高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)3.1导数的概念及切线问题(精讲)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)3.1导数的概念及切线问题(精讲)(原卷版+解析)，共19页。


【知识储备】
1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率eq^\(,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx)＝eq^\(,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx)。
(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).
2.函数y＝f(x)的导函数
如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，函数f′(x)＝ eq \f(f(x＋Δx)－f(x),Δx)称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数.
3.导数公式表
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有：
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(f(x),g(x))))′＝eq \f(f′(x)g(x)－f(x)g′(x),[g(x)]2)(g(x)≠0).
5.复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′.
【题型精讲】
【题型一 导数的运算】
必备技巧 导数运算技巧
1.求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.
2.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
3.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.
例1 (2023·山东济南高三期末）分别求下列函数的导数：
(1)y＝exln x；
(2)y＝eq \f(cs x,ex)；
(3)f(x)＝ln eq \r(1＋2x).
例2 (2023·全国高三专题练习）已知，则______.
【题型精练】
1．(2023·全国高三课时练习）求下列函数的导数：
（1）；（2）；（3）．
2. (2023·全国高三课时练习）求下列函数的导数：
（1）；（2）；（3）．（4）；（5）．
3.(2023·江苏高三专题练习）已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于__________.
【题型二 导数求切线方程（两类）】
必备技巧 两类切线方程的区别
注意区分“在点P处的切线”与“过点P处的切线”：在“点P处的切线”，说明点P为切点，点P既在曲线上，又在切线上；“过点P处的切线”，说明点P不一定是切点，点P一定在切线上，不一定在曲线上．
例3 (2023·郸城县实验高中高三期末）已知曲线
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求曲线过点的切线方程
【题型精练】
1．(2023·吉林·白城一中高三模拟）已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4．
(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．
2.(2023·定远县育才学校期末）已知函数，过点作曲线的切线，则函数的切线方程为_______________________．
【题型三 切线中求参问题】
必备技巧 切线中的求参问题
处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：
①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
例4 (1)函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，2] B.(－∞，2)
C.(2，＋∞) D.(0，＋∞)
(2)(2023·河南六市联考)已知曲线f(x)＝x＋eq \f(a,x)＋b(x≠0)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝2x＋5，则a－b＝________.
(3)(2023·全国高二课时练习）已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【题型精练】
1.．(2023·新余市第一中学模拟）直线是曲线的切线，则它的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·重庆八中高三月考）已知定义在上的函数满足，若曲线在点处的切线斜率为2，则（ ）
A．1B．C．0D．2
3.(2023·全国高三专题练习）已知函数，过点可作曲线的三条切线，则 的取值范围是（ ）
B．C．D．
【题型四 公切线问题】
必备技巧 公切线问题
求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法．
例5 （全国卷高考）若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________．
例6 (2023·全国高三专题练习）已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝ .
例7(2023·全国高三专题练习）已知曲线f(x)＝ln x＋1与g(x)＝x2－x＋a有公共切线，求实数a的取值范围．
【题型精练】
1. (2023·江南十校联考)已知f(x)＝ex(e为自然对数的底数)，g(x)＝ln x＋2，直线l是f(x)与g(x)的公切线，则直线l的方程为 ．
2．(2023·安徽省舒城中学高三三模）若函数与的图象有一条公共切线，且该公共切线与直线平行，则实数（ ）
A．B．C．D．
【题型五 与切线有关的距离问题】
例8 (2023·山东济南期末）已知，则的最小值为 ．
【题型精练】
1.(2023·云南昆明市·昆明一中高三期末）函数图象上一点到直线的最短距离为___________.
2.(2023·安徽省泗县第一中学高三模拟（理））若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ）
A．B．C．D．
基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q*)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cs x
f(x)＝cs x
f′(x)＝－sin x
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝ax(a＞0)
f′(x)＝axln a
f(x)＝ln x
f′(x)＝eq \f(1,x)
f(x)＝lgax (a＞0，a≠1)
f′(x)＝eq \f(1,xln a)
3.1 导数的概念及切线问题
【题型解读】
【知识储备】
1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率eq^\(,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx)＝eq^\(,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx)。
(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).
2.函数y＝f(x)的导函数
如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，函数f′(x)＝ eq \f(f(x＋Δx)－f(x),Δx)称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数.
3.导数公式表
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有：
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(f(x),g(x))))′＝eq \f(f′(x)g(x)－f(x)g′(x),[g(x)]2)(g(x)≠0).
5.复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′.
【题型精讲】
【题型一 导数的运算】
必备技巧 导数运算技巧
1.求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.
2.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
3.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.
例1 (2023·山东济南高三期末）分别求下列函数的导数：
(1)y＝exln x；
(2)y＝eq \f(cs x,ex)；
(3)f(x)＝ln eq \r(1＋2x).
【解析】(1)y′＝(ex)′ln x＋ex(ln x)′＝exln x＋eq \f(ex,x)＝exeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln x＋\f(1,x))).
(2)因为 y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(cs x,ex)))′＝eq \f(cs x′ex－cs xex′,ex2)＝－eq \f(sin x＋cs x,ex).
(3)因为y＝ln eq \r(1＋2x)＝eq \f(1,2)lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋2x))，
所以y′＝eq \f(1,2)·eq \f(1,1＋2x)·(1＋2x)′＝eq \f(1,1＋2x).
例2 (2023·全国高三专题练习）已知，则______.
答案：
【解析】
，解得，
故答案为： .
【题型精练】
1．(2023·全国高三课时练习）求下列函数的导数：
（1）；（2）；（3）．
答案：（1）；（2）；（3.
【解析】（（1），所以，；
（2）；
（3）
.
2. (2023·全国高三课时练习）求下列函数的导数：
（1）；（2）；（3）．（4）；（5）．
答案：（1）；（2）；（3）（4）；（5）．
【解析】（1）；
（2）；
（3）
（4）．
（5）．
3.(2023·江苏高三专题练习）已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于__________.
答案：
【解析】由题意可得，
令得，
即.
故答案为：
【题型二 导数求切线方程（两类）】
必备技巧 两类切线方程的区别
注意区分“在点P处的切线”与“过点P处的切线”：在“点P处的切线”，说明点P为切点，点P既在曲线上，又在切线上；“过点P处的切线”，说明点P不一定是切点，点P一定在切线上，不一定在曲线上．
例3 (2023·郸城县实验高中高三期末）已知曲线
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求曲线过点的切线方程
答案：（1）；（2）或．
【解析】（1）∵，∴在点处的切线的斜率，
∴曲线在点处的切线方程为，即．
（2）设曲线与过点的切线相切于点，
则切线的斜率，
∴切线方程为，即．
∵点在该切线上，∴，即，
∴，∴，
∴，解得或．
故所求切线方程为或．
【题型精练】
1．(2023·吉林·白城一中高三模拟）已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4．
(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．
答案：（1）x－y－4＝0
（2）x－y－4＝0或y＋2＝0
【解析】(1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，
∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，
∴曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即x－y－4＝0．
(2)设切点坐标为(x0，x03－4x02＋5x0－4)，
∵f′(x0)＝3x02－8x0＋5，
∴切线方程为y－(－2)＝(3x02－8x0＋5)(x－2)，
又切线过点(x0，x03－4x02＋5x0－4)，
∴x03－4x02＋5x0－2＝(3x02－8x0＋5)(x0－2)，
整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1，
∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0．
2.(2023·定远县育才学校期末）已知函数，过点作曲线的切线，则函数的切线方程为_______________________．
答案：
【解析】，设切点坐标为，则，，所以切线方程为，且该直线过点，所以，得，得，所以切线方程为.
故答案为：
【题型三 切线中求参问题】
必备技巧 切线中的求参问题
处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：
①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
例4 (1)函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，2] B.(－∞，2)
C.(2，＋∞) D.(0，＋∞)
(2)(2023·河南六市联考)已知曲线f(x)＝x＋eq \f(a,x)＋b(x≠0)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝2x＋5，则a－b＝________.
(3)(2023·全国高二课时练习）已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】 (1)由题意知f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解.
∴f′(x)＝eq \f(1,x)＋a＝2在(0，＋∞)上有解，则a＝2－eq \f(1,x).
因为x＞0，所以2－eq \f(1,x)＜2，所以a的取值范围是(－∞，2).
(2)f′(x)＝1－eq \f(a,x2)，∴f′(1)＝1－a，
又f(1)＝1＋a＋b，∴曲线在(1，f(1))处的切线方程为y－(1＋a＋b)＝(1－a)(x－1)，即y＝(1－a)x＋2a＋b，
根据题意有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－a＝2，,2a＋b＝5，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝7，))
∴a－b＝－1－7＝－8.
(3)∵，∴．
由题意，知曲线在点处的切线的斜率存在，设，则切线的斜率，∴，∵，∴.故选：D．
【题型精练】
1.．(2023·新余市第一中学模拟）直线是曲线的切线，则它的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】设是直线曲线上任意一点，
由求导得：，于是得切线的斜率，当且仅当时取“=”，
显然，为钝角，又在上单调递增，于是得，
所以倾斜角的取值范围是.
故选：C
2．(2023·重庆八中高三月考）已知定义在上的函数满足，若曲线在点处的切线斜率为2，则（ ）
A．1B．C．0D．2
答案：C
【解析】设，则，．
由，解得，从而，故选: C．
3.(2023·全国高三专题练习）已知函数，过点可作曲线的三条切线，则 的取值范围是（ ）
B．C．D．
【解析】设切点坐标，
∵，∴∴曲线在处的切线斜率为
又∵切线过点，∴切线斜率为，∴
即 ①
∵过点可作曲线的三条切线，
∴方程①有3解．
令，
则图象与x轴有3个交点，
∴的极大值与极小值异号
，令，得或1，
∴，即（m＋3）（m＋2）＜0解得−3＜m＜−2故选：D．
【题型四 公切线问题】
必备技巧 公切线问题
求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法．
例5 （全国卷高考）若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________．
【解析】直线y＝kx＋b与曲线y＝ln x＋2，y＝ln(x＋1)均相切，设切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝ln x＋2得y′＝eq \f(1,x)，由y＝ln(x＋1)得y′＝eq \f(1,x＋1)，∴k＝eq \f(1,x1)＝eq \f(1,x2＋1)，
∴x1＝eq \f(1,k)，x2＝eq \f(1,k)－1，∴y1＝－ln k＋2，y2＝－ln k.
即Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k)，－ln k＋2))， Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k)－1，－ln k))，∵A、B在直线y＝kx＋b上，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2－ln k＝k·\f(1,k)＋b，,－ln k＝k·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k)－1))＋b))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝1－ln 2，,k＝2.))
例6 (2023·全国高三专题练习）已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝ .
【解析】方法一 因为y＝x＋ln x，所以y′＝1＋eq \f(1,x)，y′|x＝1＝2.
所以曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
因为y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，
所以a≠0(当a＝0时曲线变为y＝2x＋1与已知直线平行)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2x－1，,y＝ax2＋a＋2x＋1，))消去y，得ax2＋ax＋2＝0.
由Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.
方法二 同方法一得切线方程为y＝2x－1.
设y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切于点(x0，axeq \\al(2,0)＋(a＋2)x0＋1)．因为y′＝2ax＋(a＋2)，
所以＝2ax0＋(a＋2)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2ax0＋a＋2＝2，,ax\\al(2,0)＋a＋2x0＋1＝2x0－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝－\f(1,2)，,a＝8.))
例7(2023·全国高三专题练习）已知曲线f(x)＝ln x＋1与g(x)＝x2－x＋a有公共切线，求实数a的取值范围．
【解析】设切线与f(x)＝ln x＋1相切于点P(x0，ln x0＋1)，
f′(x0)＝eq \f(1,x0)，
∴切线方程为y－(ln x0＋1)＝eq \f(1,x0)(x－x0)，
即y＝eq \f(1,x0)x＋ln x0，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(1,x0)x＋ln x0，,y＝x2－x＋a，))得x2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,x0)))x＋a－ln x0＝0，
∴Δ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,x0)))2－4(a－ln x0)＝0，
即eq \f(1,x\\al(2,0))＋eq \f(2,x0)＋1－4a＋4ln x0＝0，
即4a＝eq \f(1,x\\al(2,0))＋eq \f(2,x0)＋1＋4ln x0有解，
令φ(x)＝eq \f(1,x2)＋eq \f(2,x)＋1＋4ln x(x>0)，
φ′(x)＝－eq \f(2,x3)－eq \f(2,x2)＋eq \f(4,x)
＝eq \f(4x2－2x－2,x3)
＝eq \f(22x＋1x－1,x3)，
当x∈(0,1)时，φ′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)>0，
∴φ(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
∴φ(x)min＝φ(1)＝4，
又x→＋∞时，φ(x)→＋∞，
故φ(x)的值域为[4，＋∞)，
所以4a≥4，即a≥1，
故实数a的取值范围是[1，＋∞)．
【题型精练】
1. (2023·江南十校联考)已知f(x)＝ex(e为自然对数的底数)，g(x)＝ln x＋2，直线l是f(x)与g(x)的公切线，则直线l的方程为 ．
【解析】设l与f(x)＝ex的切点为(x1，y1)，
则y1＝，
f′(x)＝ex，
∴f′(x1)＝，
∴切点为(x1，)，
切线斜率k＝，
∴切线方程为y－＝(x－x1)，
即y＝，①
同理设l与g(x)＝ln x＋2的切点为(x2，y2)，
∴y2＝ln x2＋2，
g′(x)＝eq \f(1,x)，
∴g′(x2)＝eq \f(1,x2)，
切点为(x2，ln x2＋2)，
切线斜率k＝eq \f(1,x2)，
∴切线方程为y－(ln x2＋2)＝eq \f(1,x2)(x－x2)，
即y＝eq \f(1,x2)·x＋ln x2＋1，②
由题意知，①与②相同，
∴
把③代入④有＝－x1＋1，
即(1－x1)(－1)＝0，
解得x1＝1或x1＝0，
当x1＝1时，切线方程为y＝ex；
当x1＝0时，切线方程为y＝x＋1，
综上，直线l的方程为y＝ex或y＝x＋1.
2．(2023·安徽省舒城中学高三三模）若函数与的图象有一条公共切线，且该公共切线与直线平行，则实数（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】设函数图象上切点为，因为，所以，得， 所以，所以切线方程为，即，设函数的图象上的切点为，因为，所以，即，又，即，所以，即，解得或（舍），所以．
故选：A
【题型五 与切线有关的距离问题】
例8 (2023·山东济南期末）已知，则的最小值为 ．
【解析】构造函数，，则与两点分别在两个函数图象上，故所求看成两点与之间的距离平方，
令，
所以是与平行的的切线，故最小距离为
所以的最小值为4
【题型精练】
1.(2023·云南昆明市·昆明一中高三期末）函数图象上一点到直线的最短距离为___________.
答案：
【解析】设与直线平行且与曲线相切的直线的切点坐标为，
因为，则，所以，则切点坐标为，
最短距离为点到直线的距离，
即为.
故答案为：
2.(2023·安徽省泗县第一中学高三模拟（理））若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】因为点是曲线任意一点，所以当点处的切线和直线平行时，点到直线的的距离最小，
因为直线的斜率等于，曲线的导数，
令，可得或（舍去），所以在曲线与直线平行的切线经过的切点坐标为，所以点到直线的最小距离为.故选：C.
基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q*)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cs x
f(x)＝cs x
f′(x)＝－sin x
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝ax(a＞0)
f′(x)＝axln a
f(x)＝ln x
f′(x)＝eq \f(1,x)
f(x)＝lgax (a＞0，a≠1)
f′(x)＝eq \f(1,xln a)