂直．
已知：四边形ABCD，AB2＋CD2＝BC2＋AD2.
求证：AC⊥BD.
证明 如图，以AC所在的直线为x轴，过点B垂直于AC的直线为y轴建立直角坐标系，
设顶点坐标分别为A(a，0)，B(0，b)，C(c，0)，D(x，y)，
∵AB2＋CD2＝BC2＋AD2，∴a2＋b2＋(x－c)2＋y2＝b2＋c2＋(x－a)2＋y2，
∴(a－c)x＝0，∵a≠c即a－c≠0，∴x＝0，∴D在y轴上，∴AC⊥BD.
反思感悟 (1)坐标法建立直角坐标系应坚持的原则
①若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴．
②充分利用图形的对称性．
③让尽可能多的点落在坐标轴上，或关于坐标轴对称．
④关键点的坐标易于求得．
(2)通过建立坐标系，将几何问题转化为代数问题，通过代数运算，求得结果．所以本例充分体现了数学建模和数学运算的数学核心素养．
跟踪训练2 如图所示，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且AB⊥CD，E为垂足．利用坐标法证明E是CD的中点．
证明 如图所示，以O为坐标原点，以直径AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
设⊙O的半径为r，|OE|＝m，则⊙O的方程为x2＋y2＝r2，设C(m，b1)，D(m，b2)．
则有m2＋beq \\al(2,1)＝r2，m2＋beq \\al(2,2)＝r2，即b1，b2是关于b的方程m2＋b2＝r2的根，
解方程得b＝±eq \r(r2－m2)，不妨设b1＝－eq \r(r2－m2)，b2＝eq \r(r2－m2)，
则CD的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，\f(\r(r2－m2)－\r(r2－m2),2)))，即(m，0)．故E是CD的中点．
1．已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上的点到直线l的距离的最小值为( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3) C．1 D．3
答案 A
解析 由题意知，圆C上的点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l的距离减去圆的半径，即eq \f(|1－1＋4|,\r(12＋－12))－eq \r(2)＝eq \r(2).
2．已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值是( )
A．8 B．－4 C．6 D．无法确定
答案 C
解析 因为圆上两点A，B关于直线x－y＋3＝0对称，
所以直线x－y＋3＝0过圆心eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(m,2)，0))，从而－eq \f(m,2)＋3＝0，即m＝6.
3．一辆货车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形单行隧道，则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度最高约为( )
A．2.4米 B．3.5米
C．3.6米 D．2.0米
答案 B
解析 以半圆所在直径为x轴，过圆心且与x轴垂直的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
易知半圆所在的圆的方程为x2＋y2＝3.62(y≥0)，由图可知，当货车恰好在隧道中间行走时车篷最高，此时x＝0.8或x＝－0.8，代入x2＋y2＝3.62，得y≈3.5(负值舍去)．
4．圆过点A(1，－2)，B(－1,4)，则周长最小的圆的方程为__________________．
答案 x2＋y2－2y－9＝0
解析 当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小．即AB中点(0,1)为圆心，半径r＝eq \f(1,2)|AB|＝eq \r(10).则圆的方程为x2＋(y－1)2＝10，即x2＋y2－2y－9＝0.
5．已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过点A与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为________．
答案 eq \f(25,4)
解析 ∵点A(1,2)在圆x2＋y2＝5上，∴过点A与圆O相切的切线方程为x＋2y＝5，易知切线在坐标轴上的截距分别为5，eq \f(5,2)，∴切线与坐标轴围成的三角形的面积为eq \f(25,4).
1．知识清单：
(1)直线与圆的方程的应用．
(2)坐标法的应用．
2．方法归纳：数学建模、坐标法．
3．常见误区：不能正确进行数学建模．
1．y＝|x|的图象和圆x2＋y2＝4在x轴上方所围成的图形的面积是( )
A.eq \f(π,4) B.eq \f(3π,4) C.eq \f(3π,2) D．π
答案 D
解析 数形结合，所求面积是圆x2＋y2＝4面积的eq \f(1,4).
2．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋2a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦长为4，则实数a的值是( )
A．－1 B．－2 C．－3 D．－4
答案 B
解析 圆x2＋y2＋2x－2y＋2a＝0，即(x＋1)2＋(y－1)2＝2－2a，故弦心距d＝eq \f(|－1＋1＋2|,\r(2))＝eq \r(2)，
再由弦心距，半弦长和半径的关系可得2－2a＝2＋4，∴a＝－2.
3．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )
A．6 B．4 C．3 D．2
答案 B
解析 如图，圆心M(3，－1)与定直线x＝－3的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6.
又因为圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.
4．若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值为( )
A．2 B．1 C.eq \r(3) D.eq \r(2)
答案 B
解析 x2＋y2表示圆上的点(x，y)与(0,0)间距离的平方，
又点(0,0)在圆内，所以由几何意义可知最小值为14－eq \r(52＋122)＝1.
5．已知点A(－1,1)和圆C：(x－5)2＋(y－7)2＝4，一束光线从点A经x轴反射到圆C上的最短路程是( )
A．6eq \r(2)－2 B．8 C．4eq \r(6) D．10
答案 B
解析 点A关于x轴的对称点A′(－1，－1)，A′与圆心(5,7)的距离为eq \r(5＋12＋7＋12)＝10. ∴所求最短路程为10－2＝8.
6．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是________．
答案 6eq \r(2)
解析 圆x2＋y2－4x－4y－10＝0可化为(x－2)2＋(y－2)2＝18，圆心为(2,2)，半径为3eq \r(2).
圆心(2,2)到直线x＋y－14＝0的距离为eq \f(|2＋2－14|,\r(2))＝5eq \r(2)>3eq \r(2)，所以圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2r＝6eq \r(2).
7．过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为__________________．
答案 x＋y－2＝0
解析 由题意知，点P(1,1)在圆x2＋y2＝4内，
则过点P截得的弦最短的直线将圆面分成的两部分面积之差最大，
则所求直线与圆心O和P(1,1)的连线垂直，∴该直线斜率为－1，
由点斜式方程，得y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
8．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区的时间为________h.
答案 1
解析 如图，以A地为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，
则台风中心经过以B(40,0)为圆心，30为半径的圆内时城市B处于危险区，即B处于危险区时，台风中心在线段MN上，可求得|MN|＝20，所以时间为1 h.
9．如图，AB为圆的定直径，CD为直径，自D作AB的垂线DE，延长ED到P，使|PD|＝|AB|，求证：直线CP必过一定点．
证明 以线段AB所在的直线为x轴，以AB中点为原点，建立直角坐标系，如图，
设圆的方程为x2＋y2＝r2，直径AB位于x轴上，动直径为CD.
令C(x0，y0)，则D(－x0，－y0)，所以P(－x0，－y0－2r)．
所以直线CP的方程为y－y0＝eq \f(－2r－y0－y0,－x0－x0)(x－x0)，即(y0＋r)x－(y＋r)x0＝0.
所以直线CP过直线：x＝0，y＋r＝0的交点(0，－r)，即直线CP过定点．
10．如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)
解 如图，以O为坐标原点，东西方向为x轴建立平面直角坐标系，
则A(40,0)，B(0,30)，圆O方程为x2＋y2＝252.直线AB方程为eq \f(x,40)＋eq \f(y,30)＝1，
即3x＋4y－120＝0.设O到AB距离为d，则d＝eq \f(|－120|,5)＝24<25，
所以外籍轮船能被海监船监测到．设监测时间为t，
则t＝eq \f(2\r(252－242),28)＝0.5(h)．答 外籍轮船能被海监船监测到，持续时间为0.5 h.
11．若方程eq \r(1－x2)＝kx＋2有唯一解，则实数k的取值范围是( )
A．k＝±eq \r(3) B．k∈(－2,2)
C．k<－2或k>2 D．k<－2或k>2或k＝±eq \r(3)
答案 D
解析 方程eq \r(1－x2)＝kx＋2有唯一解等价于y＝eq \r(1－x2)与y＝kx＋2有唯一公共点．
由图象(图略)知选D.
12．已知集合M＝{(x，y)|y＝eq \r(9－x2)，y≠0}，n＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠∅，则实数b的取值范围是( )
A．[－3eq \r(2)，3eq \r(2)] B．[－3,3]
C．(－3,3eq \r(2)] D．[－3eq \r(2)，3)
答案 C
解析 数形结合法，注意y＝eq \r(9－x2)，y≠0等价于x2＋y2＝9(y>0)，
它表示的图形是圆x2＋y2＝9在x轴之上的部分(如图所示)．
结合图形不难求得，当－30)有公共点．
13．已知圆C：(x－1)2＋y2＝1，点A(－2,0)及点B(3，a)，从点A观察点B，要使视线不被圆C挡住，则a的取值范围为________________．
答案 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(5\r(2),4)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5\r(2),4)，＋∞))
解析 由题意知，AB所在直线与圆C相切或相离时，视线不被挡住，直线AB的方程为y＝eq \f(a,5)(x＋2)，即ax－5y＋2a＝0，所以d＝eq \f(|3a|,\r(a2＋－52))≥1，即a≥eq \f(5\r(2),4)或a≤－eq \f(5\r(2),4).
14．某圆拱桥的水面跨度是20 m，拱高为4 m．现有一船宽9 m，在水面以上部分高3 m，通行无阻．近日水位暴涨了1.5 m，为此，必须加重船载，降低船身，当船身至少降低____ m时，船才能安全通过桥洞．(结果精确到0.01 m)
答案 22
解析 以水位未涨前的水面AB的中点为原点，建立平面直角坐标系，如图所示，
设圆拱所在圆的方程为x2＋(y－b)2＝r2，∵圆经过点B(10,0)，C(0,4)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(100＋b2＝r2，,4－b2＝r2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝－10.5，,r＝14.5.))
∴圆的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)，令x＝4.5，得y≈3.28，故当水位暴涨1.5 m后，船身至少应降低1.5－(3.28－3)＝1.22 (m)，船才能安全通过桥洞.
15．若圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同的点到直线l：ax＋by＝0的距离为2eq \r(2)，则直线l的斜率的取值范围是( )
A．[2－eq \r(3)，1] B．[2－eq \r(3)，2＋eq \r(3)]
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，\r(3))) D．[0，＋∞)
答案 B
解析 圆x2＋y2－4x－4y－10＝0可化为(x－2)2＋(y－2)2＝18，则圆心为(2,2)，半径为3eq \r(2).
由圆上至少有三个不同的点到直线l的距离为2eq \r(2)，可得圆心到直线l的距离d≤3eq \r(2)－2eq \r(2)＝eq \r(2)，即eq \f(|2a＋2b|,\r(a2＋b2))≤eq \r(2)，则a2＋b2＋4ab≤0.①若b＝0，则a＝0，不符合题意，
所以b≠0，则①式可化为1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)))2＋4eq \f(a,b)≤0.②
又直线l的斜率k＝－eq \f(a,b)，所以②式可化为1＋k2－4k≤0，解得2－eq \r(3)≤k≤2＋eq \r(3).
2．5.2 圆与圆的位置关系
学习目标 1.了解圆与圆的位置关系.2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法.3.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题．
知识点 两圆的位置关系及其判定
(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系如下：
(2)代数法：设两圆的一般方程为
C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(Deq \\al(2,1)＋Eeq \\al(2,1)－4F1>0)，
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(Deq \\al(2,2)＋Eeq \\al(2,2)－4F2>0)，
联立方程得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，,x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，))
则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
思考 根据代数法确定两个圆的位置关系时，若已知两圆只有一个交点，能否准确得出两圆的位置关系？
答案 不能. 已知两圆只有一个交点只能得出两圆内切或外切．
1．如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( × )
2．如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( × )
3．从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( × )
4．若两圆有公共点，则|r1－r2|≤d≤r1＋r2.( √ )
一、两圆位置关系的判断
例1 当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14x＋k＝0相交、相切、相离？
解 将两圆的一般方程化为标准方程，
C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k，
圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径r1＝1；
圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2＝eq \r(50－k)(k＜50)．
从而|C1C2|＝eq \r(－2－12＋3－72)＝5.
当1＋eq \r(50－k)＝5，k＝34时，两圆外切．
当|eq \r(50－k)－1|＝5，eq \r(50－k)＝6，k＝14时，两圆内切．
当|r2－r1|＜|C1C2|＜r2＋r1，即14＜k＜34时，两圆相交．
当1＋eq \r(50－k)＜5或|eq \r(50－k)－1|＞5，即34＜k＜50或k＜14时，两圆相离．
反思感悟 判断两圆的位置关系的两种方法
(1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法．
(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系．
跟踪训练1 (1)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
答案 B
解析 两圆的圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为r＝2，R＝3，两圆的圆心距为eq \r(－2－22＋0－12)＝eq \r(17)，则R－r(2)到点A(－1,2)，B(3，－1)的距离分别为3和1的直线有________条．
答案 4
解析 到点A(－1,2)的距离为3的直线是以A为圆心，3为半径的圆的切线；同理，到B的距离为1的直线是以B为圆心，半径为1的圆的切线，所以满足题设条件的直线是这两圆的公切线，而这两圆的圆心距|AB|＝eq \r(3＋12＋－1－22)＝5.
半径之和为3＋1＝4，因为5>4，
所以圆A和圆B外离，因此它们的公切线有4条．
二、两圆的公共弦问题
例2 已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.
(1)判断两圆的位置关系；
(2)求公共弦所在的直线方程；
(3)求公共弦的长度．
解 (1)将两圆方程配方化为标准方程，则
C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，
C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10，
∴圆C1的圆心坐标为(1，－5)，半径为r1＝5eq \r(2)，
圆C2的圆心坐标为(－1，－1)，半径为r2＝eq \r(10).
∴|C1C2|＝2eq \r(5)，r1＋r2＝5eq \r(2)＋eq \r(10)，|r1－r2|＝|5eq \r(2)－eq \r(10)|，
∴|r1－r2|<|C1C2|(2)将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为x－2y＋4＝0.
(3)方法一 由(2)知圆C1的圆心(1，－5)到直线x－2y＋4＝0的距离为
d＝eq \f(|1－2×－5＋4|,\r(1＋－22))＝3eq \r(5)，∴公共弦长为l＝2eq \r(r\\al(2,1)－d2)＝2eq \r(50－45)＝2eq \r(5).
方法二 设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＋4＝0，,x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－4，,y＝0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝2，))
∴|AB|＝eq \r(－4－02＋0－22)＝2eq \r(5).即公共弦长为2eq \r(5).
反思感悟 两圆的公共弦问题
(1)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
(2)公共弦长的求法
①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．
跟踪训练2 (1)两圆x2＋y2－10x－10y＝0，x2＋y2＋6x＋2y－40＝0的公共弦的长为( )
A．5 B．5eq \r(2) C．10eq \r(2) D．10
答案 D
(2)圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在的直线被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝eq \f(25,4)所截得的弦长为________．
答案 eq \r(23)
解析 由题意将两圆的方程相减，可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的方程为
x＋y－1＝0.又圆C3的圆心坐标为(1,1)，其到直线l的距离为d＝eq \f(|1＋1－1|,\r(12＋12))＝eq \f(\r(2),2)，
设圆C3的半径为r，由条件知，r2－d2＝eq \f(25,4)－eq \f(1,2)＝eq \f(23,4)，所以弦长为2×eq \f(\r(23),2)＝eq \r(23).
圆系方程的应用
典例 (1)求圆心在直线x－y－4＝0上，且过两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程．
解 方法一 设经过两圆交点的圆系方程为
x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0(λ≠－1)，即x2＋y2－eq \f(4,1＋λ)x－eq \f(4λ,1＋λ)y－6＝0，
所以圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,1＋λ)，\f(2λ,1＋λ))).又圆心在直线x－y－4＝0上，所以eq \f(2,1＋λ)－eq \f(2λ,1＋λ)－4＝0，
即λ＝－eq \f(1,3).所以所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0.
方法二 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2－4x－6＝0，,x2＋y2－4y－6＝0，))得两圆公共弦所在直线的方程为y＝x.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x，,x2＋y2－4y－6＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝－1，,y1＝－1，))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝3，,y2＝3.))
所以两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点坐标分别为A(－1，－1)，B(3,3)，
线段AB的垂直平分线所在的直线方程为y－1＝－(x－1)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y－1＝－x－1，,x－y－4＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝－1，))即所求圆的圆心坐标为(3，－1)，
半径为eq \r(3－32＋[3－－1]2)＝4.所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16.
(2)求过直线x＋y＋4＝0与圆x2＋y2＋4x－2y－4＝0的交点且与直线y＝x相切的圆的方程．
解 设所求圆的方程为x2＋y2＋4x－2y－4＋λ(x＋y＋4)＝0.
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x，,x2＋y2＋4x－2y－4＋λx＋y＋4＝0，))得x2＋(1＋λ)x＋2(λ－1)＝0.
因为所求圆与直线y＝x相切，所以Δ＝0，即(1＋λ)2－8(λ－1)＝0，解得λ＝3，
故所求圆的方程为x2＋y2＋7x＋y＋8＝0.
[素养提升] (1)当经过两圆的交点时，圆的方程可设为(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0，然后用待定系数法求出λ即可．
(2)理解运算对象，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果，体现了数学运算的数学核心素养．
1．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是( )
A．相离 B．相交
C．外切 D．内切
答案 B
解析 化为标准方程：圆O1：(x－1)2＋y2＝1，圆O2：x2＋(y－2)2＝4，则O1(1,0)，O2(0,2)，|O1O2|＝eq \r(1－02＋0－22)＝eq \r(5)2．圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则m的值为( )
A．2 B．－5
C．2或－5 D．不确定
答案 C
解析 圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9的圆心为(－2，m)，半径长为3，
圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(m，－1)，半径长为2.
依题意有eq \r(－2－m2＋m＋12)＝3＋2，即m2＋3m－10＝0，解得m＝2或m＝－5.
3．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是( )
A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0
C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0
答案 C
解析 AB的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心(2，－3)代入，即可排除A，B，D.
4．已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是__________________．
答案 (x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36
解析 设圆C的半径为r，圆心距为d＝eq \r(4－02＋－3－02)＝5，
当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，r＝4，当圆C与圆O内切时，r－1＝5，r＝6，
∴圆的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36.
5．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2eq \r(3)，则a＝________.
答案 1
解析 将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为y＝eq \f(1,a)，
圆心(0,0)到直线的距离为d＝eq \f(1,a)＝eq \r(22－\r(3)2)＝1，所以a＝1.
1．知识清单：
(1)两圆的位置关系．
(2)两圆的公共弦．
2．方法归纳：几何法、代数法．
3．常见误区：将两圆内切和外切相混．
1．圆C1：x2＋y2＋4x＋8y－5＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋4y－1＝0的位置关系为( )
A．相交 B．外切
C．内切 D．外离
答案 C
解析 由已知，得C1(－2，－4)，r1＝5，C2(－2，－2)，r2＝3，则d＝|C1C2|＝2，
所以d＝|r1－r2|，所以两圆内切．
2．圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的交点坐标为( )
A．(1,0)和(0,1) B．(1,0)和(0，－1)
C．(－1,0)和(0，－1) D．(－1,0)和(0,1)
答案 C
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＝1，,x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝－1.))
所以两圆的交点坐标为(－1,0)和(0，－1)．
3．已知圆C1：x2＋y2－m＝0，圆C2：x2＋y2＋6x－8y－11＝0，若圆C1与圆C2有公共点，则实数m的取值范围是( )
A．m＜1 B．m＞121
C．1≤m≤121 D．1＜m＜121
答案 C
解析 圆C1的方程可化为x2＋y2＝m(m>0)，则圆心为C1(0,0)，半径r1＝eq \r(m)；
圆C2的方程可化为(x＋3)2＋(y－4)2＝36，则圆心为C2(－3,4)，半径r2＝6.
∵圆C1与圆C2有公共点，∴|r1－r2|≤|C1C2|≤r1＋r2，
即|eq \r(m)－6|≤eq \r(－3－02＋4－02)≤eq \r(m)＋6，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|\r(m)－6|≤5，,\r(m)＋6≥5，))解得1≤m≤121.
4．(多选)设r>0，圆(x－1)2＋(y＋3)2＝r2与圆x2＋y2＝16的位置关系不可能是( )
A．内切 B．相交
C．外离 D．外切
答案 CD
解析 两圆的圆心距为d＝eq \r(1－02＋－3－02)＝eq \r(10)，两圆的半径之和为r＋4，
因为eq \r(10)5．圆O1：x2＋y2－6x＋16y－48＝0与圆O2：x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线条数为( )
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
答案 C
解析 圆O1为(x－3)2＋(y＋8)2＝121，O1(3，－8)，r＝11，
圆O2为(x＋2)2＋(y－4)2＝64，O2(－2,4)，R＝8，
∴|O1O2|＝ eq \r(3＋22＋－8－42)＝13，∴r－R＜|O1O2|＜R＋r，∴两圆相交．∴公切线有2条．
6．若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和x2＋y2－2by＋b2＝1外离，则a，b满足的条件是_____________．
答案 a2＋b2>3＋2eq \r(2)
解析 由题意可得两圆的圆心坐标和半径长分别为(a，0)，eq \r(2)和(0，b)，1.
因为两圆外离，所以eq \r(a2＋b2)>eq \r(2)＋1，即a2＋b2>3＋2eq \r(2).
7．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是_______．
答案 x＋3y＝0
解析 圆的方程(x－1)2＋(y－3)2＝20可化为x2＋y2－2x－6y＝10.
又x2＋y2＝10，两式相减得2x＋6y＝0，即x＋3y＝0.
8．经过直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝2的交点，且过点(1,2)的圆的方程为________________．
答案 x2＋y2－eq \f(3,4)x－eq \f(3,4)y－eq \f(11,4)＝0
解析 由已知可设所求圆的方程为x2＋y2－2＋λ(x＋y＋1)＝0，将(1,2)代入，可得λ＝－eq \f(3,4)，
故所求圆的方程为x2＋y2－eq \f(3,4)x－eq \f(3,4)y－eq \f(11,4)＝0.
9．已知圆O1：x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心O2(2,1)．若圆O2与圆O1交于A，B两点，且|AB|＝2eq \r(2)，求圆O2的方程．
解 设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝req \\al(2,2)，
因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，
将两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB所在的直线方程为4x＋4y＋req \\al(2,2)－8＝0，
作O1H⊥AB，H为垂足，则AH＝eq \f(1,2)AB＝eq \r(2)，所以O1H＝eq \r(r\\al(2,1)－AH2)＝eq \r(4－2)＝eq \r(2).
由圆心O1(0，－1)到直线4x＋4y＋req \\al(2,2)－8＝0的距离为eq \f(|r\\al(2,2)－12|,4\r(2))＝eq \r(2)，得req \\al(2,2)＝4或req \\al(2,2)＝20，
故圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.
10．已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
(1)m取何值时两圆外切？
(2)m取何值时两圆内切？
(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
解 两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，
圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，半径分别为eq \r(11)和eq \r(61－m).
(1)当两圆外切时，eq \r(5－12＋6－32)＝eq \r(11)＋eq \r(61－m)，解得m＝25＋10eq \r(11).
(2)当两圆内切时eq \r(61－m)－eq \r(11)＝5，解得m＝25－10eq \r(11).
(3)两圆的公共弦所在直线方程为(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，
即4x＋3y－23＝0，
∴公共弦长为2eq \r(\r(11)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|4×1＋3×3－23|,\r(42＋32))))2)＝2eq \r(7).
11．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )
A．(x－5)2＋(y－7)2＝25
B．(x－5)2＋(y－7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15
C．(x－5)2＋(y－7)2＝9
D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9
答案 D
解析 设动圆圆心为(x，y)，若动圆与已知圆外切，则eq \r(x－52＋y＋72)＝4＋1，
∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25；
若动圆与已知圆内切，则eq \r(x－52＋y＋72)＝4－1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝9.
12．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于( )
A．4 B．4eq \r(2) C．8 D．8eq \r(2)
答案 C
解析 ∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，∴两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等．设两圆的圆心坐标分别为(a，a)，(b，b)，则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，整理得x2－10x＋17＝0，
∴a＋b＝10，ab＝17.∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，
∴|C1C2|＝eq \r(a－b2＋a－b2)＝eq \r(32×2)＝8.
13．如果圆(x－a)2＋(y－1)2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，则实数a的取值范围是( )
A．(－2eq \r(2)，0)∪(0,2eq \r(2)) B．(－2eq \r(2)，2eq \r(2))
C．(－1,0)∪(0,1) D．(－1,1)
答案 A
解析 ∵圆(x－a)2＋(y－1)2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，
∴圆O：x2＋y2＝4与圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝1相交．|OC|＝eq \r(a2＋1)，
由2－1<|OC|<2＋1，得114．若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长为________．
答案 4
解析 连接OO1，记AB与OO1的交点为C，如图所示，
在Rt△OO1A中，|OA|＝eq \r(5)，|O1A|＝2eq \r(5)，∴|OO1|＝5，∴|AC|＝eq \f(\r(5)×2\r(5),5)＝2，∴|AB|＝4.
15．过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程是____________________．
答案 x2＋y2－3x＋y－1＝0
解析 设圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0，
则(1＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ＝0，
把圆心eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,1＋λ)，\f(λ－1,1＋λ)))代入l：2x＋4y－1＝0的方程，可得λ＝eq \f(1,3)，
所以所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0.
16．已知动点P与两个定点O(0,0)，A(3,0)的距离的比为eq \f(1,2).
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)已知圆Q的圆心为Q(t，t)(t>0)，且圆Q与x轴相切，若圆Q与曲线C有公共点，求实数t的取值范围．
解 (1)设P(x，y)，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AP))＝2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(OP))，即eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AP|2＝4))OP|2，所以(x－3)2＋y2＝4(x2＋y2)，
整理得(x＋1)2＋y2＝4.所以动点P的轨迹C的方程为(x＋1)2＋y2＝4.
(2)因为点Q的坐标为(t，t)(t>0)，且圆Q与x轴相切，所以圆Q的半径为t，
所以，圆Q的方程为(x－t)2＋(y－t)2＝t2.
因为圆Q与圆C有公共点，
又圆Q与圆C的两圆心距为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(CQ))＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋1))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－0))2)＝eq \r(2t2＋2t＋1)，
所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(2－t))≤eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(CQ))≤2＋t，即(2－t)2≤2t2＋2t＋1≤(2＋t)2，解得－3＋2eq \r(3)≤t≤3.
所以，实数t的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－3＋2\r(3)，3)).
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
2个
1个
0个
判断方法
几何法：
设圆心到直线的距离为d＝eq \f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))
dd＝r
d>r
代数法：
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Ax＋By＋C＝0，,x－a2＋y－b2＝r2，))消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
几何法
利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系r2＝d2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(l,2)))2解题
代数法
若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长
弦长公式法
设直线l：y＝kx＋b与圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长
l＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
d与r1，r2的关系
d>r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|< dd＝|r1－r2|
d<|r1－r2|
方程组解的个数
2组
1组
0组
两圆的公共点个数
2个
1个
0个
两圆的位置关系
相交
外切或内切
外离或内含